2025年新高考数学一轮复习：基本不等式及其应用（十八大题型）（练习）（学生版+解析）

第04讲基本不等式及其应用

目录

01模拟基础练..................................................................................2

题型一：基本不等式及其应用....................................................................2

题型二：直接法求最值..........................................................................3

题型三：常规凑配法求最值......................................................................3

题型四：化为单变量法..........................................................................3

题型五：双换元求最值..........................................................................3

题型六：“1”的代换求最值.......................................................................4

题型七：齐次化求最值..........................................................................4

题型八：利用基本不等式证明不等式..............................................................4

题型九：利用基本不等式解决实际问题............................................................5

题型十：与a+b、平方和、成有关问题的最值....................................................6

题型十一：三角换元法..........................................................................7

题型十二：多次运用基本不等式..................................................................8

题型十三：待定系数法..........................................................................8

题型十四：多元均值不等式......................................................................8

题型十五：万能K法............................................................................9

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题....................................................9

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................................9

题型十八：整体配凑法.........................................................................39

02重难创新练.................................................................................40

真题实战练....................................................................................11

题型一：基本不等式及其应用

1.(2024•高三•安徽芜湖•期末)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成

了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称

之为无字证明.现有如图所示的图形，点尸在半圆。上，且。尸，A3,点C在直径A3上运动.作8LA3

交半圆。于点O.设AC=。，BC=b,则由FCWCD可以直接证明的不等式为()

A.2>0,6>0)B.a2+b~>2ab(a>0,b>0)

C.(a>0,Z>>0)D.^fab<Ja(a>0,b>0)

2.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是()

①己知求2的最小值；解答过程：-+->2.EJ=2；

baba\ba

②求函数y=j的最小值;解答过程：可化得y=+4?2；

7

③设*>1,求？=彳+——；的最小值;解答过程：y=x+^->2.^,

X-Lx—1Vx—1

2把工=代入后^得最小值为

当且仅当》=二即x=2时等号成立,224.

x-1

A.0个B.1个C.2个D.3个

3.下列不等式一定成立的是()

A.1g卜+；j>lgx(x>0)

B.sinxH------22(xWkjr,kGZ)

sin%

C.x2+1>2|x|(xeR)D.—>1(xsR)

x+1

题型二：直接法求最值

4.（2024•上海普陀•二模）若实数〃，人满足a—2b20,则2。+，的最小值为.

h2

5.（2024•高三•上海青浦•期中）若且满足"=8,则/十一的最小值为.

16

6.若x>0,贝的最小值为.

x

题型三：常规凑配法求最值

7.若X>1,则％H的最小值是__.

x—1

8.若工>-1,则函数/（力二三的值域是.

9.若一Ivxvl,则y「2-2x+2有（）

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

题型四：化为单变量法

10.若a+b+c=4,3a+2b-c=0f贝！Jab的最大值为（)

B.3

A.-c.-D.—

6633

11.（2024•高三•河南漠河•期末）设正实数力、V、z满足，-孙+黄-2=0,则父的最大值为（）

Z

A.4B.2C.3D.1

8

12.已知正数x,y满足3A4=9,，则x+一的最小值为.

y

13.已知x,yeR+,若2x+y+孙=7,贝！|x+2y的最小值为.

题型五：双换元求最值

62

14.（2024・全国•模拟预测）已知0>0,0/71r1,则2i的最小值为一

15.（2024•高三•福建龙岩•期中）已知x>0,y>0且Y+3/+4町=8,贝|3x+5y的最小值为

题型六："1"的代换求最值

16.（2024•高三•江苏南京•开学考试）函数y=log.（x+2）-3（。>0且。*1）的图象恒过定点A,若点A

九1

在直线侬+〃y+l=0上，其中〃机>0,则二+士的最小值为.

mn

17.（2024•四川南充•二模）已知x,y是实数，x>0,y>0,且x+y=4,则的最小值为

^y

18.（2024•陕西西安•模拟预测）若直线2wu+冲-4=0（加>0,”>0）过函数y=log"（x-l）+2（a>。，且awl）

H4

的定点T,则巴+2的最小值为.

mn

19.（2024•上海徐汇•二模）若正数°、万满足工+[=1,贝|2。+〃的最小值为____.

ab

题型七：齐次化求最值

1X

20.（2024•高三•浙江•开学考试）已知正实数羽V满足1+2y=l,则一+一的最小值为________.

xy

21.已知x>0,y>0,x3+y3=x_y,则匕f的最小值是（）

y

A.2B.2+73C.45+1D.2A/2+2

题型八：利用基本不等式证明不等式

22.已知a,b,c为正数，函数〃x）=|x+a|+|x+4+.一小

⑴若a=6=c=2,求/（X）的最小值；

⑵若/（0）=1且a,b,C不全相等，求证：/c+c'a+a3b>abc.

23.不等式选讲已知a,b,c均为正实数，函数/（》）=卜-4力+归+叫+c的最小值为4.

（1）求证：ab+bc+ca>9abc；

（2）求证：6y/ab+3y[bc+2\[ca<4.

24.（2024•四川资阳•模拟预测）已知。>0,b>0,且o+〃=2.

⑴求Y+廿的最小值；

（2）证明：而T+屈

题型九：利用基本不等式解决实际问题

25.（2024•黑龙江•二模）"不以规矩，不能成方圆”出自《孟子・离娄章句上》.“规”指圆规，“矩”指由相

互垂直的长短两条直尺构成的方尺，是古人用来测量、画圆和方形图案的工具，今有一块圆形木板，按图

中数据，以“矩”量之，若将这块圆形木板截成一块四边形形状的木板，且这块四边形木板的一个内角&满足

cosa=1,则这块四边形木板周长的最大值为（）

26.（2024•广东韶关•二模）在工程中估算平整一块矩形场地的工程量卬（单位：平方米）的计算公式

是W=（长+4）x（宽+4）,在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平

方米收费1元，请估算平整完这块场地所需的最少费用（单位：元）是（）

A.10000B.10480C.10816D.10818

27.（2024•高三•山东济宁•开学考试）一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金.一位顾客到店里

购买10g黄金，售货员现将5g的祛码放在天平的左盘中，取出用黄金放在天平右盘中使天平平衡；将天平

左右盘清空后，再将5g的祛码放在天平右盘中，再取出翅黄金放在天平的左盘中，使天平平衡；最后将两

次称得的黄金交给顾客.则（）

A.x+y>10B.x+y=10

C.x+y<10D.以上都有可能

28.（2024•高三•北京朝阳•期末）根据经济学理论，企业生产的产量受劳动投入、资本投入和技术水

平的影响，用。表示产量，力表示劳动投入，K表示资本投入，A表示技术水平，则它们的关系可以表示

为0=4不〃，其中A>0,K>0,l>0,0<a<l,0</<1.当A不变，K与乙均变为原来的2倍时，下面结论中正确

的是（）

A.存在a<:和夕<：,使得Q不变

B.存在a>g和夕>g,使得。变为原来的2倍

C.若加=:，则。最多可变为原来的2倍

D.若才+加=3,则。最多可变为原来的2倍

29.某合作社需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男社员分装时，需要12天完成，只由一名女社员分

装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男、女社员人数都不

足以单独完成任务，所以需要若干名男社员和若干名女社员共同分装.己知分装这种蔬菜时会不可避免地造

成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男社员会损耗蔬菜共80千克，参与任务

的所有女社员会损耗蔬菜共30千克.则参与分装蔬菜的男社员的平均损耗蔬菜量（千克）与女社员的平均损

耗蔬菜量（千克）之和的最小值为（）

A.10B.15C.30D.45

题型十：与。+瓦平方和、ab有关问题的最值

30.（多选题）（2024•全国•模拟预测）若实数〃，b满足3/+3/+4必=5,则下列结论正确的是（）

2

A.ab<1B.ab2—

5

c.a2+b2>2D.-y/2<a+b<y/2

31.（多选题）已知位于第一象限的点伍,。）在曲线J+（=l上，贝I（）

A.=B.ab>4

122

C.ci+4b<9D.-z~H—之一

a2b13

32.（多选题）设正实数x>0,y>0,且满足x+y+3=孙，则（）

A.4x+y>13B.xy<9

C.x2+y2<lSD.-+-^-

xy3

i3

33.（多选题）已知，>0,b>0,一+；=1,则下列说法正确的是（）

ab

A.ab的最小值为12

B.〃的最小值为48

C./+/的最小值为24

13

D.7+力士的最小值为2

a—1b—3

题型十一：三角换元法

34.（多选题）由知实数。，8满足〃2+4/=2,则（）

A.次?的最大值为:

B.Q+6的最大值为26

c〃「扬M

C.a-be-------,------

22

D.当°>0,0<6<也时，的最大值为正

4a+2b4

35.（多选题）（2024•全国•模拟预测）实数〃，力满足〃2+4/=2,则（）

A.ab<-

2

B.的最大值为

c,rvw呵

C.a-bG--------,-------

22

D.（。+26乂03+助3）的最大值为5

36.（多选题）若了,»满足，+/一孙=1,则下列结论正确的是（）

2

A.x+y<lB.x+y>-2C.x2+y2<2D.x2+y2>-

题型十二：多次运用基本不等式

37.己知。＞0力＞0,贝ija+bn1■丁的最小值为____.

ab

lab

38.（2024•黑龙江•二模）已知实数4，b5.ab＞0,则取得最大值时,a+b的值为（）

a2+b2+crb1+9

A.币B.273C.-26D.2^/3或-

+4Z/+J-的最小值为（）

39.若实数a,6满足M＞0,则储

ab

A.8B.6C.4D.2

40.已知〃>0,">0则4a+b+1——的最小值为（）

7ab

A.2B.2A/2C.4D.5

题型十三：待定系数法

41.（云南师范大学附属中学2023-2024学年高三4月月考数学试题）已知实数工,z不全为0,则

?+的最大值为（）

x+y+z

A.亚B.旦C.—D.立

2222

42.（2024•山西运城•二模）若a,b,c均为正实数，则一：手的最大值为（）

a+2b+c

题型十四：多元均值不等式

43.已知孙=1（%＞。），贝！|16x+y2的最小值为.

44.函数y（x）=------------------------的最小值是（）

\79x+2-3-J

Q1Q

A.25/2B.3C.—D.—

题型十五：万能K法

45.已知实数。力满足/+462+。6=1，贝心的最大值为.

46.（2024•湖南衡阳•模拟预测）已知实数羽儿满足M+孙+3/=3,则x+V的最大值为（）

AR6A/H「A/3+1口g+3

A.--------D.----------C.-----------D.-----

11II33

47.（2024•高三•重庆•期中）已知x,yeR,且/+4/=3,则;x+y的最大值为.

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题

o12

48.（2024•辽宁大连•一模）对于任意的正数办n,不等式三+±2二'成立，则入的最大值为一

49.（2024•高三•山东滨州•期末）若不等式尤2一族+420对任意xw[l,3H亘成立，则实数。的取值范围

是（）

A.[0,4]B.（-«,4]C.1―D.（-8,5]

12

50.若两个正实数X，'满足一+—=1且不等式2云+»>/+2利恒成立，则实数加的取值范围是（）

xy

A.（-4,2）B.（-2,4）

C.（-00,^l）o（2,+00）D.（-00,-2）1（4,+00）

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题

51.已知x>0,y>0,向量d=（x,y）,b=（2,l）,a-A=l,则孙的最大值为.

52.（2024•河南新乡•二模）在直三棱柱AB©-ABC中，ABA.BC,ACt=2AA,=4,则该三棱柱的体积

的最大值为.

53.（2024•四川南充•二模）在JLBC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边.己知。=2,

2sinB+2sinC=3sinA.则cosA的最小值为.

54.（2024•湖南•模拟预测）已知以力为锐角,_@.tana-tan；0+2tanatan2^=O,则tana的最大值为（）

A.也B.克C.也D.72

432

A.2B.2A/2C.4D.472

7.（2024•江苏南通•二模）设x>0,y>0,-+2y=2f则1+,的最小值为（）

%）

33

A.-B.2>/2C.—+\/2D.3

22

8.（2024•全国•模拟预测）已知%>0,）>0且x+y=l,则卢3+7^的最小值为（）

1+x1+/

A1「2-3

A.—B.—C.-D.一

5555

9.（多选题）（2024•河北保定•二模）已知/+4户+2而=1,贝IJ（）

A.他的最大值为1B.储+4炉的最小值为力

O

的最小值为

C./+432的最大值为2D.-g

10.（多选题）（2024•浙江绍兴•二模）已知a>0,b>0,a+b=ab,贝!J（）

A.a>lRZ?>1B.ab>4

b1

C.a+Ab<9D.—n—>1

ab

11.（多选题）（2024•全国•模拟预测）已知a>0,b>0,且a+Z?=2,贝|（）

A.a2+b2>2B.C.loga+log&>0D.a2-b>0

422

12.（多选题）（2024•高三•浙江湖州•期末）已知正数。力满足。（。+劝=1,下列结论中正确的是（）

A.Y+/的最小值为2虚-2B.2a+6的最小值为2

C."的最小值为芈

D.〃■-扬的最大值为1

13.（2024•湖北黄石•三模）设。，beR+，若。+43=4,则&兰历的最小值为____，此时。的值为.

7ab

14.（2024・上海静安•二模）在下列关于实数久6的四个不等式中，恒成立的是.（请填入全部

正确的序号）

①a+b之2五K；②Nab；③141一网旦。一切；@a1+b2>2b-\■

15.（2024•四川德阳•模拟预测）已知正实数x,y,z满足/+孙+yz+xz+x+z=6,则3x+2y+z的

最小值是.

16.（2024怏西咸阳模拟预测汨知函数〃x）=2024，-2024T，若=>0,〃>0,且〃根-2）+„）=*0）,

31

则的最小值为____.

m+1n+\

1.（2021年天津高考数学试题）若。则2+9+6的最小值为________.

ab

2.（多选题）（2022年新高考全国H卷数学真题）若x,y满足一+必一孙=1,则（）

A.x+y<\B.x+y>-2

C.x2+y2<2D.x2+y2>1

3.（2023年天津高考数学真题）在ABC中，8c=1,/A=60，AO=gAB,CE=gc£>,记AB=a,AC=b,

用。,〃表示AE=;若BF=；BC,则A£.AF的最大值为.

4.（2015年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（湖南卷））若实数。力满足疝，贝的

ab

最小值为

A.72B.2C.2A/2D.4

5.（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（福建卷））要制作一个容积为4nP,高为1m的无

盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总

造价是（）

A.80元B.120元

C.160元D.240元

1\a\

6.（2013年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（天津卷））设a+>=2,b>0,则干+岸的最小值为一.

2|a|b

7.（2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷））设"m,九eR,且/+〃=5,3+,访=5,

则Vm2+n2的最小值为

8.（2014年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（浙江卷））己知实数。、b、c满足。+6+c=o,

a2+b2+c2=l,则。的最大值为_____.

第04讲基本不等式及其应用

目录

01模拟基础练..................................................................................2

题型一：基本不等式及其应用....................................................................2

题型二：直接法求最值..........................................................................3

题型三：常规凑配法求最傅......................................................................3

题型四：化为单变量法..........................................................................3

题型五：双换元求最值..........................................................................3

题型六：“1”的代换求最值.......................................................................4

题型七：齐次化求最值..........................................................................4

题型八：利用基本不等式证明不等式..............................................................4

题型九：利用基本不等式解决实际问题............................................................5

题型十：与a+b.平方和、成有关问题的最值....................................................6

题型十一：三角换元法..........................................................................7

题型十二：多次运用基本不等式..................................................................8

题型十三：待定系数法..........................................................................8

题型十四：多元均值不等式......................................................................8

题型十五：万能K法............................................................................9

题型十六：与基本不等式有关的恒（能）成立问题....................................................9

题型十七：基本不等式与其他知识交汇的最值问题.................................................9

题型十八：整体配凑法.........................................................................39

02重难创新练.................................................................................40

真题实战练....................................................................................11

题型一：基本不等式及其应用

1.(2024•高三•安徽芜湖•期末)《几何原本》第二卷中的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成

了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称

之为无字证明.现有如图所示的图形，点尸在半圆。上，且。尸J_A3,点C在直径A3上运动.作CDLAB

交半圆。于点O.设AC=a,BC=b,则由尸C28可以直接证明的不等式为

A.(6z>0,Z?>0)B.a2+b2>2ab(^a>0,b>0)

C-怒…)D.(a>0,6>0)

【答案】D

【解析】连接AT),8。，由题知CO_LAB,AD±DB,

所以ZADC+NCD3=NCD8+NCB£),BPZADC=ZCBD,

因为NACD=Nr)CB=90,

所以/XACDADCB,

由zACCD

所以次=正'即CD=4ab，

因为4C=a,BC=b,

所以0尸=土心，OC=a-a+b_a-b

222

a+ba2+b2

所以/C=

2

所以由尸CNCD可以证明J瓶<(a>0]>0)

故选：D

2.下列运用基本不等式求最值，使用正确的个数是（）

①已知而。，求小3的最小值；解答过程：»厝二2；

②求函数3=：产的最小值;解答过程：可化得y=，尤2+4+22,

Vx-+4

22

③设X>1,求i+口的最小值;解答过程：y=x-\------->2

%—1

2

当且仅当％=二即％=2时等号成立,把x=2代入2J三得最小值为4.

x-1Vx-1

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】A

【解析】对①：基本不等式适用于两个正数，当必<o,f与2均为负值,

ba

n.«b

止匕n时一十一

ba

当且仅当f=即。=b<0时等号成立，故①的用法有误，故①错误;

ba

对②：y=7x2+4+^J->2,

1.-------

=J.+4，即J-+4=1时取等号，

但在工22,则等号取不到，故②的用法有误；

22

对③：x>l,x—1>0,y=x~\-------=x­l~\--------F1N2A^+1,

x—1x—1

当且仅当x-1=&,即％=亚+1时取等号，故③的用法有误；

故使用正确的个数是。个，

故选：A.

3.下列不等式一定成立的是（）

A.1g|%2+—|>1gx（x>0）B.sinx+—>2（x手k兀，k^Z）

\4Jsinx

C.x2+l>2k|（xeT?）D.—一>1（XGH）

11x+1

【答案】C

【解析】A：当x时，有/+J=x,故不等式不一定成立，故A错误；

24

B：当sinx=—l,即％=24%+¥（左EZ）时，有sinx+一一=-2<2,故不等式不一定成立，故B错误;

2sinx

C：/+1-2禺=（|刈—1）220恒成立，故C正确；

D：当x=l时，有上=:<1,故不等式不一定成立，故D错误；

X+12

故选：C

题型二：直接法求最值

4.（2024•上海普陀•二模）若实数。，。满足a-220,则2。+京的最小值为.

【答案】2

【解析】因为2">0,不a—2b>0,

所以2"+，=2"+522^2”•表亚=2,

当且仅当2"=},即。=6=0时等号成立，

所以2。+1的最小值为2.

故答案为：2.

b2

5.（2024•高三•上海青浦•期中）若a,beR且满足仍=8,则/+一的最小值为_______.

16

【答案】4

【解析】因为"=8,所以〃2>0万>0,

当。2=而，即6=4々=4^笈或Z?=4a=—时取等号，

h2

所以/+幺的最小值为4.

16

故答案为：4.

A

6.若%>0,则%+-的最小值为.

X

【答案】4

【解析】因为x>0,则X+=当且仅当X=2时，等号成立,

故答案为：4.

题型三：常规凑配法求最值

7.若x>l,则x+—1的最小值是__.

x-1

【答案】3

【解析】Vx>l,

・•・x+^-=x-l+^—+l>2j(x-l)x-^+l=3,

x-1x-1V7x-1

当且仅当x-l=工即X=2时取等号，

x-1

「・％=2时x-\---^取得最小值3.

x-1

故答案为：3.

8.若兀>—1,则函数”司=57的值域是.

【答案】[0,+8)

【解析】・.・小)==G+])2_2(x+l)+]+J__2.

v7x+1x+1v7x+1

当%>一1时，/(x)>2^(x+l)x-^--2=0,

当且仅当兀+1=工，即尤=0时取等号；

故函数的值域为[0,+8).

故答案为：[0,+8).

9.若,则,=厂—2x+2有()

2x—2

A.最大值-1B.最小值-1C.最大值1D.最小值1

【答案】A

【解析】因—Ivxvl,贝!]0<l-x<2,

于是得y=立±1=-匕（1一无）+」—］《一」.2八二口二=-1,当且仅当1_彳=3，即x=0时取

21—x21—x2丫1—x1—x

—2x+2

所以当x=0时,y=有最大值-1.

2x-2

故选：A

题型四：化为单变量法

10.若a+b+c=4,3〃+2b-c=0,则次?的最大值为（）

A.-B.立C.-D.且

6633

【答案】C

【解析】由。+匕+。=4,3a+2Z?-c=0,

可消去。得到4a+3Z?=4,

则a=l——b,令y=ab,

4

y=_22+Z?=—|（Z?--|）2+g,

，当6=1■时，

故油的最大值为;.

故选：C.

11.（2024•高三•河南漠河•期末）设正实数X、y、z满足/一肛+y2-z=o,则组的最大值为（）

Z

A.4B.2C.3D.1

【答案】D

【解析】因为正实数X、丁、Z满足i2一肛+y2-z=0,贝|Jz=A：2+y2一孙，

现=—毛—-1--1

所以，z厂+丁一孙i+z_l2l±.y_1，

y%，•7一

当且仅当'=）（x>0，y>。）时，即当x=y时，等号成立，

y尤

故芷的最大值为1.

Z

故选：D.

Q

12.已知正数尤，y满足3一=夕，则x+一的最小值为.

■y

【答案】12

8

【解析】由3"一4二夕，可得％—4=2y,即x=2y+4,代入1+一中，

y

82IQ-

可得2>+4+—=2y+—+4222y—+4=12,

yyVy

当且仅当y=2,x=8时，取等号，

g

所以X+一的最小值为12.

y

故答案为：12.

13.已知x,y£R+,若2x+y+q=7,贝！J%+2y的最小值为.

【答案】672-5

光

【解析】由x,ycR+,且2x+y+冲=7,可得y=一7—2

X+1

mil_LO,O7-2Xx2—3x+14

贝I]%+2y=x+2x-------=----------------，

x+\x+1

设，=x+l,可得x=，—1且，>1,

—r，曰——3x+14/—5/+1818__I18_c

可得---------=---------=t+——5>2jt-------5=6j2—5，

x+1ttxt

当且仅当f时，即r=3应时，等号成立，所以x+2