2025年中考数学复习专项突破：函数与几何图形动态探究题（原卷版）

突破06函数与几何图形动态探究题

目录一览

中考解密［各析考豪方向，精准把握重难点）

重点考向（以真题为例，探究中考命题方向）

A考向一线段周长问题

A考向二面积问题

A考向三特殊三角形问题

A考向四特殊四边形问题

A考向五相似三角形问题

三:中考解密

函数与几何图形动态探究题是山西中考的必考题，这类题型属于开放探究题，考查学生综合探究、几何直

观和数学运算能力，在综合探究过程中，培养严谨的逻辑思维和分类讨论的思想，逐步体会分类的方法和

原因，逐步提高发现和提出问题以及分析和解决问题的能力.

重点考向

A考向一线段周长问题

1.（2023•辽宁丹东•统考中考真题）抛物线y=ad+bx-4与x轴交于点A（T,0）,3（2,0）,与y轴交于点

（1）求抛物线的表达式;

(2)如图，点。是抛物线上的一个动点，设点。的横坐标是根(T<m<2),过点。作直线龙轴，垂足

为点E,交直线AC于点孔当。，E,尸三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段的长；

(3)若点P是抛物线上的一个动点(点尸不与顶点重合)，点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平

面内，当四边形CMPN是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点尸的横坐标.

2.(2023•青海西宁•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，直线/与x轴交于点4(6,0),与y轴交于

点3(0,-6),抛物线经过点A,B,且对称轴是直线x=l.

(1)求直线I的解析式；

⑵求抛物线的解析式；

(3)点P是直线I下方抛物线上的一动点，过点P作轴,垂足为C,交直线I于点D,过点尸作尸河，/,

垂足为求尸河的最大值及此时尸点的坐标.

3.(2023•浙江湖州•统考中考真题)如图1,在平面直角坐标系X0Y中，二次函数y=f-4x+c的图象与y

轴的交点坐标为(0,5),图象的顶点为矩形A3CD的顶点。与原点。重合，顶点A,C分别在无轴，y

（2）如图2,将矩形A3CD沿尤轴正方向平移f个单位（0</<3）得到对应的矩形A®CZ>'.已知边C力，A'B'

分别与函数>=炉-4x+c的图象交于点P,Q,连接PQ,过点P作PGL4E于点G.

①当f=2时，求QG的长；

②当点G与点。不重合时，是否存在这样的使得△PGQ的面积为1?若存在，求出此时f的值；若不存

在，请说明理由.

4.（2023・湖北黄石•统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ar+6x+c与x轴交于两点

A（—3,0）,3（4,0）,与y轴交于点C（0,4）.

(1)求此抛物线的解析式；

(2)已知抛物线上有一点户(五,九)，其中为<0,若NC4O+/A5P=90。，求与的值;

(3)若点。，E分别是线段AC,AB上的动点，且AE=2CD,求CE+23。的最小值.

5.(2023•内蒙古•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-f+6x+c与x轴的交点分别为

A和8(1,0)(点A在点8的左侧),与>轴交于点。(0,3),

图1备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图1,过点尸作x轴平行线交AC于点E,过点尸作y轴平行线交x轴于点求尸E+尸。的最大值及

点尸的坐标;

(3)如图2,设点/为抛物线对称轴上一动点，当点尸，点M运动时，在坐标轴上确定点N,使四边形PMCV

为矩形，求出所有符合条件的点N的坐标.

6.(2023•宁夏・统考中考真题)如图，抛物线y=*+6x+3(aw0)与x轴交于A,3两点，与V轴交于点C.已

知点A的坐标是(-1,0),抛物线的对称轴是直线x=L

(1)直接写出点8的坐标；

(2)在对称轴上找一点P,使E4+PC的值最小.求点P的坐标和PA+PC的最小值；

(3)第一象限内的抛物线上有一动点过点"作加工了轴，垂足为N,连接BC交MN于点Q.依题意

补全图形，当MQ+&C。的值最大时，求点M的坐标.

A考向二面积问题

1.如图1,抛物线y=Y+bx+c交x轴于A,3(3,0)两点，交y轴于点C(0,-3).点尸是抛物线上一动点.

(2)当点尸的坐标为(1,T)时，求四边形B4cp的面积;

(3)当动点尸在直线BC上方时，在平面直角坐标系是否存在点。，使得以8,C,P,。为顶点的四边形是

矩形？若存在，请求出点。的坐标；若不存在，请说明理由；

(4)如图2,点。是抛物线的顶点，过点。作直线。"〃》轴，交x轴于点“，当点P在第二象限时，作直

线巳4,尸B分别与直线D”交于点G和点/,求证：点。是线段/G的中点.

2.如图，在菱形A3CD中，对角线AC,3D相交于点。，AB=10cm,BO=4&cm.动点尸从点A出发，

沿方向匀速运动，速度为lcm/s；同时，动点。从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为2cm/s.以

AP,AQ为邻边的平行四边形APMQ的边PM与AC交于点E.设运动时间为小乂0々<5),解答下列问题:

2--------------------公2...........................-

M><b

(备用图)

⑴当点〃在3。上时，求f的值；

(2)连接BE.设△PEB的面积为S(cn?),求S与，的函数关系式和S的最大值；

(3)是否存在某一时刻使点2在/PEC的平分线上？若存在，求出f的值；若不存在，请说明理由.

3.如图，一条抛物线>="2+法经过AOAB的三个顶点，其中。为坐标原点，点A(3,-3),点B在第一象

9

限内，对称轴是直线x=：,且AOAB的面积为18

(1)求该抛物线对应的函数表达式；

(2)求点8的坐标；

(3)设C为线段A3的中点，P为直线08上的一个动点，连接AP,CP,将AACP沿CP翻折，点A的对应

点为4.问是否存在点尸，使得以4，P,C,8为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有符合

条件的点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

4.如图，二次函数y=-f+6x+c的图象与x轴相交于点A和点C。,。)，交V轴于点网0,3).

(1)求此二次函数的解析式；

(2)设二次函数图象的顶点为尸，对称轴与左轴交于点。，求四边形AO3P的面积(请在图1中探索)；

(3)二次函数图象的对称轴上是否存在点使得是以AB为底边的等腰三角形？若存在，请求出满

足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由(请在图2中探索).

5.如图，抛物线、=加+法+3与x轴交于点8(3,0),与>轴交于点C.

4

(2)如图1,点。是x轴上方抛物线上一点，射线QWJ.X轴于点N,若QM=BM,且tan=请直

接写出点。的坐标.

(3)如图2,点E是第一象限内一点，连接AE交，轴于点。，AE的延长线交抛物线于点尸，点尸在线段C£>

上，且CF=OD,连接丛FE,BE,BP,右^AAFE=S&ABE，求APAB面积.

6.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-/+6x-c的图象与X轴交于点A(-3,0)和点8(1,0),与y轴

交于点C.

图1图2

(1)求这个二次函数的表达式.

(2)如图1,二次函数图象的对称轴与直线AC：y=x+3交于点。，若点M是直线AC上方抛物线上的一个动

点，求△MC。面积的最大值.

(3)如图2,点P是直线AC上的一个动点，过点尸的直线/与2C平行，则在直线/上是否存在点。，使点8与

点尸关于直线CQ对称？若存在，请直接写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

A考向三特殊三角形问题

1.如图，抛物线y=/-6x+5与无轴交于点A,B,与y轴交于点C,点0(2,⑸在抛物线上，点E在直线

8c上，若NDEB=2NDCB,则点E的坐标是.

2.在平面直角坐标系中,抛物线＞=-/+云+°与尤轴交于4(-3,0),8(1,0)两点，与y轴交于点C.

(2)如图甲，在y轴上找一点。，使AACD为等腰三角形，请直接写出点。的坐标；

(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在尸、。两点使以点A,C,P,。为顶点的四边形是菱形?

若存在，求出尸、。两点的坐标，若不存在，请说明理由.

3.如图，二次函数y=法-4的图像与无轴相交于点4-2,0)、B,其顶点是C.

(1)6=;

(2)0是第三象限抛物线上的一点，连接tanZAOD=g；将原抛物线向左平移，使得平移后的抛物线

经过点。，过点出。)作x轴的垂线/.已知在/的左侧，平移前后的两条抛物线都下降，求左的取值范围;

(3)将原抛物线平移，平移后的抛物线与原抛物线的对称轴相交于点。，且其顶点P落在原抛物线上，连接

PC、QC、PQ.己知△PC。是直角三角形，求点尸的坐标.

4.如图，抛物线丁=必+版+。过点A(-LO)、点3(5,0),交y轴于点C.

(1)求b,c的值.

⑵点尸(%%)(0<%<5)是抛物线上的动点

①当/取何值时，APBC的面积最大？并求出APBC面积的最大值；

②过点P作轴，交BC于点、E,再过点P作尸尸〃x轴，交抛物线于点孔连接E尸，问：是否存在点

P,使！PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

5.在平面直角坐标系中，已知抛物线>=/+/+。过点4(0,2),对称轴是直线x=2.

(1)求此抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；

(2)若点8在抛物线上，过点8作x轴的平行线交抛物线于点C、当A3CM是等边三角形时，求出此三角形

的边长；

(3)已知点E在抛物线的对称轴上，点。的坐标为(1,-1),是否存在点八使以点A,D,E,尸为顶点的四

边形为菱形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

6.如图，二次函数y=Y+bx+c的图象与x轴交于A,B两点,与>轴交于C点，其中3(1,0),C(0,3),

(1)求这个二次函数的表达式；

(2)在二次函数图象上是否存在点尸，使得&MC=SAABC?若存在，请求出尸点坐标；若不存在，请说明理由;

(3)点。是对称轴/上一点，且点。的纵坐标为当△QAC是锐角三角形时，求。的取值范围.

7.如图1,在平面直角坐标系中，己知二次函数丁=62+法+4的图象与无轴交于点4(-2,0),3(4,0),与

y轴交于点C.

(2)已知E为抛物线上一点，下为抛物线对称轴/上一点，以B,E,尸为顶点的三角形是等腰直角三角形，

且/BEE=90。，求出点尸的坐标；

(3)如图2,尸为第一象限内抛物线上一点，连接AP交＞轴于点连接3尸并延长交》轴于点N,在点尸运

动过程中，OM+goN是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=尤+c与无轴交于3(4,0),C(-2,0)两点.与y轴交于点

A（0,-2）.

(1)求该抛物线的函数表达式；

(2)若点尸是直线A3下方抛物线上的一动点，过点尸作无轴的平行线交A3于点K,过点尸作了轴的平行线

交无轴于点D,求与gpK+P。的最大值及此时点P的坐标；

(3)在抛物线的对称轴上是否存在一点V,使得△M4B是以AB为一条直角边的直角三角形：若存在，请求

出点〃的坐标，若不存在，请说明理由.

9.如图1,平面直角坐标系xOy中，抛物线y=办?+法+。过点A(-1,O),3(2,0)和C(0,2),连接BC,点P(m,ri)

(加＞0)为抛物线上一动点，过点尸作PNLx轴交直线8C于点交无轴于点N.

⑴京谈再地抛物线和直线BC的解析式；

(2)如图2,连接。0,当AOCM为等腰三角形时，求加的值；

(3)当尸点在运动过程中，在y轴上是否存在点。，使得以。，P,。为顶点的三角形与以8,C,N为顶

点的三角形相似(其中点尸与点C相对应)，若存在，章填军出点P和点。的坐标；若不存在，请说明理由.

A考向四特殊四边形问题

1.（2023•辽宁丹东•统考中考真题）抛物线>=/+版-4与x轴交于点A（TO）,B（2,0）,与>轴交于点

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图，点£>是抛物线上的一个动点，设点。的横坐标是机（7<m<2）,过点。作直线。E_L无轴，垂足

为点E,交直线AC于点?当。，E,尸三点中一个点平分另外两点组成的线段时，求线段DF的长；

（3）若点尸是抛物线上的一个动点（点尸不与顶点重合），点M是抛物线对称轴上的一个点，点N在坐标平

面内，当四边形CMPN是矩形邻边之比为1:2时，请直接写出点尸的横坐标.

2.（2023・西藏・统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线>=-炉+云+。与x轴交于A（TO）,8。，°）两

点，与y轴交于点C.

(2)如图甲，在y轴上找一点。，使AACD为等腰三角形，请直接写出点。的坐标；

(3)如图乙，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在尸、。两点使以点A,C,P,。为顶点的四边形是菱形?

若存在，求出P、。两点的坐标，若不存在，请说明理由.

3.(2023・辽宁大连•统考中考真题)如图，在平面直角坐标系中，抛物线G：y=V上有两点A、B,其中

点A的横坐标为-2,点B的横坐标为1,抛物线C2：y=-x2+区+c过点A、B.过A作轴交抛物线

备用图

(1)求抛物线的解析式；

(2)将矩形ACDE向左平移加个单位，向下平移九个单位得到矩形AODE,点C的对应点C，落在抛物线C】上.

①求〃关于加的函数关系式，并直接写出自变量小的取值范围；

②直线AE交抛物线C］于点尸，交抛物线g于点。.当点身为线段PQ的中点时，求加的值；

③抛物线C,与边F。、4。分别相交于点/、N,点、M、N在抛物线G的对称轴同侧，当=2叵时，

3

求点。的坐标.如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物

线过点.过作轴交抛物线另一点为点.以长为边向上构造矩形.

4.（2023・辽宁锦州・统考中考真题）如图，抛物线丫=一宿2+乐+。交》轴于点4（一1,0）和3,交y轴于点

C（0,373）,顶点为£>.

备用图

（1）求抛物线的表达式；

（2）若点E在第一象限内对称右侧的抛物线上，四边形ODEB的面积为7石，求点E的坐标；

（3）在（2）的条件下，若点F是对称轴上一点，点H是坐标平面内一点，在对称轴右侧的抛物线上是否存在

点G,使以E,F,G,//为顶点的四边形是菱形，且/£FG=60。，如果存在，请直接写出点G的坐标;

如果不存在，请说明理由.

5.(2023・辽宁・统考中考真题)如图，抛物线＞=f+bx+c与无轴交于点A和点3(4,0),与y轴交于点

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)点E在第一象限内，过点E作跖〃y轴，交BC于点、F,作EH||尤轴，交抛物线于点7/,点H在点E的

左侧，以线段口，为邻边作矩形跳6以，当矩形EPG8的周长为H时，求线段£77的长；

(3)点M在直线AC上，点N在平面内，当四边形■是正方形时，请直接写出点N的坐标.

6.(2023•山东东营・统考中考真题)如图，抛物线过点0(0,0),E(10,0),矩形ABCD的边在线段OE上

(点8在点A的左侧)，点C,。在抛物线上，设5&0),当1=2时，BC=4.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2)当f为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？

(3)保持7=2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G,H,且

直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移的距离.

3

7.(2023・山东・统考中考真题)如图，直线y=f+4交x轴于点8,交＞轴于点C,对称轴为尤的抛物

线经过BC两点，交x轴负半轴于点A.尸为抛物线上一动点，点P的横坐标为加，过点P作x轴的平行

线交抛物线于另一点作*轴的垂线PN,垂足为N,直线MN交y轴于点D.

(1)求抛物线的解析式;

3

(2)若0＜根＜/,当加为何值时，四边形CDNP是平行四边形？

T.

⑶若根＜5，设直线初V交直线BC于点E,是否存在这样的加值，使肱V=2ME?若存在，求出此时小的

值；若不存在，请说明理由.

A考向五相似三角形问题

1.如图，抛物线丁=4无2+法+°(。*0)经过坐标原点。，且顶点为A(2,-4).

(1)求抛物线的表达式；

(2)设抛物线与x轴正半轴的交点为8,点尸位于抛物线上且在x轴下方，连接Q4、PB,若

ZAOB+ZPBO=90°,求点尸的坐标.

2.如图1,抛物线yX+gx+c经过点(3,1),与y轴交于点3(0,5),点E为第一象限内抛物线上一动点.

(1)求抛物线的解析式.

2

(2)直线y=§尤-4与％轴交于点A,与y轴交于点。，过点E作直线EFLx轴，交AD于点F连接BE.当

=时，求点E的横坐标.

3

⑶如图2,点N为x轴正半轴上一点，。E与3N交于点M.若tan〃ME=“求点石的坐标•

Q

3.在平面直角坐标系中，已知抛物线了=公2+］无+。(。力0)与无轴交于点A(L0)和点B,与y轴交于点

C(OT).

(1)求这条抛物线的函数解析式；

(2)尸是抛物线上一动点(不与点A,B,C重合)，作PDLx轴，垂足为。，连接PC.

①如图，若点P在第三象限，且tan/CRD=2,求点P的坐标；

②直线PD交直线3c于点E,当点E关于直线PC的对称点E落在y轴上时，请直接写出四边形尸ECE'的

周长.

4.综合与探究

如图，抛物线＞=-/+云+。上的点A,C坐标分别为(0,2),(4,0),抛物线与x轴负半轴交于点8,点M

为y轴负半轴上一点，且。0=2,连接AC,CM.

(1)求点M的坐标及抛物线的解析式；

(2)点尸是抛物线位于第一象限图象上的动点，连接AP,CP,当S»4C=SAACM时，求点P的坐标；

⑶点。是线段BC(包含点8,。上的动点，过点。作x轴的垂线，交抛物线于点。，交直线CM于点N,

若以点。，N,C为顶点的三角形与VCOM相似，请直接写出点。的坐标；

(4)将抛物线沿无轴的负方向平移得到新抛物线，点A的对应点为点A，，点C的对应点为点C',在抛物线平

移过程中，当肱T+MC'的值最小时，新抛物线的顶点坐标为,肱T+MC'的最小值为.

5.抛物线G：y=Y-2x-8交x轴于两点(A在8的左边)，交》轴于点C.

⑴直接写出A民C三点的坐标；

(2)如图(1)，作直线x=f(O<f<4),分别交x轴，线段BC,抛物线于。瓦厂三点，连接C