高一上学期期末数学新定义压轴汇编10一类基于多变量逻辑连词的数学新定义

高一上期期末新定义压轴汇编10.恒成立与逻辑连词的常见策略转化一．基本原理1.恒成立问题与能成立问题一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．2．双变量问题与值域关系第1类.“任意=存在”型，使得,等价于函数在上上的值域是函数在上的值域的子集,即.其等价转化的基本思想:函数的任意一个函数值都与函数的某一个函数值相等,即的函数值都在的值域之中.此类型出现频率最高.第2类.“存在=存在”型，使得，等价于函数在上的值域与函数在上的值域的交集不为空集,即.其等价转化的基本思想:两个函数有相等的函数值,即它们的值域有公共部分.第3类.“任意≥(≤、>、<)任意”型，使得恒成立等价于.其等价转化的基本思想是函数的任何一个函数值均大于函数的任何一个函数值.同理，可得其他类型.第4类.型.由于闭区间上连续函数必有最值，故此类转化为，解决掉双变量转化为求最值.上述四类就是常见的需要利用分析函数值域来去掉双变量的情形，所以，其实质就是计算函数的值域，下面将选取具体的实例来分析操作步骤.二.典例分析例1.，，若对任意的，存在，使，则的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：函数，因为，所以在的值域为，函数在的值域为，因为对任意的，存在，使，所以，所以，解得．故选：A．例2．已知函数，，函数，，对于，总，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．解析：函数，因为，所以，设函数的值域为A；因为，当时，，当时，，当时，，设函数的值域为B，因为对于，总，使得成立，所以，当时，，解得；当时，不成立；当时，，解得；综上：实数的取值范围是，故选：C例3．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．解析：要使对任意的，总存在，使得成立，即在上值域是在上值域的子集，开口向上且对称轴为，则上值域为；对于：当时在上值域为，此时，，可得；当时在上值域为，不满足要求；当时在上值域为；此时，，可得；综上，的取值范围.故选：D例4．已知函数是奇函数，且，.（1）求函数的解析式；（2）判断并证明函数在上的单调性；（3）令，若对任意的都有，求实数的取值范围.解析：（1），且是奇函数，，，解得，．（2）证明如下：任取，，且，则，，且，，，∴，，即，函数在上单调递减.同理可证明函数在上单调递增．（3）由题意知，令，，由（1）可知函数在上单调递减，在上单调递增，，函数的对称轴方程为，函数在上单调递增，当时，取得最小值，；当时，取得最大值，.所以，，又对任意的，都有恒成立，，即，解得，又，的取值范围是．例5．设函数，函数．（1）求的取值范围；（2）若对于任意的，总存在，使得，求实数的取值范围；（3）若关于的不等式在存在解集，求整数的最大值．解析：（1），定义域为，由，当时，，符合题意，当时，由，知，解得且，综上，.（2）对于任意的，总存在，使得，即由（1）知，因为是减函数，所以当时，，所以，解得.（3）由可得，，分离参数可得，，由题意，不等式在存在解集，则因为，当且仅当，即时等号成立，所以，解得,所以整数的最大值为1.例5．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”（1）判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；（2）若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围；（3）若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．解析：（1），，，故的值域为，当时，，此时，不是的“4重覆盖函数”，（2），，的图像如下：是的“3重覆盖函数”，，在成立，，（3），，令，为的“9重覆盖函数”，即有9个实数根，即有9个实数根，因为与的图像如下，当时，，解得：，当时，，解得：，综上，要满足题意，所以，即.例6．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”.（1）判断是否为的“重覆盖函数”，如果是，求出的值；如果不是，请说明理由；（2）若为的“3重覆盖函数”，求实数的取值范围；（3）若为的“2024重覆盖函数”，求正实数的取值范围.解析：（1）因为，则，任取，令，可得，即或，可得，或，所以对于任意，能找到两个，使得，所以是的“重覆盖函数”，且；（2）可得的定义域为，即对任意，存在3个不同的实数，使得（其中），，则，，即，即对任意有3个实根，当时，已有两个根，故只需时，仅有1个根，当时，，不符合题意，当时，，则需满足，解得，此时无解，当时，抛物线开口向下，由，可得，所以函数在单调递减，又，所以，所以，综上，实数的取值范围是；（3）因为，当时，当时且，当且仅当时取等号，所以，综上可得，即，则对于任意要有2024个根，由函数的图象，要使要有2024个根，则，又，则，故正实数的取值范围.例7．已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在n个不同的实数，，…，，使得（其中，2，…，n，），则称为的“n重覆盖函数”.（1）判断（）是否为（）的“n重覆盖函数”，如果是，求出n的值；如果不是，说明理由；（2）若为的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围；（3）函数表示不超过x的最大整数，如，，，若，为，的“2024重覆盖函数”，求正实数a的取值范围.解析：（1）,，由题目定义可知，对，恰好存在不同的实数，使得，其中即，易得，故对，能找到一个，使得，是的“n重覆盖函数”，.（2）由题意得：的定义域为R，即对，存在2个不同的实数，使得（其中），又，故，所以，即：，即对，有2个根，当时，已有1个根，故只需时，仅有1个跟，当时，，符合题意，当时，，则需满足，解得：，当时，抛物线开