高考数学复习阶段性测试题十二 算法初步推理与证明复数

阶段性测试题十二(算法初步、推理与证明、复数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2011·辽宁文)i为虚数单位，eq\f(1,i)＋eq\f(1,i3)＋eq\f(1,i5)＋eq\f(1,i7)＝()A．0 B．2iC．－2i D．4i[答案]A[解析]本题考查了复数的定义及其运算，等比数列前n项和公式的应用，并考查了多种方法灵活处理问题的能力．法1：∵i2＝1，∴i3＝－i，i5＝i，i7＝－i，∴原式＝eq\f(1,i)＋eq\f(1,－i)＋eq\f(1,i)＋eq\f(1,－i)＝0.法2：把原式看成是以eq\f(1,i)为首项，以eq\f(1,i2)为公比的等比数列的前4项和即原式＝eq\f(\f(1,i)1－\f(1,i8),1－\f(1,i2))＝0.(理)(2011·辽宁理)a为正实数，i为虚数单位，|eq\f(a＋i,i)|＝2，则a＝()A．2 B.eq\r(3)C.eq\r(2) D．1[答案]B[解析]本小题考查内容为复数的运算与复数的模的求法．eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a＋i,i)))＝|1－ai|＝eq\r(1＋－a2)＝2，∴a＝eq\r(3).2．(2011·大纲全国卷理)复数z＝1＋i，eq\o(z,\s\up6(－))为z的共轭复数，则zeq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝()A．－2i B．－iC．i D．2i[答案]B[解析]本小题考查的内容是复数的概念与运算．eq\o(z,\s\up6(－))＝1－i，∴z·eq\o(z,\s\up6(－))－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.3．(2011·新课标理)执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是()A．120 B．720C．1440 D．5040[答案]B[解析]当输入的N是6时，由于k＝1，p＝1，因此p＝p·k＝1.此时k＝1，满足k<6，故k＝k＋1＝2；当k＝2时，p＝1×2，此时满足k<6，故k＝k＋1＝3；当k＝3时，p＝1×2×3，此时满足k<6，故k＝k＋1＝4；当k＝4时，p＝1×2×3×4，此时满足k<6，故k＝k＋1＝5；当k＝5时，p＝1×2×3×4×5，此时满足k<6，故k＝k＋1＝6.当k＝6时，p＝1×2×3×4×5×6＝720，此时k<6不再成立，因此输出p＝720.4．(2012·九江一模)下面的程序框图给出了计算数列{an}的前8项和S的算法，算法执行完毕后，输出的S为()A．8 B．63C．92 D．129[答案]C[解析]程序框图是计算S＝1＋2＋4＋7＋11＋16＋22＋29＝92，∴输出的S为92，故选C.5．(2012·三亚调研)为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a，b，c，d对应密文a＋2b,2b＋c,2c＋3d,4dA．4,6,1,7 B．7,6,1,4C．6,4,1,7 D．1,6,4,7[答案]C[解析]因加密规则可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＝14,2b＋c＝9,2c＋3d＝23,4d＝28))⇒eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝6,b＝4,c＝1,d＝7)).故明文为6,4,1,7.6．(2012·西宁调研)观察下图中图形的规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()[答案]A[解析]表格中的图形都是矩形、圆、正三角形的不同排列，规律是每一行中只有一个图形是空心的，其他两个都是填充颜色的，第三行中已经有正三角形是空心的了，因此另外一个应该是阴影矩形．7．(文)要表示直线与圆的位置关系最好用下列哪种框图来表示()A．流程图 B．程序框图C．结构图 D．统筹图[答案]C[解析]直线与圆有三种位置关系：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离，它们三者是并列关系，都从属与直线与圆的位置关系，故宜用结构图表示．(理)(2012·临沂一模)如图所示的程序框图输出的结果是()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(5,6) D.eq\f(6,7)[答案]C[解析]i＝1≤4满足，执行第一次循环后，A＝eq\f(2,3)，i＝2；i＝2≤4满足，执行第二次循环后，A＝eq\f(3,4)，i＝3；i＝3≤4满足，执行第三次循环后，A＝eq\f(4,5)，i＝4；i＝4≤4满足，执行第四次循环后，A＝eq\f(5,6)，i＝5；i＝5≤4不满足，跳出循环，输出A＝eq\f(5,6).8．(2011·山东理)复数z＝eq\f(2－i,2＋i)(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在象限为()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[答案]D[解析]本题主要考查复数的运算及复数的几何意义．∵z＝eq\f(2－i,2＋i)＝eq\f(2－i2,5)＝eq\f(4－4i－1,5)＝eq\f(3,5)－eq\f(4,5)i.∴z在复平面由对应的点为(eq\f(3,5)，－eq\f(4,5))，故选D.9．(2011·福建理)对于函数f(x)＝asinx＋bx＋c(其中a，b∈R，c∈Z)，选取a，b，c的一组值计算f(1)和f(－1)，所得出的正确结果一定不可能是()A．4和6 B．3和1C．2和4 D．1和2[答案]D[解析]∵f(1)＝asin1＋b＋c，f(－1)＝－asin1－b＋c，且c是整数，∴f(1)＋f(－1)＝2c在选项中只有D中两数和为奇数，不可能是D.[点评]本题考查求函数值和逻辑推理，题目是在以往高考题的基础上改编的，较新颖，题目难度较大．10．(文)(2012·鹰潭一模)已知x＞0，y＞0，lg2x＋lg8y＝lg2，则eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)的最小值是()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．2eq\r(3)[答案]C[解析]因为x＞0，y＞0，且lg2x＋lg8y＝lg2，所以x＋3y＝1.于是，有eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y)＝(x＋3y)(eq\f(1,x)＋eq\f(1,3y))＝2＋(eq\f(3y,x)＋eq\f(x,3y))≥4，故选C.(理)(2012·江西上饶一模)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3，(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开()A．(k＋3)3 B．(k＋2)3C．(k＋1)3 D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案]A[解析]假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．第Ⅱ卷(非选择题共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)11．在复平面内，复数eq\f(2i,1－i)对应的点的坐标为________．[答案](－1,1)[解析]eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝i(1＋i)＝－1＋i.故对应点坐标为(－1,1)．12．(文)(2011·福建理)运行如图所示的程序，输出的结果是________．eq\x(\a\al(a＝1,b＝2,a＝a＋b,PRINTa,END))[答案]3[解析]本题主要考查算法知识，由于a＝1，b＝2，a＝a＋b＝1＋2＝3.(理)(2011·江西理)下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．[答案]10[解析]本题主要考查程序框图知识．n＝1，s＝0＋(－1)1＋1＝0，n＝2时，s＝0＋(－1)2＋2＝3，n＝3时，s＝3＋(－1)3＋3＝5，n＝4时，s＝5＋(－1)4＋4＝10>9，故运行输出结果为10.13．(2011·安徽理)如下图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是________．[答案]15[解析]由T＝T＋k可知T是一个累加变量，原题实质为求1＋2＋3＋…＋k的和，其和为eq\f(kk＋1,2)，令eq\f(kk＋1,2)≤105，得k≤14，故当k＝15时，T＝1＋2＋3＋…＋15＝120>105.此时输出k＝15.14．(2012·咸阳调研)已知点An(n，an)为函数y＝eq\r(x2＋1)的图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图像上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．[答案]cn>cn＋1[解析]解法1：∵an＝eq\r(n2＋1)，bn＝n，cn＝eq\r(n2＋1)－n＝eq\f(1,\r(n2＋1)＋n)，随n的增大而减小，为减函数，∴cn＋1<cn，解法2：cn＋1＝eq\r(n＋12＋1)－(n＋1)，cn＝eq\r(n2＋1)－n，∴eq\f(cn,cn＋1)＝eq\f(\r(n2＋1)－n,\r(n＋12＋1)－n＋1)＝eq\f(\r(n＋12＋1)＋n＋1,\r(n2＋1)＋n)>1，∴cn>cn＋1.15．(文)(2012·唐山模拟)方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝eq\f(x,ax＋2)有唯一不动点，且x1＝1007，xn＋1＝eq\f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn))))(n∈N＋)，则x2013＝________.[答案]2013[解析]由eq\f(x,ax＋2)＝x，得ax2＋(2a－1)x＝0，∵f(x)有唯一不动点，∴2a－1＝0，即a＝eq\f(1,2)，∴f(x)＝eq\f(2x,x＋2)，∴xn＋1＝eq\f(1,f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,xn))))＝eq\f(2xn＋1,2)＝xn＋eq\f(1,2).∴x2013＝x1＋eq\f(1,2)×2012＝1007＋1006＝2013.(理)自然数按下表的规律排列则上起第15行，左起第16列的数为________．[答案]240[解析]经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；②第一行第n个数为(n－1)2＋1；③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.则上起第15行，左起第16列的数应为第16列的第15个数，即为[(16－1)2＋1]＋14＝152＋1＋14＝15×16＝240.三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(本小题满分12分)(2011·上海理)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.[解析](z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.17．(本小题满分12分)(2012·合肥模拟)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．[分析]题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．[解析]程序框图如图所示：[点评]设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需要的条件．18．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数(1)z是纯虚数．(2)z是实数．(3)z对应的点位于复平面的第二象限．[解析](1)由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2－2m－2＝0，,m2＋3m＋2≠0.))解得m＝3.所以当m＝3时，z是纯虚数．(2)由m2＋3m得m＝－1或m＝－2，又m＝－1或m＝－2时，m2－2m所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．(3)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2－2m－2<0，,m2＋3m＋2>0.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m－2>0,m2－2m－3<0,m2＋3m＋2>0))解得：－1<m<1－eq\r(3)或1＋eq\r(3)<m<3.所以当－1<m<1－eq\r(3)或1＋eq\r(3)<m<3时，z对应的点位于复平面的第二象限．19．(本小题满分12分)求证关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.[分析]需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a＝0，a<0和0<a≤1三种情况证明；证必要性，就是寻找方程有一个负根和两个负根的条件.[证明]充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，其根为x＝－eq\f(1,2)，方程有一个负根，符合题意．当a<0时，Δ＝4－4a>0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且eq\f(1,a)<0，方程有一正一负根，符合题意．当0<a≤1时，Δ＝4－4a≥0，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,a)<0,\f(1,a)>0))，故方程有两个负根，符合题意．综上知：当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负或两个负根．则eq\f(1,a)<0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝4－4a≥0,－\f(2,a)<0,\f(1,a)>0)).解得a<0或0<a≤1.综上知：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一负根则a≤1.故关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.[点评]在证必要性时，易忽视a＝0的情况而导致得不到结果，出现这种现象的原因是忽视了一元二次方程对二次项系数的要求．20．(本小题满分13分)(1)设x是正实数，求证：(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3；(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3是否仍然成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．[解析](1)x是正实数，由基本不等式知x＋1≥2eq\r(x)，x2＋1≥2x，x3＋1≥2eq\r(x3)，故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥2eq\r(x)·2x·2eq\r(x3)＝8x3(当且仅当x＝1时等号成立)．(2)若x∈R，不等式(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3仍然成立．由(1)知，当x>0时，不等式成立；当x≤0时，8x3≤0，而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－eq\f(1,2))2＋eq\f(3,4)]≥0.此时不等式仍然成立．21．(本小题满分14分)(2012·贵阳一模)已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋