高考数学第二轮综合复习检测题7不等式推理与证明算法与复数

高考数学第二轮综合复习检测题7高考数学二轮复习综合检测：专题七不等式、推理与证明、算法与复数时间：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数aA．1 B．2C．1或2 D．－1[答案]B[解析]∵(a2－3a＋2)＋(a－1)i∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－3a＋2＝0,a≠1))，∴a＝2.故选B.(理)(2011·福建理，1)i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则()A．i∈S B．i2∈SC．i3∈S D.eq\f(2,i)∈S[答案]B[解析]i2＝－1∈S，故选B.2．(文)(2011·福建文，6)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是()A．(－1,1) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)[答案]C[解析]“方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等实数根”⇔m2－4>0，解得m>2或m<－2.(理)(2011·陕西文，3)设0<a<b，则下列不等式中正确的是()A．a<b<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2) B．a<eq\r(ab)<eq\f(a＋b,2)<bC．a<eq\r(ab)<b<eq\f(a＋b,2) D.eq\r(ab)<a<eq\f(a＋b,2)<b[答案]B[解析]取a＝1，b＝2，易排除A、C、D.3．下列命题中正确的是()A．若a，b，c∈R，且a>b，则ac2>bc2B．若a，b∈R，且a·b≠0，则eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2C．若a，b∈R，且a>|b|，则an>bn(n∈N*)D．若a>b，c>d，则eq\f(a,d)>eq\f(b,c)[答案]C[解析]当c＝0时，A不成立；当ab<0时，eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≤－2，B不成立；若dc＝0，eq\f(a,d)>eq\f(b,c)不成立，D不成立，故选C.4．(2011·湖北理，8)已知向量a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且a⊥b，若x，y满足不等式|x|＋|y|≤1，则z的取值范围为()A．[－2,2] B．[－2,3]C．[－3,2] D．[－3,3][答案]D[解析]∵a⊥b，∴a·b＝0，即(x＋z,3)·(2，y－z)＝0，∴z＝2x＋3y不等式|x|＋|y|≤1表示如图所示平面区域．作直线l0：2x＋3y＝0，平移l0过点A(0,1)时z取最大值3.平移l0过点C(0，－1)时，z取最小值－3，∴z∈[－3,3]．5．(2011·西安模拟)观察下列数表规律：012345678910111213141516则从数2011到2012的箭头方向是()A．2011 B．2011C．2011 D．2011[答案]D[解析]由图可以看出，每隔4个数，箭头方向相同，可认为T＝4，又2011＝502×4＋3，所以2011处的箭头方向同数字3处的箭头方向，故选D.6．(2011·重庆理，7)已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)的最小值是()A.eq\f(7,2) B．4C.eq\f(9,2) D．5[答案]C[解析]∵a＋b＝2，∴eq\f(a,2)＋eq\f(b,2)＝1，∴y＝eq\f(1,a)＋eq\f(4,b)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(4,b)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)＋\f(b,2)))＝eq\f(5,2)＋eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)，∵a>0，b>0，∴eq\f(2a,b)＋eq\f(b,2a)≥2eq\r(\f(2a,b)·\f(b,2a))＝2，当且仅当eq\f(2a,b)＝eq\f(b,2a)，且a＋b＝2，即a＝eq\f(2,3)，b＝eq\f(4,3)时取得等号，∴y的最小值是eq\f(9,2)，选C.7．(文)(2011·北京文，6)执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输出的P值为()A．2 B．3C．4 D．5[答案]C[解析]P＝1，S＝1→P＝2，S＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2)→P＝3，S＝eq\f(3,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(11,6)→P＝4，S＝eq\f(11,6)＋eq\f(1,4)＝eq\f(25,12)>2，所以输出P＝4.(理)(2011·北京理，4)执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A．－3 B．－eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．2[答案]D[解析]由框图知得：i：0→1→2→3→4，则s：2→eq\f(1,3)→－eq\f(1,2)→－3→2.选D.8．(2011·新课标理，1)复数eq\f(2＋i,1－2i)的共轭复数是()A．－eq\f(3,5)i B.eq\f(3,5)iC．－i D．i[答案]C[解析]依题意：eq\f(2＋i,1－2i)＝eq\f(2i－1,1－2i·i)＝－eq\f(1,i)＝i，∴其共轭复数为－i，选C.9．(文)(2011·天津文，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，若输入x的值为－4，则输出y的值为()A．0.5 B．1C．2 D．4[答案]C[解析]第1次循环：x＝－4，x＝|－4－3|＝7第2次循环：x＝7，x＝|7－3|＝4第3次循环：x＝4，x<|4－3|＝1，y＝21＝2.输出y.(理)(2011·天津理，3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为()A．3 B．4C．5 D．6[答案]B[解析]第一次运行结束：i＝1，a＝2第二次运行结束：i＝2，a＝5第三次运行结束：i＝3，a＝16第四次运行结束：i＝4，a＝65，故输出i＝4，选B.10．(2011·福建理，8)已知O是坐标原点，点A(－1,1)，若点M(x，y)为平面区域eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2，,x≤1，,y≤2))上的一个动点，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范围是()A．[－1,0] B．[0,1]C．[0,2] D．[－1,2][答案]C[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))＝(－1,1)·(x，y)＝y－x，画出线性约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥2,x≤1,y≤2))表示的平面区域如图所示．可以看出当z＝y－x过点D(1,1)时有最小值0，过点C(0,2)时有最大值2，则eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OM,\s\up6(→))的取值范围是[0,2]，故选C.11．(2011·四川理，9)某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车，某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝()A．4650元 B．4700元C．4900元 D．5000元[答案]C[解析]设派用甲车数x辆，乙车数y辆，由题意：约束条件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≤12,2x＋y≤19,10x＋6y≥72,x≤8,y≤7))，目标函数：z＝450x＋350y经平移9x＋7y＝0得过A(7,5)利润最大z＝450×7＋350×5＝4900元，故选C.12．(文)(2011·陕西二检)设O(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，点P是线段AB上的一个动点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))≥eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))，则实数λ的取值范围是()A.eq\f(1,2)≤λ≤1 B．1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1C.eq\f(1,2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2) D．1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2)[答案]B[解析]设P(x，y)，则由eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))得，(x－1，y)＝λ(－1,1)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－λ,y＝λ))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1－λ,y＝λ)).若eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))≥eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))，则(x，y)·(－1,1)≥(1－x，－y)·(－x,1－y)，∴x2＋y2－2y≤0，∴(1－λ)2＋λ2－2λ≤0，∴1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1＋eq\f(\r(2),2).又点P是线段AB上的一个动点，∴0≤λ≤1，∴1－eq\f(\r(2),2)≤λ≤1.故选B.(理)(2011·山西二模)已知函数f(x)＝－x3＋px2＋qx＋r，且p2＋3q<0，若对x∈R都有f(m2－sinx)≥f(m＋eq\r(2)＋cosx)成立，则实数m的取值范围为()A．[0,1] B．[2，eq\r(5)]C．[1，eq\r(2)] D．[0，eq\r(2)][答案]A[解析]由题知，f′(x)＝－3x2＋2px＋q，其判别式Δ＝4p2＋12q＝4(p2＋3q)<0，∴f′(x)<0，∴f(x)在R上单调递减．又f(m2－sinx)≥f(m＋eq\r(2)＋cosx)，∴m2－sinx≤m＋eq\r(2)＋cosx，即m2－m－eq\r(2)≤sinx＋cosx.记t＝sinx＋cosx，则问题等价于m2－m－eq\r(2)≤tmin.又t＝sinx＋cosx＝eq\r(2)sin(x＋eq\f(π,4))，x∈R，∴tmin＝－eq\r(2)，所以m2－m－eq\r(2)≤－eq\r(2)，解得0≤m≤1，∴实数m的取值范围是[0,1]．二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，将答案填写在题中横线上．)13．(2011·山东潍坊三模)在各项为正数的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝eq\f(1,2)(an＋eq\f(1,an))，则a3＝________，猜想数列{an}的通项公式为________．[答案]eq\r(3)－eq\r(2)eq\r(n)－eq\r(n－1)[解析](1)由Sn＝eq\f(1,2)(an＋eq\f(1,an))可计算出a1＝1，a2＝eq\r(2)－1，a3＝eq\r(3)－eq\r(2).(2)由a1，a2，a3可归纳猜想出an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).14．(文)(2011·浙江理，12)某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是________．[答案]5[解析]第一次执行循环体时，k＝3，a＝44＝64，b＝34＝81，由于a<b，所以执行第二次循环．第二次执行循环体时，k＝4，a＝44＝256，b＝44＝256，由于a＝b，所以执行第三次循环．第三次执行循环体时，k＝5，a＝45＝1024，b＝54＝625，由于a>b，退出循环结构，输出k＝5，应填：5.(理)(2011·山东理，13)执行下图所示的程序框图，输入l＝2，m＝3，n＝5，则输出的y的值是________．[答案]68[解析]依题意，l＝2，m＝3，n＝5，则l2＋m2＋n2≠0，∴y＝70×2＋21×3＋15×5＝278，又278>105∴y＝278－105＝173.又173>105，∴y＝173－105＝68<105.∴y＝68.15．(文)(2011·湖南理，10)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋eq\f(1,y2))(eq\f(1,x2)＋4y2)的最小值为________．[答案]9[解析]eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,y2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x2)＋4y2))＝1＋4＋eq\f(1,x2y2)＋4x2y2≥5＋2×2＝9，当且仅当eq\f(1,x2y2)＝4x2y2时等号成立．(理)(2011·浙江文，16)若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________．[答案]eq\f(2\r(3),3)[解析]由x2＋y2＋xy＝1可得，(x＋y)2＝xy＋1而由均值不等式得xy≤(eq\f(x＋y,2))2∴(x＋y)2≤(eq\f(x＋y,2))2＋1整理得，eq\f(3,4)(x＋y)2≤1∴x＋y∈[－eq\f(2\r(3),3)，eq\f(2\r(3),3)]∴x＋y的最大值为eq\f(2\r(3),3).16．(文)(2011·苏锡常镇三调)将全体正整数排成一个三角形数阵：123456789101112131415………………根据以上排列规律，数阵中第n(n≥3)行从左至右的第3个数是________．[答案]eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋3(n≥3)[解析]该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n行有n个数，则第n－1(n≥3)行的最后一个数为eq\f(n－11＋n－1,2)＝eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)，则第n行的第3个数为eq\f(n2,2)－eq\f(n,2)＋3(n≥3)．(理)(2011·福建二检)如图，点P在已知三角形ABC的内部，定义有序实数对(μ，υ，ω)为点P关于△ABC的面积坐标，其中μ＝eq\f(△PBC的面积,△ABC的面积)，υ＝eq\f(△APC的面积,△ABC的面积)，ω＝eq\f(△ABP的面积,△ABC的面积)；若点Q满足eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))，则点Q关于△ABC的面积坐标为________．[答案](eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3))[解析]由点Q满足eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))可知Q到BC、AC、AB三边的距离分别是三边相应高的eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3)，所以S△QBC＝eq\f(1,2)s，S△AQC＝eq\f(1,6)s，S△AQB＝eq\f(1,3)s(s为△ABC的面积)．故点Q关于△ABC的面积坐标为(eq\f(1,2)，eq\f(1,6)，eq\f(1,3))．三、解答题(本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)若函数f(x)＝4x＋a·2x＋a＋1有零点，求实数a的取值范围．[解析]解法一：令2x＝t，f(x)有零点，即方程t2＋at＋a＋1＝0，在(0，＋∞)内有解．变形为a＝－eq\f(1＋t2,1＋t)＝－[(t＋1)＋eq\f(2,t＋1)]＋2≤2－2eq\r(2)，∴a的范围是(－∞，2－2eq\r(2)]．解法二：t2＋at＋a＋1＝0在(0，＋∞)内有解，①有两解，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝a2－4a＋1≥0，,－a>0，,a＋1>0，))得－1<a≤2－2eq\r(2).②有一解，令g(t)＝t2＋at＋a＋1，，则g(0)<0∴a≤－1.∴a的范围是(－∞，2－2eq\r(2)]．18．(本小题满分12分)(2011·上海理，19)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.[解析](z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i∵z1z2∈R，∴4－a＝0，即a＝4，∴z2＝4＋2i.19．(本小题满分12分)(2011·安徽理，19)(1)设x≥1，y≥1，证明x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy.(2)1≤a≤b≤c，证明logab＋logbc＋logca≤logba＋logcb＋logac.[证明](1)由于x≥1，y≥1，所以x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy⇔xy(x＋y)＋1≤y＋x＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得(y＋x＋(xy)2)－(xy(x＋y)＋1)＝((xy)2－1)－(xy(x＋y)－(x＋y))＝(xy＋1)(xy－1)－(x＋y)(xy－1)＝(xy－1)(xy－x－y＋1)＝(xy－1)(x－1)(y－1)．既然x≥1，y≥1，所以(xy－1)(x－1)(y－1)≥0，从而所要证明的不等式成立．(2)设logab＝x，logbc＝y，由对数的换底公式得logca＝eq\f(1,xy)，logba＝eq\f(1,x)，logab＝eq\f(1,y)，logac＝xy.于是，所要证明的不等式即为x＋y＋eq\f(1,xy)≤eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＋xy，其中x＝logab≥1，y＝logbc≥1.故由(1)立知所要证明的不等式成立．20．(本小题满分12分)写出求满足1×3×5×7×…×n>50000的最小正整数n的算法并画出相应的程序框图．[解析]算法如下：S1S＝1，i＝3.S2如果S≤50000，则执行S3，否则执行S5.S3S＝S×i.S4i＝i＋2，返回执行S2.S5i＝i－2.S6输出i.程序框图如图所示：21．(本小题满分12分)观察下表：1，2,34,5,6,78,9,10,11,12,13,14,15，……问：(1)此表第n行的最后一个数是多少？(2)此表第n行的各个数之和是多少？(3)2012是第几行的第几个数？(4)是否存在n∈N*，使得第n行起的连续10行的所有数之和为227－213－120？若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．[解析](1)∵第n＋1行的第1个数是2n，∴第n行的最后一个数是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝eq\f(2n－1＋2n－1·2n－1,2)＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024<2012<2048，∴2012在第11行，该行第1个数是210＝1024，由2012－1024＋1＝989，知2012是第11行的第989个数．(4)设第n行的所有数之和为an，第n行起连续10行的所有数之和为Sn.则an＝3·22n－3－2n－2，an＋1＝3·22n－1－2n－1，an＋2＝3·22n＋1－2n，…，an＋9＝3·22n＋15－2n＋7，∴Sn＝3(22n－3＋22n－1＋…＋22n＋15)－(2n－2＋2n－1＋…＋2n＋7)＝3·eq\f(22n－3410－1,4－1)－eq\f(2n－2210－1,2－1)＝22n＋17－22n－3－2n＋8＋2n－2，n＝5时，S5＝227－128－213＋8＝227－213－120.∴存在n＝5使得第5行起的连续10行的所有数之和为227－213－120.22．(本小题满分14分)(文)(2011·四川文，20)已知{an}是以a为首项，q为公比的等比数列，Sn为它的前n项和．(1)当S1，S3，S4成等差数列时，求q的值；(2)当Sm，Sn，Si成等差数列时，求证：对任意自然数k，am＋k，an＋k，ai＋k也成等差数列．[解析](1)若公比q＝1，则S1＝a，S3＝3a，S4＝4a，而2S3＝6a≠S1＋S∴不满足S1，S3，S4成等差数列，∴q≠1若q≠1，由前n项和公式知，Sn＝eq\f(a1－qn,1－q)，∵S1，S3，S4成等差数列∴2S3＝S1＋S4，即eq\f(2a1－q3,1－q)＝a＋eq\f(a1－q4,1－q)即2a(1－q3)＝a(1－q)＋a(1－q4∵a≠0，∴2(1－q)(q2＋q＋1)＝(1－q)＋(1－q)(1＋q)(1＋q2)又∵1－q≠0∴2(1＋q＋q2)＝1＋(1＋q2)(1＋q)即q2＝q＋1⇒q2－q－1＝0，∴q＝eq\f(1±\r(5),2)(2)若公比q＝1，则am＋k＝a