平面机构的平衡

机械动力学Chapter2平面机构的平衡2025年2月7日机械动力学机械动力学本章的主要内容

§2-1概述

§2-2质量代换

§2-3曲柄滑块机构的摆动力部分平衡

§2-4平面连杆机构的完全平衡

§2-5平面连杆机构的优化综合平衡Chapter2平面机构的平衡机械动力学§2-1概述

对高速运转的机械，其运动构件将产生较大的惯性力，对机座而言将产生摆动力和摆动力矩，从而产生振动、噪声直至使系统破坏。因此，实际应用中需对机构进行平衡。所谓的平衡就是采用构件质量再分配的手段完全的或部分地消除惯性载荷。机构的平衡，实质上是一种以动态静力分析为基础的动力学综合，或动力学设计。一、机构平衡的原因1、惯性力的周期性变化→通过运动副传递到机座上的摆动力周期性变化→产生振动、噪声，使精度和可靠性下降；

2、惯性力的周期性变化→加剧作用在驱动构件上的平衡力矩的波动→产生冲击载荷，造成系统的扭转振动；

3、惯性力→构件中产生附加的动应力，影响构件的强度；→运动副中产生附加的动反力。机械动力学机械动力学§2-1概述二、平衡的种类1、构件在机座上的平衡：将运动构件视为一个整体进行平衡。目标：消除或部分消除摆动力和摆动力矩，减轻振动。此部分内容是重点。2、机构输入转矩的平衡：由动态静力分析方法可计算为维持主动构件等速回转施加于主动构件上的平衡力矩（输入转矩）。这一力矩随机构的位置而变化。当机构周期性非匀速转动时，其惯性力和惯性力矩正负交变的，平衡力矩的波动更加剧烈。3、运动副中动压力的平衡：目标是解决由惯性力引起的转动副中动压力过大的问题。机械动力学★以上的分类是对应于上面分析的平衡原因的。机械动力学§2-1概述二、平衡的种类第二种分类（按采取的方法）1、通过加配重的方法进行的平衡。比较普遍的方法；2、通过机构合理布局或设置附加机构的方法的平衡。不常用。第三种分类（按平衡的程度）1、部分平衡：兼顾机械的重量、机构和动力学特性，实际中不得不采用的摆动力部分平衡的方法。该法首先用于内燃机中的曲柄滑块机构，目前仍广泛使用；2、完全平衡：一是摆动力完全平衡；二是摆动力和摆动力矩的完全平衡。一直到目前仍在研究的普遍适用于多种机构的平衡方法。3、优化综合平衡：将机座上（摆动力和摆动力矩）的平衡与输入转矩的平衡及运动副中动压力的平衡综合考虑。是目前关于平衡问题的趋向。机械动力学机械动力学§2-2质量代换一、质量代换的条件

对平面运动的构件，质心C，质心加速度及构件的角加速度如图示。虚加的惯性力如图，且机械动力学质量代换：将构件质量用若干个集中质量代换。但代换前后在动力学上等效。

若以n个集中质量m1、m2、…、mn代替原有的质量为m、转动惯量为Jc的构件。必须使代换前后的惯性力及惯性力矩等效。满足的条件：▼条件1：质量相等▼条件2：质心重合▼条件3：转动惯量相等§2-2质量代换机械动力学质量代换点：一般选在运动参数易确定的点上。§2-2质量代换机械动力学▼条件1：质量相等▼条件2：质心重合▼条件3：转动惯量相等对过原点O垂直轴转动惯量▼由条件2知：满足条件1、2则代换后惯性力不变。惯性力不变的代换为静代换。▼由条件3知：若坐标的原点与质心C重合，则（惯性力矩相等）满足条件1、2、3的代换为动代换▼研究摆动力平衡时，不涉及惯性力矩，可用静代换；当同时研究摆动力矩的平衡时，必须使用动代换。§2-2质量代换机械动力学§2-2质量代换二、两点的实质量代换机械动力学记构件AB的质量为m，用两质量mA,mB代换▼动代换质量相等质心重合转动惯量相等若lA已知，解三个未知量，则：▼静代换满足两个条件：四个未知，两个方程，设lA、lB已知，则：§2-2质量代换机械动力学§2-2质量代换机械动力学三、机构惯性力平衡的广义质量代换1、广义质量

构件绕O轴转动，质心位于c，与AO不在一直线上。前述的质量代换不能直接使用。

取图示坐标，A、c的矢经记为rA、rc，A、O处质量记为mA、mO。满足对ox、y、而言，记ox、单位矢量为，oy、单位矢量为代入上式代换质量以复数表示，称广义质量三、机构惯性力平衡的广义质量代换1、广义质量§2-2质量代换机械动力学▼位于代换点A处的广义质量对另一代换点质量矩和位于质心c处的实际质量对同一点O的质量矩相等注意到：实际的质量矩：的含义：间的夹角。又可表示为三、机构惯性力平衡的广义质量代换1、广义质量§2-2质量代换机械动力学▼▼定轴转动构件代换点的代换质量讨论后（广义质量），而实际应加的平衡量的质量矩及方位角如何确定■应加的平衡量的质量矩：■方位角：▼广义质量代换与普通质量代换法一样，先选择构件上的质量代换点，求代换的广义质量，最后用平衡原理确定应加的平衡量。2、含有两个转动副的构件的广义质量代换如图示的两个转动副A、B的构件，质心为c，取A、B为代换点。§2-2质量代换机械动力学代换的条件：条件2的含义：代换广义质量与真实质量的质量矩等效（广义质量的物理意义）由图：将代入并比较：广义质量：2、含有两个转动副的构件的广义质量代换例：用广义质量代换求图示四杆机构应加的平衡量。机构参数：§2-2质量代换机械动力学解：▼AB转动，A、B代换点；2、含有两个转动副的构件的广义质量代换§2-2质量代换机械动力学▼CD转动，C、D代换点▼BC平面运动，B、C代换点2、含有两个转动副的构件的广义质量代换▼B、C处总的代换质量▼在构件AB应加的平衡量及方位角▼同理在构件CD应加的平衡量及方位角§2-2质量代换§2-2质量代换机械动力学3、含有一个移动副和一个转动副构件的广义质量代换§2-2质量代换机械动力学

图示构件1与构件2连接为移动副，与另一构件连接为转动副O1。构件1的质量为m1，质心为c1。

对构件1一般取O1及在构件2上的A2、B2点为代换点。各点的位置矢经如图示。取

与

方向相同。代换后满足的条件：由图知：3、含有一个移动副和一个转动副构件的广义质量代换§2-2质量代换机械动力学比较上两式有：即为代换点的广义质量。其中构件1的代换质量等于构件1本身的质量；而构件2上两代换点的代换质量之和为零，这就是必须在构件2上选两个代换点的原因。3、含有一个移动副和一个转动副构件的广义质量代换例：用广义质量代换法求图示导杆机构中为平衡滑块2的惯性力需要的平衡量。构件2的质心为c2，质量为m2。构件2、3组成移动副。§2-2质量代换机械动力学解：构建2的广义质量代换点选在与构件1连接的转动副A及构件3上的O3、B3点。由于构件2与构件3垂直，故▼构件1上需加的平衡量及方位角▼构件3上需加的平衡量及方位角4、含有两个移动副构件的广义质量代换§2-2质量代换机械动力学

图示构件2与构件1、3连接为移动副，设构件2的质量为m2，质心为c2。

取构件2上的A点、构件3上的B、O3点为质量代换点。代换前后的质量及质量矩满足：由图知：则：§2-2质量代换机械动力学4、含有两个移动副构件的广义质量代换▼三个质量代换点中，B、O3在构件3上，它们形成的惯性力可在构件3上加平衡质量进行平衡；而在构件2上的质量代换点，由于到固定的回转中心的距离变化，故代换到A点上的质量产生的惯性力很难平衡。▼可见，不是任何机构都能通过加平衡质量的方法达到惯性力的完全平衡。§2-3曲柄滑块机构的摆动力部分平衡机械动力学一、质量代换图示机构，AB、BC的几何尺寸及质心的位置如图。对AB：对BC：对B、C两点：二、惯性力分析对B：AB匀速转动。惯性力：对C：平移运动：二、惯性力分析

§2-3曲柄滑块机构的摆动力部分平衡机械动力学对B：AB匀速转动。惯性力：对C：平移运动：该系统只有一个自由度。等式右端展开成θ的级数，不计λ3以上的项。虚加在C上的惯性力：式中：与成正比，称为一阶惯性力与成正比，称为二阶惯性力三、平衡配重的计算§2-3曲柄滑块机构的摆动力部分平衡机械动力学▼B处的回转质量mB产生的惯性力FIB可通过在E处加的平衡配重平衡：▼E处再增加一平衡配重mE2，用来部分平衡由mC产生的惯性力。增加的mE2产生的惯性力：与FIC方向相反，可平衡一阶惯性力在y方向产生新的惯性力▼实际应用中，减小mE2，使一阶惯性力部分被平衡，同是y方向上产生的新的惯性力也不过大E处总的配重：§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学

图示平面共面连杆机构，各构件在oxy平面内运动。设有n个构件（运动构件为n-1)。

取第i个构件为对象，质量为mi，质心ci（xi，yi），对质心的转动惯量为Jci，转角为▼第i个构件（平面运动）的惯性力：▼使摆动力、摆动力矩为零，整个机构必满足：机构摆动力完全平衡条件机构摆动力及摆动力矩完全平衡的条件一、平面机构完全平衡的条件§2-4平面连杆机构的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼机构摆动力完全平衡条件▼机构摆动力及摆动力矩完全平衡的条件▼机构摆动力完全平衡条件(其他形式)机构总的质心：摆动力完全平衡总质心匀速直线运动或静止质心保持静止不动■摆动力完全平衡的条件又可表示为：质心保持静止不动。不可能§2-4平面连杆机构的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼机构摆动力完全平衡条件(其他形式)■摆动力完全平衡的条件又可表示为：质心保持静止不动。定义机构总质量矩：质心不动时：■摆动力完全平衡的条件又可表示为：机构的质量矩为常数。▼机构摆动力矩完全平衡的条件机构对Z轴的动量矩：动量矩

为常量■机构摆动力矩完全平衡的条件：机构的动量矩为常数§2-4平面连杆机构的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）质量的再分配广义质量代换法（唐锡宽：机械动力学）线性独立矢量法（唐锡宽：机械动力学）质量矩替代法和有限位置法（杨廷力：机械系统的基本理论）▼线性独立矢量法（以平面铰链四杆机构为例）：（1）建立机构质心表达式机构参数的描述：各杆长度及位置角各杆质心的定位参数设机构的总质心为c，矢经为二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼线性独立矢量法（以平面铰链四杆机构为例）（1）建立机构质心表达式以复数形式表示：代入得到：§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学（2）建立封闭矢量方程式中：为与时间有关的矢量，不是线性独立的，必满足机构的封闭矢量方程（1）建立机构质心表达式二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼线性独立矢量法（以平面铰链四杆机构为例）（1）建立机构质心表达式（2）建立封闭矢量方程（3）平衡方程（机构几何物理参数表示）代入消去摆动力平衡条件：总质心不动为常量，故系数为零即为摆动力完全平衡的平衡方程（机构几何物理参数表示）二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学（3）平衡方程（机构几何物理参数表示）由图知：则平衡方程变为;得到平衡条件：二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学（3）平衡方程（机构几何物理参数表示）得到平衡条件：式中

为质量矩。按工作要求设计，进行平衡时不能再修改。▼平衡条件表明：在对机构的摆动力完全平衡时，当一个构件的质量、质心的位置确定后，另外两个构件的质量矩及其位置可由平衡条件求出。为此，可取三个构件中的两个（如1、3构件）作为设置平衡配重的平衡构件。二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学（3）平衡方程（机构几何物理参数表示）得到平衡条件：（4）确定配重的大小和位置设构件2不加配重，其质量和质心已知▼由平衡条件可计算出（配重以后的量）：二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学（4）确定配重的大小和位置设构件2不加配重，其质量和质心已知▼由平衡条件可计算出（配重以后的量）：▼记配重前1、3构件质量及质心位置参数为：▼平衡时应加的平衡配重参数：二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学（4）确定配重的大小和位置▼由平衡条件可计算出（配重以后的量）：▼记配重前1、3构件质量及质心位置参数为：▼平衡时应加的平衡配重参数：由静力学知：对构件1、3：记▼平衡时应加的平衡配重参数：对构件1、3：记需加的配重的质量矩及位置角：注：（1）书第25页的例题2.4.1为作业；（2）线性独立矢量法适合单回路的简单机构，对多回路的复杂机构不适合。可用质量矩替代法。二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学二、摆动力完全平衡的实现方法（质量再分配）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼质量矩替代法简介（多回路机构）以图示两回路六连杆机构为例说明■将原机构分解为两个连枝构件CD、FG和一个连接机座的树系统；■将连枝构件的质量矩表述为树系统上的附加质量矩；■建立树系统构件的摆动力完全平衡条件，并计入连枝构件附加质量矩的作用，即可得到整个机构的摆动力完全平衡条件；■按摆动力完全平衡条件，对树系统中每一树枝构件附加适当的配重。详见：赵新华：平面连杆机构摆动力与摆动力矩完全平衡的质量动替代法。机械工程学报，1992，28（6）。三、摆动力完全平衡的实现方法（机构配置）§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学对摆动力完全平衡方法除质量再分配外，还可通过机构的合理布置或设置附加机构的实现——机构配置。

如图示对称分布的曲柄滑块机构：可实现摆动力完全平衡。

通过附加机构，基本实现摆动力完全平衡。如图示：主机构为曲柄滑块机构，而四杆机构OA‘B’C‘是为平衡而设的附加机构。

设计中，使B‘C’较长，B’点的运动近似为直线，加于B‘点的平衡质量可基本使摆动力得到完全平衡。进一步讨论见相关的文献四、关于摆动力和摆动力矩完全平衡的研究介绍§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼摆动力完全平衡的局限性

由第一章平面机构动态静力分析知，当机构上虚加的惯性力向机座简化后，得到摆动力和摆动力矩，由于其周期性的变化，引起振动。经过摆动力完全平衡后，在系统上添加了平衡质量，使得摆动力矩引起更大的振动。只有当两者都得到平衡，才能在理论上实现机构在机座上无振动。▼摆动力矩完全平衡的研究情况摆动力矩完全平衡的条件：机构的动量矩保持为常量■1973年，BerkovRS

：CompleteForceandMomentBalancingofIn—LineFour—BarLinkages

其研究是从该条件出发，论述了在不破坏已建立的摆动力完全平衡的情况下，实现了四杆机构摆动力矩完全平衡。该文的一个结论：一般不能通过机构内部加配置的方法使摆动力矩完全平衡，但可通过附加转动惯量的方法实现平衡。四、关于摆动力和摆动力矩完全平衡的研究介绍§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼摆动力矩完全平衡的研究情况■1973年，BerkovRS

：CompleteForceandMomentBalancingofIn—LineFour—BarLinkages该文的一个结论：一般不能通过机构内部加配置的方法使摆动力矩完全平衡，但可通过附加转动惯量的方法实现平衡。■1992年，杨延力：平面连杆机构摆动力与摆动力矩完全平衡的一般理论。赵新华：平面连杆机构摆动力与摆动力矩完全平衡的质量动替代法。提出：动量矩替代法-----更一般理论方法。基本思路：◆将n回路的连杆机构，分解为n个连枝构件和一个连接机座的树系统；◆对连枝构件附加适当的配重，将连枝构件的动量矩表示为树系统构件上的附加动量矩。◆建立树系统构件的摆动力和摆动力矩完全平衡条件，并计入连枝构件附加质量矩及附加动量矩的作用，即可得到整个机构的摆动力和摆动力矩完全平衡条件。◆按完全平衡条件，对树系统中每一树枝构件附加适当的配重和转动惯量。五、摆动力矩的完全平衡

以平面铰链四杆机构为例介绍平面机构摆动力矩的具体计算方法、平衡的可能性及平衡的方法动量矩为常量■机构摆动力矩完全平衡的条件▼摆动力矩完全平衡的条件§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学■动量矩：▼动量矩的计算质心坐标：五、摆动力矩的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼动量矩的计算质心的速度：质心坐标：代入动量矩计算公式：五、摆动力矩的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼动量矩的计算由图知建立封闭矢量方程：向固结在OB上的动系投影：记：五、摆动力矩的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼动量矩的计算记：注意到：动量矩：五、摆动力矩的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学动量矩：▼摆动力完全平衡下的动量矩计算四连杆机构摆动力平衡条件：代入动量矩公式中：平衡条件代入V、W有五、摆动力矩的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼摆动力矩完全平衡的条件摆动力完全平衡下的动量矩摆动力矩完全平衡必须满足：摆动力矩完全平衡的条件:摆动力矩为零或动量矩为常量五、摆动力矩的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼摆动力矩完全平衡的条件▼平衡的可能性及方法（1）c2在BC上，主动件匀速转动。摆动力完全平衡后，摆动力矩完全平衡；（2）满足该条件：机构设计使五、摆动力矩的完全平衡§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学▼平衡的可能性及方法（2）满足该条件：机构设计使设计2、3构件其他参数时，除满足摆动力完全平衡外，还应满足：注：除以上两种情况外，其他的四杆机构很难通过改变内部质量分布达到摆动力和摆动力矩同时平衡。（3）减小摆动力矩的方法：■连杆的质心设计在连杆线上：■主动件匀速转动：■构件设计满足：六、完全平衡面临的问题§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学1、不是任何机构都可以通过施加配重实现摆动力完全平衡的

实现完全平衡必须满足的条件：机构内任一个构件都有一条通到固定件的途径，且在该途径上只含有转动副，而不含移动副----通路定理2、摆动力的完全平衡常常导致机械结构的复杂性

现已证明：对n个构件的单自由度机构，使摆动力完全平衡需加n/2个平衡质量。实际应用中往往是不允许的3、摆动力的完全平衡使机构的质量大大增加

如图示的曲柄滑块机构，设构件2的质心为c2，构件2、3的质量为5kg，构件1的质心位于A点。通过质量代换，实现摆动力完全平衡，▼在BC的延长线D处加一配重连杆与滑块的质心移至B处：取六、完全平衡面临的问题§2-4平面连杆机构的完全平衡机械动力学3、摆动力的完全平衡使机构的质量大大增加机构总的配重为：40kg实现摆动力完全平衡。若同时进行摆动力和摆动力矩的完全平衡，不仅增加配重，而且设置转动惯量。

摆动力和摆动力矩的完全平衡，作为机构刚体动力学的重要问题，理论上的研究是完全必要的，但在实际应用中还有许多问题尚待解决。▼在BC的延长线D处加一配重连杆与滑块的质心移至B处：取D处配重：使得B处质量达25kg▼为平衡该质量，需在AB的延长线上E处加配重：§2-5平面连杆机构的优化综合平衡机械动力学一、问题的提出▼机构的平衡：基座上摆动力和摆动力矩平衡、机构输入转矩的平衡、运动副中动压力的平衡。▼已讨论的平衡是单目标下的平衡。但摆动力、摆动力矩、