2025年新高考数学一轮复习：函数与方程（十一大题型）（练习）（学生版+解析）

第07讲函数与方程

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：求函数的零点或零点所在区间............................................................2

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围.....................................................2

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题...................................................3

题型四：嵌套函数的零点问题....................................................................3

题型五：函数的对称问题........................................................................4

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型.......................................................5

题型七：唯一零点求值问题......................................................................6

题型八：分段函数的零点问题....................................................................6

题型九：零点嵌套问题..........................................................................7

题型十：等高线问题.............................................................................7

题型十一：二分法...............................................................................8

重难创新练.....................................................................9

真题实战练....................................................................58

题型一：求函数的零点或零点所在区间

入2Ix_2X<0

1;一'1’则函数〃尤）的零点为_____

）-1+ln%,x>0,

2.（2024・高三.浙江宁波・期末）函数/'（x）=2'+无3-9的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

3.函数〃x）=lnx-J的零点所在的大致区间是（）

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

log3x,x>0

4.（2024・高三・江苏常州・开学考试）已知函数/（元）=10则函数/zah"/。））-：1的所有零点构成

的集合为.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

5.（2024•高三・广东深圳•期末）已知函数“力=三+4+^在（-1,1）内有零点，贝匹的取值范围是（）

A.（-5,5）B.（―oo,—5）u（5,+CO）C.[—5,5]D.—5]u[5,+8）

6.（2024咛夏银川.三模）函数/（司=题2%+犬+机在区间（2,4）上存在零点，则实数加的取值范围是（）

A.（-oo,-18）B.（5,+co）

C.（5,18）D.（-18,-5）

7.（2024.高三・内蒙古呼和浩特.开学考试）若函数=存在1个零点位于（1,2）内，则。的取值

范围是（）

A.（0,3）B.（—3,3）C.[—3,3]D.（—3,0）

2

8.函数/（%）=2%-4—。的一个零点在区间（1,2）内，则实数〃的取值范围是（）

A.0<«<3B.l<tz<3

C.1<«<2D.a>2

9.已知函数〃x)=811n-80的零点位于区间（%,%+l）内，则整数k=（)

A.1B.2C.3D.4

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

10.函数y=lg|x|-sinx的零点个数为

2x,0<x<—

2

11.已知函数〃尤）=<，则方程〃"x））=x的解的个数是.

<x<1

12.（2024.青海西宁.二模）记r（x）是不小于尤的最小整数，例如《1.2）=2,r（2）=2,r（-1.3）=-1,则函数

=的零点个数为.

O

d上有零点，则实数。的取值范围是（）

13.函数/(x)=2alog2X+a，4"+3在区间

3

A.a<--B.a<——

22

-313

C.——<a<——D.CL<----

224

题型四：嵌套函数的零点问题

4sinTLX,0<x<1

14.已知函数〃幻=，若关于X的方程-（2-〃2）/（x）+l-"7=0恰有5个不同的实数解,

2X-1+x,x>l

则实数加的取值集合为（）

A.(3,5)B.[3,5]C.(-3,-1)D.[-3,-1]

2"+1,x<0

15.已知函数/（尤）=1,方程「（力-叭力-。+3=0有6个不同的实数解，则实数a的取

—x9—2x+1,次20

2

值范围是（）

A.(1,2)B.(2,3)C.24D.T3

2cos2x,-7i<x<0

16.（2024・高三・天津滨海新•开学考试）已知函数/（%）=16八，关于x的方程

x+-----8o,x>0

x

2/（%）+（5-2〃）/（工）一5〃=0在[—兀,+00）上有四个不同的解玉,兀2，%3，X4，且王<冗2<%3<%4，若

x+x112

&2。恒成立，则实数人的取值范围是（）

A.[-7U,+OO)C.(-00,0)[71,+00)D.

17.定义域为R的函数〃尤）=[产"一?'"2,若关于x的方程尸⑴+妙⑸+c=o恰有5个不同的实数解力

l,x=2

X?,马，4，%，则/（芯+々+迅+工4+%）等于（）

A.1B.21g2C.31g2D.0

题型五：函数的对称问题

18.（2024•河南洛阳•一模）已知函数y=a-21nx,d«尤Ve）的图象上存在点"，函数y=犬+1的图象上存

e

在点N,且N关于x轴对称，则〃的取值范围是（）

A.[1—e?,—2]B.—3—

-11「，1一

C.-3---,-2D.l-e-,-3--

_e-」e7_

19.（2024•内蒙古赤峰•二模）已知函数y=l+21n,xe的图象上存在点加，函数y=-犬+。的图象上

存在点N,且点M,N关于原点对称，则实数”的取值范围是（）

A.0,l+—B.[0,/—3]C.1+—,e2-3D.1+—,+°°^

20.（2024・高三・湖北鄂州•期末）若不同两点P、Q均在函数y=/（x）的图象上，且点P、Q关于原点对称，

则称（RQ）是函数y=/（x）的一个“匹配点对”（点对（P,Q）与x=0视为同一个“匹配点对”）.已知

厘r>0

〃x）=e、’一恰有两个“匹配点对”，则。的取值范围是（）

2ox2,x<0

21.(2024.江西.一模)已知函数小)=依[*5,与函数若〃》)与g(x)的图象上分别存

在点M,N,使得MN关于直线y=x对称，则实数上的取值范围是

-1n「2](2、「3一

A.一-«B.——,2eC.一-,2eD.一-,3e

l_e」\_eJ\e)l_e」

22.(2024.江西.模拟预测)函数_/(x)=H,g(x)=21nx+6(l<x<4),若〃x)与g(x)的图象上分别

存在点M,N关于直线y=3对称，则实数上的取值范围是()

<2"|「2一

A.—，一ln2B.—,0

Ie」e」

C.[—In2,0]D.—In2

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型

23.(2024•浙江宁波•高三统考期末)若函数/(*)=)-2eP+〃叱-Inx至少存在一个零点,则用的取值范

X

围为()

(211「21、(11「1)

A.+-B.e+-,+00Ic.l-oo,^+-D.e+-,+00I

24.已知函数〃x)=2尤-4+二的图象上存在三个不同点，且这三个点关于原点的对称点在函数

e

g(x)=(-f-2x+a)e'的图象上，其中e为自然对数的底数，则实数。的取值范围为()

A.(f,3)B.(3,2e-2)C.(2e-2,+oo)D.(3,+00)

25.(2024・全国•高三假期作业)若存在两个正实数x、九使得等式3%+〃(2y-4e%)(lny-ln%)=0成立，

其中e为自然对数的底数，则实数〃的取值范围是().

A.(-oo,0)

3

B.(—co,0)U[--,+8)

2e

3

C.(0,—]

2e

3

D.[—,+8)

2e

题型七：唯一零点求值问题

（_1_l>

26.已知函数/（%）=m2*X2+2x*+2+/一元有唯一零点，则加的值为（）

\/

A.--B.-C.-D.-

2328

27.（2024•全国•模拟预测）若函数/（x）=|x-3|+eA3+e3r+加有唯一零点，则实数加的值为（）

A.0B.-2C.2D.-1

28.已知函数/（无）=尤2—2%+“（17+"用）+««。一：1）一1有唯一零点，贝!|。=（）

A.1B.—C.—D.—

332

29.（2024.广东茂名.二模）已知函数g（x）,/z（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且g（x）+/?（x）=e，+尤,

若函数"x）=/T+Xg（x-1）-2分有唯一零点，则正实数4的值为（）

A.-B.!C.1D.2

32

30.已知关于x的函数/（%）=乐2-2云+,一1|+廿+6—4有唯一零点x=a,贝!ja+Z>=（）

A.-1B.3C.-1或3D.4

题型八：分段函数的零点问题

x3+3x2-2,x<0,

31.（2024.河南开封.模拟预测）已知〃力=in%八若函数8（尤）="%）-加有两个零点，则加的

-----,x>0,

、x

取值范围为（）

A.［JB.（-2,0）C.（一咫一2）［2［D.［乂］

/、ax2+2ax+1,x<0

32.（2024・全国•模拟预测）若函数=1、门恰有2个零点，则实数。的取值范围为（）

ln（x+l）+tz,x>0

A.（—8,0）51，+°°）B.（0,1）C.（一8,1）D.（0,+oo）

33.函数Ax）"；：二"+4”2>0的零点个数为（）

12—3,xW。

A.1B.2C.3D.4

e*x>0

34.（2024•高三・陕西西安•期末）已知函数〃尤）=:一八，若函数g（x）=〃r）-〃x），则函数g（x）

-3x,x<0

的零点个数为（）

A.1B.3C.4D.5

\nx-2x9x>0

35.若函数/（%）=有且只有2个零点，则实数〃的取值范围为(）

x2+2x+a,x<Q

A.0<«<1B.0<6/<1C.0<6Z<1D.0<a<l

题型九：零点嵌套问题

36.(2024・辽宁・二模)已知函数〃x)=9(lnx)2+(a_3)xlnx+3(3-a)x2有三个不同的零点人,巧，阳,

A.1—tB.t—\C.-1D.1

38.（2024・高三・浙江绍兴•期中）已知函数/■。）=（叱）2+（4-1）0'）+1-°有三个不同的零点4々，尤3.其中

xl<x2<x3,则（1-平*）（1-力（1-八*）2的值为（）

A.1B.（6!—I）2C.—1D.1—a

题型十：等高线问题

|log3x|,0<x<3

39.已知函数〃x)=<110。若函数g(x)=/(x)-根有四个不同的零点，记作

—x2-----x+oo,x>3

133

xl,x3,x3,xAxi<x1<X3<X4],则店一以%—4)+*的取值范围是()

x{x2x3

A.(-1,0)B.(0,1)C.(-4,2)D.(-2,0]

—龙？+4x,xW4,

40.设函数=h'4若关于x的方程〃尤)=r有四个实根占,与不，乂(网<%<4)，则

%+%2+4%3+^%4的最小值为()

45

A.B.23C.—D.24

52

41.已知函数〃x)=x,若a<b<c,且〃a)=〃b)=〃c),则竿-c的取值范围为(

12amb

——xH—,x>e

、ee

A.(e,2e)B.(-2e,-e)

C.(l,2e)D.(-2e,-l)

/、logix,x>0

42.(2024.贵州贵阳.一模)设函数〃x)=《，则下列判断错误的是()

x2+2x+l,x<0

A.方程〃x)=l的实数根为-2,0,2

B.若方程〃x)=左有3个互不相等的实数根，则上的取值范围为(1,+8)

C.若方程/⑴=左有4个互不相等的实数根xl,x2,x3,x4(xl<x2<x3<x4),则,+关卜+2龙：•x,的取

值范围为［-7,-2)

D.若方程/(%)=%有3个互不相等的实数根不々，了3(不<工2<%)，则%马工3的取值范围为(Y°，T)

题型十一：二分法

43.某同学用二分法求函数/(x)=2'+3x-7的零点时，计算出如下结果：/(1.5)=0.33,/(1.25)=-0.87,

/(1.375)=-0.26,/(1.4375)=0.02,f(1.4065)=-0.13,f(1.422)=-0.05,下列说法正确的有()

A.1.4065是满足精度为0.01的近似值.

B.1.375是满足精度为0.1的近似值

C.1.4375是满足精度为Q01的近似值

D.1.25是满足精度为0.1的近似值

44.若函数/(力=/+公一2%-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：

/(尸-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.4375)=0.162/(1.40625)=-0.054

那么方程d+f—2工-2=0的一个近似根(精确度为0.05)可以是()

A.1.25B.1.375

C.1.42D.1.5

45.用二分法求函数/■(%)=2'-3的零点时，初始区间可选为()

A.[-1,0]B.[0,1]

C.[1,2]D.[2,3]

46.函数在（1,2）内有一个零点，要使零点的近似值满足精确度为0.01,则对区间（L2）至少二等分（）

A.5次B.6次C.7次D.8次

47.下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是（）

/(I)=-2/(1.5)=0.625/(1.25)=-0.984

/(1.375)=-0.260/(1.438)=0.165/(1.4065)=-0.052

那么方程的一个近似解(精确度为0.1)为()

A.1.5B.1.25C.1.41D.1.44

1.（2024.全国.模拟预测）已知函数〃无）=2sin（2x+e1|d＜；J,若关于x的方程〃x）=l在（0,兀）上恰有

一个实数根加，则/（2㈤（）

A.-2B.一石C.也D.2

2.（2024.甘肃张掖.模拟预测）函数/■（xbeXx-1）-x-l的所有零点之和为（）

A.0B.-1C.6D.2

3.（2024.内蒙古.三模）已知奇函数的定义域为R,/（x+3）=-/（-x）,且“2）=0,则〃力在[0,6]

上的零点个数的最小值为（）

A.7B.9C.10D.12

InxX

4.（2024・四川内江•三模）若函数/（尤）=------有两个零点，则实数加的取值范围为（）

xm

A.（0,e）B.（e,+oo）C.（0,2e）D.（2e,+oo）

f2%+2x<0

5.（2024.陕西商洛.模拟预测）已知函数/（x）=eJeT+2sinx,g（x）=,'若关于x的方程

Ie—1,xU

/（g（x））-机=°有两个不等实根不，%，且玉</，则尤2-玉的最大值是（）

A.In2B.In2H—C.3-ln2D.In2+1

2

6.（2024•黑龙江哈尔滨•三模）己知2"=1。8严，logjZ?,则下面正确的是（）

2

1

A.a>bB.Q<一

4

C.b>—D.\a-b\<—

2

x1x1—1x<1

/11；一，，g（x）=xlnx,若关于x的方程

）log2x+l,x>l

（〃力-2人（耳-时=0恰有3个不同的实数根，则实数机的取值范围是（）

8.（2024.全国•模拟预测）已知两函数>=一与y=4尤-的图象有两个交点，则不满足条件的。的

x-1

值是（）

17

A.—1B.—C.—D.4

22

9.（多选题）已知引为方程%3+%—1=0的根，々为方程三+%-1=0的根，贝（J（）

C11，

A.1+尤1%<%+毛B.2<—+—<4

%x2

X1

C.玉<%2D.x2e>

…11

10.（多选题）（2024•福建福州.三模）已知实数%,丁衣满足：2=-==10§2£,则下列不等式中可能成立

的是（）

A.B.

C.y<z<xD.x<z<y

elnYx

11.（多选题）（2024・河北•三模）已知/（尤）=—+厂------h左eR）有三个不相等的零点和尤2,W且

x1<x2<x3,则下列命题正确的是（）

内恰有6个零点，则。的取值范围是（）

/9-5117

I

----B-

k42,414

-■

Ac.2o,

<f-\

-9

-1413)

V4»7

_

2.（2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷精编版））已知当xe［0,1］时，函数y=（znx-1）2

的图象与>=«+机的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是

A.(0,1]U[2A/3,+OO)B.(0,1]"3,2

C.(0,^]U[2A/3,+OO)D.(0,A/2]U[3,+OO)

ex,x<0,

3.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标I卷））已知函数/（x）=

Inx,x>0,

g（元）=/（元）+x+a.若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是

A.[-1,0)B.[0,+oo)C.[-1,+oo)D.[1,+co)

4.（2019年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标III））函数/（x）=2sinx-sin2x在［0,2回的零点个数

为

A.2B.3C.4D.5

<0

5.（2019年浙江省高考数学试卷）已知a,函数/（尤）=<g-g+M+SN。'右函数

>=/（%）-恰有三个零点，则()

A.a<-l,b<0B.a<-l,b>0

C.a>-l,b<0D.CL>—l,b>0

6.（2020年天津市高考数学试卷）已知函数/（%）=若函数g（x）=/⑺-同-2x1巾R）恰有

一%,

4个零点，则上的取值范围是（）

^-co,--|(2A/2,+CO)

A.B.-00,----I-J-(0,2>/2)

2

C.(-s,0)U(0,2五)D.(-8,0)_(2忘,+8)

7.（2021年北京市高考数学试题）已知函数/（x）=|lgx|-h-2,给出下列四个结论:

①若左=0,恰有2个零点；

②存在负数上，使得AM恰有1个零点；

③存在负数左，使得了⑺恰有3个零点；

④存在正数k,使得Ax）恰有3个零点.

其中所有正确结论的序号是.

8.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标HI卷））函数〃x）=cos（3x+胃在［0,可的

零点个数为.

9.（2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷））己知。>0,函数〃尤）=|"2+2；'+?X’?

-x+2ax-2a,x>0.

若关于龙的方程/（%）=依恰有2个互异的实数解，则〃的取值范围是.

10.（2019年江苏省高考数学试卷）设/O）,g（%）是定义在H上的两个周期函数，〃龙）的周期为4,g（x）的

k（x+2）,0<x<l

周期为2,且/（x）是奇函数.当xe（0,2］时，/（x）=Jl_（x一1）2,g（尤）=［1,其中左>0.若在

v——,l<x<2

I2

区间（0,9］上，关于x的方程f（x）=g（x）有8个不同的实数根，则左的取值范围是—.

11.（2017年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版））设/（无）是定义在R且周期为1的

函数，在区间［0』）上，=其中集合。=卜x=?,weN*},则方程/（x）—lgx=0的解的个

数是__________

x-4,x>A

12.（2018年全国普通高等学校招生统一考试数学（浙江卷））已知函数八尤）=

X2-4X+3,X<2

当4=2时，不等式兀v）<0的解集是.若函数五幻恰有2个零点，则力的取值范围是.

13.（2024年高考全国甲卷数学（文）真题）曲线y=d-3x与y=-（尤-1）?+“在（0,+s）上有两个不同的

交点，则a的取值范围为.

第07讲函数与方程

目录

模拟基础练.....................................................................2

题型一：求函数的零点或零点所在区间............................................................2

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围.....................................................2

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题...................................................3

题型四：嵌套函数的零点问题....................................................................3

题型五：函数的对称问题........................................................................4

题型六：函数的零点问题之分段分析法模型.......................................................5

题型七：唯一零点求值问题......................................................................6

题型八：分段函数的零点问题....................................................................6

题型九：零点嵌套问题..........................................................................7

■型十：等高线问题.............................................................................7

题型十一：二分法...............................................................................8

重难创新练.....................................................................9

真题实战练....................................................................58

//

题型一：求函数的零点或零点所在区间

Y2_1_Y_9X<0

।'二’则函数/⑺的零点为

）-1+lnx,x>0,

【答案】-2,e

【解析】当无V。时，由/（无）=/+彳-2=。，即（x-l）（x+2）=。，解得尤=-2或x=l（舍）,

当x>0时，由/'（x）=-l+ln尤=0,解得X=e,

综上可得，函数Ax）的零点为-2,e.

故答案为：-2,e.

2.（2024.高三.浙江宁波・期末）函数/（尤）=2、尤3—9的零点所在区间为（）

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】B

【解析】由己知，可知为增函数，

M/（l）=2+l-9=-6<0,

/⑵=4+8-9=3>0,

根据零点存在定理，函数/（X）在（1,2）有零点，且零点是唯一的.

故选:B

3.函数=的零点所在的大致区间是（）

A.B.（1,2）C.（2,e）D.（2,3）

【答案】B

【解析】丁（力=11^-/的定义域为（0,+8）,

又>=1!1%与'=-：在（0,+8）上单调递增，

所以〃x）=lnx-1在（0,+“）上单调递增，

又/(1)=一1<0,/(2)=ln2-1>0,

所以〃1)•/⑵<0,

根据函数零点存在性定理可得函数〃x)=lnx-g的零点所在的大致区间为(1,2),

故选：B.

log3>0

4.(2024・高三・江苏常州•开学考试)已知函数/(%)=1八则函数以%)=/(/(功-1的所有零点构成

[3。

的集合为.

【答案】{。,27}

【解析】函数网耳=/(/(力)-1的零点，即方程/(/(力)=1的所有根，

log3>0

令U/(x)，根据函数〃尤)=1n，方程/(。=1的解是，=3,

则方程/(/(£))=1的根，即为方程“X)=3的根，

当x>0时，/(x)=log3x,由。3尤=3,x=27,

当x<。时，/(尤)=击，由白=3,.”=0,

综上，函数〃(£)所有零点构成的集合是{0,27}.

故答案为：{0,27}.

题型二：利用函数的零点确定参数的取值范围

5.(2024•高三・广东深圳•期末)已知函数在(-1,1)内有零点，贝山的取值范围是()

A.(-5,5)B.(^»,-5)u(5,+co)C.[-5,5]D.(-<»,-5]u[5,+<»)

【答案】B

【解析】y=d是增函数，y=4x+a也是增函数，所以“可是R上的增函数.

因为在内有零点，

/(-l)=-l-4+a<0

所以解得-5<a<5.

/(1)=1+4+«>0

故选：A

6.(2024•宁夏银川三模)函数/(x)=log2X+f+m在区间(2,4)上存在零点，则实数机的取值范围是()

A.(-oo,-18)B.(5,-H»)

C.(5.18)D.(-18,-5)

【答案】C

【解析】若函数/(力=蜒2彳+/+根在区间(2,4)上存在零点，

由函数/(x)在(2,4)的图象连续不断，且为增函数，

则根据零点存在定理可知，只需满足/(2)-/(4)<0,

即(机+5)(m+18)<0,

解得—18VH/V—5,

所以实数用的取值范围是(-18,-5).

7.(2024・高三・内蒙古呼和浩特•开学考试)若函数〃尤)=2,-―-。存在1个零点位于(1,2)内，则。的取值

X

范围是()

A.(0,3)B.(-3,3)C.[-3,3]D.(-3,0)

【答案】B

【解析】若函数/(%)=2「a存在1个零点位于(1,2)内，

〃同=2———q单调递增，又因为零点存在定理，

x

22

:.f(l)=2)---a<0,f(2)=22---a>0,

:.0<a<3.

故选：A.

2

8.函数/(x)=2X---Q的一个零点在区间(1,2)内，则实数〃的取值范围是()

X

A.0<a<3B.l<a<3

C.l<a<2D.a>2

【答案】B

2

【解析】因为函数y=2%,y=-4在(0,+8)上单调递增，

x

2

所以函数/(刈=2、---a在(0,+8)上单调递增，

x

由函数=2,-：一。的一个零点在区间(12)内得41)=一a(0,〃2)=3-a)。，

解得0vav3,

故选：A

9.已知函数〃x）=811nx-g：-80的零点位于区间估水+1）内，则整数后=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因为函数y=811nx与>=_&「一80在（O,+s）上均为增函数，

所以函数/（X）在（0,+oo）上为增函数，

因为J（2）=811n2—83<0,/（3）=811n3-81>0,/（2）-/（3）<0,

所以函数〃元）的零点位于区间（2,3）内，故％=2.

故选：B.

题型三：方程根的个数与函数零点的存在性问题

10.函数y=lg|x|-sinx的零点个数为

【答案】6

【解析】lg|x|—sinx=0,故lgW=sinx,

画出/（x）=lg|x|和g（x）=sinx,两函数交点个数即为y=lg|x|-sinx的零点个数,

由图象可得，共6个交点，所以y=lg,-Sinx的零点个数为6.

故答案为：6

2x,0<x<—

2

11.已知函数〃x）=,，则方程〃〃x））=x的解的个数是

2（l-x）,—<x<1

【答案】4

4x,04尤

4

2（l-2x）,；<x«g

【解析】依题意可得，/（/（x））=<

13

2（2x-l）,—<x<—

3

4（l-x）,