2024-2025学年高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义学案含解析新人教A版选修2-2

PAGE1-3．2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义[目标]1.娴熟驾驭复数的代数形式的加减法运算法则.2.理解复数加减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题．[重点]复数加法与减法的运算法则．[难点]复数加法与减法的几何意义．学问点一复数加法与减法的运算法则[填一填]1．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是随意两个复数，则z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.2．对随意z1，z2，z3∈C，则z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．[答一答]1．两个复数的和，差分别是一个确定的复数，那么两个虚数的和，差是否仍为虚数？提示：两个虚数的和，差可能是虚数也可能是实数．2．若复数z1，z2满意z1－z2>0，能否认为z1>z2?提示：不能．如2＋i－i>0，但2＋i与i不能比较大小．学问点二复数加法与减法的几何意义[填一填]如图：设eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，则eq\o(OZ1,\s\up16(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(c，d)，由平面对量的坐标运算，得eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(a＋c，b＋d).eq\o(OZ1,\s\up16(→))－eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(a－c，b－d)．这说明两个向量eq\o(OZ1,\s\up16(→))与eq\o(OZ2,\s\up16(→))的和就是与复数(a＋c)＋(b＋d)i对应的向量，eq\o(OZ1,\s\up16(→))与eq\o(OZ2,\s\up16(→))的差就是与复数(a－c)＋(b－d)i对应的向量，即图中四边形OZ1ZZ2为平行四边形，则与z1＋z2对应的向量是eq\o(OZ,\s\up16(→))，与z1－z2对应的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up16(→)).[答一答]3．设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)对应的向量分别是eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，那么向量eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))的坐标分别是什么？z1＋z2对应的向量的坐标是什么？提示：由复数与平面对量的一一对应可知eq\o(OZ1,\s\up16(→))＝(a，b)，eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(c，d)，故eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝(a＋c，b＋d)．由复数加法的几何意义可知eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))即为z1＋z2对应的向量，故z1＋z2对应的向量的坐标为(a＋c，b＋d)．4．从复数减法的几何意义理解：|z1－z2|表示什么？提示：表示Z1与Z2两点间的距离．5．若a，b，r为实常数，且r>0，则满意|z－(a＋bi)|＝r的复数z在复平面上对应的点的轨迹是什么？提示：是以点(a，b)为圆心，r为半径的圆．1．对复数加法的理解(1)复数代数形式的加法运算法则是一种规定，以后就要根据规定进行运算．(2)复数的加法法则是在复数的代数形式下进行的．(3)复数的加法运算的结果仍旧是复数．(4)实数的移项法则在复数中仍旧成立．(5)复数的加法法则可以推广到多个复数相加的情形．2．对复数加、减法几何意义的理解(1)对于应用向量加法法则求复数的和，可以利用平行四边形法则，也可以利用三角形法则．(2)复数的减法法则用向量的减法法则来进行运算，应用向量来进行复数的减法，三角形法则显得更加便利．(3)复数的加减法运算可以通过向量的加减法运算进行；反之，向量的加减法运算也可以通过复数的加减法运算进行．(4)利用复数的加减法运算的几何意义可以直观地解决复数问题．类型一复数加减法的运算【例1】计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)；(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．【解】(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)＝(4－2i)－(5＋6i)＝－1－8i.(2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]＝5i－(4＋i)＝－4＋4i.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i.1类比实数运算，若有括号，先计算括号内的，若没有括号，可从左到右依次进行.2算式中出现字母，首先要确定其是否为实数，再确定复数的实部和虚部，最终把实部、虚部分别相加.设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)等于(D)A．1－5i B．－2＋9iC．－2－i D．5＋3i解析：∵z1－z2＝5＋5i，∴f(z1－z2)＝5＋5i－2i＝5＋3i.类型二复数加减法的几何意义【例2】如图所示，在平行四边形OABC中，顶点O，A，C分别表示0,3＋2i，－2＋4i.求：(1)eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的复数，eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的复数；(2)对角线eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的复数；(3)对角线eq\o(OB,\s\up16(→))所表示的复数及eq\o(OB,\s\up16(→))的长度．【解】(1)因为eq\a\vs4\al(\o(AO,\s\up16(→)))＝0－(3＋2i)＝－3－2i，所以eq\o(AO,\s\up16(→))所表示的复数为－3－2i.因为eq\o(BC,\s\up16(→))＝eq\o(AO,\s\up16(→))，所以eq\o(BC,\s\up16(→))所表示的复数为－3－2i.(2)因为eq\o(CA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OC,\s\up16(→))，所以eq\o(CA,\s\up16(→))所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)因为对角线eq\o(OB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(AB,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))＋eq\o(OC,\s\up16(→))，所以eq\o(OB,\s\up16(→))所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，所以|eq\o(OB,\s\up16(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).向量加法、减法运算的平行四边形法则和三角形法则是复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.留意向量eq\a\vs4\al(\o(AB,\s\up16(→)).)对应的复数是zB－zA终点对应的复数减去起点对应的复数(1)在复平面内，eq\o(AB,\s\up16(→))，eq\o(AC,\s\up16(→))对应的复数分别为－1＋2i，－2－3i，则eq\o(BC,\s\up16(→))对应的复数为(A)A．－1－5i B．－1＋5iC．3－4i D．3＋4i(2)向量eq\o(OA,\s\up16(→))表示的复数为3＋2i，将向量eq\o(OA,\s\up16(→))向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，将得到的向量记为eq\o(O′A′,\s\up16(→))，分别写出：①向量eq\o(O′A′,\s\up16(→))对应的复数；②点O′对应的复数；③向量eq\o(A′O′,\s\up16(→))对应的复数．解：如右图所示，O为原点，点A的坐标为(3,2)，向上平移3个单位长度再向左平移2个单位长度后，点O′的坐标为(－2,3)．点A′的坐标为(1,5)，坐标平移不变更eq\o(OA,\s\up16(→))的方向和模．①向量eq\o(O′A′,\s\up16(→))对应的复数为3＋2i；②点O′对应的复数为－2＋3i；③向量eq\o(A′O′,\s\up16(→))对应的复数为－3－2i.类型三复数加减法的综合运算【例3】设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.【解】法1：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，∴2ac＋2bd＝0.∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝eq\r(2).法2：作出z1，z2对应的向量eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))，使eq\o(OZ1,\s\up16(→))＋eq\o(OZ2,\s\up16(→))＝eq\o(OZ,\s\up16(→))，∵|z1|＝|z2|＝1，又eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))不共线(若eq\o(OZ1,\s\up16(→))，eq\o(OZ2,\s\up16(→))共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设冲突)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形，又|z1＋z2|＝eq\r(2)，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝eq\r(2).与复数模有关的几个常见结论在复平面内，z1，z2对应的点为A，B，Z1＋Z2对应的点为C，O为坐标原点，则四边形OACB：(1)为平行四边形；(2)若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为矩形；(3)若|z1|＝|z2|，则四边形OACB为菱形；(4)若|z1|＝|z2|且|z1＋z2|＝|z1－z2|，则四边形OACB为正方形．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.解：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C.∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，∴△OAB是边长为1的正三角形，∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝eq\r(|OA|2＋|AC|2－2|OA||AC|cos120°)＝eq\r(3).复数与最值【例4】复数z满意|z－1－i|＝1，求|z＋1＋i|的最小值．【思路分析】利用复数减法的几何意义．【解】因为|z－1－i|＝1，所以由复数减法的几何意义可知，z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z＋1＋i|则是圆上的点到点(－1，－1)的距离，所以|z＋1＋i|min＝eq\r(1＋12＋1＋12)－1＝2eq\r(2)－1.【解后反思】|z－(a＋bi)|表示复数z对应的点到复数a＋bi对应的点的距离；而|z＋(a＋bi)|表示复数z对应的点与－a－bi对应的点之间的距离．若z∈C，且|z－1|＝|z＋1|，则|z＋1－i|的最小值是1.解析：∵|z－1|＝|z＋1|，∴z对应点的轨迹是虚轴，|z＋1－i|表示对应点与(－1,1)的距离，所以|z＋1－i|min＝1.1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2等于(B)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i解析：z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6，故选B.2．若复数z满意z＋i－3＝3－i，则z等于(D)A．0 B．2iC．6 D．6－2i解析：∵z＋i－3＝3－i，∴z＝(3＋3)＋(－i－i)＝6－2i，故选D.3．设O是原点，向量eq\o(OA,\s\up16(→))，eq\o(OB,\s\up16(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up16(→))对应的复数是5－5i.解析：eq\o(BA,\s\up16(→))＝eq\o(OA,\s\up16(→))－eq\o(OB,\s\up16(→))＝(2－3i)－(－3＋2i)＝5－5i，即eq\o(BA,\s\up16(→))对应的