2025年小学数学《几何》曲线型-扇形-5星题（含解析）全国版

几何-曲线型几何-扇形-5星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

扇形B1.了解扇形的特征和有关概念少考

2.能够通过圆的面积和周长公式推

导出扇形的面积和弧长公式

3.能够运用公式计算扇形的弧长、

面积和周长

知识提要

扇形

•概念

圆上两点之间的部分叫做弧。

扇形是指一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。

其中，圆的半径也称为扇形的半径，而两条半径所形成的夹角称为扇形的圆心角。

•公式

扇形的弧长=£x2nr

360

扇形的面积;公冗/

360

其中，n表示圆心角的度数

注意：扇形的弧长不是周长，扇形的周长还需要加上两条半径。

精选例题

扇形

1.先做一个边长为2czn的等边三角形，再以三个顶点为圆心，2cm为半径作弧，形成曲边三

角形（如下图）.再准备两个这样的图形，把一个固定住（下图中的阴影），另一个围绕着它

滚动，如下图那样，从顶点相接的状态下开始滚动.请问此图形滚动时经过的面积是多少平方

厘米？（TT«3.14）

【答案】25.12cm2

【分析】在处理图形的运动问题时，描绘出物体的运动轨迹是解决问题的第一步，只有大的

方向确定了，才能实施具体的计算.

D'

图3

在数学中，本题所作出的这个曲边三角形叫“莱洛三角形”，“莱洛三角形”有一个重要的性质就

是它在所有方向上的宽度都相同.

为了求出“莱洛三角形”滚动时经过的面积，可以分2步来思考：

第1步：如图⑵所示，当“莱洛三角形”从顶点4的上方滚动到顶点4的左边时，这时阴影“莱

洛三角形”滚动的这部分面积是以4为圆心、2cm为半径、圆心角为60。的扇形.在顶点4B、

C处各有这样的一个扇形；

第2步：如图⑶所示，当“莱洛三角形”在边48上滚动时，这时可以把阴影“莱洛三角形”看作

是以图⑶中。点为圆心的圆的一部分，这个圆在以C点为圆心的弧48上滚动，可知此时圆心

O运动的轨迹是图⑶中的弧。。'，所以此时阴影“莱洛三角形”滚动的这部分面积是以C为圆心、

4cm为半径、圆心角为60°的扇形减去半径为2cm的60°的扇形；

综上所述，去掉图⑷中阴影“莱洛三角形”后所形成的组合图形就是要求的面积.

滚动时经过的面积是：

/60\/60

3xhrx27ZX--+3XTTX472X—--TTX292X

\360/\360

=8TT

=25.12(cm2).

2.如图，直角三角形中，为直角，且BC=2厘米，AC=4厘米，则在将△4BC绕

C点顺时针旋转120。的过程中，48边扫过图形的面积是多少？(兀=3.14)

B

【答案】12.56平方厘米

【分析】如右上图所示，假设△ABC旋转120。到达△ABC的位置.阴影部分为4B边扫

过的图形.

从图中可以看出，阴影部分面积等于整个图形的总面积减去空白部分面积，而整个图形总面积

等于扇形ACA，的面积与△ABC的面积之和，空白部分面积等于扇形BC夕的面积与&ABC

的面积，由于△ABC的面积与445C的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形4a4'与扇

形BCB'的面积之差，为理X7TX42-辿x兀X22=4TT=12.56（平方厘米）.

3.如右图，正方形的边长为5厘米，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（兀=3.14）

【答案】7.125

【分析】观察可知阴影部分是被以4。为半径的扇形、以为直径的半圆形和对角线8。

分割出来的，分头求各小块阴影部分面积明显不是很方便，如果能求出左下边空白部分的面积,

就很容易求出阴影部分的面积了，再观察可以发现左下边空白部分的面积就等于三角形4B0

的面积减去扇形4DE的面积，那么思路就很清楚了.

因为4ADB=45°,

所以扇形ADE的面积为：哈;x兀xAZ"=券X3.14x52=9.8125（平方厘米），

那么左下边空白的面积为：|x5x5-9.8125=2.6875（平方厘米），

又因为半圆面积为：，X7TX（I）?=9.8125（平方厘米），

所以阴影部分面积为：9.8125-2.6875=7.125（平方厘米）.

4.一只狗被拴在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上（如图），绳长是4m,求狗所

能到的地方的总面积.（圆周率按3.14计算）

【答案】43.96m2

【分析】如图所示，狗活动的范围是一个半径4m,圆心角300。的扇形与两个半径1m,圆

心角120。的扇形之和.所以答案是43.96m2.

5.如图，是一个等腰直角三角形，直角边的长度是1米.现在以。点为圆心，把三角

形顺时针转90度，那么，4B边在旋转时所扫过的面积是平方米.（兀=3.14）

【答案】0.6775

【分析】如图，顺时针旋转后，A点沿弧A4'转到4'点，B点沿弧转到B，点，。点沿

弧DZT转到ZT点.因为是C点到48的最短线段，所以48扫过的面积就是图中的弧

4ZB与BOO2,之间的阴影图形.

S阴影=$半圆一S空白

S&ABC=S^BDC+S&AD，c=]X1X1=5（平方米）,

sAABC=S正方形4DCb=CD?=2（平方米），

所以，

JI7rlTT

s扇形（平方米），

我们推知

712

S阴影=2*8。—S扇形DCD,一（S^BDC+^/\ACD）

71711

=2~8~2

_3TC1

~~8~2

=0.6775

A68)

6.如图，边长为3的两个正方形BQKE、正方形DCFK并排放置，以BC为边向内侧作等边三

角形，分别以8、C为圆心，BK、CK为半径画弧.求阴影部分面积.（n=3.14）

【答案】8.58

【分析】根据题意可知扇形的半径r恰是正方形的对角线，所以

r2=32x2=18,

如上图将左边的阴影翻转右边阴影下部，

S阴影=S扇形一S柳叶

60x2/I

=--x181T—2（x18TC—3x3

360\4

=18-3K

=8.58.

7.面上有7个大小相同的圆，位置如图所示.如果每个圆的面积都是10,那么阴影部分的面

积是多少？（兀取3.14）

【答案】20

【分析】阴影包括中间的一个圆和周围六个花瓣状的小小图形.这个图形可以割补成一个顶

角为60。的扇形，如下图所示，因此六个这样的图形面积和正好是一个圆：阴影部分的面积等

于两个圆的面积，为20.

8.如图所示，ABC。是一边长为4cm的正方形，E是AD的中点，而尸是BC的中点.以C为

圆心、半径为4cm的四分之一圆的圆弧交EF于G,以F为圆心、半径为2cm的四分之一圆

的圆弧交EF于H点，若图中Si和£两块面积之差为根兀一"cm?）（其中租、n为正整数），

请问m+n之值为何？

3

【答案】11

【分析】（法1）SQFCDE=2x4=8cm2,S扇形8°D=[义兀x4?=4兀（cm?），

S扇形BFH=]x71X22=兀（cm2）,而

Si_§2=S扇形BCD-S扇形BFH-SDFCDE=4兀一兀-8=3兀-8（cm2）,

所以m=3,n=8,m+n=3+8=ll.

（法2）如右上图，S+Sj_=SBFEA—S扇形BFH=2X4—2x2x?r+4=8—7r（cm^）,

2

S+S2=SABCD-S扇形BCD=4X4-4X4X7T4-4=16-4TT（cm）,

所以，S]—S2—（8—兀）一（16—4兀）=37r—8（cm?）,故TH+M=3+8=11.

9.如图所示，直角三角形4BC的斜边4B长为10厘米，^ABC=60",此时BC长5厘米.以

点B为中心，将△4BC顺时针旋转120。，点4C分别到达点E、。的位置.求4c边扫过的

图形即图中阴影部分的面积.（兀取3）

【答案】75平方厘米

如图所示，将图形（1）移补到图形（2）的位置,

因为乙EBD=60°,那么乙ABE=120°,

则阴影部分为一圆环的:.

所以阴影部分面积为gxTTXG4B2—BC2）=75（平方厘米）.

10.如图，4BC0是一个长为4,宽为3,对角线长为5的正方形，它绕C点按顺时针方向旋转

90。，分别求出四边扫过图形的面积.

D

【答案】B*

DC\4n

AB'An

9IT

AD:——

4

【分析】容易发现，DC边和BC边旋转后扫过的图形都是以线段长度为半径的圆的%如图:

因此DC边扫过图形的面积为4n,BC边扫过图形的面积为v.

研究边的情况.

在整个4B边上，距离C点最近的点是B点，最远的点是A点，因此整条线段所扫过部分应

该介于这两个点所扫过弧线之间，见如图中阴影部分：

A

DCB,

下面来求这部分的面积.

观察图形可以发现，所求阴影部分的面积实际上是：

扇形ACA，面积+三角形A'B'C面积一三角形ABC面积一扇形BC夕面积=扇形ACA，面积一

扇形BCB，面积=空-卓=4m

研究边扫过的图形.

由于在整条线段上距离C点最远的点是A,最近的点是£>,所以我们可以画出