专项03 巧借中点构造三角形的中位线

专项03巧借中点构造三角形的中位线技巧一连接两点,构造三角形1(2023广西中考)如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为.

技巧二连接两点,构造中位线2.(2023江苏扬州月考)如图,已知△ABC的中线BD、CE相交于点O,M、N分别为OB、OC的中点.(1)求证:MD和NE互相平分;(2)若BD⊥AC,OC2=32,OD+CD=7,求△OBC的面积.技巧三取中点,构造三角形+中位线3.如图,四边形ABCD中,E,F分别是边AB,CD的中点,则AD,BC和EF之间的数量关系是()A.AD+BC>2EF B.AD+BC≥2EF C.AD+BC<2EF D.AD+BC≤2EF技巧四延长线段证中点,构造中位线4.(2023湖北襄阳樊城期中)如图,△ABC中,AD是角平分线,AE是中线,CP⊥AD于P,AB=6,AC=4,则PE的长为.

技巧五倍长线段得中点,构造中位线5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC,△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,M为AF的中点.求证:ME=12

专项03巧借中点构造三角形的中位线答案全解全析1.答案8解析如图所示,连接AE,∵M,N分别是EF,AF的中点,∴MN是△AEF的中位线,∴MN=12∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=90°,∴AE2=AB2+BE2=4+BE2,∴当BE最大时,AE最大,此时MN最大,∵点E是BC上的动点,∴当点E和点C重合时,BE最大,即BC的长度,∴此时AE2=4+22=8,∴AE最大=8,∴MN最大=12AE=12×8=822.解析(1)证明:连接ED、MN,如图所示.∵BD、CE是△ABC的中线,∴E、D分别是AB、AC的中点,∴ED∥BC,ED=12∵M、N分别为OB、OC的中点,∴MN∥BC,MN=12∴四边形DEMN是平行四边形,∴MD和NE互相平分.(2)∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°,∴△ODC为直角三角形,∴OD2+CD2=OC2=32,∵OD+CD=7,∴(OD+CD)2=OD2+2OD·CD+CD2=49,∴2OD·CD=49-32=17,∴OD·CD=172∴S△OCD=12OD·CD=17∴S△OBC=2S△ODC=1723.B连接AC,取AC的中点G,连接EG,GF,∵E,F分别是边AB,CD的中点,∴EG,GF分别是△ABC和△ACD的中位线,∴EG=12BC,GF=1如图1,在△EGF中,由三角形三边关系得EG+GF>EF,即12BC+1∴AD+BC>2EF,如图2,当AD∥BC时,点E、F、G在同一条直线上,∴AD+BC=2EF,∴AD,BC和EF之间的数量关系是AD+BC≥2EF.故选B.图1图24.答案1解析如图所示,延长CP交AB于点F,∵△ABC中,AD是角平分线,∴∠CAP=∠FAP,∵CP⊥AD,∴∠APC=∠APF=90°,又∵AP=AP,∴△APC≌△APF(ASA),∴PC=PF,AC=AF=4,则FB=AB-AF=2,∵AE是△ABC的中线,∴EC=EB,∴PE是△BCF的中位线,∴PE=125.证明如图,延长FE至N,使EN=EF,连接BN,AN,则ME=12∵EF=EN,∠BEF=90°,∴BE垂直平分FN.∴BF=BN.∴∠BNF=∠BFN.∵△BEF为等腰直角三角形,∠BEF=90°,∴∠BFN=45°.∴∠BNF=45°.∴∠FBN=90°,即∠FBA+∠ABN