考点过关分层练习：空间点、直线、平面之间的位置关系 三数学一轮复习

空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩固组1.(多选)(2024云南昆明模拟)已知α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α∩β=l,A∈α且A∈β,则A∈lB.若A,B,C是平面α内不共线三点,A∈β,B∈β,则C∉βC.若直线a⊂α,直线b⊂β,则a与b为异面直线D.若A,B是两个不同的点,A∈α且B∈α,则直线AB⊂α2.如图,E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱A1D1与AA1的中点,则下列判断正确的是()A.直线AC与BF是相交直线B.直线C1E与AC互相平行C.直线C1E与BF是异面直线D.直线DB与AC互相垂直3.已知空间中不过同一点的三条直线l,m,n.则“l,m,n共面”是“l,m,n两两相交”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.在底面半径为1的圆柱OO1中,过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD,其中母线AB=2,E是弧BC的中点,F是AB的中点,则()A.AE=CF,AC与EF是共面直线B.AE≠CF,AC与EF是共面直线C.AE=CF,AC与EF是异面直线D.AE≠CF,AC与EF是异面直线5.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E是棱B1C1的中点,则平面AD1E截该正方体所得的截面面积为()A.42 B.22 C.4 D.96.在梯形ABCD中,AB∥CD,AB⊂平面α,CD⊄平面α,则直线CD与平面α内的任意一条直线m的位置关系是.

7.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C∉l,则平面ABC与平面β的交线是.

8.如图,点A在平面α外,△BCD在平面α内,E,F,G,H分别是线段BC,AB,AD,DC的中点.(1)求证:E,F,G,H四点在同一平面上;(2)若AC=6,BD=8,异面直线AC与BD所成的角为60°,求EG的长.综合提升组9.(多选)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论正确的是()A.A,M,O三点共线B.A,M,O,A1四点共面C.C1,O,C,M四点共面D.D,B1,O,M四点共面10.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,N为底面ABCD的中心,P为线段A1D1上的动点(不包括两个端点),M为线段AP的中点,则下列说法中正确的是()A.CM与PN是异面直线B.CM>PNC.平面PAN⊥平面BB1D1DD.过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形11.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4,点P,Q,R分别在棱DD1,AA1,CC1上,且D1P=AQ=CR=1,则以平面PQR截正方体所得截面为底面,A为顶点的棱锥的体积为.

12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上一点,F为棱AA1的中点,且CE=2C1E,AB=2,AA1=3,BC=4,则平面BEF截该长方体所得截面为边形,截面与侧面ADD1A1,侧面CDD1C1的交线长度之和为.

13.如图,平面ABEF⊥平面ABCD,四边形ABEF与ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,且BC=12AD,BE∥AF且BE=12AF,G,H分别为FA,FD(1)求证:四边形BCHG是平行四边形.(2)C,D,E,F四点是否共面?为什么?(3)证明:直线FE,AB,DC相交于一点.创新应用组14.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点K在棱A1B1上运动,过A,C,K三点作正方体的截面,若K为棱A1B1的中点,则截面面积为,若截面把正方体分成体积之比为2∶1的两部分,则A1KKB

1.ABD解析:对于A,因为A∈α且A∈β,则A是平面α和平面β的公共点,又因为α∩β=l,由基本事实3可得A∈l,故A正确;对于B,由基本事实1:过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面,又因为A∈β,B∈β且A,B,C∈α,则C∉β,故B正确;对于C,由于平面α和平面β位置不确定,则直线a与直线b位置亦不确定,可能异面、相交、平行、重合,故C错误;对于D,由基本事实2:如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内,故D正确.故选ABD.2.D解析:由题知,AC⊂平面ABCD,BF与平面ABCD交于点B,B∉AC,所以直线AC与BF是异面直线,故A错误;AC⊂平面ACC1A1,EC1与平面ACC1A1交于点C1,C1∉AC,所以直线C1E与AC是异面直线,故B错误;根据正方体性质EF∥AD1∥BC1,所以E,F,B,C1四点共面,所以直线C1E与BF不是异面直线,故C错误;正方体各个表面均为正方形,所以直线DB与AC互相垂直,故D正确.故选D.3.B解析:由条件可知,当m,n,l在同一平面内时,三条直线不一定两两相交,有可能两条直线平行;或三条直线平行;反过来,当空间中不过同一点的三条直线m,n,l两两相交时,如图,三个不同的交点确定一个平面,则m,n,l在同一平面内,所以“m,n,l”共面是“m,n,l两两相交”的必要不充分条件.故选B.4.D解析:如图,∵E是弧BC的中点,∴BE=CE=2,∵F是AB的中点,又AB=2,则BF=1,∴AE=AB2+BE∴AE≠CF;在△ABC中,O是BC的中点,F是AB的中点,∴OF∥AC,∴AC与OF是共面直线,若AC与EF是共面直线,则点E在平面OFAC上,显然矛盾,故AC与EF是异面直线,故选D.5.D解析:如图,设F是BB1的中点,又E是B1C1的中点,所以BC1∥EF.在正方体中,AD1∥BC1,所以AD1∥EF,所以A,D1,E,F在同一平面内,所以平面AD1E截该正方体所得的截面为平面AD1EF.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,所以EF=2,AD1=22,等腰梯形AD1EF的高为322,所以四边形AD1EF的面积S=(2+26.平行或异面解析:如图,由于ABCD是梯形,AB∥CD,所以AB与CD无公共点,又CD⊄平面α,所以CD与平面α无公共点.当m∥AB时,则m∥DC;当m与AB相交时,则m与DC异面.7.直线CD解析:由题意知,D∈l,l⊂β,所以D∈β.因为D∈AB,所以D∈平面ABC,所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC,C∈β,所以点C在平面β与平面ABC的交线上,所以平面ABC∩平面β=CD.8.(1)证明因为E,F,G,H分别是线段BC,AB,AD,DC的中点,所以FG∥BD,且FG=12BD,EH∥BD,且EH=12BD,故FG∥EH,且FG=EH.故四边形EFGH为平行四边形.故E,F,G,H(2)解由(1)知四边形EFGH为平行四边形,且FG=12BD=4,FE=12AC=3.又异面直线AC与BD所成的角为60°,故∠GFE=60°或120当∠GFE=60°时,EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos60°=25-12=13.此时EG=13;当∠GFE=120°时,EG2=FE2+FG2-2FE·FGcos120°=25+12=37.此时EG=37所以EG的长为139.ABC解析:平面AA1C∩平面AB1D1=AO,∵直线A1C交平面AB1D1于点M,∴M∈AO,即A,M,O三点共线;根据A,M,O三点共线,又A1A∩AO=A,∴A,M,O,A1四点共面;同理,C1,O,C,M四点共面;由题图知,OM,B1D是异面直线,故D,B1,O,M四点不共面.故选ABC.10.BCD解析:由题知,点C,N,A共线,即CN,PM交于点A,所以A,N,C,P,M共面,因此CM,PN共面,故A错误;记∠PAC=θ,则PN2=AP2+AN2-2AP·ANcosθ=AP2+14AC2-AP·ACcosθ,CM2=AC2+AM2-2AC·AMcosθ=AC2+14AP2-AP·ACcosθ,又CM2-PN2=34(AC2-AP2)>0,CM2>PN2,即CM>PN,故B正确在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AN⊥BD,BB1⊥平面ABCD,则BB1⊥AN,BB1∩BD=B,可得AN⊥平面BB1D1D,AN⊂平面PAN,从而可得平面PAN⊥平面BB1D1D,故C正确;设过P,A,C三点的正方体的截面与C1D1相交于点Q,则AC∥PQ,且PQ<AC,因此过P,A,C三点的正方体的截面一定是等腰梯形,故D正确,故选BCD.11.143解析:如图,延长PQ交DA的延长线于点M,延长PR交DC的延长线于点N,连接MN交AB于点E,交BC于点F,连接QE,RF,AR,AF,AC,则平面PQEFR即为平面PQR∵D1P=AQ=1,则DP=3,又∵AQ∥DP,∴MAMD=AQDP,即同理可得CN=2,则DN=DC+CN=4+2=6,MD=6,∵AE∥DN,∴MAMD=AEDN=13,又DN∴VP-DMN=13·PD·S△DMN=13×3×12×6×6=18,VQ-AME=13·AQ·S△AME=13×1×12×2VR-AFC=13·CR·S△ACF=13×1×12VA-PRCD=13·AD·SPRCD=13×4×12×(1+VA-QEFRP=VP-DMN-2VQ-AME-VR-AFC-VA-PRCD=18-2×12.五10+956解析:如图,设平面BEF与棱C1D1,A1D1分别交于G,H,则截面为五边形易知BF∥EG,BE∥FH,则∠ABF=∠EGC1,∠CBE=∠A1HF,∴C1EC1G=AFAB=322∴C1G=43,A1H=3.则FH=9+94=352,13.(1)证明因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH∥AD,且GH=12AD又BC∥AD,且BC=12AD故GH∥BC,且GH=BC,所以四边形BCHG是平行四边形.(2)解C,D,E,F四点共面.理由如下:由BE∥AF且BE=12AF,G是FA的中点可知,BE∥GF且BE=GF所以四边形EFGB是平行四边形,所以EFBG.由(1)知BGCH,所以EFCH,所以四边形ECHF为平行四边形,所以EC∥FH,故EC,FH共面.又点D在直线FH上,所以C,D,E,F四点共面.(3)证明由(2)可知,EC∥DF,且EC≠DF,所以四边形ECDF为梯形.所以FE,DC交于一点.设FE∩DC=M.因为M∈FE,FE⊂平面ABEF,所以M∈平面ABEF.同理M∈平面ABCD.又平面ABEF∩平面ABCD=AB,所以点M在AB的延长线上,所以直线FE,AB,DC相交于一点.14.985-12解析:取B1C1的