高考数学(理科)二轮复习专题讲义：专题六 第4讲 推理与证明、算法初步、复数

2014届高考数学（理科）二轮复习专题讲义：专题六第4讲推理与证明、算法初步、复数复数一、基础知识要记牢(1)复数的模：复数z＝a＋bi的模|z|＝eq\r(a2＋b2).(2)复数相等的充要条件：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．特别地，a＋bi＝0⇔a＝0且b＝0(a，b∈R)．(3)复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简．二、经典例题领悟好[例1](1)(2013·安徽高考)设i是虚数单位，若复数a－eq\f(10,3－i)(a∈R)是纯虚数，则a的值为()A．－3B．－1C．1 D．3(2)(2013·陕西高考)设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是()A．若|z1－z2|＝0，则eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2B．若z1＝eq\x\to(z)2，则eq\x\to(z)1＝z2C．若|z1|＝|z2|，则z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2D．若|z1|＝|z2|，则zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)[解析](1)因为a－eq\f(10,3－i)＝a－eq\f(103＋i,3－i3＋i)＝a－eq\f(103＋i,10)＝(a－3)－i，由纯虚数的定义，知a－3＝0，所以a＝3.(2)A，|z1－z2|＝0⇒z1－z2＝0⇒z1＝z2⇒eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2，真命题；B，z1＝eq\x\to(z)2⇒eq\x\to(z)1＝eq\x\to(z)2＝z2，真命题；C，|z1|＝|z2|⇒|z1|2＝|z2|2⇒z1·eq\x\to(z)1＝z2·eq\x\to(z)2，真命题；D，当|z1|＝|z2|时，可取z1＝1，z2＝i，显然zeq\o\al(2,1)＝1，zeq\o\al(2,2)＝－1，即zeq\o\al(2,1)≠zeq\o\al(2,2)，假命题．[答案](1)D(2)Deq\a\vs4\al(,1与复数z有关的复杂式子为纯虚数，可设为mim≠0，利用复数相等去运算较简便.,2在有关复数z的等式中，可设出z＝a＋bia，b∈R，用待定系数法求解.,3熟记一些常见的运算结果可提高运算速度：,1±i2＝±2i，\f(1＋i,1－i)＝i，\f(1－i,1＋i)＝－i，,设ω＝－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i，则ω3＝1，|ω|＝1，ω2＝\x\to(ω)，1＋ω＋ω2＝0.)三、预测押题不能少1．(1)设复数z＝－1－i(i为虚数单位)，z的共轭复数为eq\x\to(z)，则|(1－z)·eq\x\to(z)|＝()A.eq\r(10) B．2C.eq\r(2) D．1解析：选A依题意得(1－z)·eq\x\to(z)＝(2＋i)(－1＋i)＝－3＋i，|(1－z)·eq\x\to(z)|＝|－3＋i|＝eq\r(－32＋12)＝eq\r(10).(2)已知i是虚数单位，z＝1＋i，eq\x\to(z)为z的共轭复数，则复数eq\f(z2,\x\to(z))在复平面上对应的点的坐标为________．解析：z＝1＋i，则eq\f(z2,\x\to(z))＝eq\f(1＋i2,1－i)＝eq\f(2i,1－i)＝eq\f(2i1＋i,1－i1＋i)＝－1＋i，则复数eq\f(z2,\x\to(z))在复平面上对应的点的坐标为(－1,1)．答案：(－1,1)合情推理一、基础知识要记牢(1)类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．(2)归纳推理的一般步骤：①通过观察个别事物发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．二、经典例题领悟好[例2](2013·陕西高考)观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，……照此规律，第n个等式可为________．[解析]12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，……12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2).[答案]12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1eq\f(nn＋1,2)合情推理的解题思路(1)在进行归纳推理时，要先根据已知的部分个体，把它们适当变形，找出它们之间的联系，从而归纳出一般结论．(2)在进行类比推理时，要充分考虑已知对象性质的推理过程，然后通过类比，推导出类比对象的性质．(3)归纳推理关键是找规律，类比推理关键是看共性．三、预测押题不能少2．(1)21×1＝2,22×1×3＝3×4,23×1×3×5＝4×5×6,24×1×3×5×7＝5×6×7×8，….依此类推，第n个等式为__________________________．解析：由归纳推理可知，第n个等式为2n×1×3×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×…×2n.答案：2n×1×3×…×(2n－1)＝(n＋1)×(n＋2)×…×2n(2)对于命题：若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OBA·＝0，将它类比到空间的情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．解析：将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知：若O为四面体ABCD内一点，则有VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0.答案：VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0程序框图一、经典例题领悟好[例3](2013·新课标全国卷Ⅱ)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝()A．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,10)B．1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋…＋eq\f(1,10！)C．1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,11)D．1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋…＋eq\f(1,11！)[解析]当输入N＝10时，由于k＝1，S＝0，T＝1，因此T＝eq\f(1,1)＝1，S＝1，k＝2，此时不满足k>10；当k＝2时，T＝eq\f(1,1×2)＝eq\f(1,2！)，S＝1＋eq\f(1,2！)，k＝3，此时不满足k>10；当k＝3时，T＝eq\f(1,1×2×3)＝eq\f(1,3！)，S＝1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)，k＝4，此时不满足k>10；当k＝4时，T＝eq\f(1,1×2×3×4)＝eq\f(1,4！)，S＝1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋eq\f(1,4！)，k＝5，此时不满足k>10；……当k＝10时，T＝eq\f(1,1×2×3×4×…×10)＝eq\f(1,10！)，S＝1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋eq\f(1,4！)＋…＋eq\f(1,10！)，k＝11，此时满足k>10.因此输出S＝1＋eq\f(1,2！)＋eq\f(1,3！)＋eq\f(1,4！)＋…＋eq\f(1,10！).[答案]Beq\a\vs4\al(,1解答有关程序框图问题，首先要读懂程序框图，要熟练掌握程序框图的三种基本结构.,2利用循环结构表示算法要注意：,①要选择准确的表示累计的变量；,②要注意在哪一步结束循环；,③执行完整每一次循环，防止执行程序不彻底，造成错误.)二、预测押题不能少3．(1)程序框图如图，如果程序运行的结果为S＝132，那么判断框中可填入()A．k≤10 B．k≥10C．k≤11 D．k≥11解析：选A输出的S值是一个逐次累积的结果，第一次运行S＝12，k＝11；第二次运行S＝132，k＝10.如果此时输出结果，则判断框中的k的最大值是10.(2)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是()A．2 B．3C．4 D．5解析：选C逐次运行的结果是n＝3，i＝2；n＝4，i＝3；n＝2，i＝4.故输出的值是4.程序框图与概率的交汇算法是新课标高考中的一大热点，特别体现在算法的交汇性问题上，这些问题题目背景新颖，交汇自然，主要表现在算法与函数、数列、不等式、概率及统计的交汇．一、经典例题领悟好[例](2013·四川高考节选)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生．(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出y的值为i的概率Pi(i＝1,2,3)；(2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n次后，统计记录了输出y的值为i(i＝1,2,3)的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．甲的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3014610…………21001027376697乙的频数统计表(部分)运行次数n输出y的值为1的频数输出y的值为2的频数输出y的值为3的频数3012117…………21001051696353当n＝2100时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率(用分数表示)，并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大；(3)将按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．(1)eq\a\vs4\al(学审题——审条件之审视图表和数据)程序框图eq\o(→,\s\up7(审图),\s\do5())计算输出y的值为1,2,3的数的个数eq\o(→,\s\up7(古典概型公式),\s\do5())概率．(2)eq\a\vs4\al(学审题)频数统计表eq\o(→,\s\up7(审表),\s\do5())各小组频数→频率eq\o(→,\s\up7(与1比较),\s\do5())结论．(3)eq\a\vs4\al(学审题)条件→确定y的取值求出分布列→期望值．[解](1)变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故P1＝eq\f(1,2)；当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故P2＝eq\f(1,3)；当x从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y的值为3，故P3＝eq\f(1,6).所以，输出y的值为1的概率为eq\f(1,2)，输出y的值为2的概率为eq\f(1,3)，输出y的值为3的概率为eq\f(1,6).(2)当n＝2100时，甲、乙所编程序各自输出y的值为i(i＝1,2,3)的频率如下：输出y的值为1的频率输出y的值为2的频率输出y的值为3的频率甲eq\f(1027,2100)eq\f(376,2100)eq\f(697,2100)乙eq\f(1051,2100)eq\f(696,2100)eq\f(353,2100)比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大．(3)随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3.P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(8,27)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(4,9)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1＝eq\f(2,9)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,27)，故ξ的分布列为ξ0123Peq\f(8,27)eq\f(4,9)eq\f(2,9)eq\f(1,27)所以，E(ξ)＝3×eq\f(1,3)＝1.即ξ的数学期望为1.本题主要考查算法与程序框图、古典概型、频数、频率、随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算，考查运用统计与概率的知识与方法解决实际问题的能力，考查数据处理能力、应用意识和创新意识.解答本题的易错点为：一是错读程序框图使本题在求解第一步时就出现错误，二是处理频数分布表中数据时运算错误.二、预测押题不能少某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD­EFGH材料切割成三棱锥H­ACF.(1)若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；(2)已知原长方体材料中，AB＝2m，AD＝3m，DH＝1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？解：(1)证明：∵HM＝MA，HN＝NC，HK＝KF，∴MK∥AF，MN∥AC.∵MK⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，∴MK∥平面ACF，同理可证MN∥平面ACF，∵MN，MK⊂平面MNK，且MK∩MN＝M，∴平面MNK∥平面ACF，又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框图可知a＝CF，b＝AC，c＝AF，∴d＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(AC2＋AF2－CF2,2AC·AF)＝cos∠CAF，∴e＝eq\f(1,2)bceq\r(1－d2)＝eq\f(1,2)AC·AF·sin∠CAF＝S△ACF.又h＝eq\f(3t,e)，∴t＝eq\f(1,3)he＝eq\f(1,3)h·S△ACF＝V三棱锥H­ACF.∵三棱锥H­ACF为将长方体ABCD­EFGH切掉4个体积相等的小三棱锥所得，∴V三棱锥H­ACF＝2×3×1－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×2×1＝6－4＝2，故t＝2.1．(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是()A．AB．BC．C D．D解析：选B因为x＋yi的共轭复数是x－yi，故选B.2．(2013·福建质检)执行如图所示的程序框图，若输入的x值为2，则输出的x值为()A．3B．126C．127 D．128解析：选C若输入的x＝2，则x＝22－1＝3，而3<126，故x＝23－1＝7，而7<126，故x＝27－1＝127.因为127>126，所以输出的x值为127.3．(2013·郑州质量预测)若复数z＝2－i，则eq\x\to(z)＋eq\f(10,z)＝()A．2－i B．2＋iC．4＋2i D．6＋3i解析：选D∵z＝2－i，∴eq\x\to(z)＋eq\f(10,z)＝(2＋i)＋eq\f(10,2－i)＝(2＋i)＋eq\f(102＋i,2－i2＋i)＝6＋3i.4．(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为()A．S＝2*i－2 B.S＝2*i－1C．S＝2*iD.S＝2*i+4解析：选C此框图依次执行如下循环：第一次：i＝1，S＝0，i＝1＋1＝2，i是奇数不成立，S＝2*2＋1＝5，继续循环；第二次：i＝2＋1＝3，i是奇数成立，继续循环；第三次：i＝3＋1＝4，i是奇数不成立，S＝2*4+1=9，继续循环；第四次：i＝4+1=5，i是奇数成立，由题意知此时应跳出循环，输出i＝5，即S＜10不成立.故应填S=2*i(此时S=10＜10不成立).若填S＝2*i＋4，则在第二次循环中就跳出循环．故选C.5．(2013·河南洛阳模拟)执行如图所示的程序框图，任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤1)，则能输出数对(x，y)的概率为()A.eq\f(1,4)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,4)解析：选B依题意，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1))表示的平面区域的面积等于12＝1；不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤1，,0≤y≤1，,y≤x2))表示的平面区域的面积等于eq\a\vs4\al(∫)eq\o\al(1,0)x2dx＝eq\f(1,3)x3eq\o\al(1,0)＝eq\f(1,3)，因此所求的概率为eq\f(1,3).6．若数列{an}是等差数列，则数列{bn}bn＝eq\f(a1＋a2＋…＋an,n)也为等差数列．类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n) B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n)) D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)解析：选D若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·q，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选D.7．已知复数z＝1－i，则eq\f(z2－2z,z－1)＝________.解析：eq\f(z2－2z,z－1)＝eq\f(z－12－1,z－1)＝z－1－eq\f(1,z－1)＝(－i)－eq\f(1,－i)＝－i－eq\f(i,－i·i)＝－2i.答案：－2i8．(2013·山东高考)执行下面的程序框图，若输入的ε的值为0.25，则输出的n的值为________．解析：逐次计算的结果是F1＝3，F0＝2，n＝2；F1＝5，F0＝3，n＝3，此时输出，故输出结果为3.答案：39．(2013·福建质检)观察下列等式：eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1；eq\f(7,3)＋eq\f(8,3)＋eq\f(10,3)＋eq\f(11,3)＝12；eq\f(16,3)＋eq\f(17,3)＋eq\f(19,3)＋eq\f(20,3)＋eq\f(22,3)＋eq\f(23,3)＝39；……则当m<n且m，n∈N时，eq\f(3m＋1,3)＋eq\f(3m＋2,3)＋eq\f(3m＋4,3)＋eq\f(3m＋5,3)＋…＋eq\f(3n－2,3)＋eq\f(3n－1,3)＝________(最后结果用m，n表示)．解析：由eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝1，知m＝0，n＝1,1＝12－02；由eq\f(7,3)＋eq\f(8,3)＋eq\f(10,3)＋eq\f(11,3)＝12，知m＝2，n＝4,12＝42－22；由eq\f(16,3)＋eq\f(17,3)＋eq\f(19,3)＋eq\f(20,3)＋eq\f(22,3)＋eq\f(23,3)＝39，知m＝5，n＝8,39＝82－52；………依此规律可归纳，eq\f(3m＋1,3)＋eq\f(3m＋2,3)＋eq\f(3m＋4,3)＋eq\f(3m＋5,3)＋…＋eq\f(3n－2,3)＋eq\f(3n－1,3)＝n2－m2.答案：n2－m210．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解：∵(z1－2)(1＋i)＝1－i，∴z1＝2－i.设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.11．(2013·郑州质量预测)每年的3月12日，是中国的植树节．林管部门在植树前，为保证树苗的质量，都会在植树前对树苗进行检测．现从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，规定高于128厘米的树苗为“良种树苗”，测得高度如下(单位：厘米)：甲：137,121,131,120,129,119,132,123,125,133；乙：110,130,147,127,146,114,126,110,144,146.(1)根据抽测结果，画出甲、乙两种树苗高度的茎叶图，并根据你填写的茎叶图，对甲、乙两种树苗的高度作比较，写出对两种树苗高度的统计结论；(2)设抽测的10株甲种树苗高度平均值为eq\x\to(x)，将这10株树苗的高度依次输入按程序框图进行运算(如图)，问输出的S大小为多少？并说明S的统计学意义；(3)若小王在甲种树苗中随机领取了5株进行种植，用样本的频率分布估计总体分布，求小王领取到的“良种树苗”的株数X的分布列．解：(1)茎叶图如图所示：统计结论：①甲种树苗的平均高度小于乙种树苗的平均高度；②甲种树苗比乙种树苗长得更整齐；③甲种树苗高度的中位数为127，乙种树苗高度的中位数为128.5；④甲种树苗的高度基本上是对称的，而且大多数集中在均值附近，乙种树苗的高度分布较为分散．(2)