中考数学总复习提升专项知识二次根式(讲义2考点+2命题点12种题型(含6种解题技巧))含答案及解析

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第一章数与式第04讲二次根式（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一二次根式的相关概念考点二二次根式的性质与化简考点三二次根式的运算04题型精研·考向洞悉命题点一二次根式的性质与化简►题型01二次根式有意义的条件►题型02与二次根式有关的开放性试题►题型03利用二次根式的性质化简►题型04二次根式与数轴命题点二二次根式的运算►题型01应用乘法公式求二次根式的值►题型02最简二次公式的判断►题型03分母有理化►题型04二次根式的混合运算►题型05二次根式估值►题型06与二次根式有关的新定义问题►题型07与二次根式有关的规律探究►题型08二次根式的应用试卷第=page11页，共=sectionpages33页01考情透视·目标中考考点考查频率新课标要求二次根式的相关概念★★了解二次根式、最简二次根式的概念二次根式的性质★★掌握二次根式的性质二次根式的运算★★了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.02知识导图·思03考点突破·考考点一二次根式的相关概念1.二次根式二次根式的定义：一般地，我们把形如a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．【易错易混】1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4，-9都是二次根式；3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0；4)在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了𝑎≥0.2.二次根式有意义的条件1）单个二次根式，如a有意义的条件是𝑎≥0；2）二次根式作为分母时，如1a有意义的条件是𝑎>03）二次根式与分式相加，如a+1b有意义的条件是𝑎≥0且b＞1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+22．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4−3x有意义的整数xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个考点二二次根式的性质与化简二次根式的性质1）式子a（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（a≥0），所以2）a23），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.二次根式的化简二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．，【易错易混】1.在使用ab=a•b（a≥02.在使用ab=ab（a≥0，b＞1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算92−62A．3 B．6 C．35 D．2．（2024·四川乐山·中考真题）已知1<x<2，化简x−12+x−2A．−1 B．1 C．2x−3 D．3−2x3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−2k−2x+kA．−1 B．1 C．−1−2k D．2k−34．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/A．0.4×102mC．4×102ms5．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m=．考点三二次根式的运算1.二次根式的乘法乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：2.二次根式的除法除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：3.最简二次根式定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.4.二次根式的加减同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.5.二次根式的混合运算内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.易错易混1）结果要化为最简二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.6.分母有理化分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a4题型精研·考1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A．2+3=C．2÷2=1 2.（2024·重庆·中考真题）估计122A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间3．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a⋅b=A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥04．（2023·山东潍坊·中考真题）从−2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷5．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+命题点一二次根式的性质与化简►题型01二次根式有意义的条件1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（

）A．

B．

C．

D．

2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<23．（2024·上海·中考真题）已知2x−1=1，则x=4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=1x−1+1x−2QUOTEQUOTEQUOTE►题型02与二次根式有关的开放性试题1．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4−3x有意义的整数xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个2．（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是．3．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使x−3在实数的范围内没有意义的x值是．4．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m=．►题型03利用二次根式的性质化简1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．1．（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式−32的结果等于2．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（

）．①|2023|=2023；②20230=1；③2023−1A．4 B．3 C．2 D．13．（2023·四川凉山·中考真题）计算(π−3.14)0+4．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2aQUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04二次根式与数轴1．（2023·内蒙古·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m−2)2=2．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则(a−b)2−b−a−2A．2 B．2a−2 C．2−2b D．-23．（2024武威四中二模）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则a−42A．7 B．−7 C．15−2a D．2a−154．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−1命题点二二次根式的运算►题型01应用乘法公式求二次根式的值1）2）1．（2024·天津·中考真题）计算(11−1)(112．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2+x−yx+y−5x3．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：x−2y2+x5y−x−4y4．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2则S==(2a+=b+2a例如：当a=1，b=3时，S根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3−S(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出(3)当a=1，b=3时，令t1=S2−S1，t2=►题型02最简二次公式的判断最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.[补充]①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等；②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等.1．（2021·湖南益阳·中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（

A．452 B．902 C．9102．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．19 B．4 C．a2 3．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（

）A．12 B．13 C．144．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2QUOTE►题型03分母有理化【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a1．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：1+2x+1⋅2．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：2x2−43．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式xx2+2x+1►题型04二次根式的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用；2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.二次根式运算时的注意事项：1）结果要化为最简二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.1．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：27÷2．（2023·四川内江·中考真题）计算：(−1)3．（2024·上海·中考真题）计算：|1−34．（2024·四川凉山·中考真题）计算：13►题型05二次根式估值1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）关于28，下列说法不正确的是（

）A．是无理数 B．能与7合并C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示28的点2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为2cm、5cm，设其面积为Scm2，则A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和53．（2024·河北石家庄·三模）计算2(6−2)4．（2023·湖北荆州·中考真题）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．55．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2aQUOTE►题型06与二次根式有关的新定义问题1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ，A．6+24 B．6−242．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=a+ba−b3．（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n−mn−3n（1）求−2※（2）若3※m≥−6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．4．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积qq=mn（1）举例验证：当m=4,n=5,则q+n=4×5+5=25=（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设m<n，m、n是连续的正整数，∴n=m+1；∵q=mn，∴q+n=mn+n=nm+1∴q+n一定是正数n的平方数．【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你举例验证及推理证明；【深入思考】若p=q+2n+q−2m（m，n为两个连续奇数，0<m<n,q=mn),►题型07与二次根式有关的规律探究1．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数2,2,则第八行左起第1个数是（

）A．72 B．82 C．58 2．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：S1=1+11请利用你所发现的规律，计算：S1+3．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为4．（2022·四川达州·中考真题）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记5．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n>k≥3，d>0），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销售员的操作方法进行评价．►题型08二次根式的应用1．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：6+3=3，6+6+3=3，6+6+6+3=3，…，6+6+6+⋯+6+6+3=3n个根号，一般地，对于正整数a，b，如果满足b+b+b+⋯+b+b+a=an个根号时，称A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2024·山东菏泽·一模）已知a为整数，将其除以4所得的商记为n，余数记为kk≤3，即a=4n+k（n是整数），我们称a属于数组k，记作a∈k，则下列说法正确的是①−3∈3②若a为4的倍数，则点An,a到点B17,0的距离的最小值为③所有整数组成的数组n=④若a−b∈0，则a，b3．（2024·江苏南京·二模）n（n为正整数）的近似值可以这样估算：n≈n+m2m，其中m是最接近n的完全平方数．例如：(1)按照以上方法，估计43的近似值（精确到0.1）；(2)结合图中思路，解释该方法的合理性．4．（2024·广东中山·三模）下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成任务．用均值不等式求最值若实数a>0，b>0，则有a+b2≥ab证明：∵a>0，∴∴a−2∴a+b≥2∴由上可知，①当a+b为定值的时候，ab有最大值；②当ab为定值的时候，有a+b最小值．所以，利用均值不等式可以求一些函数的最值．例：已知x>0，求函数y=x+1解：∵x>0∴∴y=x+1x≥2x⋅1∴当即x=1时，函数y=x+1任务：(1)若x>0，则当x=_____时，代数式3x+12(2)已知若x>2，函数y=x+9x−2，试说明当x取何值时，y取得最小值，并求出(3)如图，已知点P是反比例函数y=3xx>0图象上一动点，点A

第一章数与式第04讲二次根式（思维导图+2考点+2命题点12种题型（含6种解题技巧））TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一二次根式的相关概念考点二二次根式的性质与化简考点三二次根式的运算04题型精研·考向洞悉命题点一二次根式的性质与化简►题型01二次根式有意义的条件►题型02与二次根式有关的开放性试题►题型03利用二次根式的性质化简►题型04二次根式与数轴命题点二二次根式的运算►题型01应用乘法公式求二次根式的值►题型02最简二次公式的判断►题型03分母有理化►题型04二次根式的混合运算►题型05二次根式估值►题型06与二次根式有关的新定义问题►题型07与二次根式有关的规律探究►题型08二次根式的应用01考情透视·目标中考考点考查频率新课标要求二次根式的相关概念★★了解二次根式、最简二次根式的概念二次根式的性质★★掌握二次根式的性质二次根式的运算★★了解二次根式(根号下仅限于数)加，减、乘、除运算法则,会用它们进行简单的四则运算【考情分析】中考中，对二次根式的考察主要集中在对其取值范围、化简计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察.此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题.02知识导图·思03考点突破·考考点一二次根式的相关概念1.二次根式二次根式的定义：一般地，我们把形如a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号，a叫做被开方数．【易错易混】1）二次根式的两个要素（判断依据）：含有二次根号“”，且根指数为2；被开方数为非负数；2）二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：4，-9都是二次根式；3)二次根式的被开方数a可以是一个数，也可以是一个式子，但都要满足𝑎≥0；4)在具体问题中，如果已知a是二次根式，相当于给出了𝑎≥0.2.二次根式有意义的条件1）单个二次根式，如a有意义的条件是𝑎≥0；2）二次根式作为分母时，如1a有意义的条件是𝑎>03）二次根式与分式相加，如a+1b有意义的条件是𝑎≥0且b＞1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=13+x+1x+2【答案】x>−3且x≠−2【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件列出不等式组解答即可求解，掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，3+x>0x+2≠0解得x>−3且x≠−2，故答案为：x>−3且x≠−2．2．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4−3x有意义的整数xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．【详解】解：根据题意可得：x+3>0，4−3x≥0解得−3<x≤4∴使代数式有意义的整数有−2，−1，0，1．共有4个．故选：B．【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单．考点二二次根式的性质与化简二次根式的性质1）式子a（𝑎≥0）既表示二次根式，又表示非负数a的算术平方根（a≥0），所以2）a23），即一个数平方的算术平方根等于它本身的绝对值.二次根式的化简二次根式的化简：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．，【易错易混】1.在使用ab=a•b（a≥02.在使用ab=ab（a≥0，b＞1．（2024·内蒙古包头·中考真题）计算92−6A．3 B．6 C．35 D．【答案】C【分析】本题考查化简二次根式，根据二次根式的性质，化简即可．【详解】解：92故选C．2．（2024·四川乐山·中考真题）已知1<x<2，化简x−12+x−2A．−1 B．1 C．2x−3 D．3−2x【答案】B【分析】本题考查了二次根式的性质，去绝对值，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据a2=a【详解】解：x−12∵1<x<2，∴x−1>0,x−2<0，∴x−1+∴x−12故选：B．3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x的方程x2−2k−2x+kA．−1 B．1 C．−1−2k D．2k−3【答案】A【分析】首先根据关于x的方程x2−2k−2x+k2−1=0【详解】解：∵关于x的方程x2∴判别式△=−整理得：−8k+8≥0，∴k≤1，∴k−1≤0，2−k>0，∴(k−1)=−=−1．故选：A．【点睛】此题主要考查了一元二次方程根的判别式，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质，理解一元二次方程根的判别式是解答此题的关键．4．（2022·山东聊城·中考真题）射击时，子弹射出枪口时的速度可用公式v=2as进行计算，其中a为子弹的加速度，s为枪筒的长．如果a=5×105m/A．0.4×102mC．4×102ms【答案】D【分析】把a＝5×105m/s2，s＝0.64m代入公式v=2as【详解】解：v=2as故选：D．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．5．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m=．【答案】8【分析】要使8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可【详解】解：∵8m是整数，∴8m要是完全平方数，∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即8m=故答案为：8（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．考点三二次根式的运算1.二次根式的乘法乘法法则：两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即：2.二次根式的除法除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即：3.最简二次根式定义：1）被开方数不含分母；2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，把满足上述两个条件的二次根数，叫做最简二次根式.例：都是最简二次根式.最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.4.二次根式的加减同类二次根式：把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式.【补充】几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：2、8、12二次根式的加减：一般地，二次根式加减时，先把各个二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.【口诀】一化、二找、三合并.5.二次根式的混合运算内容：二次根式的混合运算指的是二次根式的加、减、乘、除、乘方的混合运算.运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.易错易混1）结果要化为最简二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.6.分母有理化分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程.【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a4题型精研·考1．（2024·山东济宁·中考真题）下列运算正确的是（

）A．2+3=C．2÷2=1 【答案】B【分析】此题考查二次根式的运算法则，根据二次根式的加法法则对A进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．【详解】A.2与B.2×C.2÷2D.(−5)2故选：B．2.（2024·重庆·中考真题）估计122A．8和9之间 B．9和10之间 C．10和11之间 D．11和12之间【答案】C【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，无理数的估算，先计算二次根式的乘法运算，再估算即可．【详解】解：∵122而4<24∴10<26故答案为：C3．（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有a⋅b=A．a>0,b>0 B．a<0,b<0 C．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0【答案】D【分析】根据二次根式有意义的条件得出不等式组，再解不等式组即可得出结果．【详解】解：根据二次根式有意义的条件，得a≥0b≥0∴a≥0,b≥0，故选：D．【点睛】二次根式有意义的条件，及解不等式组，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是本题的关键．4．（2023·山东潍坊·中考真题）从−2、3，6中任意选择两个数，分别填在算式□+○2÷【答案】522−23（或【分析】先利用完全平方公式计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可得．【详解】解：①选择−2和3则−==5÷=5②选择−2和6则−==8÷=42③选择3和6，则3==9÷=9故答案为：522−23（或【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．5．（2024·四川遂宁·中考真题）计算：sin45°+【答案】2024【分析】此题主要考查了实数运算及二次根式的运算，直接利用负整数指数幂的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根分别化简得出答案，正确化简各数是解题关键．【详解】解：sin==2024．命题点一二次根式的性质与化简►题型01二次根式有意义的条件1）如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数．2）如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．1．（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式1−x在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】根据被开方数大于等于0列不等式计算即可得到x的取值范围，然后在数轴上表示即可得解．【详解】解：根据题意得，1−x≥0，解得x≤1，在数轴上表示如下：

故选：C．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，理解二次根式有意义的条件是解题关键．2．（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x≤2 B．x>2 C．x≥2 D．x<2【答案】B【分析】根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．【详解】解：由题意可得x−2>0，解得：x>2，故选：B．【点睛】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．3．（2024·上海·中考真题）已知2x−1=1，则x=【答案】1【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．由二次根式被开方数大于0可知2x−1>0，则可得出2x−1=1，求出x即可．【详解】解：根据题意可知：2x−1>0，∴2x−1=1，解得：x=1，故答案为：1．4．（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y=1x−1+1x−2【答案】x>1且x≠2【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件得出x−1>0,x−2≠0，即可求解．【详解】解：依题意，x−1>0,x−2≠0∴x>1且x≠2，故答案为：x>1且x≠2．【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，熟练掌握分式有意义的条件，二次根式有意义的条件是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTE►题型02与二次根式有关的开放性试题1．（2023·四川绵阳·中考真题）使代数式1x+3+4−3x有意义的整数xA．5个 B．4个 C．3个 D．2个【答案】B【分析】根据组合代数式有意义的条件，分别根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，列不等式求解即可．【详解】解：根据题意可得：x+3>0，4−3x≥0解得−3<x≤4∴使代数式有意义的整数有−2，−1，0，1．共有4个．故选：B．【点睛】此题主要考查了代数式有意义的条件，关键是利用分式的分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，列不等式（组）求解，是常考题型，比较简单．2．（2022·四川南充·中考真题）若8−x为整数，x为正整数，则x的值是．【答案】4或7或8【分析】根据根号下的数大于等于0和x为正整数，可得x可以取1、2、3、4、5、6、7、8，再根据8−x为整数即可得x的值．【详解】解：∵8−x≥0∴x≤8∵x为正整数∴x可以为1、2、3、4、5、6、7、8∵8−x为整数∴x为4或7或8故答案为：4或7或8．【点睛】本题考查了利用二次根式的性质化简、解一元一次不等式等知识点，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．3．（2023·湖南永州·中考真题）已知x为正整数，写出一个使x−3在实数的范围内没有意义的x值是．【答案】1（答案不唯一）【分析】根据二次根式有意义的条件，可得当x−3<0时，x−3没有意义，解不等式，即可解答．【详解】解：当x−3<0时，x−3没有意义，解得x<3，∵x为正整数，∴x可取1，2，故答案为：1．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟知根号下的式子小于零时，二次根式无意义，是解题的关键．4．（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m的值使得8m是整数；m=．【答案】8【分析】要使8m是整数，则8m要是完全平方数，据此求解即可【详解】解：∵8m是整数，∴8m要是完全平方数，∴正整数m的值可以为8，即8m=64，即8m=故答案为：8（答案不唯一）．【点睛】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解题意得到8m要是完全平方数是解题的关键．►题型03利用二次根式的性质化简1）利用二次根式性质化简时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简．2）化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．1．（2020·湖北武汉·中考真题）化简二次根式−32的结果等于【答案】3【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据a2【详解】解：−32故答案为：3．2．（2023·湖北宜昌·中考真题）下列运算正确的个数是（

）．①|2023|=2023；②20230=1；③2023−1A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【分析】根据a=aa>00a=0−aa<0【详解】解：①∵2023>0，∴2023②∵2023≠0，∴20230③2023−1④20232∴正确的个数是4个．故选：A．【点睛】本题考查了实数的运算，掌握相关的公式是解题的关键．3．（2023·四川凉山·中考真题）计算(π−3.14)0+【答案】2【分析】根据零指数幂、二次根式的性质进行计算即可．【详解】(π−3.14)=1+=2故答案为：2．【点睛】本题考查了实数的混合运算，二次根式的性质等知识，掌握任何一个不为零的数的零次幂都是1是解题的关键．4．（2022·四川宜宾·中考真题）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边a、b、c求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为S=14c2a【答案】3【分析】根据周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，求得a=8,b=6,c=4，代入公式即可求解．【详解】解：∵周长为18的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，设a=4k,b=3k,c=2k∴4k+3k+2k=18解得k=2∴a=8,b=6,c=4∴S=====3故答案为：3【点睛】本题考查了化简二次根式，正确的计算是解题的关键．QUOTEQUOTEQUOTEQUOTEQUOTE►题型04二次根式与数轴1．（2023·内蒙古·中考真题）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：(m−2)2=【答案】2−m/−m+2【分析】利用二次根式的性质和绝对值的性质，即可求解．【详解】由数轴位置可知1<m<2，∴(m−2)【点睛】本题考查二次根式化简运算，掌握二次根式的性质a22．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）实数a,b在数轴上的对应位置如图所示，则(a−b)2−b−a−2A．2 B．2a−2 C．2−2b D．-2【答案】A【分析】本题考查了实数与数轴的关系，二次根式的性质和绝对值的化简法则，根据数轴可得3<a<−2，0<b<1，，再利用二次根式的性质和绝对值的化简法则，化简计算即可．【详解】解∶由数轴知∶3<a<−2，0<b<1，∴a−b<0，∴(a−b)==−=−a+b−b+a+2=2，故选：A．3．（2024武威四中二模）实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，则a−42A．7 B．−7 C．15−2a D．2a−15【答案】D【分析】由数轴可知，5＜a＜10，可得【详解】由数轴可知，5∴a−4＞0∴a−4=a−4−=a−4−11+a=2a−15故选：D．【点睛】本题考查实数与数轴，熟练掌握数轴上点的特征，二次根式的性质是解题的关键．4．（2022·四川遂宁·中考真题）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简a+1−b−1【答案】2【分析】利用数轴可得出−1<a<0，【详解】解：由数轴可得：−1<a<0，则a+1>0,b−1>0,a−b<0∴a+1=|a+1|−|b−1|+|a−b|=a+1−(b−1)−(a−b)=a+1−b+1−a+b=2．故答案为：2．【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确得出a，b的取值范围是解题关键．命题点二二次根式的运算►题型01应用乘法公式求二次根式的值1）2）1．（2024·天津·中考真题）计算(11−1)(11【答案】10【分析】利用平方差公式计算后再加减即可．【详解】解：原式=11−1=10．故答案为：10．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则及平方差公式是解题的关键．2．（2023·内蒙古·中考真题）先化简，再求值：(2x+y)2+x−yx+y−5x【答案】9xy，45【分析】先按照完全平方公式、平方差公式、多项式乘以多项式计算整式的乘法，再合并同类项即可．【详解】原式=4=9xy．当x=6−1，原式=96【点睛】本题考查的是整式的化简求值，同时考查了二次根式的混合运算，掌握完全平方公式与平方差公式进行简便运算是解题的关键．3．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：x−2y2+x5y−x−4y【答案】xy；1【分析】直接利用整式的混合运算法则化简进而合并得出答案．【详解】原式==xy,当x=5原式=xy=5【点睛】此题主要考查了整式的混合运算二次根式的运算，正确合并同类项是解题关键．4．（2023·湖南张家界·中考真题）阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2则S==(2a+=b+2a例如：当a=1，b=3时，S根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3−S(2)当a=1，b=3时，把边长为a+nb的正方形面积记作Sn+1，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出(3)当a=1，b=3时，令t1=S2−S1，t2=【答案】(1)9+23，(2)猜想结论：Sn+1(3)7500+100【分析】（1）根据题意，直接代入然后利用完全平方公式展开合并求解即可；（2）根据题意得出猜想，然后由完全平方公式展开证明即可；（3）结合题意利用（2）中结论求解即可．【详解】（1）解：S===2a当a=1，b=3时，原式=23S===2a当a=1，b=3时，原式=23（2）猜想结论：S证明：S==3(2n−1)+2=6n−3+23（3）T=====7500+1003【点睛】题目主要考查利用完全平方公式进行计算，理解题意，得出相应规律是解题关键．►题型02最简二次公式的判断最简二次根式必须同时满足以下两个条件：①开方数所含因数是整数或字母，因式是整式（分母中不应含有根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数的因数或因式的指数都为1.[补充]①不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有2,3,5，a（a≥0），x+y等；②含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有等.1．（2021·湖南益阳·中考真题）将452化为最简二次根式，其结果是（

A．452 B．902 C．910【答案】D【分析】根据二次根式的化简方法即可得．【详解】解：原式=9×5×2=3故选：D．【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握化简方法是解题关键．2．（2021·广西桂林·中考真题）下列根式中，是最简二次根式的是（）A．19 B．4 C．a2 【答案】D【分析】要选择属于最简二次根式的答案，就是要求知道什么是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．由被选答案可以用排除法可以得出正确答案．【详解】A、19B、4=C、a2D、符合最简二次根式的定义，是最简二次根式，故本选项正确．故选：D．【点睛】本题考查了满足是最简二次根式的两个条件：1、被开方数是整数或整式；2、被开方数不能再开方．3．（2021·上海·中考真题）下列实数中，有理数是（

）A．12 B．13 C．14【答案】C【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】解：A、12=22∵B、13=33∵C、14D、15=55∵故选：C【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键4．（2022·广西桂林·中考真题）化简12的结果是（

）A．23 B．3 C．22 D．2【答案】A【分析】将被开方数12写成平方数4与3的乘积，再将4开出来为2，易知化简结果为23．【详解】解：12=4×3=故选：A．【点睛】本题考查了二次根式的化简，关键在于被开方数要写成平方数乘积的形式再进行化简．QUOTE►题型03分母有理化【分母有理化方法】1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分.即：12）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分.即：1a1．（2024·江苏宿迁·中考真题）先化简再求值：1+2x+1⋅【答案】1x−3，【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先对括号里面的通分，再利用平方差公式展开，最后约分，然后再代入x的值代入计算，并利用二次根式的性质化简．【详解】解：1+====1当x=3+3时，原式2．（2023·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：2x2−4【答案】−1x+2【分析】先把括号内的分式进行通分，再将除法变为乘法化简，最后代入x的值计算即可．【详解】解：原式====−当x=5原式=−1【点睛】本题考查了分式的化简求值和二次根式的混合运算，正确化简分式是解题的关键．3．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式xx2+2x+1【答案】2x+1，【分析】先根据分式混合运算法则代简，再将x=2cos【详解】解：x====2当x=2cos原式=2【点睛】本题考查分式化简求值，特殊角的三角函数值，分母有理化，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．►题型04二次根式的混合运算运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号要先算括号里面的.【补充】1）在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用；2）在二次根式混合运算中，要结合题目特点，灵活运用二次根式的性质.二次根式运算时的注意事项：1）结果要化为最简二次根式或整式；2）如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件.1．（2023·甘肃武威·中考真题）计算：27÷【答案】6【分析】利用二次根式的混合运算法则计算即可．【详解】解：27=3=12=62【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解答本题的关键．2．（2023·四川内江·中考真题）计算：(−1)【答案】4【分析】根据有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂结合二次根式的混合运算法则进行计算即可．【详解】解：(−1)=−1+4+3×=−1+4+=4．【点睛】本题考查了有理数乘方、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂以及二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解本题的关键．3．（2024·上海·中考真题）计算：|1−3【答案】2【分析】本题考查了绝对值，二次根式，零指数幂等，掌握化简法则是解题的关键．先化简绝对值，二次根式，零指数幂，再根据实数的运算法则进行计算．【详解】解：|1−===264．（2024·四川凉山·中考真题）计算：13【答案】2【分析】本题考查了实数的混合运算．分别进行零指数幂、负整数指数幂、二次根式及绝对值的运算，然后代入特殊角的三角函数值代入运算即可．【详解】解：1====2．►题型05二次根式估值1．（23-24八年级下·山西吕梁·阶段练习）关于28，下列说法不正确的是（

）A．是无理数 B．能与7合并C．整数部分是4 D．一定能够在数轴上找到表示28的点【答案】C【分析】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键．【详解】解：A.28是无理数，说法正确，不符合题意；B.28=27，能与C.25<28<D.一定能够在数轴上找到表示28的点，说法正确，不符合题意；故选C．2．（2024·江苏盐城·中考真题）矩形相邻两边长分别为2cm、5cm，设其面积为Scm2，则A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【答案】C【分析】本题主要考查无理数的估算，二次根式的乘法，先计算出矩形的面积S，再利用放缩法估算无理数大小即可．【详解】解：S=2∵9<10<16，∴9<∴3<10即S在3和4之间，故选：C．3．（2024·河北石家庄·三模）计算2(6−2)【答案】23【分析】本题考查了二次根式的乘法、无理数的估算、实数与数轴，先根据二次根式的乘法求出式子的值，再估算出3<23<4，从而得出【详解】解：26∵9<12<16，∴9<12<∴3−2<23−2<4−2，即故答案为：234．（2023·湖北荆州·中考真题）已知k=25+A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算进行计算，进而估算无理数的大小即可求解．【详解】解：k=25∵2.52=∴52∴与k最接近的整数为3，故选：B．【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．5．（2022·湖北荆州·中考真题）若3−2的整数部分为a，小数部分为b，则代数式2+2a【答案】2【分析】先由1<2<2得到1<3−2<2，进而得出a和【详解】解：∵1<2∴1<3−2∵3−2的整数部分为a，小数部分为b∴a=1，b=3−2∴2+2故答案为：2．【点睛】本题主要考查无理数及代数式化简求值，解决本题的关键是要熟练掌握无理数估算方法和无理数整数和小数部分的求解方法．QUOTE►题型06与二次根式有关的新定义问题1．（2023·湖南娄底·一模）定义一种运算：cosα+β=cosαcosβ−sinαsinβ，A．6+24 B．6−24【答案】B【分析】根据cosα+β=cos【详解】解：由题意可得，cos75°=cos=cos=3=6=6故选：B．【点睛】本题考查解直角三角形、二次根式的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答．2．（2020·青海·中考真题）对于任意不相等的两个数a，b，定义一种运算※如下：a※b=a+ba−b【答案】0.5/1【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，根据新定义结合二次根式的混合运算计算即可得出答案．【详解】解：∵a※∴12※故答案为：0.5．3．（2020·内蒙古通辽·中考真题）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定m※n=m2n−mn−3n（1）求−2※（2）若3※m≥−6，求m的取值范围，并在所给的数轴上表示出解集．【答案】(1)33；(2)m≥−2【分析】（1）根据新定义规定的运算法则列式，再由有理数的运算法则计算可得；（2）根据新定义列出关于x的不等式，解不等式即可得．【详解】解：（1）−2※3=4=3（2）∵3※m≥−6，∴3解得：m≥−2将解集表示在数轴上如下：【点睛】本题主要考查解一元一次不等式和二次根式的混合运算，解题的关键是根据新定义列出算式和一元一次不等式及解一元一次不等式的步骤4．（2024·广东·模拟预测）【代数推理】代数推理指从一定条件出发，依据代数的定义、公式、运算法则、等式的性质、不等式的性质等证明已知结果或结论．【发现问题】小明在计算时发现：对于任意两个连续的正整数m、n，它们的乘积qq=mn（1）举例验证：当m=4,n=5,则q+n=4×5+5=25=（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设m<n，m、n是连续的正整数，∴n=m+1；∵q=mn，∴q+n=mn+n=nm+1∴q+n一定是正数n的平方数．【类比猜想】小红同学提出：任意两个连续正整数的乘积与较小数的差是较小数的平方．请你举例验证及推理证明；【深入思考】若p=q+2n+q−2m（m，n为两个连续奇数，0<m<n,q=mn),【答案】见解析【分析】本题考查完全平方公式的应用，二次根式化简；类比猜想：参考发现问题的举例和推理过程计算即可；深入思考：由m，n为两个连续奇数，0<m<n，可得n=m+2，q=mn=m【详解】解：类比猜想：（1）举例验证：当m=4,n=5,则q−m=4×5−4=16=（2）推理证明：小明同学做了如下的证明：设m<n，m、n是连续的正整数，∴n=m+1；∵q=mn，∴q−m=mn−m=mn−1∴q−m一定是正数m的平方数．深入思考：∵m，n为两个连续奇数，0<m<n，∴n=m+2，∴q=mn=m∴p=m∴p一定是偶数．►题型07与二次根式有关的规律探究1．（2024·四川德阳·中考真题）将一组数2,2,则第八行左起第1个数是（

）A．72 B．82 C．58 【答案】C【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得．【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数，归纳类推得：第七行共有1+2+3+4+5+6+7=28个数，则第八行左起第1个数是2×29=故选：C．2．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式：S1=1+11请利用你所发现的规律，计算：S1+【答案】505051【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【详解】S=1+=50+(1−=5050故答案为：5050【点睛】本题考查数字变化规律，正确将原式变形是解题的关键．3．（2022·四川眉山·中考真题）将一组数2，2，6，22，…，42，2，6，2210，23，14…若2的位置记为(1,2)，14的位置记为(2,3)，则27的位置记为【答案】(4,2)【分析】先找出被开方数的规律，然后再求得27【详解】数字可以化成：2，4，6，8；10，12，14，16；∴规律为：被开数为从2开始的偶数，每一行4个数，∵27=∴27的位置记为故答案为：(4,2)【点睛】本题考查了类比点的坐标解决实际问题的能力和阅读理解能力．被开方数全部统一是关键．4．（2022·四川达州·中考真题）人们把5−12≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应用了黄金比．设a=5−12，b=5+12，记【答案】5050【分析】利用分式的加减法则分别可求S1=1，S2=2，S100=100，•••，利用规律求解即可．【详解】解：∵a=5−12∴ab=5∵SS2…，S∴S1+故答案为：5050【点睛】本题考查了分式的加减法，二次根式的混合运算，求得ab=1，找出的规律是本题的关键．5．（2024·江苏盐城·中考真题）发现问题小明买菠萝时发现，通常情况下，销售员都是先削去菠萝的皮，再斜着铲去菠萝的籽．提出问题销售员斜着铲去菠萝的籽，除了方便操作，是否还蕴含着什么数学道理呢？分析问题某菠萝可以近似看成圆柱体，若忽略籽的体积和铲去果肉的厚度与宽度，那么籽在侧面展开图上可以看成点，每个点表示不同的籽．该菠萝的籽在侧面展开图上呈交错规律排列，每行有n个籽，每列有k个籽，行上相邻两籽、列上相邻两籽的间距都为d（n，k均为正整数，n>k≥3，d>0），如图1所示．小明设计了如下三种铲籽方案．方案1：图2是横向铲籽示意图，每行铲的路径长为________，共铲________行，则铲除全部籽的路径总长为________；方案2：图3是纵向铲籽示意图，则铲除全部籽的路径总长为________；方案3：图4是销售员斜着铲籽示意图，写出该方案铲除全部籽的路径总长．解决问题在三个方案中，哪种方案铲籽路径总长最短？请写出比较过程，并对销