2025年新人教版高考数学一轮复习讲义：函数与方程的综合应用

2025年新人教版高考数学一轮复习讲义含答案解析

§2.12函数与方程的综合应用

【重点解读】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过

分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大,

一般出现在压轴题位置.

题型一由零点分布求值(范围)

命题点1二次函数的零点分布

例1(1)(2023•扬州模拟)已知方程2)x+5=0的两根都大于2,则实数m的取值范

围是()

A.(-5,-4]U[4,+8)

B.(-5,-4]

C.(-5,+8)

D.[-4,-2)U[4,+°0)

答案B

解析方程f+H"—2)x+5—机=0的两根都大于2,则二次函数/iXlur+e?—2)x+5一%的

图象与x轴的两个交点都在x=2的右侧，

根据图象得，方程的判别式/N0;

大2)＞0；

函数图象的对称轴一方一＞2.

~(机—2)2—4(5一优)20,

即＜4+2⑺一2)+5—»0,解得—4.

m—2

一29，

(2)(2023•苏州模拟)若函数加)=(“L2)/+如+2机+1的两个零点分别在区间(一1,0)和区间

(1,2)内，则机的取值范围是()

11-

-

--

D.甲2

_

答案C

|A-iW)<o,

解析根据题意有,

Wi)-A2)<o,

解得9〈加弓

命题点2其他函数的零点分布

例2已知定义在R上的奇函数满足式2—劝+本)=0,当xe(O,l]时，/(x)=—log2X，若函数

八元)=於)一sinn在区间[—1，河上有10个零点，则，"的取值范围是()

A.[3.5,4)B.(3.5,4]

C.(5,5.5]D.[5,5.5)

答案A

解析由人2—功+兀v)=0M；x)=-A2—x)=/(x—2),得八尤)是一个周期为2的奇函数，

当xG(0,l]时，兀。=­log2尤，

因此yg)=一iog2T=i，八1)=。，

所以犬o)=o,/£)=一1，八-1)=。，

271

且g(x)=sin心的周期为T=—=2,

且g(—1)=0，g(—£l=-1，g(0)=0，g©)=l，g(D=°，

求F(x)—fix)—sin7TX的零点个数，

即求八x)与g(尤)图象的交点个数，

如图为兀c)与g(x)在区间的图象，

因为兀0与g(x)均为周期为2的周期函数，

因此交点也呈周期出现，

若在区间[―1,河上有10个零点，则第10个零点坐标为(3.5,-1),第11个零点坐标为(4,0),

因此3.5W/n<4.

思维升华对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手

(1)开口方向；

(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；

(3)判别式，决定函数与无轴的交点个数；

(4)区间端点值.

跟踪训练1⑴设a为实数，若方程/—2ax+a=0在区间（一1,1）上有两个不相等的实数解,

则a的取值范围是（）

A.（—8,O）U（1,+8）

答案C

解析令g（x）=/—2办+a,

由方程x2—2办+a=0在区间（一1,1）上有两个不相等的实数解可得

"。<

〃/=4〃2—4〃>0,0,

—1<a<1,—l<a<l

-1<a<1,

<即<1或<1

g(-l)>0,a>一,，a>—

、⑴>0,1。<1

解得一；<。<0.

~|~2x~I~,x<0,

（2）（2023•郴州模拟）（多选）已知函数1x）=；'八'若方程|无）=反4CR）有四个不同

［|lnx—2|,x>0,

的实数解，它们从小到大依次记为的，X2,冷，X4,贝女）

A.0<A:<lB.即+%2=—1

C.e<X3<e2D.0<xiX2X3X4<e4

答案ACD

解析画出函数八元）与函数y=上的图象如图所示，

“x）在（-8,—1］上单调递减，值域为［0,+°°）；

在［—1,0）上单调递增，值域为［0,1）；

在（0,。2］上单调递减，值域为［0,+°°）；

在七2,+8）上单调递增，值域为［0,+°°）.

则有％1+兀2=-2,InX3—2+lnx4—2=0,

即％加=。4,故B错误；

方程7（x）=MZ£R）有四个不同的实数解，

则有0<Ml,故A正确；

由於)在(0,e"上单调递减，值域为[0,+8),

7(e)=|lne—2|=1,Xe2)~Rne2—2|=0,

可知e<X3Ve2,故C正确；

由X1<X2<0<X3<X4,可知修工加3%4>0,

XX1X2X3X4—e4%iX2=e4(—xi)(—X2)<e4-―即)[(——2=e4.

则有0<%1%加3%4<匕4,故D正确.

题型二复合函数的零点

命题点1复合函数的零点个数判定

Q~X—2,

'、、’则函数g(x)=/(/a))—身⑴+i的零点个数是()

{|ln(x—1)|,x>\,

A.4B.5C.6D.7

答案B

解析令f=/(x),g(x)=0,

则共。一2f+l=0,

即财=2f—l,

分别作出函数y=/W和直线y=2r—1的图象，如图所示，

由图象可得有两个交点，横坐标设为储

则n=0,l<r2<2,

对于分别作出函数y=/(x)和直线y=/2的图象，如图所示,

由图象可得，

当/(x)=fi=0时，函数y=/(x)与无轴有两个交点，即方程"r)=0有两个不相等的根，

当/2=兀0时，函数y=y(x)和直线>=攵有三个交点，即方程叁=於)有三个不相等的根,

综上可得g(x)=O的实根个数为5,

即函数g(x)=Mx))—纨x)+l的零点个数是5.

命题点2根据复合函数零点求参数

一2、巧x+2,x20,

例4(2024・驻马店模拟)已知函数於)=<'-'若函数g(x)=[/(x)]2—旅)+1

[ln(—x),x<0,

有6个零点，则〃的取值范围是()

A.(2,4]B.(2,+8)

<51「5J

c.(2,51D.[],4

答案C

解析设£=/(冗)，则由g(%)=[/(X)]2—颂%)+1,可设>=〃《)=於一成+1,

画出兀0的图象,如图，

由图可知，当/<一1时，£=/(x)有且仅有一个解；

当％=-1或Z>2时，，=/(x)有两个不同的解；

当一1<%W2时，/=/(x)有三个不同的解，令/?⑺=0,即修一办+1=0,因为函数g(x)有6个零

点，

故需^~at+l=0在(-1,2]内有两个不同的根，

"/=。2—4>0,

h(—1)=1+〃+1>0,

所以<//(2)=4—2a+lN0,解得2<逐|,

—1<^<2,

VZ

即a的取值范围是(2,|.

思维升华对于复合函数y=/(ga))的零点个数问题，求解思路如下：

(1)确定内层函数〃=g(x)和夕卜层函数y=f(u)\

(2)确定外层函数y=X")的零点〃=%•«=1,2,3,…，力；

⑶确定直线"=%(，=1,2,3,…，几)与内层函数〃=g(x)图象的交点个数分别为防，〃2,。3,…，

an,则函数y=/(g(x))的零点个数为“i+z+a3H---1■斯.

f|lgx\,x>0,

跟踪训练2已知函数危尸2.……且关于x的方程伏㈤心一(2加+1区%)+病

【一片一2x十1,xWO,

+根=0有7个不同的实数解，则实数机的取值范围为.

答案(0,1]

解析由题意，人尤)的图象如图所示,

因为［/U)］2—(2机+1求x)+M+机=。有7个实数解，

设段)=/,则方程t1—(2m+l)t+m2+m=0有2个不相等的实根h=m,ti=m+\且

或,2=2.

当1-t2=2时，m=l,满足题意;当0<ri<l^fo<2时，0<m<l^m+l<2,解得me(0,1).

综上，me(0」］.

课时精练

一、单项选择题

1.若方程一一+办+4=0的两实根中一个小于一1,另一个大于2,贝!J。的取值范围是()

A.(0,3)B.[0,3]

C.(-3,0)D.(—8,1)U(3,+oo)

答案A

解析令y(x)=一—+办+4,

则70)有两个零点，一个大于2,另一个小于一1,

由二次函数的图象可知，

l/(2)>0,f-22+«-2+4>0,

lA-l)>0,5Pl-(-l)2+a.(-l)+4>0,

解得0<a<3.

2.若关于x的方程尹+(4+4>3*+4=0有实数解，则实数a的取值范围是()

A.[0,+°0)

B.(—8,-8]

C.(-8,-8]U[0,+8)

D.(-8,-8)U(0,+8)

答案B

解析令f=3，>0,则9"=凡

由9*+(。+4>3工+4=0,得产+(a+4)f+4=0.

则问题转化为关于1r的二次方程产+(a+4)f+4=0在t>0时有实数根.

4

由(^+4)^+4=0,可得一(〃+4)=，+7，

由基本不等式得一(。+4)=/+｝力2\^1=4,

当且仅当r=2时，等号成立，

所以一(。+4)>4,解得aW—8.

因此，实数a的取值范围是(一8,-8].

忸一1|,xW2,

3.(2023・南京师大附中模拟)设加是不为0的实数，已知函数五》)=,_]0氏.+24r>2若

函数F(X)=2[AX)F—〃次尤)有7个零点，则机的取值范围是()

A.(-2,0)U(0,16)

B.(0,16)

C.(0,2)

D.(-2,0)U(0,+°°)

答案C

解析犬尤)的图象如图所示，

由网x)=/(x)［纨X)—〃“=0,得«r)=0或纨尤)一根=0,

1/1

当人£)=0时，於:)有3个零点，当2f(x)—m=0时，八工)=万,

即尸危)与尸三有4个交点，

rri

所以0<y<1,解得0<m<2.

4.若存在实数a使得函数式x)=2%+2=一加层+〃—3有唯一零点，则实数m的取值范围是

()

1

-

,8B

41

1D.(0,

C.0,4

答案A

解析令/=2%»0),则f是增函数，令>=/+:,

由对勾函数的性质知y=f+：在（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

所以当t=l时，ymin=2,此时尤=0,

因此八x）有唯一零点，则零点为x=0,

/（0）=—mtz2+a—1=0,当机=0时，a=l有解；当机W0时，/=1—4/"N0,mW〃且m#0.

综上，机W；.

5.已知人x）是定义域为（0,十8）的单调函数，若对任意的xe（0,+8）,都有欢x）—log加）

=3,则函数＞=2而）一9的零点为（）

A.；B＜C.2D.3

答案A

解析因为人了）是定义域为（0,+8）的单调函数，且对任意的xG（0,+°°）,都有式/（X）—Iog2X）

=3,故可设存在唯一的实数ce（o,+8）,使得犬0=3,则八龙）一log#=C,所以/U）=log2%

+C,

所以犬C）=log2C+C=3,则log2c=3—C,

由于函数y=log”在（0,+8）上单调递增，函数＞=3—x在（0,+8）上单调递减，

又log22=l=3—2,所以C=2,

故/（x）=log2x+2=log2（4x）,

再令那》一已=0,xG（0,+8）,得以一（=0,

解得x=T（负值舍去）.

则函数y=2於T的零点为去

6.（2024・济南模拟）已知大无）是定义在R上的偶函数，对任意的xGR,都有式x+4）=/（x）,且

当2,0］时，段）=d）'—1,若在区间（-2,6］内方程段）-108心+2）=0（庐1）有三个不同

的实数根，则实数。的取值范围为（）

A.（12］B.（2,+°0）

C.（1,阴）D.（y/4,2）

答案D

解析根据函数人无+4）=兀0可知，函数人©的周期7=4,

由人x）是定义在R上的偶函数，

当xG［—2,0］时，式尤）=（；＞—1可得

当尤e(0,2］时，一尤e［-2,0),

所以六—x)=-]=2*―1=/(x),

画出函数兀0部分周期内的图象如图粗实线所示,

若在区间(一2,6］内方程«r)—logaCr+2)=0(a>l)有三个不同的实数根，即函数兀r)的图象与y

=108“0+2)(0>1)的图象在(-2,6］内有三个交点，

y=loga(x+2)(a>l)的图象如图中细实线所示，

log“(2+2)勺(2)=3,

则需满足，

log“(6+2)次6)=3,

[log^S,

即解得</4<a<2.

[log«8>3,

二、多项选择题

7.若关于X的一元二次方程(%—2)(x—3)=根有实数根的，X2，且X1<X2，则下列结论正确的

是()

A.当机=0时，为=2,忿=3

B.m>—

C.当m>0时,2<XI<X2<3

D.二次函数y=(x—为)。一松)十加的零点为2和3

答案ABD

解析对于A,易知当m=0时，(x—2)。-3)=0的根为％1=2,%2=3,故A正确；

对于B,设>=(%—2)(%—3)=，一5x+6=(x—52一；》一；，因为y=(x—2)(x—3)的图象与直

线尸根有两个交点，所以心一；，故B正确；

对于C,当机>0时，y=(x—2)(%—3)一根的图象由y=(x—2)(x—3)的图象向下平移机个单位

长度得到，贝I即<2<3<12,故C错误；

2

对于D,由(%—2)。-3)=加展开得x—5x+6—根=0,由根与系数的关系得为+冗2=5,X\X2

=6—m,代入y=(x—xi)(x—X2)+m可得y=x1—(x\+x2)x+xiX2+m=x1—5x+6—m+m=x1

—5x+6=(x—2)(%—3),所以二次函数y=(x—x\)(x-xi)-\-m的零点为2和3,故D正确.

8.(2023・湖州模拟)若危)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程德(动=%有实数解，则下

列式子中可以为g(/(x))的是()

A.B.x+1

C.ecosxD.ln(|x|+l)

答案ACD

解析由方程Xg(x))=x有实数解可得g(Ag(x)))=g(x),

再用X替代g(x),即x=g(/(x))有实数解.

2

对于A,X=X+2X9即f+x=O,方程有实数解，故A正确；

对于B,x=x+l,即0=1,方程无实数解，故B错误；

对于C,当*一时,^h(x)=ecosx-x,

因为/z(0)=e>0,从⑨=1—些。，

由函数零点存在定理可知，%(x)在(0,电上存在零点，所以方程有实数解，故C正确；

对于D,当ln(|x|+l)=x时，尤=0为方程的解，

所以方程有实数解，故D正确.

三、填空题

9.若存在正实数x,使得办2+(〃―1