安徽省马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题（解析）

马鞍山二中2024-2025学年高三上学期期末考试数学试题考试范围：高考全部内容；时间：120分钟；满分：150分第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||x|≤2}，B={x|3x−1<1}，则A∩B=(

A.[−2,2] B.[−2,1) C.(−2,1] D.(1,2)【答案】B

解：集合A={x||x|≤2}={x|−2≤x≤2}，

集合B={x|3x−1<1}={x|x<1}，

则A∩B={x|−2≤x<1}

即A∩B=[−2,1)．

2.设复数z满足(2−i)z=3i，则z的共轭复数z−=A.−35−65i B.−【答案】A

【解析】解：由复数z满足(2−i)z=3i，

可得z=3i2−i=3i(2+i)5=−35+65i，

故z−=−35−65i.

A.2 B.2 C.4 D.【答案】B

解：|

a|=

1+1=2，

∵|a+2b|=14，两边平方得：

a2+22a·b+2b2=14，

2+22×2×|b→|×cos⁡π3A.56 B.34 C.23【答案】A

【解析】解：根据题意，设事件A=甲参观珠海国际航展中心，事件B=甲与乙不到同一观展区，

航展共开辟了三处观展区，每人只能随机去一个展区，则P(A)=13，

因为每个观展区至少有1人，每人只参观一个观展区，

则先将4个人分为3组，再将这三组分配给三个展区，

基本事件的总数为n(Ω)=C42A33=36，

若事件A、B同时发生，即甲参观珠海国际航展中心而乙没有参观珠海国际航展中心，

分2种情况讨论：

若参观珠海国际航展中心有2人，则另外一人为丙或丁，

此时，不同的参观情况种数为2A22=4，

若参观珠海国际航展中心只有甲一人，将另外三人分成两组，再将这两组分配给另外两个展区，

此时，不同的参观情况种数为C32A22=6种，

因此，P(AB)=n(AB)n(Ω)=4+636=A.481 B.127 C.3【答案】A

解：由边长为43的正三角形的内切圆半径为r1=13×43×32=2，

即轴截面是边长为43的正三角形的圆锥内切球半径为2，

所以放入一个半径为2的小球O1后，再放一个球O2，

如下图，

要使球O2的表面积与容器表面积之比的最大，即球O2的半径r2最大，

所以只需球O2与球6.在▵ABC中，已知sin2A+sin2C+cos2B=sinA.等腰三角形 B.直角三角形

C.等边三角形 D.等腰直角三角形【答案】C

解：由题意得sin即sin2A+si即a2+c2−b2=ac，则又ABAB所以ABAB故cosAB,AC=1所以三角形▵ABC为等边三角形．7.已知抛物线C1:y2=2px的焦点F与双曲线C2:x2a2−y2b2=1的右焦点重合，且曲线C1A.2+1 B.2 C.2+【答案】A

解：由题意，得F(p2,0)，即c=p2，

设P(x0,y0)，

则OP⋅OF=(x0,y0)⋅(p2,0)=p2x0=p24，解得x0=p28.已知函数f(x)满足f(x+y)+f(x−y)=23f(x)f(y),f(1)=32，则下列结论不正确的是A.f(0)=3

B.函数f(2x−1)关于直线x=12对称

C.f(x)+f(0)≥0

D.f(x)【答案】D

【解析】解：令x=1，y=0，则2f(1)=23f(1)f(0)，解得f(0)=3，A正确；

令x=0，则f(y)+f(−y)=23f(0)f(y)=2f(y)，

所以f(y)=f(−y)，即f(x)是偶函数，

所以f(2x−1)=f(−2x+1)=f[2(1−x)−1]，所以函数f(2x−1)关于直线x=12对称，B正确；

令y=x，则f(2x)+f(0)=23f2(x)≥0，

令t=2x，则f(t)+f(0)≥0，所以f(x)+f(0)≥0，C正确；

令y=1，则f(x+1)+f(x−1)=f(x)①，

所以f(x+2)+f(x)=f(x+1)②，

①②联立得f(x+2)=−f(x−1)，

所以f(x+3)=−f(x)，f(x+6)=−f(x+3)=f(x)，即f(x)的周期为69.从出生之日起，人的体力、情绪、智力呈周期性变化，在前30天内，它们的变化规律如图所示(均为可向右无限延伸的正弦型曲线模型)：

记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，且三条曲线的起点位于坐标系的同一点处，则(

)A.体力曲线P的最小正周期是三个曲线中最大的

B.第462天时，智力曲线I处于上升期、情绪曲线E处于下降期

C.智力、情绪、体力三条曲线存在无数个公共点

D.存在正整数n，使得第n天时，智力、情绪、体力三条曲线同时处于最高点或最低点【答案】BC

【解析】解：由图象可知智力最小正周期为33天，情绪最小正周期为28天，体力最小正周期是23，

可得体力P的最小正周期是三个曲线中最小的，A错；

由图象，智力周期为33天，情绪周期为28天，462=33×14相当于[0,2π]的起点，462=28×16+14，相当于[0,2π]的中间点，B正确；

体力周期是23，只要是33，28，23的公倍数都是它们的公共点横坐标，C正确；

智力曲线处于最高点的天数为y1=33k1+8.25，

情绪曲线处于最高点的天数为y2=28k2+7，

体力曲线处于最高点的天数为y3=23k3+5.75，

只有情绪曲线是整数天处于最高点，

另外两个曲线处于最高点的天数都不是整数，

同样最低点也是如此，因此D错．

10A.若an=n，则Δ2an=0

B.若an=n2，则Δan+1>Δan

C.若an【答案】ABD

【解析】解：对于选项A，∵Δan=an+1−an=n+1−n=1，

∴Δ2an=Δan+1−Δan=1−1=0，故A选项正确；

对于选项B，∵Δan=(n+1)2−n2=2n+1，

Δan+1=(n+2)2−(n+1)2=2n+3，∴Δan+1>Δan，故B选项正确；

对于选项C，∵Δan=(n+1)3−n3=3n2+3n+1，

∴b1=Δa1=7，又n≥2时，bn=Δan−Δan−1=6n，bn=7,n=16n,n≥2，故C选项错误；

对于选项D，A.线段DP长度的最小值为655

B.存在点P，使AP+PC=23

C.存在点P，使A′C⊥平面MNP

D.以B为球心，17

【答案】AC

【解析】解：对于

A，如图1，

因为A′B=A′D=42+22=25，BD=22，

故当DP⊥A′B时，线段DP长度最小，

此时由等面积得12×22×(25)2−(2)2=12×25×DP，

解得DP=1225=655，故A正确；

对于B，如图2，

将平面A′D′CB旋转至平面BC1D1A′，使之与平面A′AB共面，

连接AC1与A′B交于点P1，此时AP1+P1C1=AC1为最小值，

sin∠A′BA=425=25，∠A′BC1=90°，

故cos∠ABC1=cos(∠A′BA+90°)=−sin∠A′BA=−25，

由余弦定理得AC12=22+22−2×2×2cos∠ABC1=8−8×(−25)=8+165，

故AC1=22⋅1+25>22⋅1+12=23，

因此不存在这样的点P，使AP+PC=23，故B错误；

对于C，如图3，

取B′E=1,B′F=12,A′G=32，连接FG交A′B于P，

下证A′C⊥MN，

连接D′C，由D′ND′M=D′DDC=2，可得△ND′M～△D′DC，则得D′C⊥MN，

因为D′A′⊥平面DCC′D′，因为MN⊂平面DCC′D′，则D′A′⊥MN，

因为D′C∩D′A′=D′，D′C，D′A′⊂平面A′D′C，

故MN⊥平面A′D′C，

又A′C⊂平面A′D′C，故A′C⊥MN．

同理，A′C⊥EN，因为MN∩EN=N，MN，EN⊂平面MEN，

故A′C⊥平面MEN．

下证三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.(x2+1)(x−2x)【答案】30

解：因为x−2x5的展开式的通项公式为

Tr+1=C5r(

x

)5−r(−2x)r=C5r

(−2)

 rx5−2r

，13.点O为平面直角坐标系的原点，A(−3,0)，点P满足|PA||PO|=2，点Q为圆C：(x−3)2+(y−4)2【答案】4【解析】解：设P(x,y)，A(−3,0)，点P满足|PA||PO|=2，

则(x+3)2+y2x2+y2=2，整理得到(x−1)2+y2=4，

设该圆的圆心为M，则M(1,0)，半径为2，

而C(3,4)，圆C的半径为1，如图：|CM|=4+16=25>3=1+2，

故圆M与圆C相离，故|PQ|的最小值为25−3，

当且仅当M，P，Q，C共线时且P，Q在14.设函数f(x)=xex，若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(x【答案】1

解：先求曲线的切线方程，因为f(x)=xex，所以f′(x)=ex+xex，

则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率为k=ex0+x0ex0，

用点斜式表示切线方程为：y−x0ex0=(ex0+x0ex0)(x−x0)，

将抛物线y=ex2与切线方程联立可得：

ex2=(ex0+x0ex0)(x−x0)+x0ex0，(x>0)，

去括号整理可得：ex2−ex0(1+x0)x+x02ex四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=2x+2aln(1)当a=−1时，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)已知a为整数，若f(x)在(2,3)上单调递减，且在(4,+∞)上单调递增，求a．【答案】解：f(x)的定义域为(0,+∞)，f′(x)=2+2ax+1x2=2x2+2ax+1x2．

(1)当a=−1时，f(x)=2x−2lnx−1x，f′(x)=2x2−2x+1x2，

所以f(1)=1，f′(1)=1，

f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y=x．

(2)令g(x)=2x2+2ax+1．

由题意，当x∈(2,3)16.(本小题15分)甲、乙两位同学参加知识答题比赛，得分高者获胜.已知共20道试题，甲能答对其中的15道题，乙答对每道题的概率为34，每答对一题得5分，答错不扣分.两人商议后约定：甲随机选择其中的3道题作答;乙依次作答，且每答对一题继续答下一题，题目答错或者答完则结束答题.设甲答题总得分为X，乙答题总得分为Y(1)求甲答题总得分X=10的概率;(2)求乙答题总得分的期望E(Y)，并从期望角度说明甲、乙谁胜出?(参考数据：(3【答案】解;(1)甲答题总得分X=10的概率为P(x=10)=C152C51C203=3576；

(2)设甲答对题目的个数为ξ，则ξ∽H(20,3,15)，

则E(ξ)=3×1520=94，

所以E(X)=E(5ξ)=454;

由题意可知，乙答题得分Y的取值范围为{0,5,10,⋯,100}，

P(Y=0)=14，P(Y=5)=34×14，P(Y=10)=(34)2×14，17.(本小题15分)如图，ΔABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D、E分别为AB，AC的中点，将ΔADE沿着DE翻折到某个位置得到ΔPDE．(1)线段PB上是否存在点M，使得DM//平面PCE，并说明理由；(2)当PB=6时，求平面PBD与平面PCD【答案】解：(1)法一：存在，且M为PB的中点，下面给出证明：如图，取PC中点G，连接MG，GE，

因为M、G为PB、PC中点所以

MG=又D、E分别为AB，AC的中点，所以

DE=所以

DE=所以四边形DMGE为平行四边形，所以

DM=又

DM⊄平面PCE,EG⊂平面PCE，所以

DM//平面PCE；法二：存在，且M为PB中点，证明如下：取BC中点G，连接DG，GM

因为因为D、M、G为AB、PB、BC中点所以

MG//PC

，

DG//CE，又

MG⊄平面PCE,PC⊂平面PCE

；

DG⊄平面PCE,CE⊂平面PCE，所以

MG//平面PCE

，

DG//平面PCE，又

MG∩DG=G

，

MG,DG⊂平面DMG，所以

平面DMG//平面PCE，因为

DM⊂平面DMG，所以

DM//平面PCE；(2)连接BE，则

BE=又

PE=1

，

PB=所以

PB所以

PE⊥BE，又因为

PE⊥DE

，

BE∩DE=E，BE,DE⊂平面BDE，所以

PE⊥平面BCED，又

CE⊂平面BCED，所以

PE⊥CE，所以

EP,EC,ED

两两垂直，以E为原点，

ED,EC,EP

的方向分别为

x,y,z

轴的正方向建立空间直角坐标系，

则

D(1,0,0)

，

P(0,0,1)

，

B(2,1,0)

所以

DP=(−1,0,1),DB=(1,1,0)

，设平面PBD的一个法向量为

n1则

n1⋅DP=−x1+0+z1=0n1设平面PCD的一个法向量为

n则

n2⋅CP=−y2+z2=0n2⋅设平面PBD与平面PCD所成角的大小为

θ

，

则cos θ=|所以，平面

PBD

与平面

PCD

所成角的余弦值为

13．

18.(本小题17分)

已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，其左顶点A(−2,0)，离心率e=32．

(1)求双曲线方程及渐近线方程；

(2)过右焦点F的直线与双曲线右支交于P，Q两点，与渐近线分别交于点M，N，直线AP，AQ分别与直线x=43交于R，T．【答案】解：(1)因为双曲线C的左顶点A(−2,0)，离心率e=32，

所以a=2ca=32a2+b2=c2，

解得a=2，b=5，c=3，

所以双曲线方程为x24−y25=1，

其渐近线方程为x2±y5=0，

即5x±2y=0；

(2)(i)显然当过点F(3,0)的直线斜率不能为0，

设直线l的方程为x=my+3，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，

联立x=my+3x24−y25=1，消去x并整理得(5m2−4)y2+30my+25=0，

此时5m2−4≠0900m2−100(5m2−4)>0255m2−4<0，

解得−255<m<255，

由韦达定理得y1+y2=−30m5m2−4y1y2=255m2−4，

所以|PQ|=1+m19.(本小题17分)已知点集M={(x