2025年新高考数学一轮复习：柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式（十一大题型）（学生版+解析）

拔高点突破02柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：柯西不等式之直接套公式型..............................................................2

题型二：柯西不等式之根式下有正负型............................................................3

题型三：柯西不等式之高次定求低次型............................................................3

题型四：柯西不等式之低次定求高次型............................................................4

题型五：柯西不等式之整式与分式型..............................................................4

题型六：柯西不等式之多变量型..................................................................4

题型七：柯西不等式之三角函数型................................................................5

题型八：Aczel不等式...........................................................................5

题型九：权方和不等式之整式与分式综合型........................................................6

题型十：权方和不等式之三角函数型..............................................................6

题型十一：权方和不等式之杂合型................................................................7

03过关测试.....................................................................7

亡法牯自与.柒年

//\\

1、柯西不等式（Cauchy不等式）

（1）二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,deR，都有3+二）2”“+口）西+屋）.

（2）“元柯西不等式:（d+<+…+元）（k+不+…+%..（她+%。2+…+。*"）2，取等条件：

%=Abj或a=九％（i=l,2,...,n）.

2、Aczel不等式（反柯西不等式）

设a1,a2,---,an；，也,…也均为实数,a~-a；-------a~>0或b；-b；-----b：>0,则有

（a；—a；-------a；）（b；-b：------6；）”化他—出&----当且仅当{4},也}成比例时取等.

3、权方和不等式

（1）二维形式的权方和不等式

对于任意的a,b,x,y>0,都有且+/…丝土里.当且仅当q=2时，等号成立.

xyx+yxy

（2）一般形式的权方和不等式

+1,+1m+1

c,八<或+1a"（a.+a2+---a）……

若《>0,2>0,m>0,则++…+节~…"7}1-----,当％时等号成".

m

b'"峭b：（b1+b2+---bn）

题型归赢总结

题型一：柯西不等式之直接套公式型

【例1】已知x,y,zeR+且x+y+z=l则V+y+z?的最小值是（）

12

A.1B.-C.-D.2

33

【变式14】若〃；+蜷+…+%=8,则%3a4+…+%一。+。必的最小值为（）

A.25B.8C.-8D.-25

【变式1-2]已知b,CGR,满足（a+2y+b2+（c+i）2=]2,则的最大值为（）

A.2B.3C.4D.6

题型二：柯西不等式之根式下有正负型

【例2】（2024•高三•山东青岛•期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与

德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

（/+b2）（c2+d2）>（ac+bd^,当且仅当f时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数

/（尤）=3-4—3犬+13尤一2的最大值为（）

A.2小B.2>/3C.12D.20

【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等

式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得至I的:已知向量£=（不％）&=（々,%）,由

B,母<问代得到（平2+W（片+y；）（考+员）,当且仅当无M=*2%时取等号.现已知aN0,Z?N0,a+b=5,贝!I

J2a+2+^/〃+3的最大值为（）

A.18B.9C.2上D.3A/3

【变式2-2］（2024•浙江•模拟预测）已知x>0,yeR,且Y+与；-尤+5y=30,则=+病F

的最大值为（）

A.73B.76C.2瓜D.3亚

题型三：柯西不等式之高次定求低次型

【例3】设a,b,c为正数，>a2+Z?2+c2=1,则a（a+，+c）的最大值为（）

AV3+1口V2+10NA/2

2222

【变式3・1］（2024•全国•模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的

“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能

将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数的,出，。3’和仇也也:，有

（q2+*+喇仅；+以+区”（咽+〃24+砧3）2等号成立当且仅当今=/■=/■已知x2+y2+z2=14f,请你用

柯西不等式，求出x+2y+3z2的最大值是（）

A.14B.12C.10D.8

【变式3-2］已知实数生（1=1,2,3,4,5）满足（4-〃2）2+（。2-。3）2+（。3-。4）2+（。4-。5）2=1，则

a\~2%-%+2a5的最大值是（）

A.272B.275C.75D.可

题型四：柯西不等式之低次定求高次型

【例4】若实数〃，b,c,d满足ab+bc+cd+da=l,贝必之+2廿+3（?+4/的最小值为（）

A.1B.2C.3D.以上答案都不对

【变式4-1】已知空间向量市=［1,）,0）,砺=（1,2,0）,诙；0,1,.,OP=xOA+yOB+zOC,且

x+2y+z=2,则烟的最小值为（）

A.yf2B.OC.2D.4

【变式4-2］已知“，b,c为实数,a+Z?+c=y/s，贝44+262+°2的最小值为（)

D.*

A.V5B.1C.2

2

题型五：柯西不等式之整式与分式型

【例5】（2024•高三•浙江台州•期末）已知正实数。/满足a+2b=1,则必+型的最小值为

ba

【变式5-1】已知。、b、ceR+，且满足。+2匕+3c=l,则,+二+1的最小值为_____.

a2b3c

【变式5-2】已知。也。£（0,1）,且aZ?+bc+ac=1,则----1------H------的最小值为（）

1-a1-b1-c

A3—A/3口9—y/306—^3八9+3A/3

2222

题型六：柯西不等式之多变量型

a2b2c2

【例6】已知x,y,z＞。且x+y+z=l,a,b,c为常数，则一+一+一的最小值为（）

xyz

A.a2+b2+c2B.3(a2+/?2+c2)

C.(a+b+c)3D.前三个答案都不对

、.(a+b+c+d+e=8,

【变式6-1]已知实数a,b,c,d,e满足｛22222则e的取值范围是()

[a-+b~+c+d~+e~=16,

A.[-2,2]B.[0』]C.[0,2)D.以上答案都不对

【变式6-2]已知a,6,ceR+,S.(a+b-c)^—+—-—^=3,贝"(a"+/+c*)]/+尸+/)的最小值是(

A.417+240豆B.417-24073

C.417D.以上答案都不对

题型七：柯西不等式之三角函数型

【例7】函数73+2A/3COS^+COS2^+45-2百cos0+cos?。+4sin?。的最大值为()

A.0+gB.20+g

C.0+2gD.前三个答案都不对

【变式7-1](2024•浙江•一模)若sinx+cosy+sin(x+y)=2,贝1Jsinx的最小值是()

A.0B.2->/3C.3-"D.；

【变式7-2】函数、=2cos尤+3jl-cos2式的最大值为()

A.722B.5C.4D.713

题型八：Aczel不等式

【例8]/(x)=J5x-4-的最小值为.

【变式8-1]为提高学生的数学核心素养和学习数学的兴趣，学校在高一年级开设了《数学探究与发现》

选修课.在某次主题是“向量与不等式”的课上，学生甲运用平面向量的数量积知识证明了著名的柯西不等

式(二维)；当向量2=(%,%)石=(%,%)时，有B•邛少「怀，即(平2+%%)2片+对(尤；+£)，当且

仅当％%=%%时等号成立；学生乙从这个结论出发.作一个代数变换，得到了一个新不等式：

2

(V2-yiy2)>(^-K)(xf-yf),当且仅当占%=X2%时等号成立，并取名为“类柯西不等式”.根据前面

]_2

的结论可知：当XER时,的最小值是—.

2X2+1x2+1

题型九：权方和不等式之整式与分式综合型

r2v2z2

【例9】已知正数1,z满足无+y+z=l,则——+^—+一二的最小值为

y+2zz+2xx+2y

【变式9-1］权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如

下：设°,从尤，y>0,则且+/2色皿，当且仅当3=2时等号成立.根据权方和不等式，函数

xyx+yxy

291

/（尤）=一+--（0<尤<彳）的最小值为（）

xl—2x2

A.16B.25C.36D.49

【变式9-2】已知a,b,c为正实数，且满足a+4b+9c=4,则一上+—1的最小值为____.

Q+1b+1C+1

题型十：权方和不等式之三角函数型

1Q

【例10］已知正实数九、y且满足无+y=i,求二+二的最小值_____.

%y

1Q

【变式10-1】已知。为锐角，则，+、的最小值为一.

sin8cos8

【变式10-2］（2024•四川•模拟预测）“权方和不等式”是由湖南理工大学杨克昌教授于上世纪80年代初

命名的.其具体内容为：设a.>0也>0,〃eN*,m>0,则

/\m+l

m+1/7机+1＞机+1＞机+1

(_々(4+a?+q+,,•+a,)

21_____2।%।।%＞当且仅当方=,=,=•••=片时，等号成立.根

更~bf~bf…羽((+3+◎+…+2)”。3%

据权方和不等式，若当主叵+，取得最小值时，x的值为（）

\Z）sinxCOSX

71715兀

A.B.-C.-D.

1263n

题型十一：权方和不等式之杂合型

【例1。已知x,y>0—+还=1,则的最小值是____-

xyv/

【变式11・1】已知x+2y+3z+4〃+5V=3。，求炉+2/+3z?+4/+5y的最小值为

【变式11-2］求/（%）=y/x2-3x+2+\l2+3x-x2的最大值为

1.（2024•吉林白山•一模）权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的

应用，其表述如下：设正数。，b,x,y,满足《+%2也以，当且仅当巴二2时，等号成立.则函

xyx+yxy

数/（x）=。+/号（ovxv』的最小值为（）

xl-3x\3）

A.16B.25C.36D.49

2.已知〃，2c均大于1,logfl3+log^9+logc27=12,则而2c3的最小值为()

A.243B.27C.81D.9

。,cl则r—+/------的取小值是（

3.(2024•福建・模拟预测)设。、“eR+,xe

、2）Vsinxvcosx

5

C33A3/44\4（口2/J_「J

A.pM+qMB./+/C.p。后D./

\7

4.由柯西不等式,当犬+2y+z=4时，求G+6+G的最大值为（）

A.10B.4C.2D.M

5.已知3x+2y+z=3,则f+y2+2z2的取最小值时，且为（)

z

D8ccD.旦

A.布B.-C.3

33

6.已知：a1+b2=1,x2+y2=1,则办+办的取值范围是（）

A.[0,2]B.[—1,1]C.[—2,2]D.[0,1]

7.实数x、y满足3/+4y2=i2,贝|z=2x+gy的最小值是（)

A.-5B.-6C.3D.4

8.已知〃，b>0,a+b=5,则Ja+1+Jb+3的最大值为()

A.18B.9C.372D.273

9.若实数x+2y+3z=l,贝!|/+/+22的最小值为()

A.14B.—C.29D.—

1429

10.函数y=Jx2_2x+3+Jx2_6x+14的最小值是

A.而B.Vio+iC.11+2710D.2\/10

11.若f+4y2+9z2=4,贝！Jx+y+3z的最大值()

A.3B.6C.9D.27

12.函数kJx-5+246-%的最大值是（）

A.V3B.75C.3D.5

13.已知…=1,…+X；=1,则〃1玉+〃2兀2+・■■+anxn的最大值是（）

A.1B.2C.3D.4

14.函数/(%)=Jl—cos2x+cosx,则/(%)的最大值是()

A.V3B.V2C.1D.2

15.（2024•高三•河北衡水•期末）已知〃，b,c>0,且〃+b+c=l,则-3〃+l+J3h+1+可3比+1的最

大值为（）

A.3B.3亚C.18D.9

16.已知x,y均为正数，且x+y=2,贝UX+4^^+4y的最大值是（）

A.8B.9C.10D.11

12222

17.（2024•广西南宁•二模）设实数Q,0,c,d,e满足关系：〃+Z?+c+d+e=8,a+b+c+d+e=16,

则实数e的最大值为

162

A.2B.—C.3D.一

55

18.（2024-山西-二模）柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的

一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量％=。,必），

5=（%,%）,由向问W得到（占尤2+以为『小；+对（考+£），当且仅当占%=々％时取等号.现已知

a>0,b>0,a+6=9,则,2a+4+屈T的最大值为.

19.若不等式五对任意正实数羽y都成立，则实数上的最小值为.

20.已知无，y,z>0,且x+y+z=9,则W+4/+z?的最小值为_.

21.（2024•高三•江苏苏州•开学考试）设角。、尸均为锐角，贝Usina+sin分+cos（a+尸）的范围

是.

22.在锐角AABC中，tanAtan/?+2tan3tanC+3tanCtanA的最小值是.

23.函数/（x）=J2020-尤+J龙一2010的最大值与最小值之积为.

24.（2024•高三•天津南开•期中）已知正实数a,b满足a+b=l,则工+二的最小值为___.

ab+1

/A2

25.已知。>1力>1,则的最小值是

b—\a—\

26.已知x>0,y>0,且7;----+-----;=1,则x+2y的最小值为______.

2x+yy+1

拔高点突破02柯西不等式、反柯西不等式与权方和不等式

目录

01方法技巧与总结...............................................................2

02题型归纳与总结...............................................................2

题型一：柯西不等式之直接套公式型..............................................................2

题型二：柯西不等式之根式下有正负型............................................................3

题型三：柯西不等式之高次定求低次型............................................................3

题型四：柯西不等式之低次定求高次型............................................................4

题型五：柯西不等式之整式与分式型..............................................................4

题型六：柯西不等式之多变量型..................................................................4

题型七：柯西不等式之三角函数型................................................................5

题型八：Aczel不等式...........................................................................5

题型九：权方和不等式之整式与分式综合型........................................................6

题型十：权方和不等式之三角函数型..............................................................6

题型十一：权方和不等式之杂合型................................................................7

03过关测试.....................................................................7

亡法牯自与.柒年

//\\

1、柯西不等式（Cauchy不等式）

（1）二元柯西不等式：对于任意的a,b,c,deR，都有（ac+bd）2,,（1+廿）匕2+/）.

（2）“元柯西不等式:（d+<+…+。；）（k+不+…+鬣）..（她+%。2+…+。*"）2，取等条件：

%=他或3=九%（i=1,2，…,n）.

2、Aczel不等式（反柯西不等式）

设a1,a2,---,an；bi,b2,---,bn均为实数,a；-a；-----a~>0或b；-b；-----b：>0,则有

（a；—a；-----a；）（b；6；）”化他—出&当且仅当{4},也}成比例时取等.

3、权方和不等式

（1）二维形式的权方和不等式

对于任意的a,b,x,y>0,都有且+/…丝土里.当且仅当q=2时，等号成立.

xy%+yxy

（2）一般形式的权方和不等式

+1+1m+1

c,八<或+1a"'（a.+a2+---a）……

若《>0,2>0,m>0,则++…+节~…"7}1------'当％时等号成".

m

4"&b：（bl+b2+---b/t）

题型归赢总结

题型一：柯西不等式之直接套公式型

【例1】已知x,y,zeR+且x+y+z=l则V+yZ+z?的最小值是（）

12

A.1B.-C.-D.2

33

【答案】B

【解析】由柯西不等式可得：

+y2+z?）X（F+俨+12）2（x+y+z）2=1,

即3(Y+y2+z2)Nl

所以V+V+z?2；，

[x=y=z1

当且仅当7i即％=y=z=：时取等号，

[x+y+z=l3

故Y+y2+z2的最小值为1,

故选：B.

【变式1-1]若+…+屋=8,则弓为+出生+/为+…+4一口+4弓的最小值为()

A.25B.8C.-8D.-25

【答案】C

【解析】由柯西不等式，得(〃；+〃；H-----+〃；)(〃；+〃；--------F〃；+〃；)2(%〃2+〃2〃3-----及一1。"，

aaaa+

J(%%+23+,•,+n-in。必f<8X8,

Haa

-8<axa2+〃2〃3+〃3。4-----1■n-\n+。〃。148,

当幺=包=%==-=冬=一1且…+时，

aa

%%。4n\

即同=同=|。3|=,，，=|。〃-1|=同=其无，且%,〃3，。5,…与。2，。4，。6,…异号时，

+a2a3+4%+…+a-\a+aa\=

axa2nnn一8，

aa+

贝Ij+%〃3+。3a4+…+n-\n的最小值为一8.

选：C.

【变式1-2】已知a,b,CGR,满足(a+2)2+/+(c+i)2=]2,则的最大值为()

A.2B.3C.4D.6

【答案】B

【解析】设a+2=w,b=v,c+\=u,可得M+声+〃2=12,

所以a+/?+c=w+v+”一3.

因为(w+v+〃)2<(12+12+12^^+v2+W2)=36,

所以—6Ww+v+〃W6f

当且仅当w=v=u=2,w+v+〃取得最大值6,

此时a+2=b=c+l=2,

所以a+b+c的最大值为6-3=3.

故选：B.

题型二：柯西不等式之根式下有正负型

［例2］（2024•高三•山东青岛•期中）柯西不等式（Caulhy-SchwarzLnequality）是法国数学家柯西与

德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：

（a2+b2）（c2+d2）>（ac+bd）2,当且仅当?=:时等号成立.根据柯西不等式可以得知函数

y(x)=3j4—3x+j3x—2的最大值为()

A.2乖B.2A/3C.12D.20

【答案】A

【解析】由幻［4-3①x>0。24

解得产

24

所以函数“X）的定义域为j.-

由柯西不等式得，“X)=344-3x+j3x_2<J(32+12)(4-3X+3X-2)=275,

3111

当且仅当广=不,即片记时等号成立，

所以/■（》）的最大值为2退.

故选：A.

【变式2-1】柯西不等式是数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等

式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的:己知向量£=（4乂）1=（々,为）,由

2

卜'w|«|W得到（平2+yty2）<（X；++y；）,当且仅当占%=时取等号.现已知a>0,b>0,a+b=5,^\

42a+2++3的最大值为（）

A.18B.9C.2上D.3A/3

【答案】D

【解析】因为（占三+%%尸w（片+才）H+£）,

令玉=-J1,乂=1,%=Ja+l,y2=y/b+3,J^a>Q.b>0,a+b=5.

所以（.^77+1.4］（拒）2+仔］.（°+1+6+3）=27,

当且仅当0.J6+3=1Ja+l即。=5,匕=0时等号成立，

BP>j2a+2+4b+3<3^3,

故选:D.

【变式2-2］（2024•浙江•模拟预测）已知无>0,yeR,且Y+孙-x+5y=30,则血二^+130-3丫

的最大值为（）

A.5/3B.C.2A/6D.372

【答案】C

【解析】由x?+孙一x+5y=30可得x?-x-30+孙+5y=0,即(x+5)(x+y-6)=O.

由x>0可知尤+y=6,所以J2-x+j3O_3y=J2-x+J12+3x=J2-、+行j4+x.

由x>0,2-x20可得0<xW2,

由柯西不等式得

(V2^+73-74+I)12<12+(A/3)2+(,4+x)[=24,

所以『c+币・后三戈,当《手=1三即x=:时，取等号.

A/312

所以石工+，3。-3y的最大值为2而.

故选：C.

题型三：柯西不等式之高次定求低次型

【例3】设a,b,c为正数，_aa2+Z?2+c2=1,则的最大值为（）

A,回B.5rV3D.受

2222

【答案】A

212

Aa2+-b24Q：+—C

【解析】解法一根据题意，有3”.+

+——

22

1+。

22

其中令1+宗+《=>

解得4=〃=,

2

于是Q（Q+b+C）+/+02）=6；\,

等号当a:b:c=（月+1）:2:2时取得，因此所求最大值为①1.

解法二令々=cos°,Z?=sin°sine,c=sin°cose,其中0404万,046〈2万，则

a(a+b+c)=cos2(p+sin9cos夕(sin0+cos0)<cos2cp+V2sin9cos(p

0.c1c1A/3+I

=--sin2(z>+—cos2(p+—<-----

2222

等号当=函+D：2:2时取得，因此所求最大值为第

解法三根据题意，有

a(a+b+c)<aa+^lib1+(?2)

等号当从=02,且;=21/-g）即a/：c=（百+1）：2:2时取得，

因此所求最大值为避土1.

2

故选：A.

【变式3-1]（2024•全国•模拟预测）柯西不等式最初是由大数学家柯西（Cauchy）在研究数学分析中的

“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky和Schwarz彼此独立地在积分学中推而广之，才能

将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数%,%,%'和伪也也:，有

(4+岩+4)仅:+以(她+她+她)2等号成立当且仅当请=黄=社已知X?+y2+z2=14",请你用

柯西不等式，求出x+2y+3zi的最大值是()

A.14B.12C.10D.8

【答案】A

【解析】由题干中柯西不等式可得(x+2y+3z)2<(x2+y2+z2)02+2?+32)=14x14=196,

所以x+2y+3z的最大值为14,当且仅当x=Ly=2,z=3时取等号.

故选：A

22

【变式3-21已知实数4。=123,4,5)满足—a2)~+(a2—a3y+(tz3—c4)+(c4—a5)=1,贝!］

«i-2%-%+2%的最大值是()

A.2A/2B.275C.5/5D.V10

【答案】D

［角星析］设c=q_〃2，b=，C=_〃4，d=Q4_,

则条件为a2+b2+c2+d2=1所以6—2a2-。3+2%=〃-A-2c-2d

<^l2+(-l)2+(-2)2+(-2)2■ylcr+b2+c2+d2=710,

等号当:===三==旦。>0时取得，因此所求代数式的最大值为质.

1—1—2—2

故选：D

题型四：柯西不等式之低次定求高次型

【例4】若实数mb,c,d满足"+历+cd+必=1,贝1」〃2+2廿+3°2+4/的最小值为()

A.1B.2C.3D.以上答案都不对

【答案】B

【解析】根据题意，有〃。+bc+cd+d〃=l=>(a+c)S+d)=l,

而("+39)[1+；4(.+c)2,当且仅从a=3c时等号成立.

同理(2及+4/)口+；卜(6+行，当且仅当助=4d式等号成立，

记题中代数式为于是M=(/+3。2)+(2层+4屋)

(〃+c)2(b+d『多4

111=—(〃+c)2+—(b+d)222(a+c)(Z?+d)=2,

1+——+—43

324

-=3,

c

b

等号当〈一=2,=>a:b:c:d=3:2:l:l时取得,因此所求代数式的最小值为2.

d

a+c4

b+d~3"

故选：B.

【变式4-1】已知空间向量35=[1；。],丽=(1,2,0),而=(o,l,g],OP=xOA+yOB+zOC,且

x+2y+z=2,则|研的最小值为()

A.0B.6C.2D.4

【答案】B

【解析】因为历=xM+y砺+z芯=x(l,；,0)+y(l,2,0)+z|(),l,；)=[x+y,；x+2y+z,；z

2

所以„=(x+y)2+gx+2y+1+

z3

2

101

(1+1+1)>Ix+j7H--x+2y+z+—z

=3^2X+3y+2ZJ=W(x+2y+z)2=3，

当且仅当x+y=gx+2y+z=；z时等号成立，即尤=24=-1/=2时等号成立.

所以画2百，所以烟的最小值为行

故选：B

【变式4・2】已知〃，b,c为实数，且〃+b+c=百，则储+2〃+。2的最小值为(

A.y[5B.1C.2D.-

2

【答案】C

【解析】由三维柯西不等式：+%2+%2+42)2+々2仇+。2%)

当且仅当含=^=答时取等,

瓦b2b3

所以[仔++l2^a2+2b2+c2)>1xa+xyf2b+cx1=(a+b+c『=5

a

〃2+%22>^__y=①b=0

所以一5一~,当且仅当丁一42一1时取等，

2~T

所以4+2>2+02的最小值为：2

故选：C

题型五：柯西不等式之整式与分式型

【例5】(2024•高三•浙江台州•期末)已知正实数。*满足a+2b=1,则《+型

的最小值为

ba

【答案】1/0.5

【解析】由柯西不等式义+空=(4+空)(2b+a)>(V2a2+4A/2b2)2=2(a2+4b2)2

baba

而/+4/=]_(/+4⑻a+i)zJ_(a+26)2=L所以Q+%Qw2|a2+4/『gb]时等号成立，

222bay'2

故答案为：■

【变式5-1】已知。、b、ceR+,且满足a+2b+3c=1,则工+工+工的最小值为

a2b3c

【答案】9

【解析】因为〃、b、cGR+,