2025年新高考数学一轮复习：古典概型与概率的基本性质（八大题型）（练习）（学生版+解析）

第05讲古典概型与概率的基本性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：简单的古典概型问题.....................................................2

题型二：古典概型与向量的交汇问题...............................................2

题型三：古典概型与几何的交汇问题...............................................3

题型四：古典概型与函数的交汇问题...............................................4

题型五：古典概型与数列的交汇问题...............................................4

题型六：古典概率与统计的综合...................................................5

题型七：有放回与无放回问题的概率...............................................5

题型八：概率的基本性质.........................................................6

02重难创新练...................................................................7

03真题实战练..................................................................8

题型一：简单的古典概型问题

1.下列试验是古典概型的是()

A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点

B.某射手射击一次，可能命中。环，1环，2环，10环

C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲

D.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

2.下列有关古典概型的说法中，错误的是()

A.试验的样本空间的样本点总数有限

B.每个事件出现的可能性相等

C.每个样本点出现的可能性相等

D.已知样本点总数为"，若随机事件A包含上个样本点，则事件A发生的概率尸(A)=2

n

3.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数.记事件人点数之和为3,事件股点数之和不

超过3.有下列说法：①样本空间。=｛亿加ViV6,lW/V6,ieN,jeN｝；②A=｛(1,2),(2,1)｝；③

3=｛(1,1),(1,2),(2,1)｝；@P(A)<P(B).其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

4.下列是古典概型的是()

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③④

题型二：古典概型与向量的交汇问题

5.(2024•浙江嘉兴.二模)已知正九边形44…4,从44,…,可中任取两个向量，则它们的数量

积是正数的概率为()

6.（2024・上海浦东新•三模）连续投骰子两次得到的点数分别为加，n,作向量苕=（m,n）,则茂与5=（1,

-1）的夹角成为直角三角形内角的概率是.

7.（2024・上海徐汇.二模）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是加，记第二颗骰

子出现的点数是"，向量4=。〃-2,2-〃），向量石=。,1）,则向量a1b的概率是.

8.设山，“分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量讶=（移〃），石=（1,-1）,则向量加的夹角为锐

角的概率是.

题型三：古典概型与几何的交汇问题

9.（2024・河北唐山•一模）从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为

（）

A.-B.—C.-D.—

714735

10.（2024.内蒙古.模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学

家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的

区域所涂颜色不同的概率是（）

11.（2024•陕西咸阳•一模）《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著，

大约成书于公元前300年.汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦

合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出.前6卷主要包括：基本

概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容.某

高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分.则数学专业学生张某在三角形和四

边形这两章中至少选一章的概率为（）

,3c4r6

A.-B.—C.—D.一

7777

12.一个大正方体木块的表面积为96cm"将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长为

1cm的小正方体木块.若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为（

3

AB•3D.

-18

题型四：古典概型与函数的交汇问题

13.设函数=+士（尤＞4）,若。是从1,2,3,4四个数中任取一个，匕是从4,8,12,16,20,24六个数中

任取一个，则“X）＞6恒成立的概率为.

14.（2024.高三.山东潍坊.开学考试）已知四个函数：①%七，②y=-lnx,=@y=0从中

任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.

15.（2024.高三.上海青浦•期中）已知函数y=的定义域为｛＜-3,3,4｝,值域为｛2,3｝,则函数y=

是偶函数的概率为.

16.（2024・上海闵行•模拟预测）已知函数了。）的定义域为｛T,0,4｝,值域为｛2,3｝,则函数是偶函数

的概率为

题型五：古典概型与数列的交汇问题

17.（2024•江西・一模）斐波那契数列（Fibonaccisequence）,又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那

契（I^onardoFibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：

%=l,q=1,4=a0T+%_2（"22,"eN*）,A=｛%，4,…,生A且3W0中，则B中所有元素之和为奇数

的概率为—.

18.（2024•福建•模拟预测）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1,1,2,3,5,

8,13,21,34,55,89,144,L,若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为.

19.（2024山东泰安.三模）已知大于3的素数只分布在｛6〃-1｝和｛6〃+1｝两数列中（其中，为非零自然数），

数列｛6九-1｝中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列｛6〃+1｝中的合数叫阳性合数，其中的素数

叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数，一个阳性素数的概率是.

20.裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为

例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列｛%｝满足：《=%=1，

an+2=an+an+l,现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是

21.集合A中有4个等差数列，集合8中有5个等比数列，AcB的元素个数是1,在&UB中任取两个数

列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是.

题型六：古典概率与统计的综合

22.（2024•上海.三模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,%,则这

6个点数的中位数为4的概率为.

23.（2024・江西上饶•二模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为L2,4,5,6,x,则这6

个点数的中位数为3的概率为.

24.已知｛匕｝是公差不为0的等差数列.现从工,々，无3,尤4，％，尤6,这组数据中随机删除2个数，得到一组新的

数据.这两组数据的极差相同的概率为.

25.高三年级某8位同学的体重分别为90,100,110,120,140,150,150,160（单位：kg）,现在从

中任选3位同学去参加拔河，则选中的同学中最大的体重恰好为这组数据的第70百分位数的概率

是.

26.A,B,C三个地区爆发了流感，这三个地区分别有5%,4%,2%的人患了流感.假设这三个地区的人

口比例为4：3：3.现从这三个地区中任意选取一个人，则这个人患流感的概率为.

题型七：有放回与无放回问题的概率

27.（2024.全国.模拟预测）4个产品中有3个正品，1个次品.现每次取出1个做检查（检查完后不再放

回），直到次品被找到为止，则经过3次检查恰好将次品找到的概率是（）

A.—B.-C.—D.一

4324

28.杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图.现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”

图案的卡片（卡片的形状、大小和质地完全相同）放入盒子中.若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一

张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是（）

29.（2024•广东佛山•模拟预测）在《周易》中，长横表示阳爻，两个短横表示阴爻.有放回

地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有23=8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪，两仪生四象，

四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻两次有四种情况，有放

回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的“算卦”，就是两个八卦的叠合，即共有放回地取阳爻和阴爻六次，

得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓“算卦”中得到六爻，这六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是

（）

1595

A.-B.—C.—D.-E.均不是

716168

30.一个袋子中装有大小和质地相同的5个球，其中有2个黄色球，3个红色球，从袋中不放回的依次随机

摸出2个球，则事件“两次都摸到红色球”的概率为（）

A.-B.—C.-D.-

41032

31.在一个不透明的袋中有4个红球和"个黑球，现从袋中有放回地随机摸出2个球，已知取出的球中至少

Q

有一个红球的概率为1,则〃=（）

A.1B.2C.3D.4

题型八：概率的基本性质

32.（2024.全国.模拟预测）设43是随机事件，且P（A）=：P（3）=（,P（AU国=；,则尸（Ac月）=.

33.一次考试，小明数学超过90分的概率是0.8,物理超过90分的概率是0.7,两门都超过90分的概率是

0.6,则他的数学和物理至少有一门超过90分的概率是.

34.（2024•浙江宁波・一模）第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动

员准备参加100米、200米两项比赛,根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为1，

2

31

200米比赛未能站上领奖台的概率为历，两项比赛都未能站上领奖台的概率为而，若该运动员在100米比

赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是.

35.已知相互独立事件48满足P（A）=0.6,尸（AB）=0.42,则尸（4口国=.

36.甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7,被甲或乙解出的概率为0.94,

则该题被乙独立解出的概率为.

37.为实现学生高中选科和大学专业选择的有效衔接，湖南省于2019年采用“3+1+2”模式改革考试科目设

置，即考生总成绩由统一高考的语文、数学、外语3个科目成绩，物理或历史中的1门成绩，和生物、政

治、地理、化学中的2个科目成绩组成.在选择物理的学生中，选择物理、化学、生物的概率是选择其它

组合的2倍，则选择物理、化学、生物的概率为；现有选择物理的2名学生，他们选择专业的组

合互不影响，则至少有1人选择物理、化学、生物的概率为.

匐2

重难创新练

1.（2024・四川巴中•模拟预测）有4名志愿者参加社区服务，服务星期六、星期日两天.若每天从4人中

任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的概率为（）

A.-B.-C.-D.-

4334

2.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）将数字123,4,5,6,7,8,9随机填入3x3的正方形格子中，则每一横行、每一竖

列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等的概率为（）

8r12_24-48

A.—B.—C.—D.—

9!9!9!9!

3.（2024•江西上饶•模拟预测）某学校组织学生开展研学旅行，准备从4个甲省景区，3个乙省景区，2个

丙省景区中任选4个景区进行研学旅行，则所选的4个景区中甲、乙、丙三个省的景区都有的概率是（）

从（«+工）的二项展开式中随机取出不同的两项，则这两项的乘积为有理项的概率为（

4.)

5.（2024・高三.江苏镇江•开学考试）由数字2,3,4组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的

概率为（）

A.2B—C.3D.-L

3642

6.随着电商的兴起，物流快递的工作越来越重要了，早在周代，我国便已出现快递制度，据《周礼・秋官》

记载，周王朝的官职中设置了主管邮驿，物流的官员“行夫”，其职责要求是“虽道有难，而不时必达”.现某

机构对国内排名前五的5家快递公司的某项指标进行了3轮测试（每轮测试的客观条件视为相同），每轮测试

结束后都要根据该轮测试的成绩对这5家快递公司进行排名，那么跟测试之前的排名比较，这3轮测试中恰

好有1轮测试结果出现2家公司排名不变的概率为（）.

7.（2024・高三.山东荷泽•开学考试）某兴趣小组组织四项比赛，只有甲、乙、丙、丁四人报名参加且每项比赛

四个人都参加，每项比赛冠军只有一人，若每项比赛每个人获得冠军的概率均相等，则甲恰好拿到其中一

项比赛冠军的概率为（）

B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为去

C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为3走7

1Q

D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为共

13.从;，g,g,2,3,4,6,9中任取两个不同的数，分别记为加，n,记A="log,“〃＜。"，则P（A）=.

14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字3,5,7,9,乙的卡

片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选

一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后各自弃置此轮所选的

卡片（弃置的卡片在此后轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分为3的概率为.

15.现安排甲、乙、丁、丙、戊五位老师从周一到周五的常规值班，每人一天，每天一人，则甲、乙两人

相邻，丙不排在周三的概率为.

16.（2024・高三・江苏南京•开学考试）数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，简称数阵，数

阵是由幻方演化出来的另一种数字图，有圆、多边形、星形、花瓣形、十字形，甚至多种图形的组合，变

幻多端，由若干个互不相同的数构成等腰直角三角形数阵，如图，其中第一行1个数，第二行2个数，第

三行3个数……以此类推，一共10行，设Z是从上往下数第先行中的最大数，则国＜尤2＜…＜和的概率

为.

*

**

***

****

***・・・*

㈤3

//直皿战络\\

1.（2021年全国高考甲卷数学（文）试题）将3个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.0.3B.0.5C.0.6D.0.8

2.（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

3.（2024年新课标全国H卷数学真题）在如图的4x4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个

方格被选中，则共有种选法，在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值

是______

11213140

12223342

13223343

15243444

4.（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6,从中无

放回地随机取3次，每次取1个球.记加为前两次取出的球上数字的平均值，,为取出的三个球上数字的平

均值，则加与〃之差的绝对值不大于《的概率为.

2

5.（2024年天津高考数学真题）4民C2E五种活动，甲、乙都要选择三个活动参加.甲选到A的概率为

已知乙选了A活动，他再选择8活动的概率为.

6.（2024年新课标全国I卷数学真题）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上

分别标有数字1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两

人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人

得0分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得

分不小于2的概率为.

7.（2023年天津高考数学真题）把若干个黑球和白球（这些球除颜色外无其它差异）放进三个空箱子中，

三个箱子中的球数之比为5:4:6.且其中的黑球比例依次为40%,25%,50%.若从每个箱子中各随机摸出一

球，则三个球都是黑球的概率为；若把所有球放在一起，随机摸出一球，则该球是白球的概率

为.

8.（2022年高考全国甲卷数学（理）真题）从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的

概率为.

9.（2022年高考全国乙卷数学（理）真题）从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、

乙都入选的概率为.

第05讲古典概型与概率的基本性质

目录

01模拟基础练..................................................................2

题型一：简单的古典概型问题.....................................................2

题型二：古典概型与向量的交汇问题...............................................2

题型三：古典概型与几何的交汇问题...............................................3

题型四：古典概型与函数的交汇问题...............................................4

题型五：古典概型与数列的交汇问题...............................................4

题型六：古典概率与统计的综合...................................................5

题型七：有放回与无放回问题的概率...............................................5

题型八：概率的基本性质.........................................................6

02重难创新练...................................................................7

03真题实战练..................................................................8

题型一：简单的古典概型问题

1.下列试验是古典概型的是（）

A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点

B.某射手射击一次，可能命中。环，1环，2环，10环

C.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲

D.在适宜的条件下，种下一粒种子，观察它是否发芽

【答案】C

【解析】对于A,横坐标和纵坐标都是整数的点有无限多个，不满足有限样本空间特征，故该选项错误；

对于B,命中0环，1环，2环...，10环的概率不相同，不满足等可能性特征，故该选项错误；

对于C,人数有限，且任选1人与学生的性别无关，是等可能的，故该选项正确；

对于D,“发芽”与“不发芽”的概率不一定相等，不满足等可能性特征，故该选项错误；

故选：C.

2.下列有关古典概型的说法中，错误的是（）

A.试验的样本空间的样本点总数有限

B.每个事件出现的可能性相等

C.每个样本点出现的可能性相等

D.已知样本点总数为力若随机事件A包含上个样本点，则事件A发生的概率P（A）=与

n

【答案】B

【解析】由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等，故A,

C正确；

每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；

根据古典概型的概率计算公式可知D正确，

故选:B

3.先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察朝上的点数.记事件4点数之和为3,事件股点数之和不

超过3.有下列说法：①样本空间。=｛（i,""iW6,lWjW6,ieN,jeN｝；②A=｛（1,2）,（2,1）｝；③

8={(1,1),(1,2),(2,1)}；@P(A)<P(B).其中正确的个数是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】用(1,2)表示第一次掷出1点第二次掷出2点，其他的样本点用类似的方法表示,

则可知所有样本点均可表示成(，,/)的形式，其中i,/都是1,2,3,4,5,6中的数.

因此,样本空间。={(z,J)ll<i<6,1<J<6,ieN,jeN},①判断正确；

由&={(1,2),(2,1)}可知②判断正确;

由B={(1,1),(1,2),(2,1))可知③判断正确；

2131

因为尸(4)=”=^,==故尸(A)<P(3),故④判断正确.

36183612

故选：D

4.下列是古典概型的是()

①从6名同学中，选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性的大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为7的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10个人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

A.①②③④B.①②④C.②③④D.①③④

【答案】B

【解析】①②④中的基本事件都是有限个，且每个基本事件都是等可能的，

符合古典概型的定义和特点；③不是古典概型，因为不符合等可能性，

受多方面因素影响.

故选：B.

题型二：古典概型与向量的交汇问题

5.(2024•浙江嘉兴•二模)已知正九边形A4…从AW，d，…，耳不中任取两个向量，则它们的数量

积是正数的概率为()

【答案】A

【解析】

可以和向量A4构成数量积有WA，…一共8个向量，

其中数量积为的正数的向量有：豆,AA，44,44一共4个，

41

由对称性可知，任取两个向量，它们的数量积是正数的概率为：2=：.

o2

故选：A

6.(2024•上海浦东新•三模)连续投骰子两次得到的点数分别为加，〃，作向量(m,〃)，则也与5=(1,

-1)的夹角成为直角三角形内角的概率是.

【答案】看7

【解析】由题意知本题是一个古典概型,

试验发生包含的所有事件数6x6,

Vm>0,n>0,

a=(m,n)与B=(1,-1)不可能同向

・・・夹角分0.

71

・.・。£(0,-A

M•八0,

Am-n>0,

即m>n.

当m=6时，〃=6,5,4,3,2,1；

当m=5时，n=5,4,3,2,1；

当m=4时，n=4,3,2,1；

当m=3时，〃=3,2,1;

当m=2时，n=2,1；

当m=1时，n—1.

・•・满足条件的事件数6+5+4+3+2+1

6+5+4+3+2+17

・•・概率尸=

6^612

7

故答案为五

7.（2024.上海徐汇•二模）将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是加，记第二颗骰

子出现的点数是〃，向量4=（相-2,2-九），向量石则向量Q1b的概率是.

【答案】7

6

【解析】由题意知，7",〃e{l,2,3,4,5,6},则（m,九）共有36种,由4_L万，得（加一2）+（2—“）=0,即加=",

共有6种，根据古典概型的计算公式可得，所求概率为p=1

8.设机，W分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量力=（〃*"）,石=（1,-1）,则向量z,B的夹角为锐

角的概率是.

【答案】W

【解析】向量2,B的夹角为锐角，所以7B>o,

所以加一〃>0,即加〉

5+4+3+2+1

所以所求概率尸=

3612

故答案为：

题型三：古典概型与几何的交汇问题

9.（2024・河北唐山.一模）从正方体的8个顶点中任取3个连接构成三角形，则能构成正三角形的概率为

（）

A.-B.—C.-D.—

714735

【答案】A

【解析】从八个顶点中任选三个构成三角形的有C；=56种结果；

其中能构成正三角形的有8种结果：

】

△ACD[,ABDC],AAC3],ABDA,CXB,RA,C,zsAjCD,

O1

故概率为：—

5o7

故选：A.

10.（2024•内蒙古.模拟预测）如图，这是第24届国际数学家大会会标的大致图案，它是以我国古代数学

家赵爽的弦图为基础设计的.现用红色和蓝色给这4个三角形区域涂色，每个区域只涂一种颜色，则相邻的

区域所涂颜色不同的概率是（）

【答案】A

【解析】将四块三角形区域编号如下,

由题意可得总的涂色方法有24=16种，

若相邻的区域所涂颜色不同，即12同色，34同色，故符合条件的涂色方法有2种,

91

故所求概率尸=77=g.

Ioo

故选：A

11.（2024・陕西咸阳•一模）《几何原本》又称《原本》，是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学巨著,

大约成书于公元前300年.汉语的最早译本是由中国明代数学家、天文学家徐光启和意大利传教士利玛窦

合译，成书于1607年，该书据克拉维斯的拉丁文本《欧几里得原本十五卷》译出.前6卷主要包括：基本

概念、三角形、四边形、多边形、圆、比例线段、相似形这7章内容，几乎包含现今平面几何的所有内容.某

高校要求数学专业的学生从这7章里面任选3章进行选修并计人学分.则数学专业学生张某在三角形和四

边形这两章中至少选一章的概率为（

D

c7-I

【答案】c

【解析】数学专业的学生从这7章里面任选3章共有C；=35种选法；

数学专业学生张某在三角形和四边形这两章中至少选一章共有选法C抬+C泄=25种，

255

故张某在三角形和四边形这两章中至少选一章的概率为2=臣=,，

故选：C.

12.一个大正方体木块的表面积为96cm"将大正方体木块的表面涂上红色颜料，并且分割成若干个棱长为

1cm的小正方体木块.若从这些小正方体木块中任取一个，恰好取到有一面着色的小正方体木块的概率为()

A.-B.-C.-D.-

2448

【答案】D

[解析】表面积为96cm2的正方体棱长为4cm,体积为43=64cm3,

所以该大正方体可以分割成64个棱长为1cm的小正方体，

分割后在大正方体每个面上既不靠近顶点，又不靠近棱边的位置有4个小正方体是一面着色的,

所以所求概率为三=1,

648

故选:D

题型四：古典概型与函数的交汇问题

13.设函数/(无)=依+3(%>4),若。是从1,2,3,4四个数中任取一个,6是从4,8,12,16,20,24六个数中

任取一个，则/⑺>力恒成立的概率为.

【答案】j/0.625

O

【解析】因为。>0,尤>4,可得*-4>0,

贝!Jf(x]=ax+^^=ax+l+-^—=a(x-4)+—^—+4a+l>4y[a+4a+l=(2y/a+1)2,

x-4x-4尤一4

当且仅当x=J3+4时，等号成立，故/(x)min=(26+l)2,

Va

由不等式/(X)>b恒成立转化为(26+1)2>b恒成立,

因为。是从1,2,3,4四个数中任取一个，b是从4,8,12,16,20,24六个数中任取一个，

则构成的所有基本事件总数有24个，

又由（2a+1）2=9,（272+1K=9+4忘w（12,16）,（2百+1）2=13+473e（19,20）,（274+1）2=25,

设事件A="不等式/（%）>6恒成立”，则事件A包含事件：

（1,4）,（1,8）,（2,4）,（2,8）,（2,12）,（3,4）,（3,8）,（3,⑵,（3,16）,（4,4）,（4,8）,（4,12）,（4』6）,（4,20）,（4,25）共15

个，

因此不等式外力>力恒成立的概率为II="I.

故答案为：—.

O

14.（2024•高三・山东潍坊・开学考试）已知四个函数：①丫;七，②y==④y=«,从中

任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.

【答案】1/0.5

作出函数图象，

由图可得③与①有一个公共点，②和④有一个公共点，②和③有一个公共点，其余不符合题意，

所以事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为卷=《，

故答案为：—.

15.（2024・高三・上海青浦•期中）已知函数y=/（x）的定义域为{T-3,3,4},值域为{2,3},则函数y=/（x）

是偶函数的概率为.

【答案】|

【解析】因为y=的定义域为{<-3,3,4},关于原点对称，

当y=〃x）是偶函数时,有〃T）=〃4）,/（-3）=/（3）,

而3=〃力的值域为{2,3},

所以有〃T)=〃4)=2且3)=〃3)=3,或/(T)=/(4)=3且〃-3)=/(3)=2两种情况，

不考虑y=/(x)为偶函数时，分两种情况讨论：

一种是将7,-3,3,4分成一组1个元素，一组3个元素的情况，

此时有C；A；=8种情况满足题设；

一种是将T,-3,3,4分成每组各2个元素的情况，

此时有=6种情况满足题设；

综上，满足y=的定义域为｛<-3,3,4｝,值域为｛2,3｝的情况共有8+6=14种，

71

所以函数y=/(x)是偶函数的概率为言=：

故答案为：—■

16.(2024.上海闵行.模拟预测)己知函数/(尤)的定义域为｛T,0,4｝,值域为｛2,3｝,则函数/(尤)是偶函数

的概率为

【答案】|

【解析】因为/(无)的定义域为｛T0,4｝,关于原点对称，值域为｛2,3｝,

2,x=±42,x=02,%=4或0

所以有/(%)=,或f(x)=，或/(%)=

3,x=03,x=±43,x=-4

3,工=4或02,%=-4或03,尤=-4或0

或/(%)=或/(%)=或/(%)=

2,x=-43,%=42,x=4

共6种情况;

12,x=±4[2,x=0

而当小)=3,.。和/⑴=3,一4时,满足⑴是偶函数，有2种情况，

所以/(x)是偶函数的概率尸=]

故答案为：-

题型五：古典概型与数列的交汇问题

17.(2024•江西•一模)斐波那契数列(Fibonaccisequence),又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多・斐波那

契(珍onardoFibonacci)以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、

5、8、13、21、34、…，在数学上，斐波那契数列以如下递推的方式定义：

/=l,q=l,a“=a“_i+a"_2（"22,"eN*）,A={q,a2,…,%024}，8=A且3H0中，则B中所有元素之和为奇数

的概率为—.

【解析】由斐波那契数列规律可知，集合人=｛%,生，…，4期｝中的元素有675个偶数，1349个奇数，

记A中所有偶数组成的集合为C,所有奇数组成的集合为。，集合C的子集为E,集合。中含有奇数个元

素的子集为F,

则所有元素之和为奇数的集合B可看成EuF,

显然集合E共有2675个，集合F共有C；349+C：349+<^349+…+C墨=2侬个，

所以所有元素之和为奇数的集合B共有2675x21348=22023个，

,2023

又集合A的非空子集共有22。24一1个，所以B中所有元素之和为奇数的概率为言

2—1

22023

故答案为:

22024-1

18.（2024•福建•模拟预测）意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的数列：1,1,2,3,5,

8,13,21,34,55,89,144,L,若从该数列的前96项中随机地抽取一个数，则这个数是奇数的概率为

【答案】|

【解析】由题意可知，该数列连续三个数有两个奇数，一个偶数,则该数列的前96项中奇数共有96-空=64,

即这个数是奇数的概率为6整4=；2.

963

故答案为：y

19.（2024•山东泰安.三模）已知大于3的素数只分布在｛6〃-1｝和｛6〃+1｝两数列中（其中w为非零自然数），

数列｛6九-1｝中的合数叫阴性合数，其中的素数叫阴性素数；数列｛6〃+1｝中的合数叫阳性合数，其中的素数

叫阳性素数.则从30以内的素数中任意取出两个，恰好是一个阴性素数，一个阳性素数的概率是.

【答案】|

【解析】30以内的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29共10个.其中阴性素数有5、11、17、23、

29共5个，阳性素数有7、13、19共3个.

cpi1

因此，所求概率为尸=半产=鼻.

^ioJ

故答案为：

20.裴波那契数列（Fibonaccisequence）又称黄金分割数列，因为数学家列昂纳多•裴波那契以兔子繁殖为

例子引入，故又称为“兔子数列”，在数学上裴波那契数列被以下递推方法定义：数列｛%｝满足：%=4=1,

=%+4+—现从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是

【答案】7/0.25

4

【解析】数列｛例｝的前12项依次为1」,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144

它们除以3的余数分别为1,1,2,0,2,2,1,0,1,1,2,0,2,2,

可以发现：从第9开始，余数重复出现，故余数构成的数列周期为8,

故数列｛?｝前40项中，除以3余数为。的项的个数为当x2=10,

O

从该数列的前40项中随机抽取一项，则能被3整除的概率是P=S=

404

故答案为：--

4

21.集合A中有4个等差数列，集合3中有5个等比数列，的元素个数是1,在AU5中任取两个数

列，这两个数列中既有等差数列又有等比数列的概率是.

【答案】弓19

2,0

【解析】由AcB的元素个数是1可知，所以AU8中共有8个数列，

其中有一个数列既是等差数列又是等比数列，

有3个数列为等差数列而不是等比数列，有4个数列为等比数列而不是等差数列.

则从中任取2个数列有C；=28种不同的取法.

从中取出的两个数列中，全为等差数列有C；=3种不同的取法，全为等比数列有=6种不同的取法.

所以这两个数列中既有等差数列又有等比数列有28-6-3=19种不同的取法.

19

所以这两个数列中既有等差数列又有等比