高三高考数学复习练习8-2空间几何体的表面积与体积

821．一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为()A.eq\f(16,3)π B.eq\f(32,3)πC．16π D．24π【解析】设球的半径为R，因为表面积是16π，所以4πR2＝16π，解得R＝2，所以体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32π,3).【答案】B2．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为()A．π B．2πC．3π D．4π【解析】由三视图可知，该几何体为半径为r＝1的半球体，表面积为底面圆面积加上半球面的面积，所以S＝πr2＋eq\f(1,2)×4πr2＝π×12＋eq\f(1,2)×4π×12＝3π.故选C.【答案】C3．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2π,3) B.eq\f(4π,3)C.eq\f(5π,3) D．2π【解析】过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为V＝V圆柱－V圆锥＝π·AB2·BC－eq\f(1,3)·π·CE2·DE＝π×12×2－eq\f(1,3)π×12×1＝eq\f(5π,3)，故选C.【答案】C4．一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)【解析】由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图所示，∴该四面体的表面积为S表＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3)，故选B.【答案】B5．(2018·太原一模)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．6π＋1 B.eq\f(（24＋\r(2)）π,4)＋1C.eq\f(（23＋\r(2)）π,4)＋eq\f(1,2) D.eq\f(（23＋\r(2)）π,4)＋1【解析】由几何体的三视图知，该几何体为一个组合体，其中下部是底面直径为2，高为2的圆柱，上部是底面直径为2，高为1的圆锥的四分之一，所以该几何体的表面积为4π＋π＋eq\f(3π,4)＋eq\f(\r(2)π,4)＋1＝eq\f(（23＋\r(2)）π,4)＋1，故选D.【答案】D6．甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1，V2，则V1∶V2等于()A．1∶4 B．1∶3C．2∶3 D．1∶π【解析】由三视图知，甲几何体是半径为1的球，乙几何体是底面半径为2，高为3的圆锥，所以球的体积V1＝eq\f(4,3)π，V2＝eq\f(1,3)π×22×3＝4π，所以V1∶V2＝1∶3.故选B.【答案】B7．(2017·全国Ⅲ卷)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为()A．π B.eq\f(3π,4)C.eq\f(π,2) D.eq\f(π,4)【解析】设圆柱的底面半径为r，球的半径为R，且R＝1，由圆柱两个底面的圆周在同一个球的球面上可知，r，R及圆柱的高的一半构成直角三角形．∴r＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(3),2).∴圆柱的体积为V＝πr2h＝eq\f(3,4)π×1＝eq\f(3π,4).故选B.【答案】B8．(2017·襄阳调研)如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为________．【解析】由三视图可知，该几何体是一个正四棱柱挖掉一个半球所得的几何体，其中半球的底面就是正四棱柱上底面的内切圆，正四棱柱的底面边长为4，高为2，半球所在球的半径为2.所以该几何体的表面由正四棱柱的表面与半球的表面积之和减去半球的底面构成，故其表面积为(4×4×2＋2×4×4)＋eq\f(1,2)×(4π×22)－π×22＝64＋4π.【答案】64＋4π9．(2018·乌鲁木齐二诊)已知四面体ABCD满足AB＝CD＝eq\r(6)，AC＝AD＝BC＝BD＝2，则四面体ABCD的外接球的表面积是________．【解析】(图略)在四面体ABCD中，取线段CD的中点为E，连接AE，BE.∵AC＝AD＝BC＝BD＝2，∴AE⊥CD，BE⊥CD.在Rt△AED中，CD＝eq\r(6)，∴AE＝eq\f(\r(10),2).同理BE＝eq\f(\r(10),2).取AB的中点为F，连接EF.由AE＝BE，得EF⊥AB.在Rt△EFA中，∵AF＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(6),2)，AE＝eq\f(\r(10),2)，∴EF＝1.取EF的中点为O，连接OA，则OF＝eq\f(1,2).在Rt△OFA中，OA＝eq\f(\r(7),2).∵OA＝OB＝OC＝OD，∴该四面体的外接球的半径是eq\f(\r(7),2)，∴外接球的表面积是7π.【答案】7π10．(2018·贵州适应性考试)已知球O的表面积是36π，A，B是球面上的两点，∠AOB＝60°，C是球面上的动点，则四面体OABC体积V的最大值为________．【解析】设球的半径为R，由4πR2＝36π，得R＝3.显然在四面体OABC中，△OAB的面积为定值，S△OAB＝eq\f(1,2)×R×eq\f(\r(3),2)R＝eq\f(\r(3),4)R2＝eq\f(9\r(3),4).要使三棱锥的体积最大，只需球上的点到平面OAB的距离最大，显然，到平面OAB距离的最大值为球的半径，所以四面体OABC的体积的最大值V＝eq\f(1,3)×eq\f(9\r(3),4)×R＝eq\f(9\r(3),4).【答案】eq\f(9\r(3),4)11．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明：MN∥平面PAB；(2)求四面体N­BCM的体积．【解析】(1)证明由已知得AM＝eq\f(2,3)AD＝2.如图，取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC中点知TN∥BC，TN＝eq\f(1,2)BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为eq\f(1,2)PA.取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC＝3得AE⊥BC，AE＝eq\r(AB2－BE2)＝eq\r(5).由AM∥BC得M到BC的距离为eq\r(5)，故S△BCM＝eq\f(1,2)×4×eq\r(5)＝2eq\r(5).所以四面体N­BCM的体积VN­BCM＝eq\f(1,3)×S△BCM×eq\f(PA,2)＝eq\f(4\r(5),3).12.如图所示，在空间几何体ADE­BCF中，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，AD⊥DC，AB＝AD＝DE＝2，EF＝4，M是线段AE上的动点．(1)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；(2)在(1)的条件下，平面MDF将几何体ADE­BCF分成两部分，求空间几何体M­DEF与空间几何体ADM­BCF的体积之比．【解析】(1)当M是线段AE的中点时，AC∥平面MDF.理由如下：连接CE交DF于点N，连接MN.因为M，N分别是AE，CE的中点，所以MN∥AC.又因为MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，所以AC∥平面MDF.(2)将几何体ADE­BCF补成三棱柱ADE­B′CF，如图所示，三棱柱ADE­B′CF的体积为V＝S△ADE·CD＝eq\f(1,2)×2×2×4＝8，则几何体ADE­BCF的体积VADE­BCF＝VADE­B′CF－VF­BB′C＝8－eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2×2)