2025年中考数学考试易错题之统计与概率（解析版）

易错08统计与概率

中位数、众数'易错点一：忽略排序直接数

平均数卜、易错点二：混淆平均数和加权平均数

概

率极差、方差'易错点三：混淆两个概念的定义

与含参求众数、平均数'易错点四：忽略分类讨论

统

计统计图卜、易错点五:混淆各种统计图提取信息的方法

（不）放回问题卜、易错点六：区分不了两种问题

频率与概率卜、易错点七：混淆两个概念的定义

易错点一：忽略排序直接数

众数：一组数据中出现次数最多的那个数据

中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列，位于最中间的一个数据（当数据个数为奇数时）

或最中间两个数据的平均数（当数据个数为偶数时）

易错提醒：要观察数据有没有按照顺序排列，没有的要先排列顺序再找，避免出错.

例1.2023年9月5日是第八个“中华慈善日”，主题为“携手参与慈善，共创美好生活”.某校为了响应中

华慈善总会的号召，举行捐款活动.下表是某班的捐款金额统计情况，则该班捐款金额的众数和中位数分

别是（）

捐款金额/元123510

人数589158

A.5,3B.15,3C.15,5D.5,5

【答案】D

【分析】本题主要考查了求一组数据的中位数和众数，中位数是一组数据中处在最中间或处在最中间的两

个数据的平均数，众数是一组数据中出现次数最多的数，据此求解即可.

【详解】解：•.•捐款为5元的人数最多，

，众数为5元，

捐款人数为5+8+9+15+8=45人，

按照捐款钱数从低到高排列，处在第23名的捐款钱数为5元，

.•.中位线为5元，

故选：D.

例2.金牛区某校八年级学生参加体质健康测试，有一组9个女生做一分钟的仰卧起坐个数如表中数据所

示，则这组仰卧起坐个数的众数和中位数分别是（）

学生（序号）1号2号3号4号5号6号7号8号9号

仰卧起坐个数525650504858525054

A.众数是58,中位数是48B.众数是58,中位数是52

C.众数是50,中位数是48D.众数是50,中位数是52

【答案】D

【分析】本题考查了众数和中位数的知识，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从

小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位

数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数.

【详解】解：这组数据中50出现的次数最多，故众数为50,

先把这些数从小到大排列，第5个女生的成绩为中位数，

则中位数是52；

故选：D.

练习1.一组由小到大排列的数据为-1,0,4,x,6,16,其中位数为5,则众数是（）

A.5B.6C.-1D.5.5

【答案】B

【分析】本题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中

间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数

据，注意众数可以不止一个.先根据中位数的概念找出最中间的两个数的平均数求出尤值，再根据众数的

概念求解.

【详解】解：根据题目提供的数据，可以看到这组数据的中位数应是4与尤和的平均数，即

4+x_

------=5,

2

解得：x=6,这样这组数据中出现次数最多的就是6,即众数是6.

故选：B.

练习2.下表是我市某校九（1）班参加学校“纪念12.9主题演讲活动”的得分情况，表中“得分”数据的中位

数是（）.

评委评委1评委2评委3评委4评委5评委6评委7

得分9.69.49.59.69.49.69.3

A.9.3B.9.4C.9.5D.9.6

【答案】C

【分析】本题考查了中位数的定义，解题的关键是掌握中位数的定义.将“得分”从小到大的排列，即可求

解.

【详解】解：将“得分”从小到大的排列：9.3,9.4,9.4,9.5,9.6,9.6,9.6,

排在中间的数是9.5,

二中位数是9.5,

故选：C.

练习3.一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如表所示在鞋的尺码组成的数

据中，中位数和众数分别是（）

尺码/cm2222.52323.52424.525

销售量/双12511731

A.23.5和23.5B.23和23.5C.23.5和23D.24和23.5

【答案】A

【分析】根据众数与中位数的意义进行填空即可.本题考查众数与中位数的意义.中位数是将一组数据从

小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位

数.众数是数据中出现最多的一个数.

【详解】解：把30双鞋的尺码从小到大排列，排在中位数为最中间两个数为23.5,23.5,所以中位数为

23.5.

观察数据可知23.5出现次数最多，即众数为23.5；

故选:A.

练习4.某次射击比赛，甲队员的成绩如图所示，根据此统计图，判断下列结论中错误的是()

A.最高成绩是9.4环B.这组成绩的中位数是8.85环

C.这组成绩的众数是9环D.这组成绩的方差是8.8

【答案】B

【分析】此题主要考查了折线统计图，中位数，众数和方差，解题的关键是根据各自的计算方法结合表格

中的数据分别计算即可.

【详解】解：由题意可知，甲队员的成绩为9.4,8.4,9.2,9.2,8.8,9,8.6,9,9,9.4

从小到大排列为：8.4,8.6,8.8,9,9,9,9.2,9.2,9.4,9.4,

最高成绩是9.4环，故正确，选项A不合题意；

这组成绩的中位数为9环，故错误，选项B合题意；

这组成绩的众数是9环，故正确，选项C不合题意；

这组成绩的平均数为$X(9.4+9.4+9.2+9.2+9+9+9+8.8+8.6+8.4)=9,

这组成绩的方差是看x[2X(9.4-9)2+(8.4—9y+2x(9.2-9)2+(8.8-9)2+3x(9-9)2+(8.6-9)2]=0.096,故错误，选

项D不符合题意.

故选：B

1.某学校在6月6日全国爱眼日当天，组织学生进行了视力测试.小红所在的学习小组每人视力测试的结

果分别为：5.0,4.8,4.5,4.8,4.6,这组数据的众数和中位数分别为()

A.4.8,4.74B.4.8,4.5C.5.0,4.5D.4.8,4.8

【答案】D

【分析】本题考查了众数的定义，理解定义：“一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数；将这

组数据按从小到大的顺序排列，当数据的个数是奇数时，中间的数为中位数，当数据的个数是偶数时，中

间两个数的平均数为中位数.”是解题的关键.

【详解】解：把这组数据从小到大排列为4.5,4.6,4.8,4.8,5.0,排在中间的数是4.8,

故中位数是4.8；

这组数据中4.8出现的次数最多，

故众数为4.8.

故选：D.

2.“杂交水稻之父”袁隆平培育的超级杂交稻在全世界推广种植.某种植户为了考察所种植的杂交水稻苗的

长势，从稻田中随机抽取7株水稻苗，测得苗高（单位：cm）分别是23,24,23,25,26,23,25.则这

组数据的众数和中位数分别是（）

A.24,25B.23,23C.23,24D.24,24

【答案】C

【分析】本题考查众数、中位数，掌握众数、中位数的定义是正确解答的关键.根据众数、中位数的定义

进行解答即可.

【详解】这组数据中，出现次数最多的是23,因此众数是23,

将这组数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是24,由此中位数是24.

故选C.

3.已知数据：-2,1,2,1,4,6,下列说法正确的是（）

A.平均数3B.众数是-2C.极差为8D.中位数是1

【答案】C

【分析】本题考查求一组数据的平均数、众数、极差、中位数等知识，根据相关知识逐项判断即可求解.

【详解】解：A、这组数据的平均数是一2+.2：1+4+6=2,故本选项不符合题意；

O

B、1出现了2次，出现的次数最多，所以众数是1,故本选项不符合题意；

C、极差是：6-（-2）=8,故本选项符合题意；

D、把这些数从小到大排列为-2,1,1,2,4,6,中位数是觉=],故本选项不符合题意.

故选：C.

4.若一组数据2,3,x,5,6,7的众数为7,则这组数据的中位数为（）

A.2B.3C.5.5D.7

【答案】C

【分析】本题考查的是众数，中位数的含义，先根据众数的含义求解x=7,再排序求解中位数即可.

【详解】解：,•・数据2,3,x,5,6,7的众数为7,

x=7,

把这组数据从小到大排列为：2、3、5、6、7、7,

则中位数为手=5.5；

故选：C.

5.如图为荣成市7天的天气情况，这7天最高气温的中位数与众数分别为（）

06/0106/0206/0306/0406/0506/0606/07

&£00Q

27℃28C28℃

-----------------

19°C^云°2正

21~—O一

17℃16℃

A.25.5,27B.26,28C.26.5,27D.28,28

【答案】B

【分析】本题考查求中位数及众数，根据最中间的数叫中位数，出现次数最多的角众数直接求解即可得到

答案；

【详解】解：由图像可得，

28出现次数最多，故众数为28,

数据排序为：23,24,25,26,27,28,28,

二中位数为：26,

故答案为：B.

6.2021年5月1日至7日，某市每日最高气温如图所示，则最高气温的中位数是℃.

【答案】27

【分析】本题考查确定一组数据的中位数的能力.解题的关键是先把数据按从小到大（或从大到小）的顺

序排列，然后再根据奇数和偶数个数来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果

是偶数个则找中间两位数的平均数.据此解答即可.

【详解】解：把这些数从小到大排列为：23,25,26,27,30,33,33,

最中间的数是27,

.••中位数是279.

故答案为：27.

7.学校举行“书香校园”读书活动，某小组的五位同学在这次活动中读书的本数分别为4,7,9,8,7.数据4,

7,9,8,7的众数为一.

【答案】7

【分析】此题考查了众数，根据数据中出现次数最多的数据是众数即可得到答案.

【详解】解：数据4,7,9,8,7中出现最多的是7,

.•.数据4,7,9,8,7的众数为7,

故答案为：7.

易错点二：混淆平均数和加权平均数

平均数：一般地，“个数七,々，…，相，我们把工&+%2+…+5）叫做这〃个数的算术平均数，记做最

n

〃个数的加权平均数：如果在几个数中，X1出现了力次，与出现了当次，……4出现了九次，那么加

权平均数为X=再:+马力+…+4/

n

易错提醒：加权平均数即将各数值乘以相应的权数，然后加总求和得到总体值，再除以总的单位数.在做

题的时候，要注意题设中有没有出现“权”，不能将加权平均数和平均数混淆.

例3.如表记录了数学兴趣小组甲、乙、丙、丁四名同学最近几次拓展训练的数学成绩，现要选拔一名成

绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应推选（）

甲乙丙T

平均数95969695

方差2.52.42.32.5

A.甲B.乙C.丙D.丁

【答案】C

【分析】此题考查了算术平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键.首先比较平均数，平

均数相同时选择方差较小的同学参加.

【详解】解：•••乙和丙的平均数大于甲和丁的平均数，

从乙和丙中选择一人参加比赛，

•••丙的方差小于乙的方差，

，选择丙参加比赛.

故选：C

例4.若一组数据T,0,2,5,x的极差为8,则尤的值是（）.

A.-3B.8或-9C.8D.7或一3

【答案】D

【分析】当x为最大值和最小值时分别根据极差列方程即可.

【详解】解：当x为最大值时，

X-（-1）=8,

解得x=7；

当x为最小值时，

5-x=8,

解得x=-3,

故选D.

【点睛】本题考查了极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的

最大值减去最小值.

练习1.如果一组数据6,7,x,9,5的平均数是2x,那么这组数据的标准差为（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【分析】直接利用平均数的求法，得出一元一次方程，解出即可得出x的值，进而求出这组数据的方差，

从而求出标准差.

【详解】解：：一组数据6,7,x,9,5的平均数是2尤，

••6+7+尤+9+5=2xx5,

解得：x=3,

・・・这组数据的平均数为6,

...这组数据的方差为（6一寸+（7-6）2+（3-句+（9-句+（5-6）2=4,

5

.••这组数据的标准差为4=2.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了平均数和标准差，正确得出x的值是解本题的关键.

练习2.甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数均是9.1环，方差分别为

s差=0.9,4=0-8，s奋=0.2,s1=0.5,则射击成绩最稳定的是—.

【答案】丙

【分析】本题考查了数据的波动，明确方差越小越稳定即可解题.

【详解】看=0.9,S^=0.8,=0.2,芹=0.5,

$丙<$丁<3乙<S甲，

•••成绩最稳定的是丙.

故答案为：丙.

练习3.小明连续5天的体温数据如下（单位：。C）：36.7,36.3,36.6,36.2,36.3,这组数据的极差

是0c.

【答案】0.5

【分析】本题考查了极差的定义，极差是最大数据和最小数据的差，据此解答.

【详解】解：这组数据的极差是：36.7-36.2=0.5（℃）.

故答案为:0.5.

练习4.若五个数据2,-1,3,尤，5的极差为8,则x的值为一.

【答案】7或-3

【分析】根据题目给的数据和极差的定义，可分两种情况讨论：x是最大值和尤是最小值，分别列式计

算，可求解.

【详解】解：由题意可得：极差是8,故x不可能是中间值，

若x是最大值，则x-（T）=8,x=7,

若X是最小值，则5-x=8,x=-3,

则x的值为7或-3,

故答案为：7或-3.

【点睛】本题考查了极差的定义，熟记概念是解题的关键.

1.某班级学生期末操行评定从德、智、体、美、劳五方面按2:3:2:2:1确定成绩，小明同学本学期五方面

得分如图所示，则他期末操行得分为一分.

体美

【答案】9

【分析】本题考查了求平均数，熟记加权平均数公式是解题的关键.根据加权平均数的计算公式计算即可

得解.

10x2+9x3+8x2+9x2+9x1

【详解】解：由题意可得,（分）,

2+3+2+2+1

答：他期末操行得分为9分.

故答案为：9.

2.某校在12月9日举办了以“不忘国耻振兴中华”为主题的合唱比赛，每支参赛队的最终成绩按歌曲内容

占30%,演唱技巧占50%,精神面貌占20%进行考评.八一班参赛歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94

分，精神面貌获得95分，则八一班的最终成绩是一分.

【答案】93

【分析】本题考查了加权平均数的计算方法，掌握权的分配是解题的关键.

根据加权平均数的计算公式列式计算即可.

【详解】解：根据题意，八一班的最终成绩是：30%x90+50%x94+20%x95=93（分）.

故答案为：93.

3.中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2：3：5的比计算学

期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，则小红同学本学期的体育成绩是一分.

【答案】87

【分析】本题考查加权平均数的求法，根据题中条件，利用加权平均数的求解公式代值求解即可得到答

案，熟记加权平均数公式是解决问题的关键.

【详解】解：,••中卫三中规定学生体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩2:3:5的

比计算学期成绩，小明同学本学期三项成绩依次为90分、80分、90分，

.•.小红同学本学期的体育成绩是90x—2^+80x一3一+90x.5:”87分,

2+3+52+3+52+3+5

故答案为：87.

4.在前三场击球游戏中，王新同学得分分别为139,143,144,为使前4场的平均得分为145,第四场他应得

分.

【答案】154

【分析】此题考查了利用平均数求未知数值，用平均数乘以数据个数减去已知数据即可得到答案.

【详解】解：根据题意可得，145x4-139-143—144=154,

即第四场他应得154,

故答案为：154

5.已知一组数据°、b、c的平均数为5,那么数据a-2、b—2、c-2的平均数是

【答案】3

【分析】本题考查了算术平均数；

根据数据。、b、c的平均数为5求出a+人+c=15,然后根据算术平均数的计算方法求解即可.

【详解】解：由题意得：£±|±£=5,

/.a+b+c=15,

-2+h-2+c-215-2-2-2

数据。-2、b-2、c-2的平均数为：°a一+丁匕丁，=3,

故答案为：3.

6.张老师把七年级2班第三组五名同学的成绩简记为+10,-5,0,-8,-3,又知道记为0的实际成绩

表示90分.

(1)成绩最高是多少分？成绩最低是多少分？

(2)这5名同学的平均成绩为多少分？

【答案】(1)成绩最高是100分.成绩最低是82分

(2)五位同学平均成绩是88.8

【分析】本题考查的是正负数的含义，有理数的混合运算的实际应用，理解题意是关键；

(1)由超过最多的分数加上基准分可得最高分，由不足最多的加上基准分可得最低分数；

（2）设这5名同学的平均成绩为无分，利用总分不变列方程求解即可.

【详解】（1）解：成绩最高：90+10=100,成绩最低：90-8=82；

答：成绩最高是100分.成绩最低是82分；

（2）设这5名同学的平均成绩为x分，

由题意，得5x=90x5+（10-5+0-8-3）.

解得x=88.8.

答：五位同学平均成绩是88.8.

7.某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩和民主测评，A、B,C、D,E五位老师作

为评委对“演讲答辩”情况进行了评价，全班50位同学参与了民主测评，结果如下表：

表1演讲答辩得分表（单位：分）

ABCDE

甲9092949588

乙8986879491

表2民主测评票数统计表（单位：张）

“好”票数“较好”票数“一般”票数

甲4073

乙4244

规则：

①演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分后，再算出平均分”的方法确定；

②民主测评得分=“好”票数x2分+“较好”票数x1分+“一般”票数x0分；

③演讲答辩得分和民主测评得分按4:6确定权重，计算综合得分，请你计算一下甲、乙的综合得分，选出

班长.

【答案】见解析

【分析】本题考查了平均数和加权平均数的概念及应用，首先分别求出甲、乙两位选手各自演讲答辩的平

均分，然后根据平均数的概念分别计算出甲、乙两位选手的民主测评分，最后根据不同权重计算加权成

绩.

【详解】解：甲演讲答辩的平均分为：；二92；

乙演讲答辩的平均分为：QQ4-R；7+Q1=89；

甲民主测评分为：40x2+7x1=87；

乙民主测评分为：42x2+4x1=88；

92x4+87x6

，甲综合得分:

4+6

89x4+88x6

乙综合得分:=88.4

4+6

89>88.4,

・•・应选择甲当班长.

易错点三：混淆极差、方差的定义

极差：最大值与最小值的差

2

方差：一般地，各数据与平均数的差的平方的平均数?=：［（%—元）2+（X2-X）+.••+（%„-xf.

方差的算术平方根S就是标准差.方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定.

易错提醒：须记住对应的定义，不能因为都有“差”就觉得一样

@00©

例5.一组数据2,1,4,X,6的平均值是4,则X的值为（）

A.3B.5C.6D.7

【答案】D

【分析】本题考查了算术平均数，可直接根据平均数的定义列方程求解.

【详解】解：：一组数据2,1,4,x,6的平均值是4,

（2+l+4+x+6）+5=4,

解得x=7,

故选：D.

例6.睡眠管理作为“五项管理”中重要的内容之一，也是学校教育重点关注的内容.某老师了解到某班40

位同学每天睡眠时间（单位：小时）如下表所示，则该班级学生每天的平均睡眠时间是一小时.

睡眠时间8小时9小时10小时

人数62410

【答案】9.1

【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，进行求解即可.

8x6+9x24+10x10…

【详解】解:---------------------------=9.1（小时）,

40

即该班级学生每天的平均睡眠时间是9.1小时.

故答案为：9.1.

练习1.为进一步增强文化自信，肩负起传承发展中华优秀传统文化的历史责任，某校举行了“诵读国学经

典传承中华文明”演讲比赛.演讲得分按“演讲内容”占40%,“语言表达”占40%,“形象风度”占10%,“整

体效果”占10%进行计算，小颖这四项的得分依次为85,88,92,90,则她的最后得分是一分.

【答案】87.4

【分析】本题考查的是加权平均数的求法.根据加权平均数的定义列式计算可得.

【详解】解：她的最后得分是85x40%+88x40%+92xl0%+90xl0%=87.4（分），

故答案为：87.4.

练习2.在数据4,5,6,5中添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则你添加的这个数可以是—.

【答案】5

【分析】本题主要考查了求一组数据的平均数，先求出原数据的平均数，添加一个数使得新数据的平均数

不变，则添加的数即为原数据的平均数，据此可得答案.

【详解】解：•••数据4,5,6,5的平均数为4+5：6+5=5,

4

添加一个数据后，使其平均数不发生变化，则添加的数为5,

故答案为：5.

练习3.杭州亚运会射箭比赛中，某运动员6箭的成绩（单位：环）依次是巧，x3,西+1,%+2,

电+3若前3箭的平均成绩为7环，则这6箭的平均成绩为一环.

【答案】8

【分析】本题考查了平均数的计算，掌握平均数的计算方法是解题的关键.根据前3箭的平均成绩为7

环，可得为+々+斗=21,再计算6箭的平均成绩，化简为含有&+%+工）的算式，即可求出结果.

【详解】解：,•,前3箭的平均成绩为7环,

.占+%+2小

"3-'

石+/+%3=21,

,这6箭的平均成绩为为+々W+（为+1）+（%+2）+（玉+3）=2（阳+々+马）+6=2x21+6=8

‘6―6-—6

故答案为：8.

练习4.已知一组数据为,与三,七的平均数是5,则数据占+1,%+2,W+3,%+4的平均数是

【答案】7.5

【解析】略

1.体育课上，九（1）班两个组各10人参加跳绳测试，要判断哪一组成绩比较整齐，通常需要知道这两

个组跳绳测试成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.方差

【答案】D

【分析】本题考查了方差的意义，根据方差越小，数据波动越小，越稳定，解答即可.

【详解】根据方差越小，数据波动越小，越稳定，

故选D.

2.已知一个样本数据为2,3,4,5,6,则这组数据的方差和标准差分别是（）

A.2、0B.3、百C.0、2D.出、3

【答案】A

【分析】此题考查计算方差和标准差，熟练掌握计算公式是解题的关键，先求出数据的平均数，再根据方

差及标准差公式求出方差.

【详解】解：这组数据的平均数=2+3+；+5+6=4,

方差=；x-4）2+（3-4）2+（4-4+（5-4）2+（6.4）1=2,

标准差=拒，

故选：A.

3.如图是根据某打绳巷米面店今年6月1日至5日每天的用水量（单位：吨）绘制成的折线统计图.则这

组数据的方差是—.

【答案】8

【分析】本题主要考查了折线统计图，求方差，先根据统计图的数据求出这组数据的平均数，进而求出这

组数据的方差即可得到答案.

【详解】解；这组数据的平均数为？+5+；+9+H=7,

・•.这组数据的方差为G-7)2+(5-7)2+(7-7)2+(9-7)2+(11-7)、&,

5

故答案为：8.

4.数据2,x,4,2,8,5的平均数为6,这组数据的极差为一.

【答案】13

【分析】考查了平均数和极差公式，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中

的最大值减去最小值，由平均数公式求出x,再根据极差的公式：极差=最大值-最小值求解即可.

【详解】解根据题意得：2+x+4+2+8+5=6?6

解得：丈=15

极差：15-2=13,

故答案为13.

5.已知2,3,5,优，“五个数据的方差是16,那么3,4,6,m+1,〃+1五个数据的标准差是.

【答案】4

【分析】先设原数据的平均数为无，即可得出新数据的平均数，再求出原来的方差，和现在的方差，进而

得出标准差.

【详解】解：由题意知，原数据的平均数为无，新数据的每一个数都加了1,则平均数变为3+1,

1———

则原来的方差s；=-x)2+(4-x)2+.••+(演-x)2]=16,

5

1———

2

现在的方差S；=一[(为+1-X-1)+(4+1-X-L)2+•••+(x5+l-X~L)2]

5

=-[(^-X)2+(入2-X)2+••,+(才5-X)2]=16.

5

所以方差不变，标准差为4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，每个数都加1所以波动不会变,

方差不变，即数据的波动情况不变.

6.若3,a,4,6,5的平均数是4,则这组数据的标准差是—.

【答案】V2

【分析】先根据求平均数的方法，求出。的值，再根据标准差的公式，求出标准差即可.

【详解】V3,。，4,6,5的平均数是4

3+Q+4+6+5.

/.-------------------=4

5

a=2

：.S=J|[(3-4)2+(2-4)2+(4-4)2+(6-4)2+(5-4)2]=41

故答案为：72.

【点睛】本题考查了算术平均数，标准差的计算，熟知相应公式，并进行准确计算是解题的关键.

7.有一组数据如下：5,6,7,a,9,它们的平均数是7,那么这组数据的标准差是()

A.10B.V10C.2D.72

【答案】D

【分析】根据平均数求出再根据方差公式求出方差，再根据标准差的定义即可得出答案.

【详解】•••这组数据的平均数是7

1x(5+6+7+a+9)=7,

*,*<3=8,

s)=:[(5-7)2+(6-7)2+(7-7)2+(8-7)2+(9-7)〃=2,

s="\/2

故选：D.

【点睛】本题考查了标准差的计算，掌握标准差的计算方法是解本题的关键.

易错点四：含参求“三数”忽略分类讨论

易错提醒：在求众数、平均数、中位数时，如果是一组含有未知数的数据就要分类讨论。其实对于此类题

目的解题本质还是掌握好众数、平均数、中位数的概念以及联系、区别，再对未知数可能取值的范围进行

分类讨论就可顺利解决。

®0©S

例7.一组数据6,8,10,X的中位数与平均数相等，则无的值不可能是（）

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】本题结合平均数考查了确定一组数据的中位数的能力.涉及到分类讨论思想，根据中位数的值与

大小排列顺序有关，而此题中x的大小位置未定，故应该分类讨论x所处的所有位置情况：从小到大（或

从大到小）排列在中间（在第二位或第三位结果不影响）；结尾；开始的位置.

【详解】解：（1）将这组数据从大到小的顺序排列为10,8,无，6,

处于中间位置的数是8,x,

那么由中位数的定义可知，这组数据的中位数是（8+x）+2,

平均数为（10+8+x+6）+4,

•.•数据10,8,x,6,的中位数与平均数相等，

（8+x）+2=（10+8+x+6）+4,

解得x=8,大小位置与8对调，不影响结果，符合题意；

（2）将这组数据从大到小的顺序排列后10,8,6,x,

中位数是（8+6）+2=7,

此时平均数是（10+8+x+6）+4=7,

解得x=4,符合排列顺序；

（3）将这组数据从大到小的顺序排列后x,10,8,6,

中位数是。。+8）+2=9,

平均数（1。+8+%+6）+4=9,

解得x=12,符合排列顺序.

；.x的值为4、8或12,不可能是6.

故选：B.

例8.已知数据4,4,6,6,8,a的中位数是5,如果这组数据有唯一的众数，那么a的值为—.

【答案】4

【分析】根据这组数据有唯一的众数可得。=4或a=6,再分别求出当。=4和。=6时这组数据的中位数即

可得到答案.

【详解】解：•••数据4,4,6,6,8,。有唯一的众数，

••6Z—48立Q=6,

4+6

当Q=4时，这组数据从小到大排列为4,4,4,6,6,8,则这组数据的中位数为言=5,符合题意；

当。=6时，这组数据从小到大排列为4,4,6,6,6,8,则这组数据的中位数为审=6,不符合题

忌；

〃=4,

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了求中位数和求众数，正确根据有唯一的众数确定出。=4或。=6是解题的关键.

练习1.己知一组数据-20、1「2、-3、1*有唯一众数，那么这组数据的中位数是.

【答案】-2或0/0或-2

【分析】根据众数的定义，结合有唯一众数分类讨论x的取值，排序即可得到答案；

【详解】解：\•数据-2。1「2、-3、1J有唯一众数，

；.尤等于-2或1,

当x=-2时，中位数为-2,

当x=l时，中位数为0,

故答案为：-2或0；

【点睛】本题考查众数的定义及中位数的定义，解题的关键是分类讨论.

练习2.若四个互不相等的正整数中，最大的数是8,中位数是4,则这四个数的和是—.

【答案】17或18/18或17

【分析】本题考查中位数，掌握一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或两个数的平均数是这组数据

的中位数是解题的关键.

【详解】解：\•中位数为4,

第二、三个数的和为8,

:这四个数是不相等的正整数，

第二、三个数为3、5或2、6,

这四个数为1、3、5、8；2、3、5、8或1、2、6、8,

.•.这四个数的和为17或18,

故答案为：17或18.

练习3.若一组数据2,6,3,5,x的平均数与中位数相同，则实数尤的值可以是.

【答案】T或4或9

【分析】本题考查了平均数与中位数的定义，根据题意，平均数与中位数相同建立等价的式子，灵活运用

分类讨论思想，解出即可作答.

2+6+3+5+x16+x

【详解】解：平均数:

55

当尤<2,则一组数据从小到大排序得x,2,3,5,6,

此时中位数为3

因为平均数与中位数相同

则—3

解得*=满足条件;

当2<x<3,则一组数据从小到大排序得2,x,3,5,6,

此时中位数为3

因为平均数与中位数相同

则—3

解得x=-1,不满足条件2〈尤<3,故舍去；

当3Vx<5,则一组数据从小到大排序得2,3,x,5,6,

此时中位数为x

因为平均数与中位数相同

解得x=4,满足条件3cx<5；

当5<x<6,则一组数据从小到大排序得2,3,5,%,6,

此时中位数为5

因为平均数与中位数相同

解得x=9,不满足条件5<x<6,故舍去；

当6<x,则一组数据从小到大排序得2,3,5,6,尤,

此时中位数为5

因为平均数与中位数相同

解得尤=9,满足条件6<x；

综上：实数尤的值可以是T或4或9

故答案为：-1或4或9

练习4.一组数据5,7,x,7中位数与平均数相等，则无的值是—.

【答案】5或9/9或5

【分析】根据平均数与中位数的定义就可以解决.中位数可能是7或6.

【详解】解：当尤27时，中位数与平均数相等，则得到：；(7+7+5+%)=7,解得x=9；

当x45时：：(7+7+5+%)=6,解得：x=5；

当5<x<7时：(7+7+x+5)+4=(x+7)+2,解得左=5,舍去.

所以x的值为5或9.

故答案为：5或9.

【点睛】本题考查中位数，算术平均数.掌握中位数和算术平均数的定义是解题的关键.

1.一组数据有5个自然数：4,5,5,x,»这组数据的中位数为4,唯一的众数是5,那么，所有满足条

件的x、y中，x+>的最大值是.

【答案】5

【分析】本题主要考查中位数、众数的定义以及利用中位数、众数求未知数的值，根据中位数、众数的定

义结合唯一的众数是5,可知根据中位数为4可知x<4,y<4,又知小y是自然数，据此得出

无、y的所有可能的取值，并求出x+>可能的最大值即可.

【详解】解：由于唯一的众数是5,中位数为4,

所以x,y不相等且x<4,y<4,

所以x、>的取值可能是0,1,2,3,

于是得了+y的最大值为2+3=5.

故答案为：5.

2.一组从小到大排列的数据：x,3,4,4(尤是正整数)，唯一的众数是4,则数据x是—.

【答案】1或2/2或1

【分析】首先根据唯一的众数是4得到XN4,然后根据从小到大排列求解即可.

【详解】•••一组从小到大排列的数据：无，3,4,4（尤是正整数），唯一的众数是4,

••・唯一的众数是4,

x44

•.•是从小到大排列，

x=1或2.

故答案为：1或2.

【点睛】本题考查了众数，解题关键掌握众数的概念.

3.五个正整数的中位数是5,唯一的众数是7,且这五个正整数的平均数为4.8,则这五个正整数中小于5

的是

【答案】1,4或2,3

【分析】设小于5的正整数为a,b,根据五个正整数的平均数为4.8得：a+6+；+7+7=4.8,求得。+8

后即可求得本题答案.

【详解】解:设小于5的正整数为a,b,

ir-tir-j口H”,口〃+Z?+5+7+7c

根据题意得：-------------------=4.8,

解得：a+b=5,

小于5的两数可以是1,4或2,3,

故答案为：1,4或2,3.

【点睛】本题考查了众数及中位数的定义，解题的关键是根据题意得到小于5的两数的和，难度不大.

4.一组数据1,2,46x的中位数和平均数相等，则x的值是

13

【答案】-3或7或三

4

【分析】本题考查了中位数、算术平均数，根据中位数、算术平均数的意义列方程即可求解，掌握中位

数、算术平均数的计算方法是解题的关键.

【详解】解：：这组数据的个数为5,

.••这组数据的中位数可能为2,4,x,

解得x=-3；

当中位数为4时,

l+2+4+6+x/

5=’

解得x=7；

当中位数为x时，

l+2+4+6+x

5一"'

解得％=—13；

4

13

故答案为：-3或7或三.

4

5.一组数据：“3,6,3,5,a,3”的平均数和中位数相同，则〃的值是—.

【答案】-2

【分析】根据一组数据“3,6,3,5,〃，3”的平均数和中位数相同和分类讨论的方法，可以求得〃的值.

【详解】解：・・,一组数据：36,3,5,a,3”的平均数和中位数相同,

・•・当々K3时,

1

—x(〃+3+3+3+5+6)=(3+3)+2

6

解得a=-2；

当3<〃45时,

1

—x(3+3+3+Q+5+6)=(3+Q)+2

6

解得〃=5.5（不合题意，舍去）;

当a>5时,

1

—x(3+3+3+5+a+6)=(3+5)+2

6

解得Q=4（不合题意，舍去）;

故答案为：-2.

【点睛】本题考查中位数、算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出〃的值.

6.第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，为调查学生对杭州亚运会的了解情况，

学校随机抽取了部分学生进行“我所了解的杭州亚运会”问卷调查，规定每人必须且只能在“非常了解”“一般

了解”“有点了解”“很不了解”四个选项中选择一项，并根据统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图.

人数

70非常

60

50

40

30

20

10nr11

01非常一般有点

了解了解了解

请根据上面提供的信息，解答下列问题:

（1）在这次调查中，该校一共抽样调查了名学生，扇形统计图中“非常了解”项目所对应的扇形圆心角

的度数是°,并补全条形统计图;

（2）若该校共有1200名学生，试估计该校学生中知道第19届杭州亚运会的人数（知道包括“有点了解”“一般

了解”和“非常了解”）；

（3）学校在选择“非常了解”的学生中任选6名进行“亚运知识我知道”小测试，其中5名学生的分数（单位:

分）分别为76,84,92,80,80,这6名学生的分数的中位数为81,求第6名学生的分数.

【答案】（1）160；157.5；见解析

(2)1050名

(3)82分

【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图，用样本估计总体，中位数.

（1）根据选项“有点了解”的人数与百分比，即可求出总人数；根据“非常了解”的人数与总人数求出所占百

分比，再乘以360。即可得到圆心角的度数；根据总人数与其他三个选项的人数，求出“很不了解”的人数,

即可补全条形统计图.

（2）全校学生人数乘以样本中知道第19届杭州亚运会的比例，即可解答.

（3）将已知5名学生的分数从小到大排列为76,80,80,84,92,设第6名学生的分数为羽分3种情况

讨论：①尤（80,②xW84,③80cx<84,根据中位数的定义即可求解.

【详解】（1）该校一共抽样调查学生40-25%=160（名）,

“非常了解”项目所对应的扇形圆心角会70、360。=157.5。,