2025年中考数学复习：线段最值专项练习

线段最值专项练习

利用“垂线段最短”解决线段最值问题

方法突破练

直线外一点与直线上所有点的连线中，垂线段最短

1.如图，在平面直角坐标系中，直线1y=-打+4分别交x轴，y轴于点A,B,点P为直线1上任意一点，

连接OP,求线段OP的最小值.

2.如图，抛物线y=产—2%—3与x轴交于A,B两点，顶点为C,点D为线段AC上一点，点E为抛物线对

称轴上一点，连接AE,DE,求4E+DE的最小值.

第2题图

3如图，抛物线y=-比2+2x+3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,在平面内有一定点D(3,4),点

P,Q分别是抛物线、直线BC上的动点，求DP+PQ的最小值及此时点P的坐标.

第3题图

利用“胡不归”求线段最值

4.如图，在平面直角坐标系中，4(0,-2),B(3,0),点P是x轴上任意一点，连接AP,求P4+的最小值.

第4题图

5.如图，已知抛物线y=-必—2x+3与x轴交于A,C两点，与y轴交于点B,D为抛物线的顶点.若R为y

轴上的一个动点，连接AR，求AR+的最小值.

第5题图

6.如图，已知抛物线y=/—6久+8与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，直线y=打与抛物线对称

轴交于点C,点D是直线y=[x上一点，连接AD,求2。+*CD的最小值.

]OA^/BX

第6题图

设问进阶练

例如图，已知抛物线y=-|x2+jx-2与X轴交于点A,B(点B在点A左侧),与y轴交于点C,抛物线顶

点为点D,对称轴为直线1.(1)如图①，若点P为x轴上一点，点N为直线AC上一点，求CP+PN的最小值；

例题图①

⑵如图②，若点P为y轴上一点，连接BP,求BP+2CP的最小值;

例题图②

⑶如图③，若点P为抛物线对称轴上一点，点M为AB上一点，且=2AM连接MP,BD,求DP+的

4

最小值.

例题图③

综合强化练

1.创新题•探究性试题学习了二次函数之后，我们知道二次函数的图象是抛物线，有同学猜想，抛物线上的点

到定点和定直线的距离相等，经过小组探究，发现：如图，点P是平面内一动点，点Q是y轴正半轴上一点，设(

0Q=%连接PQ若点P到直线y=-n的距离等于PQ的长y=f度，则所有符合的点P形成的轨迹是抛物线y=

ax2.

【初步感知】

⑴当X加时，a与n的数量关系为—；

⑵若动点P(x,y),Q(0,3),连接PQ,且点P到直线.y=-3的距离等于PQ的长，直接写出所有符合的点P形成的

轨迹的抛物线解析式；

【灵活应用】

(3)若点D的坐标是(1,5),在⑵中求得的抛物线上是否存在点M，使得MQ+最短?若存在，求出点M的

坐标，若不存在，请说明理由；

【拓展延伸】

(4)由上述发现可知，二次函数y=；(x-l)2+2的图象可以看作平面内一动点到定点F的距离等于它到定直

线y=-n=-n的距离，所有符合这一条件的动点所形成的图形，求点F的坐标和n的值.

作图区答题区

备用图②

考向4利用"垂线段最短”解决线段最值问题

一阶方法突破练

1.解：确定线段长最小值时动点的位置.当OP±AB时，线段0P的值最小.

•.直线I的解析式为y=-枭+4,

.-.A(3,0),B(0,4),.-.OA=3,OB=4,.-.AB=5.

-SAOB=lOA-OB=^AB-OP,

•・・。。=噤=9(求出线段长度)，

AD5

，线段0P的最小值为Y.

2.解：•.•确定定点坐标抛物线y=/_2%-3的顶点为=(%—1)2—4,

•.C(l,-4).

令y=0,解得x=-l或x=3,，A(-l,0),B(3,0),如解图，连接BE,过点B作BD'±AC于点D',与抛

物线对称轴交于点E1,

•.点A与点B关于对称轴对称，

.AE=BE，第2题标图

AE+DE=BE+DE>BE'+D,E'=BD：

」.AE+DE的最小值为BD，的长.

：AC=2V^,AB=4,连接BC,

118A/5

.：SABC=-ABX4=-AC.BD,.：BD=4.

..AE+DE的最小值为管.

3.解:如解图，过点D作DQ±BC于点Q,交抛物线于点P,此时DP+PQ取得最小值，最小值为DQ的长，则

P,Q即为所求作的点.

过点Q作QE±x轴于点E,连接BD,

1.抛物线的解析式为y=—x?+2%+3,

.".B(3,0),C(0,3),.-.OB=OC=3,/.zCBO=45°.

•.•D(3,4),;.NDBO=90°,BD=4,

ANQBD=45DQ=BQ=4x^=2加,

..DP+PQ的最小值为2VI

；QE，x轴,NQBE=45。，

.•.zBQE=zQBE=45°,

QE=BE=^BQ=2,

.•QE=OB-BE=1〃•.点Q的坐标为(1,2).

；D(3,4),Q(L2),.■直线DQ的解析式为y=x+l联立［y+3,解得x=2或x=-l

(舍去)，当x=2时,y=3.

，点P的坐标为(2,3).

4.解:如解图作NOBC=30。,交y轴正半轴于点C,过点A作AD±BC于点D,交x轴于点P

’，过点P作PDUBC于点D'.第3题解图

构造直角三角形及特殊角.

>1'>1

•••ZOBC=30。，:.DP=：BP,DP=：BP,

PH+；P8=PA+。P2AP'+P力=力。("化折为直"，确定动点位置)，

，当点P'与点P重合时,PA+的值最小，即AD的长.

•.A(0,-2),B(3,0),

,.OA=2/OB=3,

=V3,

OC^—3OB

AC=2+V3.

•.NOBC=30O,「.NOCB=60。，

AD=AC-sin600=(2+V3)x^=|+旧(求出线段的长)，

PA+的最小值为|+V3.

5.解:如解图，连接BC,过点R作RH，BC于点H,过点A作AG±BC于点G.

■■■抛物线的解析式为y=—久2—2%+3,

..A(L0),C(-3,0),B(0,3),.QB=OC=3.

•.zCOB=90°,

，BC=3V2,zHBR=45°.

在RbBHR中,RH=^-BR,

：

.AR+—2BR=AR+RH>AG.

，当HRA三点共线且AHJ_BC时,AR+fBR的值最小，最小值为AG的长，连接AB.

s=|BCSG=|ac-OB,

2AGBC=逐=2鱼，2

BC

AR+的最小值为2V2.

6.解:；抛物线y=/_6“+8与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧)，

，令y=0,解得x=2或x=4,/.A(2,0).

••直线y=枭与抛物线对称轴交于点C,抛物线对称轴为直线x=3,

，当x=3时y=^x=4,.'.C(3,4).

如解图，过点C作CE，y轴于点E,过点D作DF±CE于点F,过点A作AG±CE于点G,交直线y=紧于点D

',/.CE=3,OE=4,OC=5,

••.sin4C°崂二穿/

・•.FD="4D,

•••AD+^4CD=AD+FD>AD'+DG'=AG,

当点D与点D'重合时,AD+江。的值最小，即为AG的长

1.四边形OAGE为矩形，

，AG=0E=4,

••・力。+/D的最小值为4.

二阶设问进阶练

例解:⑴将y=0代入抛物线y=-打2+|x_2中，解得刈=1,0=4,

•.点B在点A左侧,，A(4,0),B(L0).

当x=0时,y=-2,;.C(0,-2).

,.OA=4/OC=2r.AC=2V5.

如解图①作点C关于x轴的对称点FQ2),过点F作FN±AC于点N,交x轴于点P.

例题解图①

由轴对称的性质及垂线段最短可知，此时CP+PN=FP+PN的值最小，最小值为FN的长.

易得丛8〜VCN,

AC_OA

FC-N尸'

FCOA_4X4_8V5

AC-2A/5-5'

..CP+PN的最小值为第；

⑵如解图②，过点C作NOCE=30。,交x轴负半轴于点E,过点B作EC的垂线交EC于点F,交y轴于点P,点P

即为所求作的点.

•.zOCE=30o,.-.zBEC=60o,PF=|PC,

BP+^CP=BP+PF=BF,

•••BP+|CP的最小值为BF的长，

由⑴得,A(4,0),B(l,0),C(0,-2),

.-.0C=2,0B=l,

EO=0C-tan30°=BE=—+l,

33

BF=BE-sin60°=—+1,

2

.•.BP+2的最小值为日+1；

例题解图

⑶如解图③，过点P作PE±BD于点E,设抛物线的对称轴与x轴交于点F,由⑴得B(1,O).

12।5n1(5\2,9"59、

:y———x+-x—2=——x——

J222\2/8\287

5315

・•・BF=--l=-fBD=—,

228

RFPF44

・•・sinNBDP=-=—=PE=-DP,

BDDP55

ADP+|"P=|@DP+MP)=[(PE+MP),易知M(3,0),BM=2,

过点M作MQBD于点H厕PE+MP的最小值即为MH的长，连接DM,.，DP+|MP的最小值为

SBDM=\MB-DF=\BD-MH,

MR-DF2X^663

・•.MH=丝丝====

BD竺542

■-DP+^MP的最小值为|.

三阶综合强化练

1.解:(1)«=【解法提示】由题意可知,PQ=PB,Q(O,n),设点P的坐标为(x,y),.1小+(-y=(江,...

471yny+

x2=Any.:y=ax2,­'-x2=^=471y.:xt0,a=

(2)y=2嵋【解法提示】由⑴知，此时n=3,.ia=高=》所有符合的点P形成的轨迹的抛物线解析式为y

=—x2.

12

(3)存在；如解图①，过点D作直线y=-3的垂线，垂足为E,与抛物线交于点M,此时MQ+MD=ME+MD=D

第1题解困

(4)如解图②，构造新的平面直角坐标系x101y',

・••二次函数的解析式为y=+2,

..二次函数的顶点坐标为(1,2),a=*由(1)可知n=l,即在新的平面直角坐标系中n=-l,

二二次函数y=i(x-l)2+2的图象可以看作到定点F(1,3)的距离等于它到定直线y=l的距离，所有符合的

动点所形成的图形，

，定点F的坐标为(1,3),n的值为-1.

2.解:(1)•.抛物线经过点C(0,2V3),

抛物线的解析式为y=ax2+bx+2V3,

将A,B两点的坐标代入抛物线解析式，

得产—2b+2V|_=0,解得*

(16a+4b+2K=0b=~

I2

抛物线的解析式为y=—=/+当x+2V3;

(2)【思路点拨】作点G关于x轴的对称点N,过N作BC的垂线，垂足为点M,贝GH+HM的最小值为N

M的长.

如解图①，作点G关于x轴的对称点N,过点N作NM，BC于点M,交x轴于点H(确定线段和最