2023届高考数学特训营第1节-集合及其运算

第一单元第1节集合及其运算2023届1《高考特训营》·数学课程标准解读命题方向数学素养1.了解集合的含义、元素与集合的关系.2.理解集合之间的包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集和交集，给定一个子集的补集，会进行集合的运算1.集合的基本概念数学抽象数学运算逻辑推理2.集合间的基本关系3.集合的基本运算0102知识特训能力特训01知识特训知识必记拓展链接对点训练1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：__________、__________、__________.[提醒]

元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题．(2)元素与集合的关系是________或__________关系，用符号______或______表示．(3)集合的表示法：__________、__________、__________．确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法图示法(4)常见数集的记法[思考]

上面五个集合有什么关系？点拨：五个特定的集合及其关系图：集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR

元素B⊇A至少

相同A＝B不含[思考]

你能说出0，{0}，∅，{∅}之间的关系吗？点拨：∅≠{∅}，∅∈{∅}，∅⊆{∅}，0∉∅，0∉{∅}，0∈{0}，∅⊆{0}．

且且A∩B或或A∪B

不∉UA[探究]

请写出三种集合运算的性质．点拨：(1)并集的性质：A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩B＝A⇔A⊆B.1．[概念辨析]理清集合中元素的属性研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合．判断：{x|y＝x2＋1}、{y|y＝x2＋1}、{(x，y)|y＝x2＋1}三个集合相等．(

)答案：错误．{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集．2．[思想方法]巧转化，妙求解巧妙利用等价关系(A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B)、补集的思想等，能使问题事半功倍．【例】已知集合M＝{x|x－a＝0}，N＝{x|ax－1＝0}，若M∩N＝N，则实数a的值是________．提示：易得M＝{a}．因为M∩N＝N，所以N⊆M，所以N＝∅或N＝M，所以a＝0或a＝±1.3．[学以致用]用集合思想体会不一样的解题情境在实际的情境中，从集合的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建Venn模型，求解结论．【例】(2020·山东卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢踢足球或游泳，60%的学生喜欢踢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢踢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(

)A．62%

B．56%

C．46%

D．42%提示：设只喜欢踢足球的学生数的百分比为x%，只喜欢游泳的学生数的百分比为y%，两个项目都喜欢的学生数的百分比为z%，由题意可得x＋z＝60，x＋y＋z＝96，y＋z＝82，解得z＝46.∴该中学既喜欢踢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%，故选C.4．[知识外延]子集个数的求解含有n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个非空子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．【例】已知集合A＝{1，2}，集合B满足A∪B＝{1，2}，则满足条件的集合B的个数为______．答案：4解析：因为A＝{1，2}，B∪A＝{1，2}，所以B⊆A，故满足条件的集合B的个数为22＝4.5．[知识拓展]空集的应用空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，应时刻关注对空集的讨论，防止漏解．【例】已知集合A＝{x|x2－2x－3＜0}，B＝{x|2－a＜x＜1＋a}，若B⊆A，则实数a的取值范围为________．答案：(－∞，2]

C【易错点拨】根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数，要检验参数是否满足集合元素的互异性．2．[教材改编]已知集合M＝{x|lg(x－1)≤0}，N＝{x||x|<2}，则M∪N＝(

)A．∅

B．(1，2)C．(－2，2] D．{－1，0，1，2}解析：根据题意，lg(x－1)≤0⇒0<x－1≤1⇒1<x≤2，则集合M＝{x|lg(x－1)≤0}＝{x|1<x≤2}，|x|<2⇒－2<x<2，则N＝{x||x|<2}＝{x|－2<x<2}，则M∪N＝{x|－2<x≤2}＝(－2，2]．故选C.C

B4．[真题体验](2021·新高考全国Ⅰ卷)设集合A＝{x|－2<x<4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝(

)A．{2} B．{2，3}C．{3，4} D．{2，3，4}解析：由题设得A∩B＝{2，3}，故选B.B02能力特训特训点1特训点2特训点3[题组·冲关]1．(多选题)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(

)A．－1∉A B．－11∉AC．3k2－1∈A D．－34∈A特训点1集合的基本概念【自主冲关类】BCD

D3．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，若k－1∉A，且k＋1∉A，则称k是A的一个“孤立元”．集合T＝{1，2，3，5}，T的“孤立元”是________；对给定集合S＝{1，2，3，4，5，6}，由S中的3个元素构成的所有集合中，含“孤立元”的集合有________个．答案：5

16解析：(1)依次判断每个元素是否为“孤立元”：对于1，2∈T，不是“孤立元”；对于2，1∈T，3∈T，不是“孤立元”；对于3，2∈T，不是“孤立元”；对于5，4∉T，6∉T，是“孤立元”．故T中的“孤立元”是5.

[锦囊·妙法]与集合中的元素有关的问题的求解方法解决集合含义问题的关键有三点：一是确定构成集合的元素；二是确定元素的限制条件；三是根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．特别提醒：含字母的集合问题，在求出字母的值后，需要验证集合的元素是否满足互异性．典例1已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．答案：(－∞，3]特训点2集合间的基本关系【师生共研类】解析：因为B⊆A，所以①若B＝∅，则2m－1<m＋1，此时m<2.◎思维发散◎1．(变条件)本例中，将“B⊆A”改为“A⊆B”，求m的取值范围．2．(变条件)若将本例中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，试求m的取值范围．解：因为B⊆A，所以①当B＝∅时，2m－1<m＋1，即m<2，符合题意．破解集合间基本关系的迷局(1)若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．(2)已知两个集合间的关系，求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数满足的关系．解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn图，化抽象为直观进行求解．1．(2022·山西省临汾市高三模拟)已知A＝{x|x2＋6x＋8≤0}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则实数a的取值范围是(

)A．(－4，＋∞) B．[－4，＋∞)C．(－2，＋∞) D．[－2，＋∞)解析：A＝{x|x2＋6x＋8≤0}＝{x|－4≤x≤－2}，B＝{x|x<a}，因为A⊆B，所以实数a的取值范围是(－2，＋∞)，故选C.C

C

特训点3集合的基本运算【多维考向类】A集合基本运算的方法技巧

C根据集合的运算结果求参数的值或范围的方法(1)将集合中的运算关系转化为两个集合之间的关系．若集合中的元素能一一列举，则用观察法得到不同集合中元素之间的关系；若集合是与不等式有关的集合，则一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．(2)将集合之间的关系转化为解方程(组)或不等式(组)问题求解．(3)根据求解结果来确定参数的值或取值范围．典例4

(2022·黑龙江省哈尔滨市模拟)设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，且U的子集可表示由0，1组成的6位字符串，如：{2，4}表示的是自左向右的第2个字符为1，第4个字符为1，其余字符均为0的6位字符串010100，并规定：空集表示的字符串为000000；对于任意两个集合A，B，我们定义集合运算A－B＝{x|x∈A且x∉B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)．若A＝{2，3，4，5}，B＝{3，5，6}，则A*B表示的6位字符串是(

)A．101010 B．011001C．010101 D．000111C解析：由