2022年北京市初三一模数学试题汇编：实际问题与二次函数

第1页/共1页2022北京初三一模数学汇编实际问题与二次函数一、单选题1．（2022·北京门头沟·一模）如图，用一段长为18米的篱笆围成一个一边靠墙（墙长不限）的矩形花园，设该矩形花园的一边长为，另一边的长为，矩形的面积为．当在一定范围内变化时，和都随的变化而变化，那么与．与满足的函数关系分别是（

）A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系二、解答题2．（2022·北京东城·一模）某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：(1)经过测量，得出了d和h的几组对应值，如下表．d/米00.611.82.433.64h/米0.881.902.382.862.802.381.600.88在d和h这两个变量中，________是自变量，________是这个变量的函数；(2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中所确定的函数的图象；(3)结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为_______米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为_______米．（精确到0.1米）3．（2022·北京大兴·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的喷水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条曲线．现有一个垂直于湖面的喷水枪，在距喷水枪水平距离为x米处，水柱距离湖面高度为y米．经测量得到如下数据：（米）0123456…（米）2.502.883.002.872.501.881.011…请解决以下问题：(1)如下图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中y与x各对对应值为坐标的点．请根据描出的点，画出这条曲线；(2)结合所画曲线回答：①水柱的最高点距离湖面约______米；②水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为______米；(3)若一条游船宽3米，顶棚到湖面的高度2米，为了保证游客有良好的观光体验，游船需从喷泉水柱下通过，如果不计其他因素，根据图象判断______（填“能”或“不能”）避免游船被喷泉喷到．4．（2022·北京丰台·一模）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分．若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米．下面的表中记录了d与h的五组数据：d（米）01234h（米）0.51.251.51.250.5根据上述信息，解决以下问题：(1)在下面网格（图1）中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=；(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过．如图2所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为2米，那么公园应将水管露出湖面的高度（喷水头忽略不计）至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由（结果保留一位小数）．5．（2022·北京门头沟·一模）某景观公园内人工湖里有一组喷泉，水柱从垂直于湖面的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是一条抛物线．现测量出如下数据，在距水枪水平距离为米的地点，水柱距离湖面高度为米．（米）012.03…（米）1.62.12.52.10…(1)在下边网格中建立适当平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑曲线连接．(2)结合表中所给数据或所画的图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是多少？(4)现公园想通过喷泉设立一个新的游玩项目．准备通过调节水枪高度使得公园的平顶游船能从喷泉最高点的正下方通过（两次水柱喷出水嘴的初速度相同），如果游船宽度为3米，顶棚到水面的高度为2米，为了避免游船被淋到，顶棚到水柱的垂直距离不小于0.8米．问应如何调节水枪的高度才能符合要求？请通过计算说明理由．6．（2022·北京房山·一模）如图，一个单向隧道的断面，隧道顶是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度为4米，最高处到地面的距离为4米，两侧墙高均为3米，距左侧墙壁1米和3米时，隧道高度均为3.75米．设距左侧墙壁水平距离为x米的地点，隧道高度为y米．请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据题中数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，写出抛物线的对称轴；(3)今有宽为2.4米的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的高度为3.2米，要求卡车从隧道中间通过时，为保证安全，要求卡车载物后最高点到隧道顶面对应的点的距离均不小于0.6米，结合所画图象，试判断该卡车能否通过隧道．7．（2022·北京通州·一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设米，米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．8．（2022·北京朝阳·一模）某公园在人工湖里建造一道喷泉拱门，工人在垂直于湖面的立柱上安装喷头，从喷头喷出的水柱的形状可以看作是抛物线的一部分．安装后，通过测量获得如下数据，喷头高出湖面3米，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）0.501.001.52.002.503.00h（米）3.754.003.753.001.750请解决以下问题：(1)在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)结合表中所给数据或所画图象，直接写出水柱最高点距离湖面的高度；(3)求h关于d的函数表达式；(4)公园希望游船能从喷泉拱门下穿过，已知游船的宽度约为2米，游船的平顶棚到湖面的高度约为1米，从安全的角度考虑，要求游船到立柱的水平距离不小于1米，顶棚到水柱的竖直距离也不小于1米，工人想只通过调整喷头距离湖面的高度（不考虑其他因素）就能满足上述要求，请通过计算说明应如何调整．9．（2022·北京顺义·一模）某公园内的人工湖里有一组小型喷泉，水柱从位于湖面上方的水枪喷出，水柱落于湖面的路径形状是抛物线．现测量出如下数据，在距离水枪水平距离为d米的地点，水柱距离湖面高度为h米．d（米）00.52.03.55h（米）1.672.253.002.250请解决以下问题：(1)在下面网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；(2)请结合所画图象，水柱最高点距离湖面的高度是______米；(3)求抛物线的表达式，并写出自变量的取值范围；(4)现有一游船宽度为2米，顶棚到湖面的高度为2.5米．要求游船从喷泉水柱中间通过时，顶棚不碰到水柱．请问游船是否能符合上述要求通过？并说明理由．10．（2022·北京西城·一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为xm，距地面的高度为ym．测量得到如下数值：x/m00.511.522.533.37y/m2.443.153.493.453.042.251.090小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．

参考答案1．A【分析】根据题意求得与．与之间的函数关系式，然后由函数关系式可直接进行判断．【详解】解：由题意可知，花园是矩形，∴，∴，与满足一次函数关系；花园面积：，与满足二次函数关系；故选：A．【点睛】本题主要考查一次函数与二次函数的简单应用，熟练掌握一次函数和二次函数的应用题中数量关系式（矩形周长=长与宽的和的2倍；矩形面积=长与宽的积）是解决应用题的关键．2．(1)d，h(2)见解析(3)①0.88；②则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．【分析】（1）根据函数的定义即可解答；（2）描点，连线，画出图象即可；（3）①观察图象即可得出结论；②求出抛物线的解析式，令h=2解答d的值即可得答案．【详解】（1）解：根据函数的定义，我们可以确定，在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；故答案为：d，h；（2）解：描点，连线，画出图象如图：；（3）解：①观察图象，桥墩露出水面的高度AE为0.88米；故答案为：0.88；②设根据图象设二次函数的解析式为h=ad2+bd+0.88，把(1，2.38)，(3，2.38)代入得：，解得：，∴二次函数的解析式为h=-0.5d2+2d+0.88，令h=2得：-0.5d2+2d+0.88=2，解得d3.3或d0.7，∴则C处距桥墩的距离CE至少为0.7米．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，用待定系数法求出二次函数的解析式．3．(1)见解析(2)3，6.9(3)能，理由见解析【分析】（1）用一条光滑的曲线连接即可；（2）①结合函数图象观察即可得到；②延长至轴，即可判断；（3）作这条线与抛物线交于，通过判断横坐标与3进行比较即可．（1）解：连点如下：（2）解：①由图：当米时，水柱达到最高点，最高点距离湖面约3米；②延长至轴，如下图：水柱在湖面上的落点距喷水枪的水平距离约为6.9米，故答案是：3，6.9；（3）解：作这条线与抛物线交于，从图上看米左右，，能避免游船被喷泉喷到，故答案为：能．【点睛】本题考查了二次函数图象、二次函数的应用，解题的关键是利用数形结合的思想求解即可．4．(1)图见解析，(2)1.5(3)2.1米，理由见解析【分析】（1）根据表中数据得出抛物线的顶点坐标，然后设抛物线解析式h=a(d-2)2+1.5，代入点求解即可得；（2）由（1）中确定的顶点式即可得出结果；（3）设水管高度至少向上调节m米，根据题意得出不等式，代入求解即可得出结果．【详解】（1）解：以水管与湖面的交点为原点，水管所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示：根据表格数据可得，d=1与d=3的函数值相同，∴对称轴为d=2，h=1.5，∴抛物线的顶点坐标为（2，1.5），∴设抛物线的解析式为h=a(d-2)2+1.5，将点（0，0.5）代入可得0.5=4a+1.5，解得：a=，h=(d-2)2+1.5，当h=0时，d=2+，∴h=(d-2)2+1.5（0<d<2+）；（2）由（1）可得：当d=2时，h最大为1.5，故答案为：1.5；（3）设水管高度至少向上调节m米，由题意可知调节后的水管喷出的抛物线的解析式为h=d2+d+0.5+m，当横坐标为2+时，纵坐标的值大于等于2+0.5=2.5，∴×3.52+3.5+0.5+m≥2.5，解得：m≥，0.5+米，水管高度至少要调节到2.1米．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，顶点式的应用以及不等式的应用，理解题意，确定二次函数解析式是解题关键．5．(1)见解析；(2)2.5米；(3)2.5米；(4)水枪高度调节到2.1米以上，理由见解析．【分析】（1）建立坐标系，描点、用平滑的曲线连接即可；（2）直接由图像可得结果；（2）观察图象并根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解即可；（3）由题意知设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．（1）以水枪与湖面的交点为原点，水枪所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图所示：（2）由图象可知水柱最高点距离湖面的高度为2.5米；（3）根据图象设二次函数的解析式为h=a（d-2）2+2.5将（1，2.1）代入h=a（d-2）2+2.5得a=-，∴抛物线的解析式为，即，令h=0，则，解得：，4.5-2=2.5，∴水柱在湖面上的落点距水枪的水平距离是2.5米；（4）设水枪高度至少向上调节m米，由题意知调节后的水枪所喷出的抛物线的解析式为，当横坐标为2+=3.5时，纵坐标的值大于等于2++0.8=2.8，∴，解得：m≥1.2，∴水枪高度至少向上调节1.2米0.9+1.2=2.1∴水枪高度调节到2.1米以上．【点睛】本题考查了二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移．解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．6．(1)见解析(2)直线x=2(3)不能通过隧道【分析】（1）由题意描出点A(0,3)、B(1,3.75)、C(4,3)及点D(3,3.75)，用光滑的曲线连接起来即可得到所画的曲线；（2）（1）（2）由图象知，抛物线的对称轴为直线x=2（3）设抛物线的解析式为把A、B、C三点的坐标代入得：解得：故函数解析式为当时，∵3.64−3.2=0.44<0.6∴卡车不能通过隧道【点睛】本题是二次函数的实际应用问题，考查了建立适当坐标系画二次函数的图象，求二次函数图象的对称轴、解析式及函数值等知识，能够根据实际问题转化为数学问题并解答．7．(1)3.99(2)见解析(3)是【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值；（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系；（3）在中，令，求得相应的值，结合其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．从而判断该货车是否能安全通过.【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知：当时，有最大值为3.99；故答案为：3.99；（2）解：如图，建立直角坐标系，（3）解：将代入，得：，解得：，抛物线的表达式为；在中，令，得：，车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，该货车能安全通过；故答案为：是．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．8．(1)图见解析；(2)4米(3)h=-d2+2d+3(4)水枪高度调节到5米以上【分析】（1）建立坐标系，描点，用平滑的曲线连线即可；（2）结合图象，得出最高点坐标为（1，4），进而得出结论；（3）利用顶点式h=a(d-1)2+4和点（3，0）即可求出h关于d的函数表达式；（4）设平移后的解析式为h1=-d2+2d+3+m，根据题意求解即可.【详解】（1）解：如图所示（2）解：由图象得，最高点坐标为（1，4），∴水柱最高点距离湖面的高度为4米；（3）解：由题意，得设顶点式为h=a(d-1)2+4，又图象过点（3，0），∴a(3-1)2+4=0，解得a=-1，∴函数解析式h=-(d-1)2+4=-d2+2d+3；（4）解：设水枪高度向上调整m米时，游船恰好能从喷泉拱门下穿过，则平移后的解析式为h1=-d2+2d+3+m，当横坐标为1+2=3时，纵坐标的值大于等于1+1=2，∴-32+6+3+m≥2，解得m≥2，∴水枪高度至少向上调整2米，∴水枪高度调节到5米以上.【点睛】本题考查二次函数喷泉的应用，二次函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于熟练掌握二次函数的图象建立二次函数模型．9．(1)见解析(2)3(3)（0≤x≤5）(4)船能符合要求通过，理由见解析【分析】（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，描点顺次顺滑连线；（2）根据抛物线的最高点（2,3）得出结论；（3）根据抛物线的顶点为（2,3），设解析式为，再把（5,0）代入求出a的值；（4）使船的中轴线在抛物线的对称轴上，把点（1，m）代入解析式计算m的值，与2.5比较大小，得出结论（1）（2）根据图象看出，水流最高点距离湖面的高