2025年新高考数学一轮复习：空间向量及其应用（十六大题型）（讲义）（学生版+解析）

第05讲空间向量及其应用

目录

01考情透视•目标导航............................................................................2

02知识导图•思维引航............................................................................3

03考点突破•题型探究............................................................................4

知识点1：空间向量及其加减运算.................................................................4

知识点2：空间向量的数乘运算...................................................................5

知识点3：空间向量的数量积运算.................................................................6

知识点4：空间向量的坐标运算及应用.............................................................7

知识点5：向量法证明平行、垂直.................................................................7

知识点6：空间角公式...........................................................................9

知识点7：空间中的距离........................................................................10

解题方法总结..................................................................................11

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算.......................................................11

题型二：空间共线向量定理的应用...............................................................13

题型三：空间向量的数量积运算.................................................................14

题型四：三点共线问题..........................................................................16

题型五：多点共面问题..........................................................................18

题型六：证明直线和直线平行...................................................................21

题型七：证明直线和平面平行...................................................................22

题型八：证明平面与平面平行...................................................................23

题型九：证明直线与直线垂直...................................................................25

题型十：证明直线与平面垂直...................................................................26

题型-]--.证明平面和平面垂直.................................................................27

题型十二：求两异面直线所成角.................................................................28

题型十三：求直线与平面所成角.................................................................30

题型十四：求平面与平面所成角.................................................................32

题型十五：求点面距、线面距、面面距...........................................................35

题型十六：点到直线距离、异面直线的距离.......................................................37

04真题练习•命题洞见...........................................................................38

05课本典例•高考素材...........................................................................40

06易错分析•答题模板...........................................................................41

易错点：计算线面角出错........................................................................41

答题模板：用向量法求空间角...................................................................42

考点要求考题统计考情分析

空间向量解立体几何一般以解答题形式

（1）空间向量的线性运算2024年I卷第17题，15分为主，每年必考，一般12分.以解答题为主，难度

（2）空间向量基本定理及其2024年II卷第17题，15分中等，可灵活选择运用向量方法与综合几何方

应用2023年I卷第18题，12分法，从不同角度解决立体几何问题，通过对比体

（3）向量法证明平行'垂直2023年II卷第20题，12分会向量方法的优越性.选择题和填空题一般不

（4）向量法求空间角2022年I卷第19题，12分用空间向量法.但要理解向量基本定理的本质，

（5）空间距离2022年O卷第20题，12分感悟“基底”的思想,并运用它解决立体几何中

的问题.

复习目标：

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判

断向量的共线和垂直.

（3）理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定

理.

（4）能用向量法解决异面直线'直线与平面、平面与平面的夹角问题，并能描述解决这一类问题的程序，

体会向量法在研究空间角问题中的作用.

匐2

空间向，

零向■与单位向，

空间向■及其加发运算，相等向■与相反向立

空间向■的加法和算法运算

数集运算

空间向■的数索运算满足分配律及结合律

共线向置与平行向■

共线向■定理

空间向■的数索运算

直线的方向向■

共面向■

共面向■定理

两向■夹角

数，积定义

空间向■的数・积运算

空间向■的故■积满足的运算律

空间向量及其应用

空间向■的坐标运算及应用

平面的法向■

异面直线间的距离

点到直线的距离

点到平面的距离

空间中的距离

直线到平面的距离

平面到平面的距离

知识固本

知识点1:空间向量及其加减运算

(1)空间向量

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可

用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量々的起点是/,终点是台，则向量£也可以记作

AB,其模记为问或画.

(2)零向量与单位向量

规定长度为0的向量叫做零向量，记作6.当有向线段的起点4与终点3重合时，15=6.

模为1的向量称为单位向量.

(3)相等向量与相反向量

方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向

量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.

与向量工长度相等而方向相反的向量，称为Z的相反向量，记为

(4)空间向量的加法和减法运算

@OC=OA+OB^a+b,BA=OA-OB=a-b.如图所示.

②空间向量的加法运算满足交换律及结合律

a+b=b+a,\a+b\+c=a+\b+c\

【诊断自测】如图，在平行六面体4坊G3中，河为4G与4〃的交点.若

方=3诙=瓦石=)，则下列向量中与丽7相等的是()

1_1--

B.——a+—b+c

22

1-1r一1-1-

C.——a——b+cD.—a——b7+c

2222

知识点2：空间向量的数乘运算

(1)数乘运算

实数;I与空间向量£的乘积彳£称为向量的数乘运算.当；i>o时，与向量£方向相同；当；i<o时,

向量彳之与向量)方向相反.Aa的长度是3的长度的冈倍.

(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律

(3)共线向量与平行向量

如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，。

平行于］,记作a〃石.

(4)共线向量定理

对空间中任意两个向量Q,b,〃/的充要条件是存在实数4,使。=湿.

(5)直线的方向向量

如图8-153所示，/为经过已知点/且平行于已知非零向量a的直线.对空间任意一点。，点尸在直线

/上的充要条件是存在实数，使而£①，其中向量Z叫做直线/的方向向量，在/上取方=£,

则式①可化为历二方+'方二刀+£(砺-西=(l-t)OA+tOB②

①和②都称为空间直线的向量表达式，当"g，即点P是线段的中点时，丽=；(为+砺)，此

式叫做线段N3的中点公式.

(6)共面向量

如图8-154所示，已知平面a与向量a,作。1=。，如果直线。4平行于平面a或在平面a内，则说明

向量。平行于平面a.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.

o

如果两个向量Z,B不共线，那么向量力与向量Z,B共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（XJ）,

^_p=xa+yb.

推论：①空间一点尸位于平面48c内的充要条件是存在有序实数对（xj）,^AP^xAB+yAC或

对空间任意一点。，有而-a=+y就，该式称为空间平面N5C的向量表达式.

②已知空间任意一点。和不共线的三点/,B,C,满足向量关系式方=xE+y砺+z反（其中

x+y+z=l）的点P与点/,B,C共面；反之也成立.

【诊断自测】已知点-3,5）,3（0也2）,C（2,7,-l）,若4B,。三点共线，则6的值分别是（）

A.-2,3B.-1,2C.1,3D.-2,2

知识点3：空间向量的数量积运算

（1）两向量夹角

已知两个非零向量£,b,在空间任取一点O,作方=£,OB=b,则乙403叫做向量B的夹角,

记作（。,司，通常规定0WW%，如果那么向量〃，B互相垂直，记作Q_LB.

（2）数量积定义

已知两个非零向量〃，b,贝!j,/卜。5卜,少叫做Q,区的数量积，记作即

[%=问问cos@》）.零向量与任何向量的数量积为0,特别地，7£二问:

（3）空间向量的数量积满足的运算律：

（2。）・3=丸（4・3）,a-b=b-a（交换律）；

a-（b+c^=a'b+a-c（分配律）.

【诊断自测】已知正四面体尸-4C,底面边长为2,侧棱尸8中点为区则方•屈=.

知识点4：空间向量的坐标运算及应用

（1）设4=（%,〃2M3），5=（可也也），则〃+1=+4,。2+人2,。3+4）；

a_3=（4_4,%一仇,%-4）；

Xa=（4%,Aa2,a%）；

a-b=axbi+a2b2+a3b3；

a//b[bw6）n%=Ab^a2=Ab2,a3=Ab3；

a_LB=afy+a2b2+a3b3=0.

（2）设4（石,必/1）,B（^x2,y2,z2^,则48=08-。力二心一再,歹2-必4一zj.

这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.

（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.

①已知q=（〃”出，％），石=（可也,4）,则忖=+或+始;

W=7^'=J/?；+b；+b；；

a-b=axbx+a2b2+a3b3；

[77\_。e+22+。34.

、/Ja；+必+始也2+b；+b；

②已知/（XQi，zJ,B（x2,y2,z2）,则画=J（x「X2『+（%-%f+R-Zzf,

或者“42）=p5].其中“43）表示4与5两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.

（4）向量a在向量方上的投影为卜卜05.3）=1^.

【诊断自测】已知£=（2,3,1）,b=（1-2-2）,则£在台上的投影向量为（）

A.2bB.-2b

2-2-

C.-bD.--b

33

知识点5：向量法证明平行、垂直

（1）平面的法向量:

如果表示向量〃的有向线段所在直线垂直于平面a,则称这个向量垂直于平面a,记作“La,如果

,那么向量”叫做平面a的法向量.

注意：

①法向量一定是非零向量；②一个平面的所有法向量都互相平行；③向量"是平面的法向量，向量盛

是与平面平行或在平面内，则有正i=0.

第一步：写出平面内两个不平行的向a=(再，M，zj,=(x2,y2,z2)；

公一，,Fkdq口-/、旦n-a=Q\xx,+yy,+zz,=0

第一步：那么平面法向重〃=(x,y,z)，满足_=＞《".

n-b=0网+抄2+zz?=0

(2)判定直线、平面间的位置关系

①直线与直线的位置关系：不重合的两条直线。，6的方向向量分别为Z,b.

若a]|B,即a=力3,则a〃6；

若aJ_Z,即“.[=(),则a_L6.

②直线与平面的位置关系：直线/的方向向量为平面a的法向量为河，且La.

若2II亢，即a=贝U/_La；

若a_Ln,即a-〃=0,则a//a.

(3)平面与平面的位置关系

平面a的法向量为％,平面。的法向量为用.

若%||n2，即万]=An2,则a//(3；若万]_L瓦，即耳•瓦=0,则a_L£.

【诊断自测】如图所示，四边形N8CD为矩形，P4_L平面N3CD,PA=AD,M,N,。分别是尸C,

AB,CD的中点.

p

D

BC

(1)求证：MV//平面尸4。；

(2)求证：平面〃N。//平面尸40.

知识点6：空间角公式

(1)异面直线所成角公式：设之，3分别为异面直线//4上的方向向量，。为异面直线所成角的大

I/______a'b

小，则cos6=cos(a©=.

1'〃a^b

(2)线面角公式：设/为平面。的斜线，［为/的方向向量，3为平面a的法向量，6为

一I/一一\I"•〃

I与a所成角的大小，则sin°=cos(6z,wy二.

1'71a\\n

(3)二面角公式：

设色,巧分别为平面《，6的法向量，二面角的大小为。，贝!1。=伍内或万-伍，可(需要根据具

体情况判断相等或互补)，其中「0$。|=匕目.

N网

【诊断自测】如图，在正四棱柱中，窗=2⑨=4,E,尸分别为2月，C0的中点.

⑴证明：4厂〃平面CDE.

(2)求&E与平面CDE所成角的正弦值.

知识点7：空间中的距离

求解空间中的距离

（1）异面直线间的距离：两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段，只需利用向量的正射影性质

直接计算.

如图，设两条异面直线。，6的公垂线的方向向量为力，这时分别在。，6上任取N,8两点，则向量在

万上的正射影长就是两条异面直线a,b的距离.则d=|方•/-六里包即两异面直线间的距离，等于两

l«l\n\

异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.

/为平面a外一点（如图），为为平面打的法向量，过/作平面a的斜线及垂线///.

—►——►——►——►——►IAB♦nIIAB•nI

\AHH^|-sin6>=|AB\-\cos<AB,n>\=\AB\'..=11

AB\-U

|AB-n|

\n\

【诊断自测】如图，在四棱锥尸-N8CD中，底面/BCD是矩形，尸/，平面/BCD,PA=AD=4,

AB=2,若M、N分别为棱尸。、PC的中点，。为NC中点.

（1）求证：平面平面尸CD；

⑵求点N到平面ACM的距离.

解题方法总结

用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可

以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简

单.

用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进

而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便

于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三

条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.

题型一：空间向量的加法、减法、数乘运算

【典例1-1】如图，在空间四边形O48C中，OA^a，OB=b＞历=1点河在3上，且

\OM\=2\MA\,N为8C的中点，则而等于（）

0

【典例1-2】如图，在四面体/BCD中，E,尸分别为的中点，G为A/C。的重心，则而=

D

A.--AB+—AC+-AD

3124

B.--AB+—AC+-AD

4123

C.-AB--AC+-AD

4123

1—■1—■1—.

D.-AB+—AC——AD

3124

【方法技巧】

空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向

量的运算法则.

【变式1-1］如图，在梯形中，ABT/CD,且/8=3CD,点。为空间内任意一点，设

由=*砺=6，oc=c，则向量砺=（）

A.a-b+3cB.a-b-3c

1一1一一1-17一

C.—aH—b+cD.—a——b+c

3333

【变式1-2］（2024•高三•河南濮阳•开学考试）已知直四棱柱的底面为梯形,

3______

AB=BB}=-CxD}=6,CD//AB,BM=AMBt(0<A<V),若。2c平面NG"=N,则。N=(

4242+224+624+4

------B.--------C.--------D.--------

A+14+14+1A+1

【变式1-3］如图，048。是四面体，G是V/BC的重心，&是。G上一点，且。G=4OG「则（）

()

B.OG=—OA+—OB+—OC

1121212

1—>1—►1―►——►1—►1—►1―►

c.OG]=—OA+—OB+—OCD.Oa=-OA+-OB+-OC

1818181888

|。同=

【变式1-4］如图，在四面体中,OA=a'OB=b，OC=c，2,|OC|=3,ZBOC=^

M为V45C的重心，N为△08。的外心，贝1」加=()

1一1一1一

B.——a+-b+-c

363

1-11一1一1一1一

C.—Q—b7H—CD.-a+—b+-c

369363

题型二：空间共线向量定理的应用

【典例2-1】若空间四点CM3尸满足丽=：刀+；砺，贝U()

A.尸e直线48

B.Pe直线48

C.点尸可能在直线上，也可能不在直线上

D.尸e直线48,且4P=PB

【典例2-2］设1是空间两个不共线的非零向量，已知方=21+左后，反?=1+3易,

反=2且/、3、。三点共线，则实数左的值为()

A.-8B.-4C.-2D.8

【方法技巧】

空间共线向量定理：£//眼珂o£=—.

利用此定理可解决立体几何中的平行问题.

UUJILILIUI

【变式2-1】已知向量48=（1,加,-3）,NC=（-3,6,9）,若A,B,C三点共线，则机=（）

A.—3B.-2

【变式2-2］在四面体4BCD中，E为4D的中点，G为平面BCD的重心.若ZG与平面5CE交于点

【变式2-3】已知空间向量Z,b,且在=34+69，5C=-10a+12i>CD=l4a-4b^则一定共线的

三点是（）

A.A、B、CB.B、C、D

C.A、B、DD.A、C、D

【变式2-4］在正方体NBC。-48cA中，点E在对角线上，且回司=：怛叫，点/在棱2G上，

若/、E、尸三点共线，则回刊=—|FCj.

题型三：空间向量的数量积运算

【典例3-1】已知是长方体外接球的一条直径，点P在长方体表面上运动，长方体的棱长分别为1、

1、4,则用7.两的取值范围为

【典例3-2】已知空间向量方=（0,1,-2）,|就卜2,（AB,AC^==^,则不反三—.

【方法技巧］

求模长时，可根据忖=7?=小X；+z；；

求空间向量夹角时，可先求其余弦值要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数

量积是否为0,a-b=0<=>a,Lb.

可为锐角n73>0；«,可为钝角n73<0.由此，通常通过计算73的值来判断两向量夹角是

锐角还是钝角.

【变式3-1】棱长为2的正四面体/BCD中，点£是的中点，贝U瓦I•段=（）

A.1B.-1C.百D.-V3

【变式3-2】设。为坐标原点，向量面=（1,2,3）,OS=（2,1,2）,赤=（1,1,2）,点Q在直线O尸上运

动，则02•诬的最小值为（）

2211

A.-B.—C.-D.—

3333

【变式3-3］由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱-4四（如图所示），点尸是正方形

431G2的中心，则福.方=（）

【变式3-4】有一长方形的纸片ABCD,的长度为4cm,BC的长度为3cm,现沿它的一条对角线

/C把它折成直二面角，则折叠后X.丽=（）

A.-4B.-16C.-7D.-9

【变式3-5］（多选题）（2024•校考模拟预测）在平行六面体/BCD-4与G2中，已知

AB=AD=AAX=1,ZA1AB=ZAtAD=ABAD=60°,贝lj()

A.直线4c与所成的角为90°

B,线段4c的长度为百

C.直线4c与8月所成的角为90。

D.直线4c与平面/BCD所成角的正弦值为"

3

【变式3-6］(多选题)空间直角坐标系中，已知。(0,0,0),力=(-1,2,1),砺=(-1,2,-1),

OC=(2,3,-1),贝ij()

A.网=2

B.是等腰直角三角形

c.与次平行的单位向量的坐标为乎,或［-哙，哙，,

I636J^636J

D.刀在历方向上的投影向量的坐标为:

题型四：三点共线问题

【典例4-1］如图，在棱长均相等的平行六面体/8。。-4与孰3中，用空间向量证明下列结论.

A「

B'//1

A-----淘

若E是棱CG的中点，尸是4c上靠近点c的三等分点，求证：4RE三点共线.

【典例4-2】如图，已知MN分别为四面体”一8。的面BCD与面/CD的重心，G为上一点,

且GW:GN=1:3.设方=落/=瓦万5=乙

A

(1)请用｛痴同表示的；

⑵求证：B,G,N三点共线.

【方法技巧】

先构造共起点的向量方，AC,然后证明存在非零实数4,使得方=彳就.

【变式4-1］如图，在平行六面体中，点W在对角线上，且|4"|=；|"同，点

N在对角线4c上，且|4M=：WC］.求证：M、N、2三点共线.

【变式4-2］如图，已知M,N分别为四面体/-BCD的面BCD与面NCD的重心，G为上一点,

且(?”：6/=1:3.求证：B,G,N三点共线.

C

题型五：多点共面问题

【典例5-1］在下列条件中，使M与/,B,C一定共面的是（其中。为坐标原点）（）

A.OM=OA-OB-OCB.OM++

___»__»__»__k一UUlflUUllLILllI1

c.OM+OA+OB+OC=0D.MA+MB+MC=0

【典例5-2】（2024•河南•模拟预测）已知空间向量2=（1,2,0）1=（0,-1,1）1=（2,3,加），若共面,

则实数加=（）

A.1B.2C.3D.4

【方法技巧】

要证明多点（如/,B,C,。）共面，可使用以下方法解题.

先作出从同一点出发的三个向量（如在，AC,AD\然后证明存在两个实数xj,使得

AD=xAB+yAC.

【变式5-1］如图，已知四棱锥尸-4BC。的底面是菱形，对角线/C,8。交于点O,。4=4,08=3,

OP=4,OP1^ABCD,瓦尸分别为侧棱的中点，点M在C尸上且心法=2益.求证：A,E,M,F

【变式5-2］（2024•高三•北京海淀•开学考试）如图，正四棱锥尸-/BCD的底面边长和高均为2,

E,歹分别为尸D,的中点.

（1）证明：EFLPC

⑵若点M是线段PC上的点，且尸尸C,判断点"是否在平面/斯内，并证明你的结论;

【变式5-3】已知点。在VN3C确定的平面内，O是平面4BC外任意一点，实数羽〉满足

=+砺-3M则丁+丁的最小值为（）

47/s

A.-B.工C.1D.2

55

—、2—►—►1—►

【变式5-4】在正四棱锥尸-458中，若PE=PB，PF=-PC,平面4M与棱尸。交于点G,则

四棱锥尸-4EFG与四棱锥尸的体积比为（）

78-74

A.—B.—■C.—'D.——

46454545

【变式5-5】如图四棱锥尸-4BC£>,N/8C=90°,NO//8C,S.AD=AB=^BC=2,平面尸CD_L平面

ABCD,且△PDC是以•尸C为直角的等腰直角三角形，其中£为棱尸C的中点，点尸在棱上，且

PF=2FZ）.求证：4B,瓦尸四点共面.

【变式5-6】已知正三棱锥尸-43C的侧棱长为2,过其底面中心。作动平面a交线段PC于点S,分

别交尸4心的延长线于点MN,求A+4+A的值•

【变式5-7](2024•浙江温州•模拟预测)如图，在三棱柱/BC—451G中，AAi=AC=BC=2f

'G=NBCCi=60°,平面4/CG_L平面耳5CC1,E,方分别为CG*C的中点.

_____________A

8B

(1)求直线AB与平面AEF所成角的正弦值；

(2)若平面AEFn平面AXABBX=AM,且Me4内，求的长度.

【变式5-8]如图，在边长为3的正方体中，点P,Q,R分别在棱AB,5,C1；DtD

上，且NP=AQ=D3=1.

A_____________ct

APB

CD求点。到平面尸少的距离；

AN

(2)若平面PQ?与线段4储的交点为N,求K的值•

TiCzi

题型六：证明直线和直线平行

【典例6-1】如图所示，在四棱锥尸-48。中，底面ABCD为矩形，平面4BCD,E为CP的

中点，N为DE的中点，DM=-DB,DA=DP=\,CD=1,求证：MNIIAP.

【典例6-2】已知棱长为1的正方体在空间直角坐标系中的位置如图所示，D,E,F,G

分别为棱Q4,44,2C,OC的中点，求证：DE//GF.

【方法技巧】

将证线线平行转化为证两向量共线.设a,b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为21,则

a//5=a=(2eR,2W0).

【变式6-1］如图，四边形/8CO和/8Eb都是平行四边形，且不共面，M,N分别是NC,8尸的中点,

求证：CE//MN.

【变式6-2】在四棱锥P-48CD中，平面48CD_L平面尸CD,底面48C3为梯形.ABIICD,

AD1DC,且N8=l,AD=DC=DP=2,ZPDC=U0°.若”是棱以的中点，则对于棱3c上是否存

在一点R使得与尸C平行.

P

题型七：证明直线和平面平行

【典例7-1]（2024•陕西安康•模拟预测）如图，已知多面体是由正四棱锥P-/8CD与正方体

ABCD-组合而成的，且PC=@AB.

2

P

【典例7-2]如图，在四棱锥S-/5CQ中，底面/BCD满足43_LBC,"_L底面/BCD,

&4=AB=BC=1,AD=0.5,E为S3中点.求证：AEIISCD

【方法技巧】

(1)利用共面向量定理.设21为平面々内不共线的两个向量，证明存在两个实数XJ,使得

1=xa+yb,贝!J///a.

(2)转化为证明直线和平面内的某一直线平行.

(3)转化为证明直线的方向向量与平面的法向量垂直(此方法最常用).

【变式7-1】如图所示，正方形与矩形/BCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2,点、E为AB

的中点.

【变式7-2】由四棱柱/BCD-48cA截去三棱锥&DG后得到如图所示的几何体，四边形

ABCD是菱形，NC=4,AD=2,O为/C与8。的交点，4。，平面/BCD.求证：4。//平面&DG

题型八：证明平面与平面平行

【典例8-1】如图所示，平面为。，平面N3C。，四边形48C。为正方形，△为。是直角三角形，且

PA=AD=2,E,F,G分别是线段E4,PD,CD的中点，求证：平面昉G〃平面P5C.

【典例8-2】如图，在长方体/BCD-中，AB=4,BC=3,CQ=2.求证：平面4G8〃平

面ACDt.

【方法技巧】

（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.

（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.

【变式8-1］如图所示，正四棱的底面边长1，侧棱长4,中点为E,CG中点为

F.求证：平面BDEV/平面8Q尸.

【变式8-2］如图，在长方体中，AB=4,BC=3,CC,=2.

（1）求证：平面4QB〃平面NCR.

（2）线段瓦。上是否存在点P,使得////平面NCR?若存在，求出点尸的位置；若不存在，请说明理由.

题型九：证明直线与直线垂直

【典例9-1】(2024•高三•贵州•开学考试)在三棱锥/-BCD中，AB=AC=BC=CD=2,

/BCD=120°,ABIAD,£为线段AD的中点.

【典例9-2】如图，直三棱柱48C-44cl中，ZABC=90°,CB=\,CA=2,AA、=在,M是CC1

(1)求直线84的一个方向向量;

⑵求证：AM1BAX.

【方法技巧】

设直线/14的方向向量为，贝！=。4=0.

【变式9-1】在四棱锥P-/8CD中，底面/BCD是边长为2的正方形，PCLPD,