2025年新高考数学一轮复习：二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】原卷版

二项分布、超几何分布与正态分布【八大题型】

►热点题型归纳

【题型1二项分布1..................................................................................................................3

【题型2独立重复试验的概率问题】.............................................................4

【题型3超几何分布】.........................................................................5

【题型4二项分布与超几何分布的综合应用】....................................................6

【题型5正态密度函数1............................................................................................................8

【题型6正态曲线的性质】.....................................................................9

【题型7正态分布的概率计算1..................................................................................................9

【题型8正态分布的实际应用】...............................................................10

►考情分析

1、二项分布、超几何分布与正态分布

考点要求真题统计考情分析

从近几年的高考情况来看，本节是

高考的热点内容，主要考查二项分布、

(1)理解二项分布、超几何2022年新高考n卷:第13题，超几何分布及其期望与方差、正态分布

分布的概念，能解决一些5分等内容，正态分布主要以选择、填空题

简单的实际问题2023年新高考I卷：第21题，的形式考查，难度不大；在解答题中主

⑵借助正态曲线了解正12分要考查二项分布、超几何分布的期望与

态分布的概念，并进行简2024年新高考I卷：第9题，方差问题，有时会与统计、独立性检验

单应用6分等结合考查，难度中等偏难，关键在于

求出概率列出分布列，复习时需要加强

这方面的练习.

►知识梳理

【知识点1二项分布】

1.伯努利试验

⑴伯努利试验的概念

把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验

(2)«重伯努利试验的两个特征

①同一个伯努利试验重复做n次

②各次试验的结果相互独立.

2.二项分布

一般地，在〃重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(O</Kl),用X表示事件A发生的

次数，则X的分布列为尸后尸〃)"T,k=0,1,2,…，".如果随机变量X的分布列具有上式

的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作X〜3(〃，p).

3.二项分布的期望与方差

一般地，如果X〜2(",p),那么/¥)=吵，D(X)=np(l-p).

4.判断某随机变量是否服从二项分布的关键点

(1)在每一次试验中，事件发生的概率相同.

(2)各次试验中的事件是相互独立的.

(3)在每一次试验中，试验的结果只有两个，即发生与不发生.

【知识点2超几何分布】

1.超几何分布

(1)定义

一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品.从N件产品中随机抽取〃件(不放回)，用X表示抽

「k「n—k

取的〃件产品中的次品数，则X的分布列为P(X=k)=乂：一,k^m,m+1,加+2,八其中

LN

n,NMGN*,MWN,n^N,m=max{0,n-N+M},r=min{&M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,

那么称随机变量X服从超几何分布

nM

若随机变量X服从超几何分布则其均值

⑵求超几何分布的分布列

①判断随机变量是不是服从超几何分布

②套用超几何分布中的概率公式，注意理解公式中各量的意义.

2.“二项分布”与“超几何分布”的区别

有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时,超几何分布可

近似为二项分布来处理.

3.超几何分布的应用

(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征是:①考

察对象分两类；②己知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体，考查某类个体数X的分布列.

(2)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其本质是古典概型.

【知识点3正态分布及其解题策略】

1.正态分布

(1)正态曲线

(X-㈤

1

函数小尸诉,2<T2,xGR.其中〃GR,为参数.我们称八x)为正态密度函数，称它的图象为正

态密度曲线简称正态曲线

⑵正态分布

若随机变量X的概率分布密度函数为八x),则称随机变量X服从正态分布,记为X〜NO").特别地,

当〃=0,<7=1时，称随机变量X服从标准正态分布.

(3)正态分布的均值和方差

若X〜则£⑶=〃，D(X)=<T2.

2.3。原则

⑴正态总体在三个特殊区间内取值的概率

PUi-00.6827

P(〃-2cWXW〃+2a)七0.9545

P(〃-3。+3c)=0.9973.

(2)3。原则

在实际应用中，通常认为服从正态分布MN,/)的随机变量X只取［4-3c,〃+3内中的值，这在统计学

中称为3。原则.

3.正态分布问题的解题策略

解决正态分布问题有三个关键点:

(1)对称轴x=〃；

(2)标准差<7；

(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由仪G,分布区间的特征进行转化，使分布区间转

化为3c特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x=0.

【方法技巧与总结】

1.二项分布当«=1时就是两点分布.

超几何分布有时也记为长”5,MM，其均值E(X)=半，方差D(X)=H—1\

2.N-lh

3.若X服从正态分布，即X〜阳〃,M),要充分利用正态曲线关于直线对称和曲线与x轴之间的

面

积为1解题.

►举一反三

【题型1二项分布】

【例1】(2024•山东济南•二模)已知随机变量X〜则P(X=2)=()

A.3B.|C.jD.1

【变式1-1](2024•山西吕梁•三模)如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点。出发，每次向左移动

的概率为:，向右移动的概率为!若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置,

则P(X>0)=()

-4-3-2-10123456%

A网B—c—D-

243512口,51281

【变式1-2](2024・全国•模拟预测)已知随机变量f〜B(%p),若E(f)=2,D(f)=L则P(f=2)=()

A1ag-p-Ur)-

A.8-4J8'2

【变式1-3】(2024•江苏苏州•模拟预测)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平

行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端

放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.记格

子从左到右的编号分别为0,1,2，…,10,用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=/c)<P(X=k。)，则好=

A.4B.5C.6D.7

【题型2独立重复试验的概率问题】

【例2】(2024•安徽合肥・二模)甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制(先胜4局者胜,

比赛结束）.已知每局比赛甲获胜的概率均为,则甲以4比2获胜的概率为（）

A.±B.C.竟D.-^7

64323264

【变式2-1］（2024•辽宁・模拟预测）一质子从原点处出发，每次等可能地向左、向右、向上或向下移动一

个单位长度，则移动6次后质子回到原点处的概率是（）

A--55-R--5-5C--2-5D--2-5

1024512J256128

【变式2-2］（2024•河北衡水•模拟预测）某大型超市设立了“助农促销”专区，销售各种农产品，积极解决

农民农副产品滞销问题.为加大农产品销量，该超市进行了有奖促销活动，凡购买专区的农产品每满100元

的顾客均可参加该活动，活动规则如下:将某空地划分为（1）（2）（3）（4）四个区域，顾客将一皮球投进

区域（1）或者（2）一次，或者投进区域（3）两次，或者投进区域⑷三次，便视为中奖，投球停止，且投

球次数不超过四次.已知顾客小王每次都能将皮球投进这块空地，他投进区域（1）与（2）的概率均为

p（0<p<1）,投进区域（3）的概率是投进区域（1）的概率的2倍，且每次投皮球相互独立.小王第二次投

完皮球首次中奖的概率记为P1，第四次投完皮球首次中奖的概率记为「2，若「1>22，贝如的取值范围为

（）

【变式2-3］（2024•四川绵阳•模拟预测）在信道内传输0,1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到

1的概率为a（0<a<1）,收到0的概率为1—a；发送1时，收到0的概率为0（0</?<1）,收到1的概率

为1-从考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每

个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传

输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）下列说法错误的是

（）

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为（1—a）（l—0）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为夕（1-6）2

c.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为6（1—£）2+（1-8）3

D.当。<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0

的概率

【题型3超几何分布】

【例3】(2024・广东江门•二模)一箱苹果共有12个苹果，其中有“2<n<7)个是烂果，从这箱苹果中随

机抽取3个.恰有2个烂果的概率为器，贝仙=()

A.3B.4C.5D.6

【变式3-1](23-24高三上•山东临沂•开学考试)一个不透明的袋子中装有3个黑球，"个白球(zieN*),

这些球除颜色外大小、质地完全相同，从中任意取出3个球，已知取出2个黑球，1个白球的概率为设

X为取出白球的个数，则仅X)=()

31

A.-B.-C.1D.2

【变式3-2](23-24高三上•四川成都•开学考试)某地盛行糕点有"种，该地的糕点店从中准备了加

(爪<n)种糕点供顾客选购.已知某顾客喜好的糕点有左(k<n)种，则当其随机进入一家糕点店时，会

发现该店中有若干种糕点符合其喜好.记随机变量X为该顾客发现符合其喜好的糕点的种数，则伙X)=

()

,km—m+kkn一m—k

A-vB--c-™D--

【变式3-3](2024•安徽马鞍山•模拟预测)有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋子里有1个白球，乙袋子里

有5个白球和5个黑球，现从乙袋子里随机取出k(lWkW10,keN*)个球放入甲袋子里，再从甲袋子里随

机取出一个球，记取到的白球的个数为X,则当k(lWkW10,keN*)变大时()

A.E(X)变小B.E(X)先变小再变大

C.E(X)变大D.E(X)先变大再变小

【题型4二项分布与超几何分布的综合应用】

【例4】(2024•吉林・二模)为不断改进劳动教育，进一步深化劳动教育改革，现从某单位全体员工中随机

抽取3人做问卷调查.已知某单位有N名员工，其中!是男性，|是女性.

(1)当N=20时，求出3人中男性员工人数X的分布列和数学期望；

(2)我们知道当总量N足够大，而抽出的个体足够小时，超几何分布近似为二项分布.现在全市范围内考虑.

从N(N>4)名员工(男女比例不变)中随机抽取3人，在超几何分布中男性员工恰有2人的概率记作Pi；

在二项分布中男性员工恰有2人的概率记作P2.那么当N至少为多少时，我们可以在误差不超过0.001的前

提下，认为超几何分布近似为二项分布.(参考数据：V578~24.04,“9297”139)

【变式4-1](2024•北京东城•一模)某中学为了解本校高二年级学生阅读水平现状，从该年级学生中随机

抽取100人进行一般现代文阅读速度的测试，以每位学生平均每分钟阅读的字数作为该学生的阅读速度，

将测试结果整理得到如下频率分布直方图：

(1)若该校高二年级有1500人，试估计阅读速度达到620字/分钟及以上的人数;

(2)用频率估计概率，从该校高二学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数

为X,求X的分布列与数学期望E(X)；

(3)若某班有10名学生参加测试，他们的阅读速度如下：506,516,553,592,617,632,667,693,723,

776,从这10名学生中随机抽取3人，设这3人中阅读速度达到540字/分钟及以上的人数为丫，试判断数学

期望E(y)与(2)中的E(X)的大小.

【变式4-2](2024•北京西城・三模)根据2024城市魅力排行榜，一线城市4个，分别为：上海、北京、深

圳、广州；新一线城市15个，分别为：成都、杭州、重庆、苏州、武汉、西安、南京、长沙、天津、关B州、

东莞、无锡、宁波、青岛、合肥.其中城区常住人口超过一千万的超大城市10个，分别为：上海、北京、深

圳、重庆、广州、成都、天津、东莞、武汉、杭州.

(1)从10个超大城市中随机抽取一座城市，求该城市是一线城市的概率；

(2)从10个超大城市按不可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量X表示新一线城市的数量，求随机

变量X的分布列和期望；

(3)从10个超大城市中按可放回抽样的方式随机抽取3个城市，随机变量y表示新一线城市的数量，比较E

(X)与£(y)的大小关系.(直接写出结果)

【变式4-3](2024•全国•模拟预测)某地脐橙，因“果皮中厚、脆而易剥，肉质细嫩化渣、无核少络，酸甜

适度，汁多爽口，余味清香”而闻名.为了防止返贫，巩固脱贫攻坚成果，各职能部门对脐橙种植、销售、运

输、改良等各方面给予大力支持.已知脐橙分类标准：果径80mm〜85mm为一级果，果径75mm〜80mm

为二级果，果径70〜75mm或85mm以上为三级果.某农产品研究所从种植园采摘的大量该地脐橙中随机抽

取1000个，测量这些脐橙的果径(单位：mm),得到如图所示的频率分布直方图.

本频率/缈巨

0.060----------------1

0.045---------------

0.030-------------------------

0.018-----------------------------

0.013-I—

0.004二-4士-卜士-卜-~|一|~.

~OA65707580859095lOo4@/mm

(1)试估计这1000个脐橙的果径的中位数；

(2)在这1000个脐橙中，按分层抽样的方法在果径70〜85mm中抽出9个脐橙，为进一步测量其他指标，在

抽取的9个脐橙中再抽出3个，求抽到的一级果个数X的分布列和数学期望；

(3)以样本估计总体，用频率代替概率，某顾客从种植园的这批脐橙中随机购买100个，其中一级果的个数

为丫，记一级果的个数为k的概率为P(Y=k),写出P(Y=k)的表达式，并求出当k为何值时，P(y=k)最

大？

【题型5正态密度函数】

1(f)2

【例5】(23-24高二下•陕西宝鸡•期末)已知三个正态分布密度函数九(X)=鬲]2寸(％€1＜力=1,2,3)的

图象如图所示，则下列结论正确的是()

A.=〃2>〃3，=。2>%

B.Ml<M2="3，Cl=<72<a3

C.%<〃2=林3,ffl=^2>。3

D.Ml=M2>43，<71=<72<W

【变式5-1］（23-24高二下•湖北武汉•期末）设随机变量X〜N（O,1）,则X的密度函数为（）

_1上.1&-1产

人/（w=鬲一B./（久）=鬲02

1±1（1）2

Cf（X）=鬲e2D,7（%）=鬲e?

1久2

【变式5-2］（23-24局二・全国•课后作业）已知随机变量X的正态密度函数为/（x）=岛料=（久eR）,则其均

值和标准差分别是（）

A.0和8B.0和4C.0和2D.0和1

【变式5-3］（23-24高二下•福建泉州•期末）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用

与推广，发明了“三系法”釉型杂交水稻，成功研究出“两系法”杂交水稻，创建了超级杂交稻技术体系，为我

国粮食安全，农业科学发展和世界粮食供给做出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，

I（x-100）2

得出株高（单位：cm）服从正态分布，其密度曲线函数为/（x）=痂¥「^,xeR,则下列说法错误的

是（）

A.该地水稻的平均株高为100cm

B.该地水稻株高的方差为100

C.随机测量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小

D.随机测量一株水稻，其株高在（90,100）和在（100,110）（单位：cm）的概率一样大

【题型6正态曲线的性质】

【例6】（2024・湖南益阳•三模）某生产线正常生产下生产的产品力的一项质量指标X近似服从正态分布N（5〃2）,

若P（X<a）=>1+2a）,则实数a的值为（）

A.1B.3C.4D.9

【变式6-1](2024•全国•模拟预测)已知随机变量X〜N(〃"2)(〃>O">o),则下列说法正确的是()

A.P(X<0)=P(X>0)B.尸(|X|<〃)=P(|X|之〃)

C.P(X<〃-o)<尸(X<[i+a)D.P(X>cr—//)<尸(X>o+〃)

【变式6-2](2024・四川•模拟预测)若随机变量X服从正态分布N(3"2),P(X<5)=0.55,则P(X<1)=

()

A.0.45B.0.55C.0.1D.0.9

【变式6-3](2024•安徽合肥•三模)为弘扬我国优秀的传统文化，某市教育局对全市所有中小学生进行了

言语表达测试，经过大数据分析，发现本次言语表达测试成绩服从N(70,64),据此估计测试成绩不小于94

的学生所占的百分比为()

参考数据：尸(〃一。VXV〃+-0.6827/(〃-2。<XV〃+2。)《0.9545,P(〃-3。<X<

〃+3a)x0.9973

A.0.135%B.0.27%C.2.275%D.3.173%

【题型7正态分布的概率计算】

[例7](2024・甘肃张掖•三模)若已知随机变量久服从正态分布N(3/2),且P">2)=0.75,贝中(3<%<4)

=()

A.0.75B.0.5C.0.25D.0.15

【变式7-1](2024•全国•三模)已知随机变量X〜N(2〃2),且P(XW4)=0.84,贝中(0<X<4)=()

A.0.84B.0.68C.0.34D.0.16

【变式7-2](2024•辽宁・模拟预测)某种酸奶每罐净重X(单位:g)服从正态分布N(184,2.52).随机抽取1

罐，其净重在179g与186.5g之间的概率为()

(注：若X〜N(JIQ2),P(|X—4IV0)=0.6827,P(]X—[i\<2a)=0.9545,P(|X—<3<7)=0.9973)

A.0.8186B.0.84135C.0.9545D.0.6827

【变式7-3](2024•全国•模拟预测)在日常生活中，许多现象都服从正态分布.若X〜N(〃"2),记出=尸

(〃—0<X<〃+°),P2=P(〃—<XV〃+2d),P3=P(〃—3。<XV〃+3°),经统计，某零件的尺

寸大小X(单位：dm)从正态分布N(30,25),贝！J*X>40)=()

A.lgB.C.守D.子

【题型8正态分布的实际应用】

【例8】(2024•广东深圳•模拟预测)“公平正义”是社会主义和谐社会的重要特征，是社会主义法治理念的

价值追求.“考试”作为一种公平公正选拔人才的有效途径，正被广泛采用.一般地，对于一次成功的考试来说,

所有考生得考试成绩应服从正态分布.某单位准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300人，其中

275个高薪职位和25个普薪职位.实际报名人数为2000名，考试满分为400分.记考生的成绩为X,且X〜N

(出小)，已知所有考生考试的平均成绩〃=180,且360分及其以上的高分考生有30名.

(1)求。的值.(结果保留位整数)

(2)该单位的最低录取分数约是多少？(结果保留为整数)

(3)考生甲的成绩为286分，若甲被录取，能否获得高薪职位？若不能被录取，请说明理由.

参考资料：①当X〜时，令丫=？，则丫〜N(0,l).

②当y〜N(0,l),P(Y<2,17)«0.985,P(J<1,28)«0.900,P(Y<1.09)«0.863,P(Y<1.04)«0.85.

【变式8-1](2024•河南•模拟预测)某大型公司进行了新员工的招聘，共有10000人参与.招聘规则为：前

两关中的每一关最多可参与两次测试，只要有一次通过，就自动进入下一关的测试，否则过关失败.若连续

通过三关且第三关一次性通过，则成功竞聘，己知各关通过与否相互独立.

(1)若小李在第一关、第二关及第三关通过测试的概率分别为|慨,*求小李成功竞聘的概率P;

(2)统计得10000名竞聘者的得分X〜N(420.5,10.752),试估计得分在442分以上的竞聘者有多少人.(四舍

五人取整)

附：若随机变量X〜则P(〃—(7WXW〃+u)=0.6827,P.—21JWXW〃+2(J)=0.9545

【变式8-2］（2024•陕西商洛•模拟预测）随着网络技术的迅速发展，各种购物群成为网络销售的新渠道.2023

年11月某地脐橙开始采摘上市，一脐橙基地随机抽查了100个购物群的销售情况，各购物群销售脐橙的情

况如下：

脐橙数量/盒[100,200)[200,300)[300,400)[400,500)[500,600]

购物群数量/个1218m3218

（1）求实数爪的值.并用组中值（每组的中点值）估计这100个购物群销售脐橙总量的平均数;

(2)假设所有购物群销售脐橙的数量X〜N(〃a2),其中〃为(1)中的平均数，=14400.若该脐橙基地参与

销售的购物群约有1000个，销售的脐橙在[256,616)(单位：盒)内的群为“级群”，销售数量小于256盒

的购物群为“8级群”，销售数量不小于616盒的购物群为“特级群”，该脐橙基地对每个“特级群”奖励600元,

每个“4级群”奖励100,对“B级群”不奖励，则该脐橙基地大约需要准备多少奖金？(群的个数按四舍五入取

整数)

附：若X〜N(%02),则p(〃—+=0.683,P(>—2。WX<〃+2。)=0.954,

PQi—3a<X<n+3<T)«0.997.

【变式8-3](2024•山东日照•三模)电信诈骗是指通过电话、网络和短信等方式，编造虚假信息，设置骗

局，对受害人实施远程诈骗的犯罪行为.随着5G时代的全面来临，借助手机、网银等实施的非接触式电信

诈骗迅速发展蔓延，不法分子甚至将“魔爪”伸向了学生.为了增强同学们的防范意识，某校举办了主题为“防

电信诈骗，做反诈达人”的知识竞赛.

(1)已知该校参加本次竞赛的学生分数4近似服从正态分布N(80,25),若某同学成绩满足〃<77<M+2CT,

则该同学被评为“反诈标兵”；若〃>〃+2。，则该同学被评为“反诈达人”.

(i)试判断分数为88分的同学能否被评为“反诈标兵”；

(ii)若全校共有40名同学被评为“反诈达人”，试估计参与本次知识竞赛的学生人数(四舍五入后取整).

(2)已知该学校有男生1000人，女生1200人，经调查有750名男生和600名女生了解“反诈”知识，用样本

估计总体，现从全校随机抽出2名男生和3名女生，这5人中了解“反诈”知识的人数记为X,求X的分布列

及数学期望E(X).

参考数据：若毛〜则+cr)=0.6827,P(ji-2a<^<n+2a)=0.9545,P

(/z—3cr<f</z+3(T)=0.9973

►过关测试

一、单选题

1.(2024•青海・一模)已知随机变量X〜若随机变量Y=3X+2,则E(Y)=()

A.10B.12C.30D.32

2.(2024•云南•模拟预测)已知X〜N(N),且尸(X>3+t)=P(X<3—t)=0,2,则P(3-t<X<3)=

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

3.(2024•山东青岛•三模)某校高一有学生980人，在一次模拟考试中这些学生的数学成绩X服从正态

分布NQOO,/),已知P(90<XW100)=0.L则该校高一学生数学成绩在110分以上的人数大约为

()

A.784B.490C.392D.294

4.(2024・山东济宁•三模)若随机变量X〜N(3,22),随机变量Y=*X—3),则口猾"=()

14

A.0B.-C.-D.2

5.(23・24高二下•辽宁•阶段练习)某市组织了一次高二调研考试，考试后统计的数学成绩服从正态分布,

1(x-80)2

其密度函数/(久)=正扇6—丽-,XG(—co,+oo),则下列命题不正确的是

A.该市这次考试的数学平均成绩为80分

B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同

C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同

D.该市这次考试的数学成绩标准差为10

6.(2024•黑龙江•三模)袋中装有标号为1,2,3,4,5且质地、大小相同的5个小球，从袋子中一次性

摸出两个球，记下号码并放回，如果两个号码的和是偶数，则获奖.若有4人参与摸球，则恰好2人获奖的

概率是()

A空B—C-D—

6256259125

7.(2024•河北邢台・二模)已知在(正一土丫的二项展开式中，第6项为常数项，若在展开式中任取3项,

其中有理项的个数为则E(f尸()

8-12-9

A4•五B.mC,-D.-

8.(2024・浙江•模拟预测)克拉丽丝有一枚不对称的硬币.每次掷出后正面向上的概率为p(0<p<1),她

掷了k次硬币，最终有10次正面向上.但她没有留意自己一共掷了多少次硬币.设随机变量X表示每掷N次硬币

中正面向上的次数，现以使P(X=10)最大的N值估计N的取值并计算E(X).(若有多个N使P(X=10)最大，则

取其中的最小N值).下列说法正确的是()

A.E(X)>10B.E(X)<10

C.E(X)=10D.E(X)与10的大小无法确定

二、多选题

9.(2024•吉林•模拟预测)从含有2件次品的100件产品中，任意抽出3件，则()

A.抽出的产品中恰好有1件是次品的抽法有Gc品种

B.抽出的产品中至多有1件是次品的概率为1—净

C1OO

C.抽出的产品中至少有1件是次品的概率为1—厚

5oo

D.抽出的产品中次品数的数学期望为高

10.(2024・四川成都•模拟预测)已知X,y都是服从正态分布的随机变量，且X〜N(〃1岳)，y〜N(42,登),

+

其中〃1,〃26R,<7I,CT26R,则下列命题正确的有()

A.E(X)="1

B.D(X)-

C.若〃i=2,6=1,贝|P(XW1)+P(XW3)=1

D.若%=〃2=0,。1=2,%=3,则P(|X|W1)>P(|HW1)

11.(2024•福建泉州•模拟预测)某人在n次射击中击中目标的次数为X,X〜8(几,p),其中neN*,0<p<1,

设击中偶数次为事件4则()

A.当p=!时，D(X)取得最大值B.当「=拊，D(X)取得最小值

C.当:<p<1/(4)随九的增大而减小D.当0<p<杷⑷随n的增大而减小

三、填空题

12.(2023•江苏•三模)设随机变量X-W(3,2,10)(共10件产品，其中有2件合格品，从中取出3件，有X

件)，则P(X=1)=.

13.(2024•河南信阳•二模)某生产线正常生产下生产的产品4的一项质量指标X近似服从正态分布N(542),

若P(X<a)=>1+2a),则实数a的值为.

14.(2024•广东惠州•模拟预测)如图是一块高尔顿板的示意图，在一块木板上钉着若干排相互平行但相互

错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃.将小球从顶端放入，小

球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，后落入底部的格子中.记格子从左到右

的编号分别为0,1,2,3,…10,用X表示小球最后落入格子的号码，若P(X=k)WP(X=k0),则册=.

四、解答题

15.（2024•陕西咸阳•模拟预测）某校为营造学科学、爱科学、用科学的良好氛围，使学生掌握必要和基本

的科学知识，培养良好的科学学习态度.特举办以“体悟科技魅力，激发思维潜能”为主题科普知识竞赛：该

活动规定每班选3人，每人回答一个问题，答