2025年高考数学专项复习：立体几何初步-解析版

专题09立体几何初步

考情概览

命题解读考向考查统计

2022•新高考I卷，4

1.高考对立体几何初步的考查，重点是2023•新高考I卷，14

掌握基本空间图形及其简单组合体的2024•新高考I卷,5

柱、锥、台体的表面积与体积

概念和基本特征、解决多面体和球体的2022•新高考n卷，11

相关计算问题。同时需要关注异面直线2023•新高考n卷，9

的判定和成角问题、空间点线面的位置2023•新高考n卷，14

关系问题、夹角距离问题、截面问题。2022•新高考I卷，8

这些问题对考生的空间想象能力要求球的切接问题2023•新高考I卷,12

有所提升，需要考生有强大的逻辑推理2022•新高考n卷，7

能力。2022•新高考I卷，9

夹角问题

2024•新高考n卷，7

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查了圆柱、圆锥表面积、体积的综合应用，n卷考查了以棱台为背景的线面角

的求法，总的来说，基本立体图形的表面积和体积属于常考点，难度一般是较易和适中，掌握基本的公式

和提升计算能力比较重要。预计2025年高考还是主要考查基本立体图形的表面积和体积，可以多多关注台

体的表面积和体积计算。

试题精讲

一、单选题

1.（2024新高考I卷-5）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为内,则圆锥的体

积为（）

A.2百兀B.C.6A/3TID.96兀

【答案】B

【分析】设圆柱的底面半径为「，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径『的方程，求出解后可求圆锥的体

积.

【详解】设圆柱的底面半径为「，则圆锥的母线长为犷13，

而它们的侧面积相等，所以2兀rxG=wxj3+/即=43+户,

故厂=3,故圆锥的体积为9x9x6=37^71.

故选：B.

52

2.（2024新高考II卷-7）已知正三棱台NBC-44cl的体积为石，AB=6,44=2,则4/与平面/8C

所成角的正切值为（）

A.yB.IC.2D.3

【答案】B

【分析】解法一：根据台体的体积公式可得三棱台的高力=拽，做辅助线，结合正三棱台的结构特征求得

3

AM=喙，进而根据线面夹角的定义分析求解；解法二：将正三棱台/3C-44G补成正三棱锥

P-ABC,4/与平面ABC所成角即为"与平面ABC所成角，根据比例关系可得％皿=18,进而可求

正三棱锥尸-4BC的高，即可得结果.

【详解】解法一：分别取8C,8G的中点。㈤，贝!]40=36,4。=6,

可知LBC=gx6x6xt=9后邑=gx2xV^=百,

设正三棱台ABC-A4。的为h,

则叱BC一L+6+T^O7卜号,解得场=殍，

如图，分别过4,〃作底面垂线，垂足为M,N,设NM=x,

222

贝！=^AM+A1M=^X+y,DN=AD-AM-MN=1y/3-x,

22

可得即=^DN+DXN=J(2百-1,

结合等腰梯形8CC4可得阴2=［詈:+DD；,

即x2+y=(2V3-x「++4,解得片孚

所以4,与平面ABC所成角的正切值为tan"/。=小

解法二：将正三棱台ABC-4耳G补成正三棱锥P-ABC,

a

则4/与平面ABC所成角即为尸力与平面ABC所成角,

因哈H则二二:

可知匕6c一461G=Vp-ABC=,则^P-ABC=18,

设正三棱锥尸-48C的高为d,贝（/Bc=；/xgx6x6x[=18,解得"=26,

取底面ABC的中心为。，则尸底面ABC,且/。=26,

所以"与平面ABC所成角的正切值2尸/。=前=1.

故选：B.

近年真题精选

一、单选题

1.（2022新高考I卷-4）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已

知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为"O.Okn?；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为

180.0km2,将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时,

增加的水量约为（不合2.65）（）

A.1.0x109m3B.1.2xl09m3C.1.4xl09m3D.1.6xl09m3

【答案】C

【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出.

【详解】依题意可知棱台的高为MV=157.5-148.5=9（m）,所以增加的水量即为棱台的体积%.

棱台上底面积S=140,0km2=140xl06m2,下底面积S'=IgO.Okn?=180xl06m2,

.•p=L(s+s，+Vss7)=1x

31

=3x(320+60V7)xl06»(96+18x2.65)xl07=1.437xl09»1.4xl09(m3).

故选：C.

2.（2022新高考I卷—8）已知正四棱锥的侧棱长为/,其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36%，且

3W/W36,则该正四棱锥体积的取值范围是（）

1哈27812764

A.B.C.D.[18,27]

【答案】C

【分析】设正四棱锥的高为“，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四

棱锥体积的取值范围.

【详解】•.•球的体积为36万，所以球的半径R=3,

［方法一］:导数法

设正四棱锥的底面边长为2〃，高为3

贝!I/2=2/+,32=2a2+(3—h)2,

所以6〃=尸，2a2=I2—h2

所以正四棱锥的体积『=4S/z=:x4/*〃=Ux(/2-C)xg=41/4-J],

333366"36J

所以『二w/

当3V”2直时，r>0,当2"<”36时，V'<0,

所以当/=2而时，正四棱锥的体积「取最大值，最大值为半，

2721

又/=3时，,/=3百时，,

44

所以正四棱锥的体积厂的最小值为2一7，

所以该正四棱锥体积的取值范围是y.y.

故选：C.

［方法二］:基本不等式法

——13

由方法一故所以展g/gge为一力2）〃=；02-（12-2?+刀+/7=,（当且仅当〃=4取至Q,

当它时,得”普，则…在赠**

当/=36时，球心在正四棱锥高线上，此时分=；+3=（

（。=¥=〃=¥，正四棱锥体积匕（平故该正四棱锥体积的取值范围是

2.2.723372243

3.（2022新高考n卷•7）已知正三棱台的高为1,上、下底面边长分别为36和46,其顶点都在同一球面

上，则该球的表面积为（）

A.IOOTCB.1287rC.1447tD.192兀

【答案】A

【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径大力再根据球心距，圆面半径，以及球的半

径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积.

【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径自大所以24=2叵,2々=业即4=3,2=4,设球心

1sin6002sin60°

2

到上下底面的距离分别为4,W，球的半径为&,所以4=依-9,d2=NR76，故L-&I=1或4+%=1，

即=？-历叫=1或京工+质二a=1,解得笈=25符合题意，所以球的表面积为

5=47tT?2=1007t.

故选：A.

二、多选题

4.（2022新高考I卷9）己知正方体/BCD-44G2，贝!1（）

A.直线2G与所成的角为90。B.直线2G与C4所成的角为90。

C.直线8G与平面88QQ所成的角为45°D.直线8G与平面/BCD所成的角为45°

【答案】ABD

【分析】数形结合，依次对所给选项进行判断即可.

【详解】如图，连接及C、BClf因为。4//8C，所以直线8G与耳C所成的角即为直线与。4所成的

角，

因为四边形3耳GC为正方形，则故直线8G与所成的角为90。，A正确；

连接4C,因为平面84£C,台^匚平面^耳。。，则44_L8G，

因为4月。聋。=乌，所以8G，平面4s。，

又4CU平面4BC,所以8GLC4,故B正确；

连接4C，设4G。42=。，连接30,

因为8瓦，平面4国4口,CQU平面4BCn,则C,01BXB,

因为BRCBIB=B],所以CQL平面B3QQ,

所以ZQBO为直线BC,与平面BB,D、D所成的角，

设正方体棱长为1,则GO=¥，BC、=亚,sinNG8O='=；,

所以，直线2G与平面33QQ所成的角为30。，故C错误;

因为平面“BCD，所以/G3C为直线8G与平面4BCD所成的角，易得/。2。=45。，故D正确.

故选：ABD

5.（2023新高考I卷•12）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度

忽略不计）内的有（）

A.直径为0.99m的球体

B.所有棱长均为1.4m的四面体

C.底面直径为0.01m,高为1.8m的圆柱体

D.底面直径为1.2m,高为0.01m的圆柱体

【答案】ABD

【分析】根据题意结合正方体的性质逐项分析判断.

【详解】对于选项A：因为0.99m<1m,即球体的直径小于正方体的棱长，

所以能够被整体放入正方体内，故A正确；

对于选项B：因为正方体的面对角线长为0m,且血>1.4,

所以能够被整体放入正方体内，故B正确；

对于选项C：因为正方体的体对角线长为e111,且公<1.8,

所以不能够被整体放入正方体内，故C不正确；

对于选项D：因为1.2m>1m,可知底面正方形不能包含圆柱的底面圆，

如图，过/G的中点。作设OEnNC=E,

可知/C=板,CO=1,4cl=y[3,OA=—,贝!ItanZCAQ=与=空,

2ACAO

1OE

即二万，解得。石=r如，

T4

故以"G为轴可能对称放置底面直径为1.2m圆柱，

若底面直径为1.2m的圆柱与正方体的上下底面均相切，设圆柱的底面圆心与正方体的下底面的切点为

M,

可知：ACxVOlM,OxM=0.6,贝！|tanNG4C=^^=整，

10.6A『广

即解得/。1=0.6收，

根据对称性可知圆柱的高为G-2X0.6亚~1.732-1.2x1.414=0,0352>0,01,

所以能够被整体放入正方体内，故D正确；故选：ABD.

6.(2022新高考II卷•“)如图，四边形/BCD为正方形，平面48C。，FB〃ED,AB=ED=2FB,记

三棱锥E-/CD,F-ABC,尸-/CE的体积分别为匕,％，匕，贝U()

C.匕=匕+匕D.2匕=3匕

【答案】CD

【分析】直接由体积公式计算匕匕，连接2。交/C于点连接四,9,由匕%一EFM计算出

匕，依次判断选项即可.

【详解】

111?4

设AB=ED=2FB=2a,因为EDJ_平面/BCD,FB\\ED,则匕=屋2。5・（2。）一=1",

%=；EBS"c=：a,（（2a）2=ga3,连接50交/C于点“，连接应易得BDL4C,

又££>_1平面48CD,/Cu平面48CD,则E£>_L/C,又ED^BD=D,ED,BDu平面BDEF,贝!J/C_L

平面瓦历尸，

又BM=DM=；BD=4ia,过尸作bGLQE于G,易得四边形5QG厂为矩形，贝！）

FG=BD=2y[ia,EG=a,

贝!IEM=Q（2a）2=y[6a,FM=^a2+^y/2a^=yl^a,EF=Jq:+（2V^q）=3a,

ioR

2222

EM+FM=EF,则EMLFA/,S^EFM=-EM-FM=^a,AC=2也a,

则匕=匕.跳M+七一EFM=g/OSaEkM=2/,贝！|2匕=3匕，匕=3匕，匕=匕+匕，故A、B错误；C、D正

确.

故选：CD.

7.（2023新高考II卷-9）已知圆锥的顶点为尸，底面圆心为。，48为底面直径，ZAPB=120°,PA=2,

点C在底面圆周上，且二面角尸-/C-。为45。，贝U（）.

A.该圆锥的体积为兀B.该圆锥的侧面积为46兀

C.AC=242D.△尸/C的面积为G

【答案】AC

【分析】根据圆锥的体积、侧面积判断A、B选项的正确性，利用二面角的知识判断C、D选项的正确性.

【详解】依题意，ZAPB=120°,PA=2,所以。P=1,CM=O8=G，

A选项，圆锥的体积为g*兀x（g）xl=7t,A选项正确；

B选项，圆锥的侧面积为兀x君x2=2g兀，B选项错误；

C选项，设。是4C的中点，连接。。,心，

则AC1OD,AC1PD,所以NPDO是二面角P-AC-0的平面角，

则NP0O=45。，所以OP=OD=1,

故40=。。=万斤=亚，则NC=2亚，C选项正确；

D选项，PD=82+F=&，所以邑P/C=gx2亚x亚=2,D选项错误.故选：AC.

三、填空题

8.（2023新高考I卷-14）在正四棱台中，48=2,4片=1,04]=友，则该棱台的体积

为.

【答案】巫

6

【分析】结合图像，依次求得4。”/。，4M，从而利用棱台的体积公式即可得解.

【详解】如图，过4作垂足为“，易知4M为四棱台43。-48cA的高，

贝!14。[=<4G=gxVL44===收，

故/A/=；（/C_4G）=争贝U4Ml4A?_AM。=,_g=乎,

所以所求体积为展L（4+1+G）X"=W1.故答案为：巫.

3266

9.（2023新高考n卷-14）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2,

高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为.

【答案】28

【分析】方法一：割补法，根据正四棱锥的几何性质以及棱锥体积公式求得正确答案；方法二：根据台体

的体积公式直接运算求解.

【详解】方法一：由于彳=：，而截去的正四棱锥的高为3,所以原正四棱锥的高为6,

42

所以正四棱锥的体积为:x（4x4）x6=32,截去的正四棱锥的体积为gx（2x2）x3=4,

所以棱台的体积为32-4=28.

方法二：棱台的体积为gx3x（16+4+传%）=28.故答案为：28.

必备知识速记

一、棱柱、棱锥、棱台

1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面

所围成的多面体叫做棱柱.

（1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱；

（2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱；

（3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱；

（4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱；

（5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体；

（6）长方体：底面是矩形的直平行六面体；

（7）正方体：棱长都相等的长方体.

2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱

锥.

（1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心；

（2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥.

3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台

叫做正棱台.

简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示.

正

四

棱柱棱

柱

凸

多

面

体

二、圆柱、圆锥、圆台、球、组合体

1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱.

2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆

锥.

3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台.

4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离:

经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）.

5、由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体.

三、表面积与体积计算公式

1、表面积公式

S1Mti=ch+2S&

柱体隗的=c7+2染(c,为直截面周长)

=1nr~+2nrl=2/rr(r+Z)

12"

品稼隹+S底

锥体

,傩=乃/+万〃=万厂（厂+/）

表4

面a]

积

s正棱台=~n(a+储)。+s上+s下

台体

S圆台=»(/2+r2+r'l+rl)

球

S=4兀N©

2、体积公式

柱体4=ShI

体J

积

嘘；

锥体=Sk/\

四、空间几何体的直观图

1、斜二测画法

斜二测画法的主要步骤如下：

（1）建立直角坐标系.在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的Ox,Oy,建立直角坐标系.

（2）画出斜坐标系.在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观

图中画成平行于。'x',O'y',使/x'。y=45°（或135°）,它们确定的平面表示水平平面.

（3）画出对应图形.在已知图形平行于x轴的线段，在直观图中画成平行于x'轴的线段，且长度保持不变；

在已知图形平行于〉轴的线段，在直观图中画成平行于了轴，且长度变为原来的一般.可简化为“横不变,

纵减半”.

（4）擦去辅助线.图画好后，要擦去x'轴、V轴及为画图添加的辅助线（虚线）.被挡住的棱画虚线.

注：直观图和平面图形的面积比为也:4.

五、四个基本事实

基本事实1:如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内.

注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法

基本事实2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.

注意：（1）此公理是确定一个平面的依据；（2）此公理是判定若干点共面的依据

推论①：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面；

注意：（1）此推论是判定若干条直线共面的依据

（2）此推论是判定若干平面重合的依据

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

推论②：经过两条相交直线，有且只有一个平面；

推论③：经过两条平行直线，有且只有一个平面；

基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线.

注意：（1）此公理是判定两个平面相交的依据

（2）此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）

（3）此推论是判定几何图形是平面图形的依据

基本事实4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

六、直线与直线的位置关系

位置关系相交（共面）平行（共面）异面

图形/X7二

符号aC]b=Pa\\bap\a=A,b(^a,A^b

公共点个数100

特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一

个平面内

七、直线与平面的位置关系

位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）

图形

zLV

符号1ua/na=尸1\\a

公共点个数无数个10

八、平面与，F面的位置关系

位置关系平行相交（但不垂直）垂直

图形/7a

k_LJ

符号aIIPan/二/a工0,a[\p-I

公共点个数0无数个公共点且都在唯无数个公共点且都在唯一

一的一条直线上的一条直线上

九、等角定理

1、定义：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

十、直线和平面平行

1、定义

直线与平面没有公共点，则称此直线/与平面a平行，记作/IIa

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果平面外的一条直线和这个平

l//lx

线II线=>线面内的一条直线平行，那么这条直I】ua>n/〃a

II面线和这个平面平行（简记为“线线IQLa

平行=>线面平行

如果两个平面平行，那么在一个平

>na//0

面1面n线面内的所有直线都平行于另一个aua)

II面平面

3、性质定强!（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果一条直线和一个1//a

平面平行，经过这条lup〃/'

线II面n线II线直线的平面和这个平JlaV\/3—I'

面相交，那么这条直

线就和交线平行

H^一、两个平面平行

1、定义

没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面a和4,若分=。，则aII，

2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理如果一个平面内有两条相

线II面n交的直线都平行于另一个B，b//j3^a//j3

//

面II面平面，那么这两个平面平行

（简记为'线面平行n面面

平行

线_L面=>如果两个平面同垂直于一I.La

,aII夕

面II面条直线，那么这两个平面平

行三

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

如果两个平面平行，那么

面〃面=>/a/

在一个平面中的所有直all，

线〃面>na//用

线都平行于另外一个平aua

面//

如果两个平行平面同时

和第三个平面相交，那么“/aiIp]

性质定理他们的交线平行（简记为aC\y=a//b.

“面面平行=>线面平

行”）

如果两个平面中有一个

面〃面=>垂直于一条直线，那么另all'

=11B

线面一个平面也垂直于这条I.La

直线/1/

十二、直线与平面垂直

1、直线与平面垂直的定义

如果一条直线和这个平面内的任意一条直线都垂直，那称这条直线和这个平面相互垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平

1a,bua

面内的两条相交直aLI

判断定理>=/_La

线都垂直，则该直b-Ll

acb=P

线与此平面垂直V

两个平面垂直，则

a

在一个平面内垂直ac。=a

面，面=线1面>=b_La

于交线的直线与另bu/3

XbLa

一个平面垂直

一条直线与两平行

平面中的一个平面alIB}

平行与垂直的关系/}=>a_L分

垂直，则该直线与aLa]

另一个平面也垂直

两平行直线中有一gb

条与平面垂直，则a//b]

平行与垂直的关系

另一条直线与该平Q_Laj

面也垂直

3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

_(7b

垂直于同一平面的两aLa\

性质定理\=a1lb

条直线平行bLa\

文字语言图形语言符号语言

垂直于同一直线a-La]

垂直与平行的关系7

的两个平面平行7aLf3\

如果一条直线垂

直于一个平面，则

线垂直于面的性质I_La,auan/_LQ

该直线与平面内7

所有直线都垂直Z二

十三、平面与平面垂直

1、平面与平面垂直的定义

如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂

直.（如图所示，若ac°=CD,CD工y,且acy=AB,0cy=BE,AB工BE,则a_L/）

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.

2、判定定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

判定定理一个平面过另一bLa

>na[{3

个平面的垂线，则bu/3)

4—

这两个平面垂直

知识点6：性质定理（文字语言、图形语言、符号语言）

文字语言图形语言符号语言

性质定理两个平面垂直，则一aL(3

个平面内垂直于交ac/3=a

<>=b_La

bu(3

线的直线与另一个

二bLa

平面垂直7

十四、直线与平面所成的角

1、定义

①斜线和斜足：如图，一条直线/与一个平面a相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的

斜线，斜线和平面的交点/叫做斜足.

②斜线在平面上的射影：如图，过斜线上斜足以外的一点尸向平面a引垂线尸。，过垂足。和斜足力的

直线/O叫做斜线在这个平面上的射影.

③斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所

成的角.

①一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是0。.

②一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是90。.

③与平面相交且不垂直于此平面的直线和此平面所成的角。的范围是0。＜90°.

④直线与平面所成的角。的取值范围是0°&6W90。.

十五、二面角

1、二面角的定义

①半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常叫做半平面.

②二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的棱，这两个

半平面叫做二面角的面.

2、二面角的表示

①棱为面分别为a,£的二面角记作二面角a-48-//,如果棱记作/,那么这个二面角记作二面角a

-1-P，如图⑴.

②若在a,£内分别取不在棱上的点P,Q,这个二面角可记作二面角PN8-。，如果棱记作/,那么这

个二面角记作二面角尸-/-。，如图(2).

(1)(2)

3、二面角的平面角

①自然语言

在二面角a-//的棱/上任取一点。，以点。为垂足，在半平面a和£内分别作垂直于棱/的射线OA和

OB,则射线0A和0B构成的乙4。3叫做二面角的平面角.

②图形语言

③符号语言

aC\f3=l,OeZ,OACa,OBC(3,0A1.1,O_B_LZ^=>Z-1402叫做二面角a-/-或的平面角.

4、二面角大小的度量

①二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面

角是直角的二面角叫做直二面角.

②当二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小是0。；当二面角的两个半平面合成一个平面时，

规定二面角的大小是180。.所以二面角的平面角，,的范围是0。WaW180。.

名校模拟探源

一、单选题

71

I.(2024・重庆•三模)若圆锥的母线长为2,且母线与底面所成角为：，则该圆锥的侧面积为()

4

A.42nB.2兀C.2亚兀D.4兀

【答案】C

【分析】根据题意，求得圆锥底面圆的半径，结合圆锥的侧面积公式，即可求解.

【详解】圆锥的母线长为2,母线与底面所成角为丁，所以底面圆的半径为，=2sin：=夜，

44

所以该圆锥的侧面积为“="近x2=2&兀.

故选：C

2.（2024•河北秦皇岛•三模）已知加，”表示两条不同的直线，a表示平面，则（）

A.若加||«,n//a,则加〃"B.若机II。，m±n,贝！J〃_La

C.若洸_La,m±n,贝!|〃〃aD.若加_La,力ua,则

【答案】D

【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】若心11夕，n//a,则见〃可能平行，异面或者相交，故A错误；

若川|夕，mln,则"与a可能平行，可能相交，也可能〃ua,故B错误；

若小_La,m±n,则〃与a可能平行，也可能“ua,故C错误；

若加_La,"ua,由线面垂直的性质定理可知故D正确；

故选：D

3.（2024•新疆喀什•三模）已知底面边长为2的正四棱柱/BCD-44G。的体积为16,则直线/C与

所成角的余弦值为（）

A275RV5VH）n3厢

551010

【答案】C

【分析】如图，确定4cA（或其补角）为直线/C与48所成的角，求出CG,进而求解.

【详解】如图，连接N2，C2,则48//DC，取NC的中点。，连接。A，则

所以4cA（或其补角）为直线/C与43所成的角，

又正四棱柱的体积为16,则该棱柱的高为由=白=4,

又/C=皿=CD]=V42+22=2V5,

所以…W短号

即直线/C与42所成角的余弦值为多.

故选：C

4.（2024•山东潍坊•三模）某同学在劳动课上做了一个木制陀螺，该陀螺是由两个底面重合的圆锥组成.已

知该陀螺上、下两圆锥的体积之比为1:2,上圆锥的高与底面半径相等，则上、下两圆锥的母线长之比为

（）

A.巫B.yC.—D.巫

5225

【答案】A

【分析】由圆锥的体积公式及圆锥高、半径与母线的关系计算即可.

【详解】设上、下两圆锥的底面半径为厂，高分别为4,生,体积分别为几匕,

因为上圆锥的高与底面半径相等，所以4=厂,

V"4

%r1

贝U户十一元=5得，

2―兀尸2〃h2

32

上圆锥的母线为产叶=Vr2+r2=V2r,下圆锥的母线为J,+力；=Vr2+4r2=5,

所以上、下两圆锥的母线长之比为

故选：A.

5.（2024・陕西•三模）黄地绿彩云龙纹盘是收藏于中国国家博物馆的一件明代国宝级瓷器.该龙纹盘敞口,

弧壁，广底，圈足.器内施白釉，外壁以黄釉为地，刻云龙纹并填绿彩，美不胜收.黄地绿彩云龙纹盘可

近似看作是圆台和圆柱的组合体，其口径22.5cm,足径14.4cm,高3.8cm,其中底部圆柱高0.8cm,则黄

地绿彩云龙纹盘的侧面积约为（）（附：兀的值取3,725.402