2025年新高考数学一轮复习：双曲线及其性质（十一大题型）（讲义）（学生版+解析）

第06讲双曲线及其性质

目录

01考情透视•目标导航.............................................................2

02知识导图•思维引航.............................................................3

03考点突破•题型探究.............................................................4

知识点1：双曲线的定义..........................................................4

知识点2：双曲线的方程'图形及性质..............................................4

解题方法总结....................................................................7

题型一：双曲线的定义与标准方程..................................................7

题型二：双曲线方程的充要条件...................................................10

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题...............................11

题型四：双曲线上两点距离的最值问题.............................................13

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题...........................................14

题型六：离心率的值及取值范围...................................................16

方向1：利用双曲线定义去转换...................................................16

方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式.................................17

方向3：利用e=|j,其中2c为焦距长，2°=|阿卜|尸闻..............................18

方向4：坐标法.................................................................18

方向5：找几何关系，利用余弦定理...............................................19

方向6：找几何关系，利用正弦定理...............................................20

方向7：利用基本不等式.........................................................21

方向8:利用渐近线的斜率求离心率...............................................22

方向9：利用双曲线第三定义.....................................................23

方向10:利用对应焦点焦半径的取值范围［c-a,+8)...................................................................24

题型七：双曲线的简单几何性质问题..............................................25

题型八：利用第一定义求解轨迹...................................................27

题型九：双曲线的渐近线.........................................................30

题型十：共焦点的椭圆与双曲线...................................................32

题型十一：双曲线的实际应用.....................................................35

04真题练习•命题洞见............................................................37

05课本典例•高考素材............................................................38

06易错分析•答题模板............................................................40

易错点：双曲线焦点位置考虑不周全...............................................40

答题模板：求双曲线的标准方程...................................................40

考点要求考题统计考情分析

双曲线是圆雉曲线的重要内容，但从总体上

2024年天津卷第8题，5分

看，双曲线的考试要求要比椭圆和抛物线低，在

2024年甲卷(理)第5题，5分

(1)双曲线的定义与标高考中双曲线的试题以选填题为主，解答题考查

2023年甲卷(文)第8题，5分

准方程双曲线的可能性不大.在双曲线的试题中，离不

2023年天津卷第9题，5分

(2)双曲线的几何性质开渐近线的考查，几乎所有双曲线试题均涉及渐

2023年北京卷第12题，5分

近线，因此双曲线的试题中，最为重要的是三

2023年I卷第16题，5分

点：方程、渐近线、离心率.

复习目标：

(1)了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.

(2)掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).

(3)了解双曲线的简单应用.

倒2

屈1世屈图•更雉弘瓦、

双曲线及其性质

------

知识J

知识点1：双曲线的定义

平面内与两个定点£,用的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于阳1|）的点的轨迹叫做双曲线

（这两个定点叫双曲线的焦点）.用集合表示为｛⑼周|=2°（0<2°<用矶）｝

注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支.

（2）当2°=寓闾时，点的轨迹是以耳和耳为端点的两条射线；当24=0时，点的轨迹是线段耳耳的

垂直平分线.

（3）2a>|耳闾时，点的轨迹不存在.

在应用定义和标准方程解题时注意以下两点：

①条件"闺g|>2a”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定"，/的值），注意

。2+〃=，2的应用.

【诊断自测】双曲线:-看=1的左右焦点分别是片与耳,胡是双曲线左支上的一点，且恢用|=7,则

|5|=（）

A.IB.13C.1或13D.3

知识点2：双曲线的方程、图形及性质

双曲线的方程、图形及性质

2222

标准方程/一第=1(。>0,b>0)»…6>0)

图形

"a

焦点坐标耳(-c,0),F2(C,O)6(0,-c),F2(0,C)

对称性关于x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称

顶点坐标4（一名0）,4（。,0）4(0,〃)，4(0,-a)

范围|x|>aea

实轴、虚轴实轴T£为2。，虚轴长为2b

c

离心率卜

令=Ony=±",人/fa

令———-=0^>y=±—x,

渐近线方程abaa2b2b

焦点到渐近线的距离为b焦点到渐近线的距离为b

>1,点Oo/o）在双曲线内

>1,点（X。,%）在双曲线内

x2y2（含焦点部分）

点和双曲线-------《（含焦点部分）

a2b2=1,点（X。,九）在双曲线上--------

的位置关系a2b2=1,点（%,%）在双曲线上

<1,点（X。,％）在双曲线外

<1,点（%,%）在双曲线外

共焦点的双2222

,J.=1(a2<k<b')22

22,,2,=1(a<k<b)

曲线方程a+kb-ka+kb-k

共渐近线的22

十…5台冷…

双曲线方程

=x

切线方程一号一碧^二l,（x（）/o）为切点^2~~~7Tt(o^o)为切点

abab

对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中/换为七X,/换成

切线方程

JV便得•

切点弦所在竽一年山"0）为双曲线

岑-等=1,（%,%）为双曲线外一点

直线方程ab

外一点

点（X。,%）为双曲线与两渐近线之间的点

设直线与双曲线两交点为4网,必），3（马,先），

2

则弦长|力同=A/1+k•|xj—x2|=

弦长公式

忖-司=’（%+Z）2-4%马=杏，其中是消"y"后关于“x”的一元二次方程

\a\

的“%2，，系数.

2b之

通径通径（过焦点且垂直于££的弦）是同支中的最短弦，其长为竺

a

双曲线上一点尸（%,%）与两焦点耳耳构成的KPFE成为焦点三角形，

2b2

设组PF1=e,\PF\=rx,\PF2\=r2,贝Ucos6=l,

r\r2

yh^（wo）

焦点三角形

c1.„sin。b2|c|%,焦点在X轴上

Sf=2^m9=X-c9bj2=‘an二品，焦点在例上，

2

焦点三角形中一般要用到的关系是

[^PF1\-\PF2^=2a（2a>2c）

]闺凡上附「+1时「_2附归用cosN/PE

等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线=离心率

等轴双曲线e=4^o两渐近线互相垂直=渐近线方程为尸±xo方程可设为

x2—y2=2（2w0）

【诊断自测】（2024・山东济南•三模）已知双曲线G过点/（一加,1）,且与双曲线。2：/-3/=1有相同的

渐近线，则双曲线G的标准方程为（

B/*-1

124

c.D.

解题方法总结

(1)双曲线的通径

2

过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径.通径长为2生A.

a

(2)点与双曲线的位置关系

对于双曲线］/=1(稣6>0),点尸(七,%)在双曲线内部，等价于可一£>1.

abab

点尸(X。，%)在双曲线外部，等价于鸟-条<1结合线性规划的知识点来分析.

ab

(3)双曲线常考性质

ab

性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数6；顶点到两条渐近线的距离为常数

性质2：双曲线上的任意点尸到双曲线。的两条渐近线的距离的乘积是一个常数彳；

c

(4)双曲线焦点三角形面积为三(可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大)

ta/

2

(5)双曲线的切线

22

点〃(%,%)在双曲线与=1(°>0,6>0)上，过点M作双曲线的切线方程为誓-颦=1.若点

abab

在双曲线4=1(°>0,6>0)外，则点M对应切点弦方程为誓一程=1

abab

题型一：双曲线的定义与标准方程

【典例1-1】已知片，E是平面内两个不同的定点，则TI即|-|峥||为定值”是“动点M的轨迹是以月,

月为焦点的双曲线”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【典例1-2】（2024•北京门头沟•一模）已知双曲线C经过点（0,1）,离心率为2,则C的标准方程为（）

v2

A.尤2-J_=iB.—=1

33

,2,2

c.户上D.--x2=l

3

【方法技巧］

求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径:

（1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数a,b,c,即利用待定系数法

求方程.

（2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义

法求方程.

【变式1-1】已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为（0,4）,且渐近线方程为x=±2y,则其标准方程为

()

B.--x2=1

166416

C.X2-^=1D/「I

166416

【变式1-2】化简方程X-5)2+y2=8的结果是（）

2222

A___-=\B.土-匕=1

-43916

DY/

C.u.----------1

2516169

22

【变式1-3】双曲线C：会一方=1（。>0/>0）的两个焦点为片、F2,点N（/l）在双曲线。上，且满足

丽•碧=0,则双曲线。的标准方程为一.

2222

【变式1-4］（2024•西藏拉萨•二模）已知双曲线C:2唾=1（。>0/>0）与5-：=1有相同的渐近线，

且直线工-2^-屿=0过双曲线61的焦点，则双曲线C的标准方程为.

22

【变式1-5】若双曲线。与双曲线3-工=1有相同的渐近线，且经过点（2后,后），则双曲线。的标准

方程是

【变式1-6】已知双曲线r：1-<=l（a>0,b>0）,四点/（6,e）、d4,孚;C（5,2）、D（-5,-2）中恰

有三点在：T上，则双曲线「的标准方程为.

【变式1-7］（202牛江西南昌•一模）已知中心在原点的双曲线E的离心率为2,右顶点为A,过E的左焦

点F作x轴的垂线/,且/与E交于M,N两点，若AN九W的面积为9,则E的标准方程为.

【变式1-81（1）若双曲线过点（3,9近），离心率e=平，则其标准方程为

(2)若双曲线过点尸(2,-1),渐近线方程是y=±3x,则其标准方程为

22

(3)若双曲线与双曲线乙-土=1有共同的渐近线，且经过点加(3,-2),则其标准方程为

43

题型二：双曲线方程的充要条件

22

【典例2-1】双曲线方程为一+占=1,则无的取值范围是()

陶一25-K

A.k>5B.2<k<5C.-2<k<2D.一2〈左<2或左>5

22

【典例2-2】(2024•河北石家庄•二模)已知曲线匕=1。”0),贝上加©(0,6)”是“曲线。的焦点在x

6m

轴上”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要

条件

【方法技巧】

22

土+匕=1表示椭圆的充要条件为：m>0,n>0,m^n；

mn

工+匕=1表示双曲线方程的充要条件为：加"<0；

mn

二+广=1表示圆方程的充要条件为：加=〃>0.

mn

22

【变式2-1】方程^+工=1表示双曲线的必要不充分条件可以是()

m+3m-\

A.me(-3,1)B.me(-3,-l)u(-l,l)

C.加G(—3,+8)D.me(-3,-1)

【变式2-2]（2024•广东佛山•二模）已知方程孙+m+幼+尸=0,其中

A>B>C>D>E>F.现有四位同学对该方程进行了判断，提出了四个命题：

甲：可以是圆的方程；乙：可以是抛物线的方程；

丙：可以是椭圆的标准方程；丁：可以是双曲线的标准方程.

其中，真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【变式2-3]“0<〃<2，堤“方程工+工=1表示双曲线”的（）

〃+1〃一3

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

题型三：双曲线中焦点三角形的周长与面积及其他问题

22

【典例3』】⑵24•高三重庆•开学考试）设叱为双曲线土卜1的两个焦点，点尸是双曲线上的一点,

且/RPR=90°,则△耳尸区的面积为.

【典例3-2】已知双曲线的左右焦点分别为6耳，过片的直线与左支交于48两点，若|Z月=5,且双曲

线的实轴长为8,则△/叫的周长为

【方法技巧】

对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即||「片|-|「工||=2。，在焦点三角形

面积问题中若已知角，则用5.何=50/讣|尸尸2卜由6，俨片|-|「工||=2口及余弦定理等知识；若未知

角，则用5Ap尸低=Q.2c•1丹卜

fL

【变式3-1】已知双曲线1-V=1（。＞0）的左、右焦点分别为片，F2,实轴长为2百，P为双曲线右支上

a

一点，且满足|尸印2_1尸印2=4小，贝！］△尸耳《的周长为.

22

【变式3-2】已知双曲线1_一2_=1的左、右焦点分别为片，F2,过用的直线交该双曲线于点A、B,且

福.丽=0,可+2项=0,则A片的面积为_.

2

【变式3-3】已知不g是双曲线X?-匕=1的左右焦点，过月的直线/交双曲线右支于48两点，不々分别

3一

是片片和△姐片的内切圆半径，则马的取值范围是.

【变式3-4］（2024•广东珠海•一模）已知点P在双曲线C:片-匕=1上，R,用分别是双曲线C的左、右

6436

焦点，若△尸石月的面积为45,则归国+|尸不上—.

22

【变式3-5］（2024•广西•模拟预测）已知双曲线。的方程为土—匕=1,其左右焦点分别为耳，耳，已知

169

西•西逝•西

点尸坐标为（4,2）,双曲线C上的点。（%,%）（x0>0,为>0）满足，设△西鸟的内

切圆半径为z贝什=__，S4F[PQ_SAF^PQ+S/\PF\F2二

题型四：双曲线上两点距离的最值问题

22

【典例4-1】（2024•江苏南京•模拟预测）已知。是双曲线=上任意一点，若。到。的两

条渐近线的距离之积为。2，则。上的点到焦点距离的最小值为.

22

【典例4-2】双曲线土-匕=1（机>0/>0）的离心率是2,左右焦点分别为耳后,P为双曲线左支上一点,

mn

则国的最大值是（）

3

A.-B.2C.3D.4

2

【方法技巧】

利用几何意义进行转化.

22

【变式4-1】已知双曲线C：（■啖=1的左焦点为尸，且P是双曲线上的一点，则附的最小值为

22

【变式4-2］（2024•高三•浙江台州•期中）已知双曲线C:=-匕=l（a>0）,尸为左焦点，若。=2,则双曲

a3

线离心率为；若对于双曲线。上任意一点尸，线段尸尸长度的最小值为1,则实数a的值为

【变式4-3】已知片、鸟为双曲线J-/=i的左、右焦点，尸为双曲线右支上异于顶点的任意一点，若

4'

△也月内切圆的圆心为/,则圆心/到圆/+3_1)2=1上任意一点的距离的最小值为.

题型五：双曲线上两线段的和差最值问题

【典例5-1】若点P是双曲线C：二-且=1右支上的一点，点A是圆E:/+(y-5『=1上的一点，点3是

169v'

圆尸:(x+5)2+必=1上的一点，则阳|+|尸耳的最小值为

22

【典例5-2】尸是双曲线之一5=1的右支上一点，M、N分别是圆卜+5『+必=4和(无一5)2+/=1上的

点，则|》叨_|尸'的最大值为()

A.6B.7C.8D.9

【方法技巧】

在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义.求解最值问题的过程中，如

果发现动点P在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解.

【变式5-1】过双曲线V-5=1的右支上一点P,分别向圆G:(x+W+/=4和圆G:(x-4『+V=1作

切线，切点分别为M，N,则「的最小值为—；此时尸点坐标为一.

【变式5-2】尸是双曲线C：X-^=1的左焦点，P是C右支上一点，过P作与直线/：4x-3y=0夹角为

45

45。的直线，并与/相交于点。，则2|尸目+后忸。|的最小值为一.

22

【变式5-3］（2024•贵州遵义•模拟预测）已知双曲线C：三一2=1的左、右焦点分别为耳，鸟，点/在

1620

双曲线C的右支上，若3（-1,-2）,则+M国的最小值为.

【变式5-4】已知点河0,2）,点尸是双曲线C：土仁=1左支上的动点，月为其右焦点，N是圆

916

。:（x+5）z+y2=l的动点,则归的最小值为

【变式5-51P为双曲线/-（=1右支上一点，M,N分别是圆卜+盯+必=4和（x-4『+/=l上的点,

贝”尸川日尸川的最大值为.

【变式5-6】已知双曲线的方程为=1,点与，鸟是其左右焦点，A是圆/+（了-5『=4上的一点,

点M在双曲线的右支上，则|孙|+］初4|的最小值是.

22

【变式5-7】P是双曲线亍-3=1的右支上一点，M、N分别是圆（x+3『+r=2和（》-3丫+/=1上的

点，则FM一下川的最大值为.

题型六：离心率的值及取值范围

方向1:利用双曲线定义去转换

【典例6-1】已知双曲线4一/=1（。>0乃>0）的左、右焦点分别为大,鸟，焦距为2c（c>0）.若双曲线C

右支上存在点P,使得户闾=4a,且凡两与=12",则双曲线C的离心率6=（）.

A.V5B.-C.>/6+1D.A/13

22

【典例6-2】（2024・河南周口•模拟预测）已知双曲线C:0-2=1（。>0/>0）的左、右焦点分别为片，鸟,

ab

/___,___,\

过点不作倾斜角为30。的直线/与C的左、右两支分别交于点尸，Q,若昌+昌.（京-月0）=0,则

UMIMJ

C的离心率为（）

A.6B.V3C.2D.V5

【变式6-1］（2024・高三•河北邢台・开学考试）已知双曲线M的左、右焦点分别为6月，过点片且与实轴垂

直的直线交双曲线M于48两点.若与为等边三角形，则双曲线M的离心率为（）

A.V3B.V2C.2D.V3+1

方向2：建立关于a和c的一次或二次方程与不等式

22

【典例7-1】已知双曲线C:，-右=1（〃>0/〉0）的右焦点为尸（。,0）,若a,b,。成等比数列，则C的离

ab

心率为（）

AA/3—1RV5—10V5+1八V3+1

2222

22

【典例7-2】若双曲线C：十方=l（a>0]>0）的渐近线与圆（x-2y+j?=3没有公共点，则双曲线C

的离心率的取值范围为（）

B.(2,+oo)C.(1,2)

【变式7-1】已知双曲线C：一卫=1（。>0,6>0）的上、下焦点分别为片，F2,尸是C上支上的一点

ab

（不在y轴上），*与x轴交于点/,VR4耳的内切圆在边/片上的切点为8,若|/邳>26,则C的离心

率的取值范围是（）

A.（1,亨9B.C.（1,­）D.（―,+℃）

方向3：利用e=,，其中2c为焦距长，2a=回|一|明|

【典例8-1】已知耳鸟分别是双曲线C:1-4=1（4〉0,6>0）的左、右焦点，斜率为a的直线/过耳，交

C的右支于点B,交V轴于点A,且/胡月=//廖，则C的离心率为（）

A.拽B.逋C.V3D.V5

33

22a

【典例8-2】已知双曲线C:'-a=1（°>0,6>0）的左、右焦点分别为耳,月，过耳斜率为二的直线与C的右

ab4

支交于点P,若线段冏恰被〉轴平分，则C的离心率为（）

A.vB.—C.2D.3

23

22

【变式8-1】己知耳（-c,0）,巴（c,0）分别是双曲线C三一==1（a>0,b>0）的两个焦点，尸为双曲

ab

线c上一点，尸耳，尸E且/尸匕耳=三，那么双曲线c的离心率为（）

A.手B.百C.2D.73+1

方向4：坐标法

22

【典例9-1】已知双曲线C:二-与=1（。>0,6>0）的左焦点为£8为双曲线C的虚轴的一个端点，直线

ab

EB与双曲线C交于点尸，若丽=而，则双曲线C的离心率为.

22

【典例9-2】（2024•四川雅安•三模）设片，鸟分别为双曲线。：3-4=1（。＞0力＞0）的左右焦点，过点月的

ab

直线交双曲线右支于点M,交V轴于点N,且月为线段的中点，并满足而，丽，则双曲线。的离

心率为（）

A.B.73+1C.2D.V5+1

2

2

【变式9-1］（2024・安徽•模拟预测）已知双曲线C:尤2一a=1伍＞0）的左焦点为凡过坐标原点。作C的

一条渐近线的垂线/,直线/与C交于43两点，若尸的面积为拽，则C的离心率为（）.

3

A.3B.VsC.2D.G

方向5：找几何关系，利用余弦定理

【典例10-1】已知双曲线C：^-^=1（0＞0,6＞0）的左、右焦点分别为片，F2,。为原点，若以

出阊为直径的圆与C的渐近线的一个交点为尸，且出刊=百|。尸|,则C的离心率为.

22

【典例10-21已知双曲线C:0-4=l（。＞0,6＞0）的左、右焦点分别是6耳，过点耳的直线与。交于

ab

43两点，且/BL耳片，现将平面AF；巴沿耳鸟所在直线折起，点A到达点尸处，使面尸片£，面理月,

若cos/PF/1,则双曲线C的离心率为.

22

【变式10-1】（2024•高三•湖南•开学考试）已知片为双曲线C:\-4=1（。>0,6>0）的左焦点，。为双曲

ab

22

线C左支上一点，ZOFiQ=^2\QFi\=^a+b,则双曲线。的离心率为（）

3

22

【变式10-2】已知耳、鸟是双曲线C:二-2=1（。>0,6>0）的焦点，点尸是双曲线。上的动点，若

ab

PF\=2PF?,/£尸笈=60°,则双曲线。的离心率为一

方向6：找几何关系，利用正弦定理

22

【典例11-1］（多选题）已知双曲线C：q一看=l（6>a>0）的左、右焦点分别为耳,巴，双曲线上存在点尸

ab

（点P不与左、右顶点重合），使得/尸乙£=3/尸片与，则双曲线C的离心率的可能取值为（）

A.—B.V3C.—D.2

22

22

【典例11-21已知双曲线二-方=1（°>0力>0）的左、右焦点分别为用月，M为双曲线右支上的一点，若

M在以闺闾为直径的圆上，且,则该双曲线离心率的取值范围为（）

A.(1,行]B.["+可C.(1,A/3+1)D.[V2,V3+lj

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【变式11-1】已知耳、片分别为双曲线c：「-4=1（。>0）>0）的左、右焦点，。为原点，双曲线上的

ab

।।sin/尸7M_——

点尸满足I。尸|=6,且一^^=3,则该双曲线。的离心率为（）

sin^—L.x,ri

A.V2B.—C.2D.73

2

方向7：利用基本不等式

【典例12-1】已知双曲线。:=-4=1（°>0,6>0）,尸为右焦点，过点歹作功，x轴交双曲线于第一象限

02b2'J

内的点4点8与点4关于原点对称，连接BF,当N/3尸取得最大值时，双曲线的离率为.

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【典例12-2】在平面直角坐标系xOy中，己知双曲线1r-方=l（a>0,6>0）的左、右顶点为A、B,若该

双曲线上存在点P,使得直线P4、尸8的斜率之和为1,则该双曲线离心率的取值范围为

【变式12-1］如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐・金筐宝钿团化纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺

天工，是唐朝金银细作的典范之作.该杯的主体部分可以近似看作是双曲线。：5-，=1（4>0,6>0）的部

分的旋转体.若该双曲线上存在点尸，使得直线为，PB（点4,3为双曲线的左、右顶点）的斜率之和为

4,则该双曲线离心率的取值范围为

方向8：利用渐近线的斜率求离心率

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【典例13-1］（2024•四川德阳•模拟预测）已知双曲线/：1-4=1（。>0力>0）的焦距为2c,右顶点为力