2025年粤教沪科版高二数学下册月考试卷

…………○…………内…………○…………装…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………第=page22页，总=sectionpages22页第=page11页，总=sectionpages11页2025年粤教沪科版高二数学下册月考试卷541考试试卷考试范围：全部知识点；考试时间：120分钟学校：______姓名：______班级：______考号：______总分栏题号一二三四总分得分评卷人得分一、选择题(共9题，共18分)1、定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{an}，{f（an）}仍是等比数列，则称f（x）为“保等比数列函数”，现有定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的如下函数：1、f（x）=x2；2、f（x）=2x；3、f（x）=4；f（x）=ln|x|．其中是“保等比函数”的f（x）的序号是（）

A.1；2

B.1；3

C.3；4

D.2；4

2、“至少有三个”的否定为（）

A.至多有两个。

B.至多有三个。

C.有两个。

D.有三个。

3、当不等式组所表示的平面区域的面积最小时,实数k的值为()A.－B.－C.－1D.－24、【题文】等比数列的前n项的和为若成等差数列，则的值是A.B.C.D.5、【题文】在中，角A、B、C对边的边长分别是a、b、c,下列条件中能够判断是等腰三角形的为。

A.B.

C.D.6、【题文】等比数列中，则数列的公比为A.B.C.D.7、若样本数据x1，x2，，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，，2x10﹣1的标准差为（）A.8B.15C.16D.328、已知等差数列{an}的前项和为Sn，若M,N,P三点共线，O为坐标原点，且(直线MP不过点O)，则S20等于（）A.15B.10C.40D.209、已知函数y=x+1+lnx

在点A(1,2)

处的切线为l

若l

与二次函数y=ax2+(a+2)x+1

的图象也相切，则实数a

的取值为(

)

A.12

B.8

C.4

D.0

评卷人得分二、填空题(共6题，共12分)10、下列命题：

①若f（x）存在导函数；则f′（2x）=[f（2x）]′；

②若函数h（x）=cos4x-sin4x，则

③若函数g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-2012）（x-2013）；则g′（2013）=2012!；

④函数的单调递增区间是

其中真命题为____．（填序号）11、双曲线2x2-y2=k的焦距是6，则k的值为____．12、【题文】函数的图象恒过定点若点在直线上，其中则的最小值为____．13、【题文】（本小题满分12分）已知直线

（1）证明：直线过定点；

（2）若直线交轴负半轴于交轴正半轴于的面积为求的最小值并求此时直线的方程。14、【题文】对有10个元素的总体{1,2,3，，10}进行抽样，先将总体分成两个子总体A＝{1,2,3,4}和B＝{5,6,7,8,9,10}，再从A和B中分别随机抽取2个元素和3个元素组成样本，用Pij表示元素i和j同时出现在样本中的概率，则P15＝，所有Pij(1≤i15、设两条直线x+y-2=0，3x-y-2=0的交点为M，若点M在圆（x-m）2+y2=5内，则实数m的取值范围为______．评卷人得分三、作图题(共7题，共14分)16、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

17、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）18、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）19、著名的“将军饮马”问题：有一位将军骑着马要从A地走到B地；但途中要到水边喂马喝一次水，则将军怎样走最近？

20、A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小．（如图所示）21、已知，A，B在直线l的两侧，在l上求一点，使得PA+PB最小．（如图所示）22、分别画一个三棱锥和一个四棱台．评卷人得分四、综合题(共3题，共12分)23、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．24、如图，在直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（-1，0），（3，0），（0，3），过AB，C三点的抛物的对称轴为直线l，D为对称轴l上一动点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求当AD+CD最小时点D的坐标；

（3）以点A为圆心；以AD为半径作⊙A．

①证明：当AD+CD最小时；直线BD与⊙A相切；

②写出直线BD与⊙A相切时，D点的另一个坐标：____．25、已知f（x）=logax（a＞0，a≠1），设数列f（a1），f（a2），f（a3），，f（an）是首项为4，公差为2的等差数列．参考答案一、选择题(共9题，共18分)1、B【分析】

由等比数列性质知anan+2=an+12；

①f（an）f（an+2）=an2an+22=（an+12）2=f2（an+1）；故正确；

②f（an）f（an+2）=2an2an+2=2an+an+2≠22an+1=f2（an+1）；故不正确；

③f（an）f（an+2）===f2（an+1）；故正确；

④f（an）f（an+2）=ln|an|ln|an+2|≠ln|an+1|2=f2（an+1）；故不正确；

故选B．

【解析】【答案】根据新定义，结合等比数列性质anan+2=an+12；一一加以判断，即可得到结论．

2、A【分析】

∵至少n个的否定为至多n-1个。

∴“至少有三个”的否定为“至多两个”

故选A

【解析】【答案】根据命题的否定命题的解答办法；我们结合至少性问题的否定思路：至少n个的否定为至多n-1个，易根据已知原命题“至少三个”得到否定命题．

3、D【分析】由于不等式组所表示的平面区域由三条直线围成，其中直线kx-y+2-k=0（k＜0）即y-2=k（x-1）（k＜0）经过定点（1，2），因此问题转化为求经过定点（1，2）的直线与两坐标轴在第一象限内所围成的三角形的面积的最小值．如图所示，设所围成的区域的面积为S，则S=•|OA|•|OB|=•|2-k|•|1-|．因为k＜0，所以-k＞0，当S取得最小值4时，-k=-解得k=-2．选D【解析】【答案】D4、D【分析】【解析】本题考查等比数列的通项公式,前n项和公式和等差数列数列的基本运算.

设公比为则即所以解得则故选D【解析】【答案】D5、C【分析】【解析】略【解析】【答案】C6、D【分析】【解析】

试题分析：因为所以公比

考点：等比数列的性质【解析】【答案】D7、C【分析】【解答】解：∵样本数据x1，x2，，x10的标准差为8；

∴=8；即DX=64；

数据2x1﹣1，2x2﹣1，，2x10﹣1的方差为D（2X﹣1）=4DX=4×64；

则对应的标准差为==16；

故选：C．

【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可．8、B【分析】【解答】三点共线，且所以因为是等差数列，所以所以

【分析】由已知条件得出是解决此题的关键.9、C【分析】解：y=x+1+lnx

的导数为y隆盲=1+1x

曲线y=x+1+lnx

在x=1

处的切线斜率为k=2

则曲线y=x+1+lnx

在x=1

处的切线方程为y鈭�2=2x鈭�2

即y=2x

．

由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1

相切；

y=ax2+(a+2)x+1

可联立y=2x

得ax2+ax+1=0

又a鈮�0

两线相切有一切点；

所以有鈻�=a2鈭�4a=0

解得a=4

．

故选：C

．

求出y=x+1+lnx

的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1

相切，有且只有一切点，进而可联立切线与曲线方程，根据鈻�=0

得到a

的值．

本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的导数，设出切线方程运用两线相切的性质是解题的关键．【解析】C

二、填空题(共6题，共12分)10、略

【分析】

①[f（2x）]′=f′（2x）（2x）′=2f′（2x）；所以①错误．

②因为h（x）=cos4x-sin4x=（cos2x+sin2x）（cos2x-sin2x）=cos2x；

所以h'（x）=-2sin2x，即所以②错误．

③因为g（x）=（x-1）（x-2）（x-3）（x-2012）（x-2013）；

所以g'（x）=[（x-1）（x-2）（x-2012）]+（x-2013）⋅[（x-1）（x-2）（x-2012）]'

所以g'（2013）=（2013-1）（2013-2）（2013-2012）=1×2××2012=2012!；所以③正确．

④函数的导数为

由得1+2cosx＞0，即所以

即函数的单调递增区间为所以④正确．

故答案为：③④．

【解析】【答案】分别利用导数的运算以及导数的应用进行判断即可．

11、略

【分析】

∵双曲线2x2-y2=k的焦距是6；

∴当k＞0时，有-=1；

依题意，+k==9；

∴k=6；

当k＜0时，-=1；

依题意，--k==9；

∴k=-6．

综上所述；k=±6．

故答案为：±6．

【解析】【答案】对k分k＞0与k＜0讨论；利用双曲线的性质可求得k的值．

12、略

【分析】【解析】

试题分析：函数的图象恒过定点由对数函数的图象特征知A（-2，-1）代入得，其中

所以=（）（）=4+

故的最小值为8.

考点：本题主要考查对数函数的图象；均值定理的应用。

点评：典型题，本题综合性较强，考查知识点多。利用已知条件得到运用“1的代换”，创造了应用均值定理的条件。应用均值定理“一正、二定、三相等”。【解析】【答案】．13、略

【分析】【解析】本试题主要是考查了直线的方程与三角形面积公式的运用。

（1）因为那么化为关于k的表达式，无论k取何值，都成立，因此可得结论。

（2）由的方程得，由题意有

解得因为由不等式求得最值。

解：（1）直线的方程可化为令解得

所以，无论取何值，直线总经过定点5分。

（2）由的方程得，由题意有

解得因为9分。

即

当且仅当即时，

此时直线的方程为12分【解析】【答案】（1）见解析；（2）14、略

【分析】【解析】解：(1)由题意有：P15＝＝.

(2)当1≤i

当5≤i

这样的Pij共有C＝15个，故所有Pij(5≤i

当1≤i≤4,5≤j≤10时；Pij＝，这样的Pij共有4·6＝24；

所有Pij(1≤i≤4,5≤j≤10)的和为24·＝6；

综上所述，所有Pij(1≤i【解析】【答案】1015、略

【分析】解：由题意可知：解得交点（1，1）；

交点M在圆（x-m）2+y2=5的内部；

可得（1-m）2+1＜5；

解得-1＜m＜3．

∴实数m的取值范围为：（-1；3）．

故答案为：（-1；3）．

求出两条直线的交点坐标；以及圆的圆心的距离小于半径，求解即可得答案．

本题考查点与圆的位置关系的应用，考查计算能力，是基础题．【解析】（-1，3）三、作图题(共7题，共14分)16、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

17、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．18、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．19、略

【分析】【分析】根据轴对称的性质作出B点与河面的对称点B′，连接AB′，AB′与河面的交点C即为所求．【解析】【解答】解：作B点与河面的对称点B′；连接AB′，可得到马喝水的地方C；

如图所示；

由对称的性质可知AB′=AC+BC；

根据两点之间线段最短的性质可知；C点即为所求．

20、略

【分析】【分析】作出A关于OM的对称点A'，关于ON的A对称点A''，连接A'A''，根据两点之间线段最短即可判断出使三角形周长最小的A、B的值．【解析】【解答】解：作A关于OM的对称点A'；关于ON的A对称点A''，与OM；ON相交于B、C，连接ABC即为所求三角形．

证明：∵A与A'关于OM对称；A与A″关于ON对称；

∴AB=A'B；AC=A''C；

于是AB+BC+CA=A'B+BC+A''C=A'A''；

根据两点之间线段最短，A'A''为△ABC的最小值．21、略

【分析】【分析】显然根据两点之间，线段最短，连接两点与直线的交点即为所求作的点．【解析】【解答】解：连接两点与直线的交点即为所求作的点P；

这样PA+PB最小；

理由是两点之间，线段最短．22、解：画三棱锥可分三步完成。

第一步：画底面﹣﹣画一个三角形；

第二步：确定顶点﹣﹣在底面外任一点；

第三步：画侧棱﹣﹣连接顶点与底面三角形各顶点．

画四棱可分三步完成。

第一步：画一个四棱锥；

第二步：在四棱锥一条侧棱上取一点；从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段；

第三步：将多余线段擦去．

【分析】【分析】画三棱锥和画四棱台都是需要先画底面，再确定平面外一点连接这点与底面上的顶点，得到锥体，在画四棱台时，在四棱锥一条侧棱上取一点，从这点开始，顺次在各个面内画与底面对应线段平行的线段，将多余线段擦去，得到图形．四、综合题(共3题，共12分)23、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；

得

解这个方程组，得

∴直线BC的解析式为y=-x+3．（6分）

由（1）知：对称轴l为；即x=1．

将x=1代入y=-x+3；得y=-1+3=2．

∴点D的坐标为（1；2）．（7分）

说明：用相似三角形或三角函数求点D的坐标也可；答案正确给（2分）．

（3）①连接AD．设直线l与x轴的交点记为点E．

由（2）知：当AD+CD最小时；点D的坐标为（1，2）．

∴DE=AE=BE=2．

∴∠DAB=∠DBA=45度．（8分）

∴∠ADB=90度．

∴AD⊥BD．

∴BD与⊙A相切．（9分）

②∵另一点D与D（1；2）关于x轴对称；

∴D（1，-2）．（11分）24、略

【分析】【分析】（1）由待定系数法可求得抛物线的解析式．

（2）连接BC；交直线l于点D，根据抛物线对称轴的性质，点B与点A关于直线l对称，∴AD=BD．

∴AD+CD=BD+CD；由“两点之间，线段最短”的原理可知：D在直线BC上AD+CD最短，所以D是直线l与直线BC的交点；

设出直线BC的解析式为y=kx+b；可用待定系数法求得BC直线的解析式，故可求得BC与直线l的交点D的坐标．

（3）由（2）可知，当AD+CD最短时，D在直线BC上，由于已知A，B，C，D四点坐标，根据线段之间的长度，可以求出△ABD是直角三角形，即BC与圆相切．由于AB⊥l，故由垂径定理知及切线长定理知，另一点D与现在的点D关于x轴对称，所以另一点D的坐标为（1，-2）．【解析】【解答】解：

（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．（1分）

将（0；3）代入上式，得3=a（0+1）（0-3）．

解；得a=-1．（2分）∴抛物线的解析式为y=-（x+1）（x-3）．

即y=-x2+2x+3．（3分）

（2）连接BC；交直线l于点D．

∵点B与点A关于直线l对称；

∴AD=BD．（4分）

∴AD+CD=BD+CD=BC．

由“两点之间；线段最短”的原理可知：

此时AD+CD最小；点D的位置即为所求．（5分）

设直线BC的解析式为y=kx+b；

由直线BC过点（3；0），（0，3）；