专题02 平方差公式 带解析

2022-2023学年北师大七年级数学下册精选压轴题培优卷专题02平方差公式一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2022春•佛山月考）化简（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）的结果是（）A．232﹣1 B．232+1 C．（216+1）2 D．（216﹣1）2解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）＝（28﹣1）（28+1）（216+1）＝（216﹣1）（216+1）＝232﹣1，故选：A．2．（2分）（2021秋•重庆期末）观察：（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1，据此规律，当（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0时，代数式x2021﹣1的值为（）A．1 B．0 C．1或﹣1 D．0或﹣2解：∵（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0．∴x6﹣1＝0．∴x6＝1．∴（x3）2＝1．∴x3＝±1．∴x＝±1．当x＝1时，原式＝12021﹣1＝0．当x＝﹣1时，原式＝12021﹣1＝﹣2．故选：D．3．（2分）（2020秋•乌鲁木齐期末）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a+b）＝a2+ab C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．4．（2分）（2021春•武宣县期中）若|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2＝0，则x2﹣y2的结果是（）A．2 B．8 C．15 D．16解：由题意可知：x+y﹣5＝0，x﹣y﹣3＝0，∴∴原式＝（x+y）（x﹣y）＝3×5＝15故选：C．5．（2分）（2018秋•大同期末）如图1，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下部分沿图1中的虚线剪开后重新拼成一个梯形（如图2），利用这两幅图形面积，可以验证的乘法公式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．a（a+b）＝a2+ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2解：图1阴影部分的面积等于a2﹣b2，图2梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）＝（a+b）（a﹣b）根据两者阴影部分面积相等，可知（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2比较各选项，只有D符合题意故选：D．6．（2分）（2019春•江阴市期中）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根据规律计算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值为（）A．22019﹣1 B．﹣22019﹣1 C． D．解：∵（﹣2﹣1）[（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1]，＝（﹣2）2019﹣1，＝﹣22019﹣1，∴（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1＝．故选：D．7．（2分）（2014秋•罗平县期末）若|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2＝0，则x2﹣y2的结果是（）A．2 B．8 C．15 D．无法确定解：由|x+y﹣5|+（x﹣y﹣3）2＝0，得x+y﹣5＝0，x﹣y﹣3＝0，即x+y＝5，x﹣y＝3，故x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y）＝5×3＝15．故选：C．8．（2分）（2020•黄州区校级模拟）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8＝32﹣12，16＝52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（）A．255024 B．255054 C．255064 D．250554解：设相邻的两奇数分别为2n+1，2n﹣1（n≥1，且n为正整数），（2n+1）2﹣（2n﹣1）2＝8n，根据题意得：8n≤2017，∴n≤252，∴n最大为252，此时2n+1＝505，2n﹣1＝503，∴32﹣12+52﹣32+...+5032﹣5012+5052﹣5032＝5052﹣12＝255024．故选：A．9．（2分）（2022秋•海珠区校级期末）如图，边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形后，将剩余部分通过割补拼成新的图形．根据图形能验证的等式为（）A．a2﹣b2＝（a﹣b）2 B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（a+b）2＝a2+2ab+b2解：图中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为a2﹣b2；剩余部分通过割补拼成的平行四边形的面积为（a+b）（a﹣b），∵前后两个图形中阴影部分的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）．故选：B．10．（2分）（2021秋•新野县期中）若A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）…（1+）+1，则A的值是（）A．0 B．1 C． D．解：A＝﹣（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）（1+）……（1+）+1＝﹣（1﹣）（1+）+1＝﹣（1﹣）+1＝故选：D．二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）11．（2分）（2022春•郫都区校级期中）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝．解：（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝××××…××××＝×＝，故答案为：．12．（2分）（2022春•杏花岭区校级月考）①（x﹣1）•（x+1）＝x2﹣1②（x﹣1）•（x2+x+1）＝x3﹣1③（x﹣1）•（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……A题：猜想（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1．B题：当（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝0，代数式x2023﹣1＝﹣2或0．解：（1）（x﹣1）•（x49+x48+…+x+1）＝x50﹣1，故答案为x50﹣1；（2）∵（x﹣1）•（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1＝0，∴x＝1或﹣1，当x＝﹣1时，x2023﹣1＝（﹣1）2023﹣1＝﹣1﹣1＝﹣2；当x＝1时，x2023﹣1＝12023﹣1＝1﹣1＝0，∴x2023﹣1＝﹣2或0，故答案为﹣2或0．13．（2分）（2021春•莲湖区期末）若m2﹣n2＝40，且m﹣n＝5．则m+n＝8．解：∵m2﹣n2＝40，∴（m+n）（m﹣n）＝40，∵m﹣n＝5，∴m+n＝8．故答案为：8．14．（2分）（2021春•婺城区校级期末）一个自然数若能表示为两个自然数的平方差，则这个自然数称为“智慧数”．比如：22﹣12＝3，则3就是智慧数；22﹣02＝4，则4就是智慧数．（1）从0开始第7个智慧数是8；（2）不大于200的智慧数共有151．解：（1）首先应该先找到智慧数的分布规律．①∵02﹣02＝0，∴0是智慧，②因为2n+1＝（n+1）2﹣n2，所以所有的奇数都是智慧数，③因为（n+2）2﹣n2＝4（n+1），所以所有4的倍数也都是智慧数，而被4除余2的偶数，都不是智慧数．由此可知，最小的智慧数是0，第2个智慧数是1，其次为3，4，从5起，依次是5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20…即按2个奇数，一个4的倍数，三个一组地依次排列下去．∴从0开始第7个智慧数是：8；故答案为：8；（2）∵200÷4＝50，∴不大于200的智慧数共有：50×3+1＝151．故答案为：151．15．（2分）（2020春•崂山区期末）[（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）+1]÷3的个位数为7．解：原式＝[（32﹣1）×（32+1）×（34+1）×…×（332+1）+1]÷3＝[（34﹣1）×（34+1）×…×（332+1）+1]÷3＝[（38﹣1）×…×（332+1）+1]÷3＝[364﹣1+1]÷3＝364÷3＝363，∵31＝3，32＝9，33＝2734＝81，35＝243，∴个位数字是3，9，7，1四个数字的循环，∵63÷4＝15……3，∴个位数为7．故答案为：7．16．（2分）（2020春•邛崃市期中）已知a2﹣4b2＝12，且a﹣2b＝﹣3，则a+b＝﹣3.75．解：∵a2﹣4b2＝（a+2b）（a﹣2b）＝12，a﹣2b＝﹣3，∴﹣3（a+2b）＝12，a+2b＝﹣4，联立a﹣2b＝﹣3，可得2a＝﹣7，解得a＝﹣3.5，把a＝﹣3.5代入a+2b＝﹣4得﹣3.5+2b＝﹣4，解得b＝﹣0.25，则a+b＝﹣3.5﹣0.25＝﹣3.75．故答案为：﹣3.75．17．（2分）（2019秋•克东县期末）请你计算：（1﹣x）（1+x），（1﹣x）（1+x+x2），…猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）的结果是1﹣xn+1（n为大于2的正整数）解：（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3，…猜想（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）＝1﹣xn+1，故答案为：1﹣xn+118．（2分）（2020春•昌图县期末）计算：（a+1）（a﹣1）（a2+1）（a4+1）＝a8﹣1．解：原式＝（a2﹣1）（a2+1）（a4+1）＝（a4﹣1）（a4+1）＝a8﹣1，故答案为：a8﹣1．19．（2分）（2018春•成都期末）观察下列等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）＝a4﹣b4…观察发现：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn．根据你的发现计算：32018+32017+32016+…+32+3+1＝．解：（a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+an﹣3b2+…+abn﹣2+bn﹣1）＝an﹣bn．∵（3﹣1）（32018+32017+32016+…+32+3+1）＝32019﹣1，∴32018+32017+32016+…+32+3+1＝．故答案为：an﹣bn；20．（2分）（2018春•慈溪市期末）如图，从边长为（a+5）的正方形纸片中剪去一个边长为5的正方形，剩余部分沿虚线剪开再拼成一个长方形（不重叠无缝隙），则拼成的长方形的另一边长是a+10．解：拼成的长方形的面积＝（a+5）2﹣52，＝（a+5+5）（a+5﹣5），＝a（a+10），∵拼成的长方形一边长为a，∴另一边长是a+10．故答案为：a+10．三．解答题（共8小题，满分60分）21．（6分）（2022春•东乡区期中）如图，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形．（1）通过计算两个图形的面积（阴影部分的面积），可以验证的等式是：B．A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）D．a2﹣b2＝（a﹣b）2（2）应用你从（1）选出的等式，完成下列各题：①已知：a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，求a+b的值；②计算：（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）．解：（1）图中两个阴影部分的面积分别为a2﹣b2和（a+b）（a﹣b），∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：B．（2）①∵a﹣b＝3，a2﹣b2＝21，∴（a+b）（a﹣b）＝3（a+b）＝21，∴a+b＝7．②（1﹣）×（1﹣）×（1﹣）×…×（1﹣）×（1﹣）＝ו••×＝ו••+＝＝．22．（6分）（2022春•铁岭期中）如图所示，图甲由长方形①，长方形②组成，图甲通过移动长方形②得到图乙．（1）S甲＝（a+b）（a﹣b），S乙＝a2﹣b2（用含a、b的代数式分别表示）；（2）利用（1）的结果，说明a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系；（3）应用所得的公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）；（4）如图丙，现有一块如图丙尺寸的长方形纸片，请通过对它分割，再对分割的各部分移动，组成新的图形，画出图形，利用图形说明（a+b）2、（a﹣b）2、ab三者的等量关系．解：（1）由题可得，S甲＝（a+b）（a﹣b）；S乙＝a2﹣b2；故答案为：（a+b）（a﹣b）；a2﹣b2；（2）∵S甲＝S乙；∴a2、b2、（a+b）（a﹣b）的等量关系为：（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2；（3）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）•••（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）＝×××ו••××××＝×＝；（4）如图①所示，将图丙分成四个长为a，宽为b的小长方形，再拼成如图②所示的正方形．根据图②可得：S大正方形＝（a+b）2，S大正方形＝（a﹣b）2+4ab，∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．23．（8分）（2022春•丹阳市期中）观察下列等式4×1＝22﹣02．4×2＝32﹣12；4×3＝42﹣22；4×4＝52﹣32，…（1）请将2020写成两整数平方差的形式：2020＝5062﹣5042．（2）用含有字母n（n≥1的整数）的等式表示这一规律是4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2，并用已学的知识验证这一规律．（3）相邻两整数的平方差一定是4的倍数吗？请说说你的理由．解：（1）由题意可知：2020＝4×505，∴2020＝5062﹣5042（2）由题意可知：4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）2证明：右边＝（n+1）2﹣（n﹣1）2＝n2+2n+1﹣n2+2n﹣1＝4n＝左边，（3）设相邻的两个整数分别：a，a+1根据题意可知：（a+1）2﹣a2＝2a+1化简结果为奇数，故不是4的倍数．故答案为：（1）506，504；（2）4n＝（n+1）2﹣（n﹣1）224．（8分）（2021春•高明区期末）如图1所示，边长为a的正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形，设图1中阴影部分面积为S1，图2中阴影部分面积为S2．（1）请直接用含a和b的代数式表示S1＝a2﹣b2，S2＝（a+b）（a﹣b）；写出利用图形的面积关系所得到的公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）（用式子表达）．（2）应用公式计算：．（3）应用公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1．解：（1）图1中阴影部分的面积为大正方形与小正方形的面积差，即a2﹣b2，图2中阴影部分是长为（a+b），宽为（a﹣b）的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b），由图1和图2中阴影部分的面积相等可得，a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故答案为：a2﹣b2，（a+b）（a﹣b），a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）；（2）原式＝＝＝＝；（3）原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（24﹣1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（28﹣1）（28+1）（216+1）（232+1）+1＝（216﹣1）（216+1）（232+1）+1＝（232﹣1）（232+1）+1＝264﹣1+1＝264．25．（8分）（2019春•南海区期末）（1）如图1，阴影部分的面积是a2﹣b2．（写成平方差的形式）（2）若将图1中的阴影部分剪下来，拼成如图2的长方形，面积是（a﹣b）（a+b）．（写成多项式相乘的积形式）（3）比较两图的阴影部分的面积，可以得到公式：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2．（4）应用公式计算：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．解：（1）如图（1）所示，阴影部分的面积是a2﹣b2，故答案为：a2﹣b2；（2）根据题意知该长方形的长为a+b、宽为a﹣b，则其面积为（a+b）（a﹣b），故答案为：（a+b）（a﹣b）；（3）由阴影部分面积相等知（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2，故答案为：（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2；（4）（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）＝（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）＝××××…××＝×＝．26．（8分）（2020春•长安区校级期末）若一个正整数a可以表示为连续的两个奇数的平方差的形式，如：8＝32﹣12，16＝52﹣32，24＝72﹣52，…，我们则称形如8，16，24这样的正整数a为“奇特数”；（1）请写出最小的三位“奇特数”是104，将它表示成连续的两个奇数的平方差的形式为104＝272﹣252；（2）求证：任意一个“奇特数”都是8的倍数．解：（1）根据“奇特数”的特征可知，“奇特数”是8的倍数，而8×12＝96，8×13＝104，所以最小的三位“奇特数”是104，此时这两个连