高考数学一轮复习必考部分复数算法推理与证明综合法分析法反证法应用能力提升文

第4节综合法、分析法、反证法【选题明细表】知识点、方法题号综合法3,5,6,8,12分析法7,10,11反证法1,2,4,9,13基础对点练(时间:30分钟)1.用反证法证明某命题时,对结论“自然数a,b,c中恰有一个偶数”正确的反设是(B)(A)自然数a,b,c中至少有两个偶数(B)自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数(C)自然数a,b,c都是奇数(D)自然数a,b,c都是偶数解析:“恰有一个偶数”反面应是“至少有两个偶数或都是奇数”.故选B.2.设x,y,z>0,则三个数yx+yz,zx+zy,(A)都大于2 (B)至少有一个大于2(C)至少有一个不小于2 (D)至少有一个不大于2解析:假设三个数都小于2,则yx+yz+zx+zy+由于yx+yz+zx+zy+xz+xy=(yx+xy)+(zx+x所以yx+yz,zx+zy,3.设a=3-2,b=6-5,c=7-6,则a,b,c的大小顺序是(A)(A)a>b>c (B)b>c>a (C)c>a>b (D)a>c>b解析:因为a=3-2=13b=6-5=16c=7-6=17又因为7+6>6+5>3+2>0,所以a>b>c.4.(2014高考山东卷)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是(A)(A)方程x3+ax+b=0没有实根(B)方程x3+ax+b=0至多有一个实根(C)方程x3+ax+b=0至多有两个实根(D)方程x3+ax+b=0恰好有两个实根解析:至少有一个实根的否定是没有实根,故要做的假设是“方程x3+ax+b=0没有实根”.故选A.5.(2016成都模拟)已知函数f(x)=(12)x,a,b是正实数,A=f(a+b2),B=f(ab),C=f(A)A≤B≤C (B)A≤C≤B(C)B≤C≤A (D)C≤B≤A解析:因为a+b2≥ab又f(x)=(12)x所以f(a+b2)≤f(ab)≤f(即A≤B≤C.故选A.6.设S是至少含有两个元素的集合,在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a,b∈S,对于有序元素对(a,b),在S中有唯一确定的元素a*b与之对应),若对任意的a,b∈S,有a*(b*a)=b,则对任意的a,b∈S,下列等式中不恒成立的是(A)(A)(a*b)*a=a(B)[a*(b*a)]*(a*b)=a(C)b*(b*b)=b(D)(a*b)*[b*(a*b)]=b解析:由已知条件可得对任意a,b∈S,a*(b*a)=b,则b*(b*b)=b,[a*(b*a)]*(a*b)=b*(a*b)=a,(a*b)*[b*(a*b)]=(a*b)*a=b,即选项B,C,D中的等式均恒成立,仅选项A中的等式不恒成立.7.设a>b>0,m=a-b,n=a-b,则m,n的大小关系是解析:法一取a=2,b=1,得m<n.法二a-b<a-b⇐b+a-b>a⇐a<b+2b·a-b+a-b答案:m<n8.已知点An(n,an)为函数y=x2+1图像上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图像上的点,其中n∈N*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为解析:由条件得cn=an-bn=n2+1-n=所以cn随n的增大而减小.所以cn+1<cn.答案:cn+1<cn9.用反证法证明:若整系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有有理数根,那么a,b,c中至少有一个是偶数.用反证法证明时,假设的内容是.

解析:“至少有一个是”的否定为“都不是”.答案:假设a,b,c都不是偶数10.已知a>0,用分析法证明a2+1a2-证明:要证a2+1a2-只需证a2+1a2≥(a+因为a>0,所以(a+1a)-(2-2所以只需证(a2+1a2)2≥[(a+1a)即2(2-2)(a+1a)≥8-42只需证a+1a≥因为a>0,a+1a≥2显然成立(a=1a=1时等号成立所以要证的不等式成立.能力提升练(时间:15分钟)11.分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设a>b>c,且a+b+c=0,求证b2-ac<3(A)a-b>0 (B)a-c>0(C)(a-b)(a-c)>0 (D)(a-b)(a-c)<0解析:由a>b>c,且a+b+c=0可得b=-a-c,a>0,c<0.要证b2-ac<3a,只要证(-a-c)2-ac<3a2,即证a2-ac+a2即证a(a-c)+(a+c)(a-c)>0,即证a(a-c)-b(a-c)>0,即证(a-c)(a-b)>0.故求证“b2-ac<312.对于函数f(x),对任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一三角形的三边长,则称f(x)为“可构造三角形函数”.以下说法正确的是(D)(A)f(x)=1(x∈R)不是“可构造三角形函数”(B)“可构造三角形函数”一定是单调函数(C)f(x)=1x2+1(x∈R)是(D)若定义在R上的函数f(x)的值域是[e,e](e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”解析:对于A选项,由题设所给的定义知,任意a,b,c∈R,f(a),f(b),f(c)都是某一正三角形的三边长,是“可构造三角形函数”,故A选项错误;对于B选项,由A选项判断过程知,B选项错误;对于C选项,当a=0,b=3,c=3时,f(a)=1>f(b)+f(c)=15对于D选项,由于e+e>e,可知,定义在R上的函数f(x)的值域是[e,e](e为自然对数的底数),则f(x)一定是“可构造三角形函数”.13.设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{an}的集合:①an+an+22≤an+1;②an(1)若{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,a3=4,S3=18,试探究{Sn}与集合W之间的关系;(2)设数列{bn}的通项公式为bn=5n-2n,且{bn}⊆W,M的最小值为m,求m的值;(3)在(2)的条件下,设Cn=15[bn+(m-5)n]+2,求证:数列{Cn(1)解:因为a3=4,S3=18,所以a1=8,d=-2.所以Sn=-n2+9n.Sn+Sn+2Sn=-(n-92)2+81当n=4或5时,Sn取最大值20.所以Sn≤20满足条件②,所以{Sn}⊆W.(2)解:bn=5n-2n可知{bn}中最大项是b3=7,所以M≥7,M的最小值为7.即m=7.(3)证明:由(2)知Cn=n+2,假设{Cn}中存在三项Cp,Cq,Cr(p,q,r互不相等)成等比数列,则Cq2=Cp·C所以(q+2)2=(p+2)(r+2),所以(q2-pr)+(2q-p-r)2=0,因为p,q,r∈N*,所以q消去q得(p-r)2=0,所以p=r,与p≠r矛盾.所以{Cn}中任意不同的三项都不能成为等比数列.精彩5分钟1.已知三个不等式①ab>0;②ca>db;③bc>ad.以其中两个作条件,余下一个作结论,则可组成解题关键:ca-db=解析:此题共可组成三个命题即①②⇒③;①③⇒②;②③⇒①.若ab>0,ca>db,则ca-db=bc-adab>0,得bc-ad>0,即可得命题①②⇒③正确;若ab>0,bc>ad,则bc-adab=ca-db>0,得ca>db,即命题三个.答案:三2.凸函数的性质定理为如果函数f(x)在区间D上是凸函数,则对于区间D内的任意x1,x2,…,xn,有f(x1)+f(x2)+…+解题关键:利用所给凸函数的性质求解.解析:因为f(x)=sinx在区间(0,π)上是凸函数,且A,B,C∈(0,π),所以f(A)+f(B)+f即sinA+sinB+sinC≤3sinπ3=3所以sinA+sinB+sinC的最大值为33答案:33.(2016洛阳模拟)下面有4个命题:①当x>0时,2x+12②若双曲线x2a2-y2b③将函数y=sin2x的图像向右平移π6个单位,可以得到函数y=sin(2x-π6④在Rt△ABC中,AC⊥BC,AC=a,BC=b,则△ABC的外接圆半径r=a2类比到空间,若三棱锥SABC的三条侧棱SA,SB,SC两