福建省部分质高中2024-2025学年高三下学期2月质量检测数学试题含答案

（在此卷上答题无效）2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高中毕业班2月质量检测数学试卷（完卷时间：120分钟；满分：150分）温馨提示：请将所有答案填写到答题卡上！请不要错位、越界答题！选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知向量若，则m等于（

）A． B． C． D．3．已知圆柱和圆锥的底面半径及高均相等，且圆锥侧面展开图为一个半圆，则该圆柱和圆锥的侧面积的比值为（

）A．2 B． C．3 D．4．已知正项等差数列满足，且是与的等比中项，则（

）A．3 B．6 C．9 D．125．已知，且，则（

）A． B． C． D．6．生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的生态系统造成危害的现象，若某入侵物种的个体平均繁殖数量为，一年四季均可繁殖，繁殖间隔为相邻两代间繁殖所需要的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型为常数）来描述该物种累计繁殖数量n与入侵时间K（单位：天）之间的对应关系，且，在物种入侵初期，基于现有数据得出，据此估计该物种累计繁殖数量是初始累计繁殖数量的8倍所需要的时间为（

）天，（结果保留一位小数，参考数据：）A． B． C． D．197．已知直线与直线交于点，点关于直线对称的点为，则的取值范围是（

）A．B．C．D．8．已知的部分图象如下图，点x0≠0是图象上一点，则（

）A．函数在上单调递增B．函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于轴对称C．若，则D．若点处的切线经过坐标原点，则二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9．已知虚数满足，则（

）A．的实部为B．的虚部为C．D．在复平面内对应的点在第三象限2024202510．离散型随机变量的分布列如右表所示，是非零实数，则下列说法正确的是（

）A． B．服从两点分布C． D．11．如图，△ABC中，，，是中点，是边上靠近的四等分点，将沿着翻折，使点到点处，得到四棱锥，则（

）A．到平面PMN的距离的最小值为B．存在点使得平面平面C．中点的运动轨迹长度为D．四棱锥外接球表面积的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知圆，试写出一个半径为1，且与轴和圆都相切的圆的标准方程：.13．若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率为.14．甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号的卡片各1张，两人轮流从中不放回的随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于12或者所有卡片被抽完时，游戏结束.若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知数列是公差大于1的等差数列，，且成等比数列，若数列前n项和为，并满足.（1）求数列，的通项公式.（2）若，求数列前n项的和.16．（15分）已知锐角△ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（1）求A的值．（2）若，求△ABC周长的取值范围．17．（15分）如图，三棱柱中，，，，点M，N分别为AC，AB的中点，且，．（1）证明：平面ABC；（2）求平面与平面夹角的余弦值．18．（17分）椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.如果椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆：相似.（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆与椭圆的相似比为，设为上异于其左､右顶点，的一点.①当时，过分别作椭圆的两条切线，，切点分别为，，设直线，的斜率为，，证明：为定值；②当时，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，求的值.19．（17分）已知函数．（1）求曲线y=fx在点处的切线方程；（2）设gx=fx（ⅰ）求证：在区间0,+∞上有唯一的极值点；（ⅱ）设为在区间0,+∞上的零点，为在区间0,+∞上的极值点，比较与的大小，请说明理由．2024~2025学年第二学期福建省部分优质高中高中毕业班2月质量检测数学学科评分细则选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号12345678答案DADCBCDD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。题号91011答案ACDACDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．（答案不唯一）13．或（漏写答案不得分）14．（本题答案唯一）四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（13分）解：（1）设等差数列的公差为，由成等比数列，则，可得，由，则方程化简可得，解得，易知，所以首项为，公差为的等差数列的通项公式为.当时，，则，解得；当时，，可得，两边同时减，可得，由，则数列是以−2为首项，以为公比的等比数列，所以，可得.（2）由题意可得，，，两式相减可得，，解得.（15分）解：（1）因为，所以，即，由余弦定理，所以，又，所以；（2）由正弦定理得，∴，.∴在锐角△ABC中，，，又∵，∴，∴，综上可得，∴，∴∴△ABC周长的取值范围为.（15分）（1）证明：连接，因为，，则，可知，且点M，N分别为AC，AB的中点，则，∥，则，可知，又因为，则，可得，可知，且，平面，所以平面ABC.解：因为平面ABC，平面ABC，则，又因为，∥，则，且，平面，所以平面.以为坐标原点，分别为轴，平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，可得，设平面的法向量，则，令，则，可得，由平面可知：平面的法向量可以为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.（17分）（1）解：对于椭圆：，长轴长为，短轴长为，焦距为，椭圆：的长轴长为，短轴长为，焦距为，依题意可得，所以，则椭圆的离心率.（2）①证明：由相似比可知，，解得，所以椭圆：，设Px则直线的方程为，即，记，则的方程为，将其代入椭圆的方程，消去，得，因为直线与椭圆有且只有一个公共点，所以，即，将代入上式，整理得，同理可得，所以为关于的方程的两根，所以，又点Px0,所以，所以，为定值．②解：由相似比可知，，解得，所以椭圆：，其左、右顶点分别为，，恰好为椭圆的左、右焦点，设，易知直线、的斜率均存在且不为，所以，因为在椭圆上，所以，即，所以．设直线的斜率为，则直线的斜率为，所以直线的方程为，由，得，设，，则，，所以，同理可得，所以．19.（17分）（1）解：函数的定义域，，，，所以曲线在点处的切线方程，即.（2）（ⅰ）证明：，，令，则，因为，所以，所以，所以在区