中考数学总复习提升专项知识章节综合训练六圆(测试)含答案及解析

章节综合训练六圆（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（

）A．2 B．22 C．232．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（

）A．34 B．23 C．123．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°4．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（

）A．6π B．12π C．15π5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则A．42° B．41°20' C．41° 6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（

）

A．1 B．2 C．2 D．37．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（

）A．4 B．42 C．5 D．8．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（

A．43π−3 B．43π 9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kx(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点DA．43 B．33 C．210．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（

A．3 B．32 C．2 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=°．12．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为13．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE

14．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为．15．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+55

16．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC；②AF=FG；③当DG=2，GB=3时，FG=14④当BD=2AD，AB=6时，△DFG的面积是上述结论中，正确结论的序号有．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．18．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．19．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°20．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点(1)求证：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度数．21．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE22．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；(2)如图2，若EF∥(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．23．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈24．（2024·山西·中考真题）阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．(2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；(3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．25．（2024·山东日照·中考真题）如图1，AB为⊙O的直径，AB=12,C是⊙O上异于A,B的任一点，连接AC,BC，过点A作射线AD⊥AC,D为射线AD上一点，连接CD．【特例感知】（1）若BC=6．则AC=_______．（2）若点C,D在直线AB同侧，且∠ADC=∠B，求证：四边形ABCD是平行四边形；【深入探究】若在点C运动过程中，始终有tan∠ADC=3，连接（3）如图2，当CD与⊙O相切时，求OD的长度；（4）求OD长度的取值范围．

章节综合训练六圆（考试时间：120分钟试卷满分：120分）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（2024·西藏·中考真题）如图，AC为⊙O的直径，点B，D在⊙O上，∠ABD=60°，CD=2，则AD的长为（

）A．2 B．22 C．23【答案】C【分析】本题考查圆周角定理及勾股定理，根据同弧所对圆周角相等及直径所对圆周角是直角得到∠ACD=∠ABD=60°，∠ADC=90°，根据CD=2得到AC=2CD=4，最后根据勾股定理求解即可得到答案【详解】解：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵AD=AD，∴∠ACD=∠ABD=60°，∴∠DAC=90°−60°=30°，∵CD=2，∴AC=2CD=4，∴AD=4故选：C．2．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘ABCD内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（

）A．34 B．23 C．12【答案】C【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设AB=2a，则圆的直径为2a，求出小正方形的面积，即可求出几何概率．【详解】解：如图：连接EG，HF，设AB=2a，则圆的直径为2a，∵四边形EFGH是正方形，∴EG=FH=AB=2a，∴小正方形的面积为：12则飞镖落在阴影区域的概率为：2a故选：C．3．（2024·山西·中考真题）如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，与AC相切于点A，连接OD．若∠AOD=80°，则∠C的度数为（）A．30° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】本题主要考查了圆周角定理，圆的切线定理，直角三角形两锐角互余，有圆周角定理可得出∠B=12∠AOD=40°【详解】解：∵AD=∴∠B=1∵以AB为直径的⊙O与AC相切于点A，∴∠BAC=90°，∴∠C=90°−40°=50°．故选：D．4．（2024·江苏无锡·中考真题）已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为4，则圆锥的侧面积为（

）A．6π B．12π C．15π【答案】B【分析】本题考查了圆锥的侧面积展开图公式，解题的关键是掌握圆锥的侧面积的计算公式：圆锥的侧面积π×底面半径×母线长．【详解】解：S侧故选：B．5．（2024·山东济宁·中考真题）如图，分别延长圆内接四边形ABCD的两组对边，延长线相交于点E，F．若∠E=54°41'，∠F=43°19'，则A．42° B．41°20' C．41° 【答案】C【分析】根据“圆的内接四边形对角互补”可得∠ABC+∠ADC=180°，∠A+∠BCD=180°．根据三角形外角定理可得∠ABC=∠E+∠ECB，∠ADC=∠F+∠DCF，由此可得∠ECB=41°，又由∠ECB+∠BCD=180°，可得∠A=∠ECB，即可得解．本题主要考查了“圆的内接四边形对角互补”和三角形外角定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．【详解】∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形∴∠ABC+∠ADC=180°，∠A+∠BCD=180°,∵∠ABC=∠E+∠ECB，∠ADC=∠F+∠DCF，∴∠E+∠ECB+∠F+∠DCF=180°，∵∠ECB=∠DCF，∠E=54°41'，∴54°41解得∠ECB=41°，∵∠ECB+∠BCD=180°，∴∠A=∠ECB=41°．故选：C6．（2024·山东济宁·中考真题）如图，边长为2的正六边形ABCDEF内接于⊙O，则它的内切圆半径为（

）

A．1 B．2 C．2 D．3【答案】D【分析】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定和性质，勾股定理；连接OA，OF，作OG⊥AF于G，证明△AOF是等边三角形，可得FG=12AF=1【详解】解：如图，连接OA，OF，作OG⊥AF于G，

∵OF=OA，∠AOF=360°×1∴△AOF是等边三角形，∴OF=OA=AF=2，∵OG⊥AF，∴FG=1∴OG=2即它的内切圆半径为3，故选：D．7．（2024·湖南长沙·中考真题）如图，在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，则⊙O的半径长为（

）A．4 B．42 C．5 D．【答案】B【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，先根据垂径定理得到AE，再根据勾股定理求解即可．【详解】解：∵在⊙O中，弦AB的长为8，圆心O到AB的距离OE=4，∴OE⊥AB，AE=1在Rt△AOE中，OA=故选：B．8．（2024·山东泰安·中考真题）两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是（

A．43π−3 B．43π 【答案】A【分析】本题主要考查了扇形的面积公式的运用、三角形的面积公式的运用等知识点，熟练掌握扇形的面积公式是关键．如图：连接OA，AO'，作AB⊥OO'于点B，得三角形【详解】解：如图：连接OA，AO'，作∵OA=OO∴三角形AOO∴∠AOO∴AB=∴S弓形∴S阴影故选：A．9．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，平面直角坐标系中，原点O为正六边形ABCDEF的中心，EF∥x轴，点E在双曲线y=kx(k为常数，k>0)上，将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点DA．43 B．33 C．2【答案】A【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，正六边形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理等等，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，可证明△OED是等边三角形，则DE=OD，OH=DH=12OH，进而得到EH=32OD，设OD=2m，则OH=m，HE=3m，则【详解】解：如图所示，过点E作EH⊥x轴于H，连接OE，∵原点O为正六边形ABCDEF的中心，∴OE=OD，∴△OED是等边三角形，∴DE=OD，∵EH⊥OD，∴OH=DH=1∴EH=D设OD=2m，则OH=m，∴Em，3∵将正六边形ABCDEF向上平移3个单位长度，点D恰好落在双曲线上，∴点2m，又∵点E也在双曲线上，∴k=2m⋅3解得m=2或m=0（舍去），∴k=2m⋅3故选：A．10．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（

A．3 B．32 C．2 【答案】D【分析】本题主要考查了矩形的性质、动点轨迹、与圆有关的位置关系等知识，根据矩形的性质以及直角三角形斜边中线的性质确定G的轨迹是本题解题的关键．连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，根据直角三角形斜边中线的性质，可以得出G的轨迹，从而求出AG的最大值．【详解】解：连接AC，BD交于点O，取OA中点H，连接GH，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OC，AB∥CD，∴在Rt△ABC中，AC=∴OA=OC=1∵AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE与△COF中，AE=CF∴△AOE≌△COF(SAS∴∠AOE=∠COF，∴E，O，F共线，∵AG⊥EF，H是OB中点，∴在Rt△AGO中，GH=∴G的轨迹为以H为圆心，12为半径即AO∴AG的最大值为AO的长，即AG故选：D．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD与⊙O相切于点D，若∠C=20°，则∠CAD=°．【答案】35【分析】本题利用了切线的性质，三角形的外角与内角的关系，等边对等角求解．连接OD，构造直角三角形，利用OA=OD，从而得出∠CAD的度数．【详解】解：连接OD，∵CD与⊙O相切于点D，∴∠ODC=90°，∵∠C=20°，∴∠COD=70°；∵OA=OD，∴∠ODA=∠CAD=1故答案为：3512．（2024·江苏徐州·中考真题）将圆锥的侧面沿一条母线剪开后展平，所得扇形的面积为4πcm2，圆心角θ为90°，圆锥的底面圆的半径为【答案】1【分析】本题考查的是圆锥的计算、扇形面积公式，熟记扇形面积公式是解题的关键．先根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据扇形面积公式求出弧长，最后根据圆的周长公式计算即可．【详解】解：设扇形的半径为Rcm，弧长为l由题意得：90π解得：R=4（负值舍去），则12解得：l=2π，∴圆锥的底面圆的半径为：2π÷2π故答案为：1cm13．（2024·山东泰安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AH是⊙O的切线，点C为⊙O上任意一点，点D为AC的中点，连接BD交AC于点E，延长BD与AH相交于点F，若DF=1，tanB=12，则AE

【答案】5【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．先证∠DAF=∠ABD可得△DAF∽△DBA从而得到DFAD=ADBD=【详解】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∵AH是⊙O的切线，∴∠BAF=90°，∴∠DAF=∠ABD=90°−∠DAB，∴△DAF∽∴DFAD∵DF=1，∴AD=2，∴AF=5∵点D为AC的中点，∴AD=∴∠ABD=∠DAC=∠DAF，∵∠ADE=∠ADF=90°，∴90°−∠DAE=90°−∠DAF，即∠AED=∠AFD，∴AE=AF=5故答案为：5．14．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点O在四边形ABCD内部，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点P，连接OA,OB．若∠AOB=140°，∠BCP=35°，则∠ADC的度数为．【答案】105°/105度【分析】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质等知识，连接OC，利用等边对等角得出∠OAB=∠OBA=20°，∠OCB=∠OBC，利用切线的性质可求出∠OBC=∠OCB=55°，然后利用圆内接四边形的性质求解即可．【详解】解∶连接OC，∵OA=OB=OC，∠AOB=140°，∴∠OAB=∠OBA=12180°−∠AOB∵CP是切线，∴∠OCP=90°，即∠OCB+∠BCP=90°，∵∠BCP=35°，∴∠OBC=∠OCB=55°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=75°，∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠ADC=180°−∠ABC=105°，故答案为：105°．15．（2024·四川广元·中考真题）如图，在△ABC中，AB=5，tan∠C=2，则AC+55

【答案】5【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示，利用三角函数定义得到AC+55BC=AC+DC，延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图所示，从而确定AC+55BC=AC+DC=AC+CE=AE，∠E=45°，再由辅助圆-定弦定角模型得到点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求【详解】解：过点B作BD⊥AC，垂足为D，如图所示：

∵tan∠C=2，∴在Rt△BCD中，设DC=x，则BD=2x，由勾股定理可得BC=∴DCBC=∴AC+5延长DC到E，使EC=CD=x，连接BE，如图所示：

∴AC+55∵BD⊥DE，DE=2x=BD，∴△BDE是等腰直角三角形，则∠E=45°，在△ABE中，AB=5，∠E=45°，由辅助圆-定弦定角模型，作△ABE的外接圆，如图所示：

∴由圆周角定理可知，点E在⊙O上运动，AE是⊙O的弦，求AC+55BC的最大值就是求弦AE的最大值，根据圆的性质可知，当弦AE过圆心O，即

∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∵∠E=45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∵AB=5，∴BE=AB=5，则由勾股定理可得AE=AB2+BE故答案为：52【点睛】本题考查动点最值问题，涉及解三角形、勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质、圆的性质、圆周角定理、动点最值问题-定弦定角模型等知识，熟练掌握动点最值问题-定弦定角模型的解法是解决问题的关键．16．（2024·吉林长春·中考真题）如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是AC的中点，DE⊥AB于点E，交AC于点F，DB交AC于点G，连结AD．给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC；②AF=FG；③当DG=2，GB=3时，FG=14④当BD=2AD，AB=6时，△DFG的面积是上述结论中，正确结论的序号有．【答案】①②③【分析】如图：连接DC，由圆周角定理可判定①；先说明∠BDE=∠AGD、∠ADE=∠DAC可得DF=FG、AF=FD，即AF=FG可判定②；先证明△ADG∽△BDA可得ADBD=GDAD,即ADDG+BG=GDAD,代入数据可得AD=10，然后运用勾股定理可得AG=14，再结合AF=FG即可判定③；如图：假设半圆的圆心为O，连接OD,CO,CD，易得∠AOD=∠DOC=60°，从而证明【详解】解：如图：连接DC，∵D是AC的中点，∴AD=∴∠ABD=∠DAC，即①正确；∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴∠DAC+∠AGD=90°，∵DE⊥AB∴∠BDE+∠ABD=90°,∵∠ABD=∠DAC，∴∠BDE=∠AGD，∴DF=FG，∵∠BDE+∠ABD=90°，∠BDE+∠ADE=90°,∴∠ADE=∠ABD，∵∠ABD=∠DAC，∴∠ADE=∠DAC，∴AF=FD，∴AF=FG,即②正确；在△ADG和△BDA,∠ADG=∠BDA=90°∠DAG=∠DBA∴△ADG∽△BDA，∴ADBD=GD∴AD2+3=2∴AG=A∵AF=FG，∴FG=1如图：假设半圆的圆心为O，连接OD,CO,CD，∵BD=2AD，AB=6，D是∴AD∴∠AOD=∠DOC=60°，∵OA=OD=OC，∴△AOD,△ODC是等边三角形，∴OA=AD=CD=OC=OD=3，即ADCO是菱形，∴∠DAC=∠OAC=1∵∠ADB=90°，∴tan∠DAC=tan30°=DGAD∴S△ADG∵AF=FG∴S△DFG故答案为：①②③．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、解直角三角形、相似三角形的判定与性质、勾股定理、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．三．解答题（共9小题，满分72分，其中17、18、19题每题6分，20题、21题每题7分，22题8分，23题9分，24题10分，25题13分）17．（2024·江苏南通·中考真题）如图，△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，⊙A与BC相切于点D．

(1)求图中阴影部分的面积；(2)设⊙A上有一动点P，连接CP，BP．当CP的长最大时，求BP的长．【答案】(1)6−(2)3【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，扇形的面积公式等知识，解题的关键是：（1）连接AD，利用勾股定理的逆定理判定得出∠BAC=90°，利用切线的性质得出AD⊥BC，利用等面积法求出AD=125，然后利用（2）延长CA交⊙A于P，连接BP，则CP最大，然后在Rt△ABP【详解】（1）解∶连接AD，

∵AB=3，AC=4，BC=5，∴AB∴∠BAC=90°，∵BC与⊙A相切于D，∴AD⊥BC，∵S△ABC∴AD=AC⋅AB∴S阴影（2）解∶延长CA交⊙A于P，连接BP，此时CP最大，

由（1）知：∠BAC=∠PAB=90°，AP=AD=12∴PB=A18．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C'落在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由．【答案】BC与⊙O相切，理由见解析【分析】连接OD，由等腰三角形的性质得∠OAD=∠ODA，再由折叠的性质得∠CAD=∠OAD，进而证明AC∥OD，则∠ODB=∠ACB=90°，因此【详解】解：BC与⊙O相切．证明：连接OD．∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA．∵图形沿过点A的直线翻折，点C的对应点C'落在边AB∴∠CAD=∠OAD．∴∠CAD=∠ODA．∴AC∥∴由∠ACB=90°，得∠ODC=90°，即OD⊥BC．∴BC与⊙O相切．【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、等腰三角形的性质、折叠的性质以及平行线的判定与性质等知识，熟练掌握切线的判定和折叠的性质是解题的关键．19．（2024·山东济宁·中考真题）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A(1,3),B(3,4),C(1,4)．(1)将△ABC向下平移2个单位长度得△A1B(2)将△A1B1C1绕点B1逆时针旋转90°【答案】(1)作图见解析，B(2)作图见解析，π【分析】本题考查了作图—平移变换和旋转变换，弧长公式，解题的关键熟练掌握平移和旋转的性质，（1）利用平移的性质作出对应点，再连线即可，（2）利用旋转的性质分别作出对应点，再连线，C1运动到点C【详解】（1）解：△A由图可知：B1（2）解：△AC1运动到点C220．（2024·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，△ACD内接于⊙O，CD=DB，AB，CD的延长线相交于点(1)求证：△CAD∽△CEA；(2)求∠ADC的度数．【答案】(1)见详解(2)45°【分析】本题主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定以及性质，圆内接四边形的性质，等边对等角等知识，掌握这些性质是解题的关键．（1）由等弧所对的圆周角相等可得出∠CAD=∠DAB，再由等边对等角得出∠DAB=∠E，等量代换可得出∠CAD=∠E，又∠C=∠C，即可得出△CAD∽△CEA．（2）连接BD，由直径所对的圆周角等于90°得出∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，即∠CAE=2α，由相似三角形的性质可得出∠ADC=∠CAE=2α，再根据圆内接四边形的性质可得出2α+2α+90°=180°，即可得出α的值，进一步即可得出答案．【详解】（1）证明：∵CD∴∠CAD=∠DAB，∵DE=AD，∴∠DAB=∠E，∴∠CAD=∠E，又∵∠C=∠C∴△CAD∽△CEA，（2）连接BD，如下图：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，设∠CAD=∠DAB=α，∴∠CAE=2α，由（1）知：△CAD∽△CEA∴∠ADC=∠CAE=2α，∵四边形ABDC是圆的内接四边形，∴∠CAB+∠CDB=180°，即2α+2α+90°=180°，解得：α=22.5°∠ADC=∠CAE=2×22.5°=45°21．（2024·山东济南·中考真题）某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC∵∠ACB=90°∴∠A+∠B=90°∵CD⊥AB∴∠ADC=90°∴∠A+∠ACD=90°∴∠B=①______∵∠A=∠A∴△ABC∽△ACD∴AB∴A请完成填空：①______；②______；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE=∠AFC时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°,AC=2,BC=26，平面内一点D，满足AD=AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB=∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时，求线段CE【答案】（1）①∠ACD；②ACAD；（2）△AEB是直角三角形，证明见解析；（3）【分析】（1）根据余角的性质和三角形相似的性质进行解答即可；（2）证明△ACF∽△AEC，得出ACAF=AEAC，证明（3）证明△CEB∽△CBD，得出CECB=CBCD，求出CD⋅CE=CB2=262=24，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于D0，连接E0E，证明△ECE0∽△D0【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠B=∠ACD，∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ACD，∴AB∴AC（2）△AEB是直角三角形；理由如下：∵∠ACE=∠AFC,∠CAE=∠FAC∴△ACF∽△AEC，∴AC∴AC由（1）得AC∴AF⋅AE=AD⋅AB，∴AF∵∠FAD=∠BAE，∴△AFD∽△ABE，∴∠ADF=∠AEB=90°，∴△AEB是直角三角形．（3）∵∠CEB=∠CBD,∠ECB=∠BCD，∴△CEB∽△CBD，∴CE∴CD⋅CE=CB如图，以点A为圆心，2为半径作⊙A，则C,D都在⊙A上，延长CA到E0，使CE0=6，交⊙A于则CD∵CD0为∴∠CDD∴CD∴CD∵∠ECE∴△ECE∴∠CDD∴点E在过点E0且与C过点B作BE'⊥E0∵垂线段最短，∴当点E在点E'处时，BE即BE的最小值为BE∵∠CE∴四边形CE∴BE在Rt△CE0即当线段BE的长度取得最小值时，线段CE的长为215【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，圆周角定理，矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．22．（2024·江苏常州·中考真题）将边长均为6cm的等边三角形纸片ABC、DEF叠放在一起，使点E、B分别在边AC、DF上（端点除外），边AB、EF相交于点G，边BC、DE相交于点H．(1)如图1，当E是边AC的中点时，两张纸片重叠部分的形状是________；(2)如图2，若EF∥(3)如图3，当AE>EC，FB>BD时，AE与FB有怎样的数量关系？试说明理由．【答案】(1)菱形(2)9(3)AE=BF，理由见解析【分析】（1）连接BE，CD，由等边三角形的性质可得∠ACB=∠EDF=60°，则B、D、C、E四点共圆，由三线合一定理得到∠BEC=90°，则BC为过B、D、C、E的圆的直径，再由DE=BC=6cm，得到DE为过B、D、C、E的圆的直径，则点H为圆心，据此可证明∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°，推出四边形BHEG（2）由等边三角形的性质得到∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AC=BC=6cm，则由平行线的性质可推出∠ABC=∠CHE，进而可证明四边形BHEG是平行四边形，再证明△EHC是等边三角形，则可设EH=CH=2xcm，则BH=6−2xcm，HT=12CH=xcm，由勾股定理得到ET=E（3）过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，则AM=FN=12DF=12AC=3cm，EF=AB=6cm，BE=BE，证明EN=BM，进而可证明【详解】（1）解：如图所示，连接BE∵△ABC，∴∠ACB=∠EDF=60°，∴B、D、C、E四点共圆，∵点E是AC的中点，∴∠BEC=90°，∴BC为过B、D、C、E的圆的直径，又∵DE=BC=6cm∴DE为过B、D、C、E的圆的直径，∴点H为圆心，∴EH=BH，∴∠HBE=∠HEB=30°，∴∠GEB=∠EBH=∠GBE=∠BEH=30°，∴BG∥EH，∴四边形BHEG是平行四边形，又∵EH=BH，∴四边形BHEG是菱形，∴两张纸片重叠部分的形状是菱形；（2）解：∵△ABC，∴∠ABC=∠DEF=∠C=60°，AC=BC=6cm∵EF∥∴∠CHE=∠DEF=60°，∴∠ABC=∠CHE，∴BG∥EH，∴四边形BHEG是平行四边形，∵∠C=∠CHE=60°，∴△EHC是等边三角形，过点E作ET⊥HC，∴设EH=CH=2xcm，则BH=6−2xcm∴ET=E∴S重叠=−2=−23∵−23∴当x=32时，S重叠（3）解：AE=BF，理由如下：如图所示，过点B作BM⊥AC于M，过点E作EN⊥DF于N，连接BE，∵△ABC，△DEF都是边长为∴AM=FN=12DF=12∴由勾股定理可得NE=EF2∴EN=BM，又∵BE=BE，∴Rt△NBE≌∴NB=ME，∴FN+BN=AM+ME，即AE=BF．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，等边三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键．23．（2022·江苏镇江·中考真题）如图1是一张圆凳的造型，已知这张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm，高为42.9cm．它被平行于上、下底面的平面所截得的横截面都是圆．小明画出了它的主视图，是由上、下底面圆的直径AB、CD以及AC、BD组成的轴对称图形，直线l为对称轴，点M、N分别是AC、BD的中点，如图2，他又画出了AC所在的扇形并度量出扇形的圆心角∠AEC=66°，发现并证明了点E在MN上．请你继续完成参考数据：sin66°≈910，cos66°≈25，tan66°≈【答案】42cm【分析】连接AC，交MN于点H．设直线l交MN于点Q，根据圆周角定理可得∠AEM=33°，解Rt△AEH，得出1320【详解】解：连接AC，交MN于点H．设直线l交MN于点Q．∵M是AC的中点，点E在MN上，∴∠AEM=∠CEM=1在△AEC中，∵EA=EC，∠AEH=∠CEH，∴EH⊥AC，AH=CH．∵直线l是对称轴，∴AB⊥l，CD⊥l，MN⊥l，∴AB∥∴AC⊥AB．∴AC=42.9，AH=CH=429在Rt△AEH中，sin∠AEH=即1120则AE=39．∵tan∠AEH=即1320则EH=33．∴MH=6．∵该图形为轴对称图形，张圆凳的上、下底面圆的直径都是30cm∴HQ=1∴MQ=MH+HQ=6+15=21．∴MN=42cm【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，解直角三角形的实际应用，构造直角三角形是解题的关键．24．（2024·山西·中考真题）阅读与思考下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务．关于“等边半正多边形”的研究报告博学小组研究对象：等边半正多边形研究思路：类比三角形、四边形，按“概念﹣性质﹣判定”的路径，由一般到特殊进行研究．研究方法：观察（测量、实验）﹣猜想﹣推理证明研究内容：【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其各边都相等，且相间的角相等、相邻的角不相等，我们称这个凸多边形为等边半正多边形．如图1，我们学习过的菱形（正方形除外）就是等边半正四边形，类似地，还有等边半正六边形、等边半正八边形…【特例研究】根据等边半正多边形的定义，对等边半正六边形研究如下：概念理解：如图2，如果六边形ABCDEF是等边半正六边形，那么AB=BC=CD=DE=EF=FA，∠A=∠C=∠E，∠B=∠D=∠F，且∠A≠∠B．性质探索：根据定义，探索等边半正六边形的性质，得到如下结论：内角：等边半正六边形相邻两个内角的和为▲°．对角线：…任务：(1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：．(2)如图3，六边形ABCDEF是等边半正六边形．连接对角线AD，猜想∠BAD与∠FAD的数量关系，并说明理由；(3)如图4，已知△ACE是正三角形，⊙O是它的外接圆．请在图4中作一个等边半正六边形ABCDEF（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）．【答案】(1)240(2)∠BAD=∠FAD，理由见解析(3)见解析【分析】本题主要考查圆综