高一数学讲义（人教A版2019）34函数的应用（一）（五大题型）

3.4函数的应用（一）目录TOC\o"12"\h\z\u【题型归纳目录】 2【思维导图】 2【知识点梳理】 2【典型例题】 4题型一：一次函数模型 4题型二：二次函数模型 6题型三：分段函数模型 9题型四：幂函数模型 12题型五：耐克函数模型 17

【题型归纳目录】【思维导图】【知识点梳理】知识点一：一次函数模型的应用1、一次函数的一般形式：，其定义域是R，值域是R．知识点二：二次函数模型的应用1、二次函数的一般形式是其定义域为R．2、若，则二次函数在时有最小值；若，则二次函数在时有最大值．3、建立二次函数模型解应用题的步骤和建立一次函数模型解应用题的步骤一样：读题，解题，建模，解答．知识点三：解决实际应用问题1、解决实际应用问题的过程2、解决实际应用问题的步骤：第一步：阅读理解，认真审题读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，领悟从背景中概括出来的数学实质，尤其是理解叙述中的新名词、新概念，进而把握住新信息．第二步：引进数学符号，建立数学模型设自变量为x，函数为y，并用x表示各相关量，然后根据问题已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式，将实际问题转化为一个数学问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．第三步：利用数学的方法将得到的常规数学问题（即数学模型）予以解答，求得结果．第四步：再转译为具体问题作出解答．3、函数模型的综合应用函数的应用题是利用函数模型解决实际问题．在数学建模的过程中有若干个有着明显区别的处理阶段：第一阶段，对于面临的实际问题，我们首先需要认真审题，熟悉实际问题的背景知识，明确研究的对象和研究的目的．第二阶段，辩识并列出与问题有关的因素，明确模型中需要考虑的因素以及它们在问题中的作用，以变量和参数的形式表示这些因素．第三阶段，运用数学知识和数学上的技能技巧来描述问题中变量之间的关系，通常它可以用数学表达式来描述．第四阶段，利用数学知识将得到的数学模型予以解答，求出结果．第五阶段，解释数学模型的结果．根据实际问题建立函数解析式，然后利用求函数最值的方法解决最大、最省等问题．求函数最值的常用方法有：①配方法；②判别式法；③换元法；④数形结合法；⑤函数的单调性法等．【典型例题】题型一：一次函数模型【典例11】（2024·高一·全国·课后作业）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当[20,200]时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）可以达到最大？（

）A．60 B．100 C．200 D．600【答案】B【解析】当时，设，则，解得于是设车流量为q，则当时，,此时，函数在区间上是增函数，恒有；当时，，此时函数在区间上是增函数，在区间是减函数，因此恒有，等号成立当且仅当；综上所述，当时，函数取得最大值，即车流量最大，最大值约为3333辆．故选：B．【典例12】（2024·高二·福建·学业考试）某公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量成一次函数关系，其对应关系如图所示.由图示信息可知，月销售量为3百件时员工的月收入是（）A．2100元 B．2400元 C．2700元 D．3000元【答案】C【解析】设一次函数为：，将和代入得：，解得，故公司市场营销部员工的个人月收入与月销售量之间的函数关系为，令，可得元，故选：C【方法技巧与总结】关键是准确读取题中所给图象，从中提炼出一次函数模型以及一些关键点，并用待定系数法确定一次函数的解析式．【变式11】（2024·高一·全国·专题练习）某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如下图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是（

）A．310元 B．300元 C．290元 D．280元【答案】B【解析】根据图象关系求出函数解析式，计算当x＝0时，y＝300即可得解.设函数解析式为，函数图象过点(1，800)，(2，1300)，则解得所以，当x＝0时，y＝300.所以营销人员没有销售量时的收入是300元．答案：B【变式12】（2023·全国·高一专题练习）麻城市某社区为鼓励大家节约用电，与供电公司约定两种电费收取方案供用户选择：方案一：每户每月收取管理费元，月用电量不超过度时，每度元；超过度时，超过部分按每度元收取：方案二：不收取管理费，每度元．(1)彭湃家上月比较节约，只用了90度电，分别按照这两种方案，计算应缴多少电费？并比较那种方案更合适．(2)求方案一的收费元与用电量度间的函数关系．若徐格拉底家九月份按方案一缴费60元，问徐格拉底家该月用电多少度？(3)该月用电量在什么范围内，选择方案一比选择方案二好？【解析】（1）第一种方案：元，第二种方案：元，由，故应选择第一种方案．（2）当时，；当时，.综上，.当时，令，解得舍去．当时，令，解得．答：徐格拉底家该月用电度．（3）令，当时，令，即，解得，．当时，令，即，解得，．综上可得：．即该月用电量在度到度不含度与度范围内，选择方案一比选择方案二好．题型二：二次函数模型【典例21】（2024·高一·云南昆明·阶段练习）近几年来，“盲盒文化”广为流行，这种文化已经在中国落地生根，并发展处具有中国特色的盲盒经济，某盲盒生产及销售公司今年初用98万购进一批盲盒生产线，每年可有50万的总收入，已知生产此盲盒年（为正整数）所用的各种费用总计为万元.(1)该公司第几年首次盈利（总收入超过总支出，今年为第一年）？(2)该公司第几年年平均利润最大，最大是多少？【解析】（1）设利润为，则，由整理得，解得，由于，所以，所以第3年首次盈利.（2）首先，由（1）得平均利润万元，当且仅当，万元时等号成立，综上，第7年，平均利润最大，为12万元.【典例22】（2024·高一·福建福州·阶段练习）“金山银山不如绿水青山．”实行垃圾分类、保护生态环境人人有责．某企业新建了一座垃圾回收利用工厂，于今年年初用万元购进一台垃圾回收分类生产设备，并立即投入生产使用．该设备使用后，每年的总收入为50万元．若该设备使用年，则其所需维修保养费用年来的总和为万元，设该设备产生的盈利总额（纯利润）为万元．(1)写出与之间的函数关系式；并求该设备使用几年后，其盈利总额开始达到万元以上；(2)该设备使用几年后，其年平均盈利额达到最大?最大值是多少?（）【解析】（1）依题意，，由，得，即，解得，所以使用年后，盈利总额开始达到万元以上.（2）平均盈利额，当且仅当时等号成立，所以使用年后，其年平均盈利额达到最大，最大值为万元.【方法技巧与总结】建立目标函数及求最值的方法，配方法是求二次函数最值的常用方法．【变式21】（2024·高一·河南郑州·阶段练习）夏秋交替时节，某商家为了尽快清仓销货，决定对短袖衬衫A进行打折处理．经过市场调查发现，每个月A的销量（单位:件）与折扣（单位:折）之间的关系近似满足一次函数．已知的成本价为50元/件，原售价为100元/件，设A每月的总利润为（单位:元）．(1)求的最大值;(2)该商家将与A相同成本价的短袖恤按60元/件销售，若每销售1件可销售1件，要求A与的总利润不低于3000元，求A售价的最小值．【解析】（1）由题意得，每件短袖补衫A的利润为（元），所以，当时，取到最大值，最大值为2450元．（2）设A与的总利润为（单位：元），则，得，得．故打七折时，A售价最小，A售价的最小值为元/件．【变式22】（2024·高一·广西玉林·开学考试）一家图文广告公司制作的宣传画板颇受商家欢迎，这种画板的厚度忽略不计，形状均为正方形，边长在之间.每张画板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：）成正比例，每张画板的出售价（单位：元）是画板的边长的一次函数.在营销过程中得到了表格中的数据.画板的边长810出售价（元/张）148160(1)求一张画板的出售价与边长之间满足的函数关系式；(2)已知出售一张边长为画板，获得的利润为130元（利润出售价成本价），①求一张画板的利润与边长之间满足的函数关系式；②当边长为多少时，出售一张画板所获得的利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）设正方形画板的边长为，出售价为每张y元，且由表格中的数据可得，，解得从而一张画板的出售价y与边长x之间满足函数关系式；（2）①设每张画板的成本价为，利润为w元，则当时，，∴，解得，∴一张画板的利润w与边长x之间满足函数关系式；②由，知当时，w有最大值，w最大值为154，因此当正方形画板的边长为时，可获最大利润154元．题型三：分段函数模型【典例31】（2024·海南·模拟预测）某饮料公司推出了一种时尚运动功能饮料，一上市就受到年轻人的喜爱，该公司统计了该饮料一年中每个月份的盈利情况，得到月利润万元与销售月份之间的关系为.(1)求一年中最高月利润及对应的月份；(2)求该饮料月利润超过3万元的月份.【解析】（1）当时，令，则，且，则，因，故时，即时，取得最大值3；

当时，因，故时，取得最大值7.综上，第8个月的月利润最大，为7万元.（2）由（1）可知前5个月中，最大月利润为第3个月的3万元，故超过3万元的月份只可能在后面的7个月里，即，由可得，，解得.又，所以，故月利润超过3万元的月份有第6，7，8，9，10月.【典例32】（2024·高一·吉林松原·阶段练习）某公司为了推广某款新产品，计划投资15万元用于这款新产品的宣传.每生产万件该产品，需另投入成本万元，且.已知该公司这款新产品每件的售价为14元，且生产的所有产品都能销售完.(1)求该公司这款产品的利润（单位：万元）关于产量（单位：万件）的函数关系式.(2)当产量为多少万件时，该公司这款产品的利润最大？最大利润是多少？【解析】（1）当时，；当时，.所以.（2）当时，，则当产量为9万件时，利润达到最大值12万元；当时，，当且仅当，即时取等号，则当产量为16万件时，利润达到最大值13万元，而，所以当产量为16万件时，该公司这款产品的利润最大，最大利润是13万元.【方法技巧与总结】分段函数的性质应分段研究，分段函数的最大值是各段函数值的最大者．分段函数应用题是高考命题的热点．【变式31】（2024·高一·陕西·期中）某厂每年生产某种产品万件，其成本包含固定成本和浮动成本两部分.已知每年固定成本为10万元，浮动成本若每万件该产品销售价格为40万元，且每年该产品产销平衡.(1)设年利润为（万元），试求与的关系式;(2)年产量为多少万件时，该厂所获利润最大?并求出最大利润.【解析】（1）（2）当时，，当时，，故当时，取得最大值90.当年产量为10万件时，该厂所获利润最大，最大利润为90万元.【变式32】（2024·高一·安徽芜湖·开学考试）某大学毕业生团队主动创业，计划销售轻食，每个月的店租和水电等成本为2万元，且每销售1份轻食，成本为5元.已知该团队轻食的月销售量为万份，该团队每个月保底能够销售5000份轻食，且当时，月销售收入为万元；当时，月销售收入为万元.(1)求该团队的月销售利润（万元）与月销售量为x（万份）之间的函数解析式；(2)当月销售量为何值时，该团队的月销售利润最小？最小利润为多少万元？【解析】（1）由题意，当时，，当时，.∴；（2）当时，，当且仅当，即时取等，当时，，因此，当月销售量为万份时，该团队的月销售利润最小，为万元.【变式33】（2024·高一·全国·课堂例题）某企业承接了某玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元．每生产x万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时，；当产量大于50万盒时，，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完．（利润＝销售总价成本总价，销售总价＝销售单价×销售量，成本总价＝固定成本＋生产中投入成本）求玩具手办的销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式．【解析】当产量小于或等于50万盒时，，当产量大于50万盒时，，故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为,【变式34】（2024·高一·江苏常州·阶段练习）常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备.生产此设备的年固定成本为280万元，且每生产台需要另投入成本（万元），当年产量不足40台时，（万元）；当年产量不少于40台时（万元）.经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为60万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完.(1)分别求年产量不足40台和年产量不少于40台时，年利润（万元）关于年产量（台）的函数关系式；(2)年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？【解析】（1）由题意，当时，，当时，，综上所得，年利润关于年产量的函数关系式为.（2）当时，，当时，，当时，当且仅当时，即时，上式取等号，即，综上，即当年生产58（台）时，该企业年利润的最大值为892万元.题型四：幂函数模型【典例41】（2024·高一·上海·课堂例题）在固定压力差（压力差为常数）的前提下，当气体通过圆形管道时，其速率（单位：）与管道半径（单位：cm）的四次方成正比．若在半径为的管道中，某气体的速率为，求该气体通过半径为的管道时的速率．（结果精确到）【解析】由题意可知，，，则，即，当时，.所以气体通过半径为的管道时的速率为.【典例42】（2024·高一·全国·课后作业）“垃圾分一分，环境美十分”．某校为积极响应有关垃圾分类的号召，从百货商场购进了A，B两种品牌的垃圾桶作为可回收垃圾桶和其他垃圾桶．已知B品牌垃圾桶比A品牌垃圾桶每个贵50元，用4000元购买A品牌垃圾桶的数量是用3000元购买B品牌垃圾桶数量的2倍．(1)求购买一个A品牌、一个B品牌的垃圾桶各需多少元？(2)若该中学决定再次准备用不超过6000元购进A，B两种品牌垃圾桶共50个，恰逢百货商场对两种品牌垃圾桶的售价进行调整：A品牌按第一次购买时售价的九折出售，B品牌比第一次购买时售价提高了20%，那么该学校此次最多可购买多少个B品牌垃圾桶？【解析】（1）设购买一个A品牌垃圾桶需x元，则购买一个B品牌垃圾桶需(x+50)元，依题意，得：，解得：x＝100，经检验x＝100是原方程的解，且符合题意，∴x+50＝150．答：购买一个A品牌垃圾桶需100元，购买一个B品牌垃圾桶需150元．（2）设该学校此次购买m个B品牌垃圾桶，则购买(50m)个A品牌垃圾桶，依题意，得：100×0.9(50m)+150×(1+20%)m6000，解得：m．因为m是正整数，所以m最大值是16．答：该学校此次最多可购买16个B品牌垃圾桶．【方法技巧与总结】幂函数模型为(，为常数，)，在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇偶性解题.【变式41】（2024·高一·河南平顶山·期末）某企业为努力实现“碳中和”目标，计划从明年开始，通过替换清洁能源减少碳排放量，每年减少的碳排放量占上一年的碳排放量的比例均为，并预计年后碳排放量恰好减少为今年碳排放量的一半.（1）求的值；（2）若某一年的碳排放量为今年碳排放量的，按照计划至少再过多少年，碳排放量不超过今年碳排放量的？【解析】设今年碳排放量为.（1）由题意得，所以，得.（2）设再过年碳排放量不超过今年碳排放量的，则，将代入得，即，得.故至少再过年，碳排放量不超过今年碳排放量的.【变式42】（2024·高一·上海普陀·阶段练习）根据相关资料得出甲、乙两种产品利润与投入资金x（万元）的数据分别如下表和图所示，其中已知甲的利润为，乙的利润为，其中a，b，c，d，.x20406080P33363942（1）分别求出甲、乙两种产品所得的利润与投入资金x（万元）的函数解析式；（2）将300万资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投入资金都不低于75万元，设对乙种产品投入资金m（万元），并设总利润为y（万元），如何分配投入资金，才能使总利润最大？并求出最大总利润.【解析】（1）将和代入到，得，解得，所以；将，，代入到，得，解得，所以，.（2）依题意可得万元，由得，因为，，所以当，即万元时，取得最大值，最大值为万元.所以当甲产品投入200万元，乙产品投入100万元时，总利润最大为130万元.【变式43】（2024·高一·福建厦门·阶段练习）使太阳光射到硅材料上产生电流直接发电，以硅材料的应用开发形成的光电转换产业链条称之为“光伏产业”.某农产品加工合作社每年消耗电费万元.为了节约成本，决定修建一个可使用年的光伏电站，并入该合作社的电网.修建光伏电站的费用（单位：万元）与光伏电站的太阳能面板的面积（单位：）成正比，比例系数为.为了保证正常用电，修建后采用光伏电能和常规电能互补的供电模式用电，设在此模式下.当光伏电站的太阳能面板的面积为（单位：）时，该合作社每年消耗的电费为（单位：万元，为常数）.记该合作社修建光伏电站的费用与年所消耗的电费之和为（单位：万元）.(1)求常数的值，并用表示；(2)该合作社应修建多大面积的太阳能面板，可使最小？并求出最小值.(3)要使不超过万元，求的取值范围.【解析】（1）由题意，，当时，电费，解得：，∴，.（2）由（1）知，当且仅当，即时等号成立，∴该合作社应修建的太阳能面板，可使最小，的最小值为万元.（3）为使不超过万元，只需，即有，则，解得：，∴的取值范围为.【变式44】（2024·高一·上海浦东新·期末）某条货运线路总长2000千米，交通法规定，在该线路上货车最低限速50千米/时（含），最高限速100千米/时（含）.汽油的价格是每升8元，汽车在该路段行驶时，速度为千米/时，每小时油耗为升.（假设汽车保持匀速行驶）(1)求该线路行车油费（元）关于行车速度（千米/时）的函数关系；(2)车速为何值时，行车油费达到最低？并求出最低的行车油费；(3)运营该条线路的刘师傅接到某公司的货运派单，要求在24小时内送达，否则将少支付50元费用作为超时补偿.请写出此时刘师傅驾驶的最优车速.【解析】（1）行车所用时间为，根据汽油的价格是每升8元，而汽车每小时油耗升，则行车总费用为，.（2）由（1）知，令，设，则因为，故，所以所以当时，函数严格增，则当时，行车油费最低，最低为元.（3）在24小时内送达行驶速度为，由题意知行车总费用，当时，函数严格增，的最小值为，当时，函数严格增，，所以综上所述，最优车速为50千米/时.题型五：耐克函数模型【典例51】（2024·高一·陕西西安·期中）某公司一年需要一种计算机元件8000个，每个电子元件单价为a元，每天需同样多的元件用于组装整机，该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，每次单价不变，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为件，每个元件的库存费是一年2元．（1）将公司每年总费用F表示成x的函数；（2）请你帮公司核算一下，每年进货几次花费最小．【解析】（1）由题意可知，n＝，F＝8000a+500n+2•x＝x+500•+8000a，即：F＝x++8000a；（2）由（1）可知，F＝x++8000a＝+500n+8000a＝4000+8000a．当且仅当，即n＝4时，总费用最少，故每年进货4次花费最小．【典例52】（2024·高一·江苏盐城·阶段练习）在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备（）万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：(1)写出年利润（万元）关于年产量（）（万台）的函数解析式；（利润=销售收入成本）(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润.【解析】（1）由题意知，年利润关于年产量的函数解析式为：（2）由（1）知，当时，，由基本不等式，可得，当且仅当时，即时，等号成立，所以，所以，当年生产万台时，年利润取得最大值，最大利润为万元.【方法技巧与总结】耐克函数模型为，利用基本不等式或者图像法解决.【变式51】（2024·高一·山西大同·阶段练习）某公司由于业务的快速发展，计划在其仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间高为4米，底面积为108平方米，且背面靠墙的长方体形状的贵重物品存储室.由于此贵重物品存储室的后背靠墙，无需建造费用，某工程队给出的报价如下：存储室前面新建墙体的报价为每平方米1500元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米1000元，屋顶和地面以及其他报价共计36000元，设存储室的左、右两面墙的长度均为米，该工程队的总报价为元(1)请用表示；(2)求该工程队的总报价的最小值，并求出此时的值.【解析】（1）前面墙的长度为米，总报价，其中.（2），当且仅当，即时等号成立，所以总报价的最小值为180000元，并求出此时的值为9米.【变式52】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈尔滨市第三中学校计划在符保卢田径场建造一间地面为矩形、背