2018大二轮高考总复习理数第1板块第2单元数学思想方法

第二单元数学思想方法高考数学以能力立意，一是考查数学的基础知识，基本技能；二是考查基本数学思想方法，考查数学思维的深度、广度和宽度，数学思想方法是指从数学的角度来认识、处理和解决问题，是数学意识，是数学技能的升华和提高，中学数学思想主要有函数与方程思想、数形结合思想、分类与整合思想、转化与化归思想．一、函数与方程思想函数思想方程思想函数思想的实质是抛开所研究对象的非数学特征，用联系和变化的观点提出数学对象，抽象其数学特征，建立各变量之间固有的函数关系，通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决方程思想的实质就是将所求的量设成未知数，根据题中的等量关系，列方程(组)，通过解方程(组)或对方程(组)进行研究，以求得问题的解决函数与方程思想在一定的条件下是可以相互转化的，是相辅相成的．函数思想重在对问题进行动态的研究，方程思想则是在动中求解，研究运动中的等量关系已知数列{an}是各项均为正数的等差数列.eq\x(\a\vs4\al(阿凡题1083911))(1)若a1＝2，且a2，a3，a4＋1成等比数列，求数列{an}的通项公式an；(2)在(1)的条件下，数列{an}的前n项和为Sn，设bn＝eq\f(1,Sn＋1)＋eq\f(1,Sn＋2)＋…＋eq\f(1,S2n)，若对任意的n∈N*，不等式bn≤k恒成立，求实数k的最小值．【解】(1)因为a1＝2，aeq\o\al(2,3)＝a2·(a4＋1)，又因为{an}是正项等差数列，故d≥0，所以(2＋2d)2＝(2＋d)(3＋3d)，(列出方程)解得d＝2或d＝－1(舍去)，所以数列{an}的通项公式an＝2n．(2)因为Sn＝n(n＋1)，bn＝eq\f(1,Sn＋1)＋eq\f(1,Sn＋2)＋…＋eq\f(1,S2n)＝eq\f(1,n＋1n＋2)＋eq\f(1,n＋2n＋3)＋…＋eq\f(1,2n2n＋1)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋2)－eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,2n)－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(1,n＋1)－eq\f(1,2n＋1)＝eq\f(n,2n2＋3n＋1)＝eq\f(1,2n＋\f(1,n)＋3)，令f(x)＝2x＋eq\f(1,x)(x≥1)，(构造函数)则f′(x)＝2－eq\f(1,x2)，当x≥1时，f′(x)>0恒成立，所以f(x)在[1，＋∞)上是增函数，故当x＝1时，f(x)min＝f(1)＝3，即当n＝1时，(bn)max＝eq\f(1,6)，要使对任意的正整数n，不等式bn≤k恒成立，则须使k≥(bn)max＝eq\f(1,6)，所以实数k的最小值为eq\f(1,6)．本题完美体现了函数与方程思想的应用，第(1)问直接列方程求公差；第(2)问求出bn的表达式，说明要求bn≤k恒成立时k的最小值，只需求bn的最大值，从而构造函数f(x)＝2x＋eq\f(1,x)(x≥1)，利用函数求解．1．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，ω>0，－π<φ<π)在一个周期内的图象，则此函数的解析式是()A．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))B．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))C．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)－\f(π,3)))D．y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))解析：依函数图象，知y的最大值为2，所以A＝2．又eq\f(T,2)＝eq\f(5π,12)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)))＝eq\f(π,2)，所以T＝π，又eq\f(2π,ω)＝π，所以ω＝2，所以y＝2sin(2x＋φ)．将eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,12)，2))代入可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋φ))＝1，故φ－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z，又－π<φ<π，所以φ＝eq\f(2π,3)．所以函数的解析式为y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(2π,3)))，故选B．答案：B2．f(x)＝ax3－3x＋1对于x∈[－1,1]总有f(x)≥0成立，则a＝________．解析：若x＝0，则不论a取何值，f(x)≥0显然成立；当x>0即x∈(0,1]时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≥eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)．设g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，则g′(x)＝eq\f(31－2x,x4)，所以g(x)在区间eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增，在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上单调递减，因此g(x)max＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝4，从而a≥4；当x<0即x∈[－1,0)时，f(x)＝ax3－3x＋1≥0可化为a≤eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)，g(x)＝eq\f(3,x2)－eq\f(1,x3)在区间[－1,0)上单调递增，因此g(x)min＝g(－1)＝4，从而a≤4，综上a＝4．答案：4函数与方程思想在解题中的应用(1)函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y>0时，就化为不等式f(x)>0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式．(2)数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要．(3)解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及二次方程与二次函数有关理论．(4)立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决．二、数形结合思想——求解数学问题最快捷的途径以形助数(数题形解)以数辅形(形题数解)借助形的生动性和直观性来阐述数之间的关系，把数转化为形，即以形作为手段，数作为目的解决数学问题的数学思想借助于数的精确性和规范性及严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的解决问题的数学思想数形结合思想通过“以形助数，以数辅形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是eq\x(\a\vs4\al(阿凡题1083912))()A．(－∞，－1)∪(0,1) B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)【解析】设y＝g(x)＝eq\f(fx,x)(x≠0)，则g′(x)＝eq\f(xf′x－fx,x2)，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0．∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0时，由f(x)>0，得g(x)>0，由图知0<x<1，当x<0时，由f(x)>0，得g(x)<0，由图知x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A．【答案】A本例利用了数形结合思想，由条件判断函数的单调性，再结合f(－1)＝0可作出函数的图象，利用图象即可求出x的取值范围．3．(2017·南昌模拟)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1，0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，动点D满足|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[4,6] B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)] D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1]解析：设D(x，y)，则由|eq\o(CD,\s\up6(→))|＝1，C(3,0)，得(x－3)2＋y2＝1.又∵eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))＝(x－1，y＋eq\r(3))，∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|＝eq\r(x－12＋y＋\r(3)2)．∴|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的几何意义是点P(1，－eq\r(3))与圆(x－3)2＋y2＝1上点之间的距离，由|PC|＝eq\r(7)知，|eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OD,\s\up6(→))|的最大值是1＋eq\r(7)，最小值是eq\r(7)－1.故选D．答案：D4．设A＝{(x，y)|x2＋(y－1)2＝1}，B＝{(x，y)|x＋y＋m≥0}，则使A⊆B成立的实数m的取值范围是________．解析：集合A是一个圆x2＋(y－1)2＝1上的点的集合，集合B是一个不等式x＋y＋m≥0表示的平面区域内的点的集合，要使A⊆B，则应使圆被平面区域所包含(如图)，如直线x＋y＋m＝0应与圆相切或相离(在圆的下方)，而当直线与圆相切时有eq\f(|m＋1|,\r(2))＝1，又m＞0，所以m＝eq\r(2)－1，故m的取值范围是m≥eq\r(2)－1．答案：eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)－1，＋∞))运用数形结合思想分析解决问题的3原则(1)等价性原则，在数形结合时，代数性质和几何性质的转换必须是等价的，否则解题将会出现漏洞，有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明．(2)双向性原则，在数形结合时，既要进行几何直观的分析，又要进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析(或仅对几何问题进行代数分析)在许多时候是很难行得通的．(3)简单性原则，找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法或者兼用两种方法来叙述解题过程，则取决于哪种方法更为简单．三、分类与整合思想——求解数学问题最简便的技巧分类与整合思想是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．对问题实行分类与整合，分类标准等于增加一个已知条件，实现了有效增设，将大问题(或综合性问题)分解为小问题(或基础性问题)，优化解题思路，降低问题难度；分类研究后还要对讨论结果进行整合．设F1，F2为椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求eq\f(|PF1|,|PF2|)的值.eq\x(\a\vs4\al(阿凡题1083913))【解】①若∠PF2F1＝90°则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2又∵|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2eq\r(5)，解得|PF1|＝eq\f(14,3)，|PF2|＝eq\f(4,3)，∴eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)．②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2∴|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，∴eq\f(|PF1|,|PF2|)＝2．综上知，eq\f(|PF1|,|PF2|)＝eq\f(7,2)或2．(1)本题中直角顶点的位置不定，影响边长关系，需按直角顶点不同的位置进行讨论．(2)涉及几何问题时，由于几何元素的形状、位置变化的不确定性，需要根据图形的特征进行分类讨论．5．若m是2和8的等比中项，则圆锥曲线x2＋eq\f(y2,m)＝1的离心率是()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\r(5)C．eq\f(\r(3),2)或eq\f(\r(5),2) D．eq\f(\r(3),2)或eq\r(5)解析：因为m是2和8的等比中项，所以m2＝2×8＝16，所以m＝±4．当m＝4时，圆锥曲线eq\f(y2,4)＋x2＝1是椭圆，其离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(3),2)；当m＝－4时，圆锥曲线x2－eq\f(y2,4)＝1是双曲线，其离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),1)＝eq\r(5)．综上知，选项D正确．答案：D6．已知变量x，y满足的不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥2x，,kx－y＋1≥0))表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k＝()A．－eq\f(1,2) B．eq\f(1,2)C．0 D．－eq\f(1,2)或0解析：不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥2x，,kx－y＋1≥0))表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知，若要使不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0，,y≥2x，,kx－y＋1≥0))表示的平面区域是直角三角形，只有当直线y＝kx＋1与直线x＝0或y＝2x垂直时才满足．结合图形可知斜率k的值为0或－eq\f(1,2)．答案：D7．已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，求函数f(x)的极值．解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，因为f′(x)＝1－eq\f(a,x)＝eq\f(x－a,x)(x>0)，当a≤0时，f′(x)>0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，所以函数f(x)无极值．当a>0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.因为当x∈(0，a)时，f′(x)<0，当x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0，所以f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上：当a≤0时，函数f(x)无极值；当a>0时，f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．分类与整合思想在解题中的应用(1)由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．(3)由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．四、转化与化归思想——求解数学问题最普遍的方法转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法．一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题．过抛物线y＝ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)等于eq\x(\a\vs4\al(阿凡题1083915))()A．2a B．eq\f(1,2a)C．4a D．eq\f(4,a)【解析】由x2＝eq\f(1,a)y(a>0)知抛物线开口向上，故过焦点F作一条在特殊位置的直线即平行于x轴的直线交抛物线于P、Q，则|PF|＝|FQ|＝eq\f(1,2a)，即eq\f(1,p)＋eq\f(1,q)＝4a．【答案】C本题将一般问题特殊化，即简洁又准确，事半功倍，这种解法对解选择题和填空题较为有效．8．由命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，得m的取值范围是(－∞，a)，则实数a的取值是A．(－∞，1) B．(－∞，2)C．1 D．2解析：命题“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命题，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命题，可得m的取值范围是(－∞，1)，而(－∞，a)与(－∞，1)为同一区间，故a答案：C9．已知函数f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的导函数．对满足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(x)<0，则实数x的取值范围为________．解析：由题意，知g(x)＝3x2－ax＋3a令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a≤1.(主次转化)对－1≤a≤1，恒有g(x)<0，即φ(a)<0，∴