2025年高考一轮复习第一次月考卷（测试范围：集合+不等式+函数）（解析版）

2025年高考一轮复习第一次月考卷01（测试范围：集合+不等式+函数）

（满分150分，考试用时120分钟）

一、选择题

1.已知集合4={#>。},B={x\Y<x<2\,且AUaB=R,则实数。的取值范围是（）

A.\^a\a<1}B,{a|a<l}C.\a\a>2^D.{a|o>2}

【答案】A

【分析】根据补集运算求出13,然后利用数轴分析可得.

【解析】因为2={邓<%42},所以％3={尤|彳41或x>2},

又=所以

故选：A

CRA|_____W

al2%

2.已知a,6eR,则“a>b"是"〃3>户"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.

【解析】因为函数y=V在定义域R上单调递增，

所以由。>6推得出03>层，故充分性成立；

由03>层推得出。>6,故必要性成立，

所以是"">方"的充要条件.

故选：C

3.下列不等式恒成立的是（）

A.x+—>2B.a+b>2-Jab

X

C.------->----------D.a2+b2>2ab

I2J2

【答案】D

【分析】根据不等式成立的条件依次判断各选项即可得答案.

【解析】解：对于A选项，当x<0时，不等式显然不成立，故错误；

对于B选项，a+622痣成立的条件为故错误；

对于C选项，当”时，不等式显然不成立，故错误；

对于D选项，由于4+6?-2a6=(a-b)2NO,+b2>lab>正确.

故选：D

4.已知函数/(x)=2V-oix+l在区间上单调递增，则/'⑴的取值范围是().

A.［7,+co)B.(7,+co)

C.(-8,7］D.(T»,7)

【答案】A

【分析】根据题意，结合二次函数的性质，求得解得机WT,再由『(1)=3-机，进而求得/■⑴的取值范围.

【解析】由函数/(力=2尤2一皿+1的对称轴是

因为函数在区间［-1,心)上是增函数，所以解得机WT,

又因为/(1)=3-机，因此3-〃亚7,所以"1)的取值范围是［7,内).

故选：A.

5.已知°=3。3,。=1吗3,CC贝b,c的大小关系为()

A.b<a<cB.b<c<aC.c<a<bD.a<c<b

【答案】B

【分析】由塞函数和对数函数的单调性即可得出答案.

【解析［H>jO=log4l<Z>=log43<log44=l,

c=f=2°3>I,。=3°3>1,

因为y=在(0,+8)上单调递增，

所以2。.3<3。3,所以bvcs

故选：B.

6.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量

达到20〜79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，

其血液中的酒精含量上升到了0.6mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度

减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？()(结果取整数，参考数据：1g3no.48,lg7no.85)

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】设经过x个小时才能驾驶，贝10.6x100x(1-30%)“<20,再根据指数函数的性质及对数的运算计算

可得.

【解析】设经过x个小时才能驾驶，贝10.6x100x(1-30%)，<20即0.7'<；.

11

由于y=0.7，在定义域上单调递减，%>1OCT1=_lg—g3_-048_0-48：

So-731g0.7lg7-l0.85-10.15'

他至少经过4小时才能驾驶.

故选：D.

7.已知。>0,beR,若x>0时，关于x的不等式3-2)y+法一4)20恒成立，则的最小值为()

A.2B.26C.4D.3亚

【答案】C

22

【分析】注意到原题条件等价于当0<工工一时，/+法—400恒成立，当—时，/+法—420恒成立，

aa

故当x=一时，、=炉+"_4=0,从而得力=2〃-一，由此结合基本不等式即可求解.

aa

【解析】设丁=公一2(%>0),y=x2+Z?x-4(x>0),

2

因为a>0,所以当0<%<—时，y=ax-2<0；

a

2

当x=_时，y=ax-2=0；

a

2

当力,一时，y=ax-2>0；

a

由不等式3-吁+…”。恒成立,得日屋。或｛m，

2

即当0<x<一时，/+法―440恒成立，

a

2

当xN—时，—420恒成立，

a

2

所以当％=—时，y=x2+bx-4=0

af

4lb2

贝-+——4=0,即b=2a——,

aaa

4o49/52

则当〃>0时，b+—=2a---t--=2a+—>2.2ax—=4,当且仅当2a=—,即a=1时等号成立，

aaaa\aa

4

故人+一的最小值为4.

a

故选：C.

lg(-x),x<0

8.已知函数/(x)=1-|x-1|,06<2的图象在区间(-M«>0)内恰好有5对关于>轴对称的点，则/的值

/(x-2),x>2

可以是()

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

/、f1—lx—l|,0Wx<2,、/、/、

【分析】令g(x)=Jc、°,a(x)=lgx,根据对称性，问题可以转化为利(x)与g(x)的图象在

(0,/)。>0)内有5个不同的交点，画出函数图象，数形结合即可判断.

【解析】令g(x)=[g(x-2),壮2“(')=­

因为〃?(x)=1gx与y=1g(-x)的图象关于，轴对称，

1g(-尤)，尤<0

因为函数〃尤)=的图象在区间(-J)(/>0)内恰好有5对关于y轴对称的点，

/(^-2),X>2

/、/\1—lx—,0Vx<2,、

所以问题转化为m(x)=lgx与g(x)=jg(；_2x>2的图象在(°J)C>°)内有5个不同的交点，

在同一平面直角坐标系中画出m(x)=lgx与g(x)=/c、c的图象如下所示：

因为以(10)=lgl0=L当x>10时g(l)=g(3)=g(5)=g(7)=g(9)=g(H)=l,

结合图象及选项可得，的值可以是6,其他值均不符合要求,.

故选：c

斗

y=g(x)y=m(x)

°尸123456789101112：

1—lx—11,0^x<2,、

【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为Mx)=lgx与g(x)=g(%-2)r>2的图象在(°，')”>°)内有5

个不同的交点.

二、多选题

9.下列选项正确的是()

A.命题“玄>0,炉+龙+120”的否定是VXM0,X2+X+L<0

B.满足{1}="1{1,2,3}的集合M的个数为4

C.已知x=lg3,y=lg5,则lg45=2x+y

D.已知指数函数"x)="(a>0且"1)的图象过点(2,4),则log.血=1

【答案】BC

【分析】利用特称命题的否定形式可判定A；利用集合的基本关系可判定B；利用对数的运算可判定C；利

用指数函数的性质可判定D.

【解析】对于A,根据特称命题的否定形式可知命题"会>0,炉+》+120”的否定

是“\/%>0,了2+尤+1<0",故A错误；

对于B,由集合的基本关系可知满足{1仁河U{1,2,3}的集合M可以

为也,{1,2},{1,3},{1,2,3},故B正确;

对于C由Ig45=lg9+lg5=21g3+lg5=2x+y,故C正确；

对于D,由题意可知Y=4na=2,所以log“血=182应=；,故D错误.

故选：BC

10.已知/+462+2a6=l,贝U()

A.他的最大值为J

B.4+4/的最小值为

O

C.4+452的最大值为2D.的最小值为-g

【答案】AC

【分析】借助基本不等式逐项判断即可得.

【解析】对A：由"+4/2，得4+4/+2QZ?26QZ?,所以

6

当且仅当a=26时取等号，故A正确；

7

对B：由2〃/=〃・2万工"丁，得6+4/+2"丁3(〃+4))，

22

所以/+4廿之(，当且仅当a=2)时取等号，故B错误；

对C：由2加.32,2+4.2,得/+412+2"工+4",

22

所以4+4〃<2,当且仅当〃=-2》时取等号，故C正确；

对D：由a?+4Z?2>—4ab，得片+4Z?2+2ab>—lab，

所以就1g,当且仅当。=-助时取等号，故D错误.

故选：AC.

11.若函数〃无)是定义域为R的奇函数，且〃x+2)=-〃x),/(1)=1,则下列说法正确的是()

A.〃3)=—1B.〃尤)的图象关于点(2,0)中心对称

C.〃尤)的图象关于直线x=l对称D./(1)+/(2)+/(3)+-+/(2023)+/(2024)=1

【答案】ABC

【分析】对于A：根据/(x+2)=-/(x),赋值令x=l,即可得结果；对于C：根据/(%+2)=-/(力结合奇

函数定义可得〃x+2)=〃-x),即可得结果；对于B：根据选项B中结论分析可得〃x+2)+〃-x+2)=0,

即可得结果；对于D：分析可知：4为了(尤)的周期，结合周期性分析求解.

【解析】因为/(x+2)=—/(x),41)=1,

对于选项A：令x=l,可得/(3)=-/(1)=一1,故A正确；

对于选项C：因为函数“X)是定义域为R的奇函数，则〃对=-〃-x),

则〃x+2)=-〃x)=〃-x),所以〃尤)的图象关于直线x=l对称，故C正确;

对于选项B：因为〃x+2)=〃r),可得〃T+2)=〃X),

贝！J仆+2)==_〃f+2),

即〃尤+2)+〃T+2)=0,所以〃x)的图象关于点(2,0)中心对称，故B正确；

对于选项D：因为/(x+2)+/(—x+2)=0,

令x=0,可得20(2)=0J(2)=〃0)=0,

令x=l,可得〃3)+〃1)=0,

又因为/(x+2)=—/(x),则〃x+4)=-/(x+2)"(x),

可知4为的周期，可得4(2)+/⑷=0,即〃1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,

因为2024=4x506,所以〃1)+〃2)+/(3)+…+〃2023)+/(2024)=0,故D错误；

故选：ABC.

【点睛】方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中

根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题.

三、填空题

12.函数，=1。殳产的定义域是.

L-X

【答案】(一1,1)

1-I-Y

【分析】根据已知，可得詈＞0,解出不等式即可得到结果.

1-X

【解析】要使函数、=1。&=有意义，则应满足手＞0,即二＜0

1-X1-xx-1

该不等式等价于(X—l)(x+l)＜0,解得

所以，函数＞=1。&g的定义域是(-M).

故答案为：(-1,1).

13.已知集合A=卜eNg＜3用＜27；,8={x|d-3x+〃?=0},若1e8,则AoB的子集的个数为

【答案】8

【分析】由leAQB求得机=2,求得集合进而求得结合元素个数可得结果.

【解析】由可知，贝！JlwB,可得1一3+加=0,解得：m=2,

所以3={H%2_3元+2=0}={%|（%_1）（无_2）=0},即3={1,2}.

3

4=卜€吗<3工”<27]={xeNH<3的<3}={xeN|-2<x<2}={0,l}7

所以Au8={0,1,2},则AuB的子集的个数为23=8.

故答案为：8

14.已知函数〃司=1呜（2,+3，）,g（x）=log3（6*-2）给出下列四个结论:

②存在不«0,1),使得〃%)=8(%0)=毛；

③对于任意的xe(l,E),都有/(x)<g(x)；

@|l-/(l)|<|g(l)-l|.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】②③④

【分析】

构造函数，根据函数的单调性可判断各选项.

【解析】

6），ffl!log（^+^）-1=log^+-^j,

对于①，/Qpog6（72+66

（方2卜邛。。，故专十言第I'故1砥（0+西-]>。，

故lOg6（3+0）>—.

gg]=10g3（C-虚），而1Og3（"一行）-；=log3A/2-^|J,

K后回154

而WQT一3一百<0,故log3（"-夜）<g,故/

故①错误.

对于②，设〃(x)=/(x)一X=log6(：+《J,

因为y=3，y=：在R均为减函数，故刀⑺为R上的减函数，

W/<0)=log62>0,/i(l)=log6f<0,故/7(x)为(0,1)上存在唯一零点%,

O

且/2(5)=/(5)一%=0即2X°+3%=6'°即3Ao=6"-2而,

故log3(6瓦-2而)=%,所以g(9)一%=0,

故存在工«0,1),使得/(蜀)=g(>)=,局.故②正确.

对于③，由②的分析可得g)=〃"-1086悖+1|在(1,+8)上为减函数，

故〃(尤)</1(1)=log6[<0即<(x)<x恒成立.

设s(x)=g(尤)一元=log3,

同理可得s(x)为(1,+oo)上的增函数，故s(x)>s⑴=1083：>0,故g(x)>x,

对于④，由〃l)=log65<l,g(l)=log34>l,

所以|1-〃1)|=1嗝'|<1咋6：<1。83〉^1)-1|，④正确；

故答案为：②③④.

【点睛】

函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看

似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能

起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，

这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多

问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

四、解答题

15.计算：

2

0.5

(1)12-I+0.r2+|2103-3兀。+卫

92748

91

(2)log23.log34+(lg5)-+lg5,lg20+-lgl6-2.

【答案】⑴100

(2)1

【分析】（1）根据指数基的运算法则直接化简求解即可;

（2）根据对数运算法则直接化简求解即可.

22

0.5z

2103_3兀°+卫二竺¥+*27丫

【解析】（1）I+o,r+264J

27489

5937

=-+100+——3+——=3+97=100.

31648

2g23

(2)Iog23-log34+(lg5)+lg5-lg20+-lgl6-2'°=^|-^1+lg5.(lg5+lg20)+21g2-3

21g21g3

=2+lg5」gl00+21g2—3=2+2(lg5+lg2)-3=2+2-3=1.

16.己知集合4={讨x2+x-6<o1,B={x|l-m<x<2m+3}.

⑴若408=4,求实数"z的取值范围；

⑵若"xeA"是"xe3"的必要不充分条件，求实数机的取值范围.

【答案】⑴[4,小）；

（r

（2）we.

【分析】（1）依题先求出A集合，再判断A、3集合的包含关系，即可得

（2）先判断出5是A的真子集，再考虑8是否为空集两种情况考虑

【解析】（1）由题意知4={刃一3<》<2},

因为4口2=4,所以4=3,

[1—77ZW—3「、

则2〃?+3>2,解得加？4,则实数机的取值范围是[4,内）；

（2）因为"xwA"是的必要不充分条件，所以B是A的真子集，

2

当5=0时，1一机22m+3解得机《—；

3

1-m>-3

21

当BW0时,,2m+3<2(等号不能同时取得)，解得一§〈加工―2,

1-m<2m+3

综上，me［一℃,一；.

17.已知函数〃x)=1g+a,且〃Ig2)+〃lg5)=3.

⑴求a的值；

(2)当时，〃尤)24*+机恒成立，求机的取值范围.

【答案】(1)1

⑵1

【分析】(1)根据/■(x)+/(l-x)=l+2a,即可由对数运算代入求解.

(2)根据一元二次不等式与二次函数的性质即可求解.

【解析】(1)因为〃x)=4g+a,

4X4X4

所以〃x)+/(l-x)=---------FQH---：-----F。=------1-------------+2a=1+2〃,

4x+24修+24"+24+2x4”

因为Ig2+lg5=l,所以/(lg2)+=(lg5)=l+2a=3,

贝lja=1.

(2)由⑴可知，〃力24'+机等价于(叫2+m4+2m-240.

令r=4",贝！pe：,4,

原不等式等价于r+7加+2%-2W0在；4上恒成立，

_4_

,—+—m+2m-2<0,7

则《164,解A得加4一鼻，

16+4m+2m—2<0

故机的取值范围为「肛-§.

18.随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等因素的影响，

医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势.宁波医疗公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术

生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为300万元,最大产能为80台.每生产x台，需另投入成本G(x)万

2x2+80x,0<x<40

元，且(

G%)=<20b+七四-2100,40〈龙480由市场调研知，该产品的售价为200万元，且全年内生产的

X

该产品当年能全部销售完.

⑴写出年利润W(x)万元关于年产量1台的函数解析式(利润二销售收入-成本);

⑵当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？

-+120%—300,0<%W40

【答案】⑴卬(1)=13600；

-x---------+1800,40<x<80

⑵年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.

【分析】(1)根据G(X)的解析式，结合已知条件，根据利润的计算公式，直接求解即可;

(2)根据(1)中所求的函数解析式，结合函数单调性和基本不等式，即可直接求得结果.

【解析】(1)由该产品的年固定成本为300万元，投入成本G(%)万元,

2x2+80x,0<x<40

且G(x)=<3600，

'7201x+--------2100,40<x<80

当0<xK40时，W(x)=200%—300—G(x)=—2x2+120x—300,

当40<xW80时，W(尤)=200尤一300—G(x)=-x—^^+1800

'-2尤2+120.r-300,0<x<40

所以利润W(x)万元关于年产量x台的函数解析式W(x)=塑+]80040<]<80，

(2)当0<x<40时，]=30最大，最大值为1500；

当40<xW80时,W(x)=-[x+%^)+180041800一2口1^=1680,

当且仅当》=侬时，即x=60时等号成立，

X

综上可得，年产量为60台时，公司所获利润最大，最大利润为1680万元.

19.已知函数/(X)和g(x)的定义域分别为。和口，若对任意的修€2都存在"个不同的实数

x1,x2,x3,--xn^D2,使得g(x,)=/(%)(其中i=l,2,3,…”,〃eN+),则称g(x)为/(X)的"及重覆盖函数”.

⑴试判断g(x)=N(-2VxV2)是否为/(x)=l+sinx(xeR)的“2重覆盖函数”？请说明理由;

(2)求证：g(x)=cos尤(0<x<4%)是/(x)=3(xeR)的"4重覆盖函数”；

⑶若g(x)=k"+为/(x)=logi1r二的"2重覆盖函数"，求实数。的取值范围.

|^log2x,x>l万2+1

【答案】(l)g(x)不是“X)的"2重覆盖函数"理由见解析；

(2)证明见解析；

⑶°4-

【分析】(1)：根据两个函数的值域，结合偶函数的性质进行判断即；

(2)：可根据两个函数的值域，结合余弦函数的周期性进行判断即可；

(3)：将题转化为对任意0<左<1,g(x)=上有2个实根，根据g(无)的性质即可求解.

【解析】(1)由一IVsinxWl可知：0V/(x)<2,函数g(x)=|x|(—24x42)的图像如图所示:

、“3兀”3兀、..3兀八

当尤=三时，/(—)=l+siny=O,

当g(x)=W=O时，解得x=0,

所以g(x)不是Ax)的"2重覆盖函数"；

(2