2025年高考数学模拟卷（新高考Ⅰ卷专用）（解析版）

2025年高考数学全真模拟卷01（新高考I卷专用）

（考试时间：120分钟；满分：150分）

注意事项：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第n卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要

求的。

1.（5分）（2024•四川德阳•一模）设集合力={x\y=g集合B={%GZ|-2<%3<2},则集合力CB=

（）

A.[0,1]B.{0}C.[0,1）D.{0,1}

【解题思路】先求出集合4B,再根据交集的定义求解即可.

【解答过程】因为4=（x\y=怖}={x\x>0},8={xeZ|-2<炉<2}={-1,0,1},

所以={0,1}.

故选：D.

2.（5分）（2024•广东韶关•一模）若复数z满足zi=l+i,则z-Z=（）

A.1B.V2C.2D.4

【解题思路】方法1：根据复数除法运算求出z,然后共朝复数概念结合乘法运算可得；方法2：利用复数

模的性质求出|z|,然后由性质z-Z=|z『可得.

【解答过程】法1：因为zi=1+i,所以z=-y-=1—i,2=l+i,所以z-z—（1+i）（l—i）=2.

法2：因为zi=1+i,所以|zi|=|1+i|,即口=a,z•2=|z|2=2.

故选：C.

3.（5分）（2024•四川内江•一'模）已知两个向量2=（应,TH）,石=（-3,1）,且（H+5）10一刃），则m的

值为（）

A.±yB.土券C.±2V2D.±V2

【解题思路】根据向量垂直可得五2=京，再结合向量的坐标运算求解即可.

【解答过程】因为@+另)10一司，^ifa+b')-(a-6)=a2-b2=0,BPa2=b2,

又因为E=(VXni),b=(-3,1),则2+0?=9+i,解得爪=±2近.

故选：C.

4.(5分)(2024•贵州六盘水•模拟预测)已知sin(a—/?)cosa-cos(/?—a)sina=9则cos2£=()

A.--4B.--3C.74D.-7-

552525

【解题思路】根据给定条件，逆用差角的正弦公式求出sinS，再利用二倍角公式计算即得.

【解答过程】由sin(a—S)cosa—cosQff—a)sina=|,得sin(a—S)cosa—cos(a—0)sina=|,

则sin[(a-jff)-a]=I，即sin(_0)=|,-sin/?=|,解得sin/?=-1,

所以cos20=1—2sin2s=1—2x(—|)2=2

故选：C.

5.(5分)(2024咛夏吴忠•一模)已知48,C是球。的球面上的三个点，且乙4cB=120。,ZB=W,AC+BC=2.

若三棱锥。-4BC的体积是坐，则球。的体积为()

6

A.36TlB.24TlC.12TlD.8n

【解题思路】由正弦定理可得△ABC外接圆的半径，再由余弦定理结合锥体的体积公式可得三棱锥。-4BC

的高，即可得到球的半径，从而得到结果.

【解答过程】因为乙4cB=120°,AB=V3,

由正弦定理可得4力BC外接圆的半径r=-^―=1,

2sinl20

在△ABC中，由余弦定理可得=AC2+BC2_2AC-BC-cosl20。，

即3=AC2+BC2+AC-BC=(AC+BC)2-AC-BC,

所以AC•BC=(AC+BC?-3=22-3=1,

所以S448C=\AC-BC-sinl20°=苧，

又，0-4BCngSoBC,八==B，所以h=2a,

jJ40

则球。的半径R=Vr2+ft2=3,所以球。的体积为[ITx33=36n.

故选：A.

2

6.(5分)(2024•海南•模拟预测)已知a>0且a61,若函数/(%)=谟与g(%)=log2(x+4ax+7)在[-1,十

8)上的单调性相同，则Q的取值范围是()

A.(0,1]B.[|,1)C.(1,2)D.(1,+8)

【解题思路】利用指数函数、对数函数及复合函数的单调性计算即可.

【解答过程】由题意知y="2+4ax+7在[―1,+8)上只能是单调递增，

所以g⑺在H+8)上单调递增,所以｛(R+4。*㈠)'+7>0,

得(Wa<2.

又fO)=谈单调递增，所以a>i.

综上得1Va<2.

故选：C.

7.(5分)(2024•内蒙古呼和浩特•模拟预测)当％E[0,2n]时，曲线y=cos%与y=2sin(2%+以的交点个

数为()

A.2B.3C.4D.6

【解题思路】作出两函数在[0,2田上的图象，结合图象即可得答案.

【解答过程】1=0时，y=2sin]=V3,

令2%+]=泉得此时y=2sin(2+9=2,

令2%+]=n,得％=；,此时y=2sin(2x；+1)=0,

令2%十/=?，得久=号，此时y=2sin(2+"=-2,

326\63/

令2%+]=2e得久=此时y=2sin(2xg+以=0,

x—2n时,y=2sin(2x2TC+§=2sin]=V3,

函数y=2sin(2x+f的周期T=y=n,

结合周期，利用五点法作出图象,

由图知，共有4个交点.

故选：C.

8.(5分)(2024•河南•模拟预测)已知a=瓯6=3，c=1+ln|^,贝ija,b,c的大小关系是()

lo35

A.a<b<cB.a<c<bC.c<b<aD.c<a<b

【解题思路】根据a=e^,b=9式子结构特征构造函数f(x)=e*-x-1,利用单调性判断可得a<b,再

lo

令g(x)=ln(x+l)—专,x>0,求导判断出单调性可得c>b,即可求得结果.

【解答过程】由a=赢匕=9可构造函数/⑺=M-％—1,

lo

则/(%)=ex-1,令fGO=0,解得％=0,

因此可得当％E(0,+8)时，即/(%)在(0,+8)上单调递增，

当％G(一8,0)时，/'(%)<0,即/(%)在(一8,0)上单调递减，

可知/(%)在％=0处取得极小值，也是最小值，所以/(%)之/(0)=0,

即e%N》+l,故0一%之一%+1,即三N1—第

ex

当0V第<1时，有e%V一一,所以e而=9可得a<b；

l-x1--18

19

令9(%)=ln(x+1)—>0,

贝！Jg(%)=------=----------->0,

x+l(x+2)2(x+l)(x+2)2

故9(%)在(0,+8)上单调递增，

可得g(%)>g(o)=o，即in(%+1)>书，

2

取％=套则M葭+1)>端f=\所以1+1碌>1+看=茅可得c>加

35

综上可得，a<b<c.

故选：A.

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的

要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.(6分)(2024•广东韶关•一模)已知某批产品的质量指标f服从正态分布N(25,M),且P(f226)=0.2,

现从该批产品中随机取3件，用X表示这3件产品的质量指标值§位于区间(24,26)的产品件数，则()

A.E(f)=25B.P(24<f<26)=0.3

C.P(X=0)=0.064D.D(X)=0.24

【解题思路】根据正态分布的对称性、概率公式，结合二项分布的公式，可得答案.

【解答过程】由正态分布的概念可知E&)=25,故A正确；

由正态分布的性质得P(24<$<26)=1—2P(f>26)=0.6,故B错误；

则1件产品的质量指标值f位于区间(24,26)的概率为p=0.6

所以X〜B(3,0.6),P(X=0)=0.43=0.064,故C正确；

D(X)=3x0.4x0.6=0.72,故D错误.

故选：AC.

10.(6分)(2024•全国•模拟预测)设函数/(X)=以-比?，则对任意实数a,下列结论中正确的有()

A./■(>)至少有一个零点B./(无)至少有一个极值点

C.点(1,/(1))为曲线y=f(x)的对称中心D.x轴一定不是函数/■(>)图象的切线

【解题思路】对于A选项，由函数零点的存在性定理可推得“X)至少有一个零点；

对于B选项，可得当a=0时，f'O)>0恒成立，得f(x)在(0,2)上递增，则汽式)无极值点；

对于C选项，由+x)+/(I一万)=2/(1)可知点(1/(1))为曲线y=/(%)的对称中心；

对于D选项，假设存在实数a,贝"=可推得无实数解，故假设不成立，即可判断.

(/(祀)=0

【解答过程】对于A选项，函数/(x)=ax-In—的定义域为(0,2),

当％T0时，/(%)T—00,当％-»2时，/(%)T+00,

由函数零点的存在性定理可知/(%)至少有一个零点，故A正确；

对于B选项，/(%)=ax—ln(2—%)+In%,/'(第)=a+£+

当a=0时，/(%)=1-+->0恒成立，

2—xx

所以/(%)=ax-ln(2-%)+In%在(0,2)上递增，则/(%)无极值点,故B错误；

对于C选项，/(I+%)+/(I—x)=+%)-In匕:：：%)]+[a(l—x)—In，[：；]

=2"哈一哈=2a=2f(l),

所以对任意实数a,点(1)(1))为曲线y=f(x)的对称中心，故C正确;

对于D选项，假设存在实数a,使得/(%)的图像与x轴切于点P(0,0),

则辞,=；，得Q,XQ—In—-=0

1x°,消去a得六+1+In与=0,

(%0)—。a+——+2=02~x°x°

2-％oxQ

设t———,贝!Jt+1-Int—0,

2-%o

因为Int<t-1,故t+1-Int>(t+1)-(t-1)=2,

所以t+1-lnt=0无实数解，故假设不成立，

则对任意实数a,x轴一定不是函数/(%)图象的切线，故D正确.

故选：ACD.

11.(6分)(2024•广东河源•模拟预测)“8”可以看作数学上的无穷符号，也可以用来表示数学上特殊的

曲线.如图所示的曲线C过坐标原点。，C上的点到两定点%(-a,0),尸2(凡。)9＞。)的距离之积为定值.则

下列说法正确的是()(参考数据：2.236)

A.若|尸1&1=12,则C的方程为(/+y2)2=72(^2一

B.若C上的点到两定点%、/2的距离之积为16,则点(-4,0)在C上

C.若a=3,点(3,yo)在C上，则2(岔＜3

D.当a=3时，C上第一象限内的点P满足的面积为卷则IP%/—ip4/=18百

2222

【解题思路】由题意有］。%|■\OF2\=a,设(x,y)为C上任意一点，得到(/+f)2=2a(x-y),再根据

各项给定条件或a值，判断各项正误.

【解答过程】已知原点。在C上,则|。91|・|。?21=。2,设(x,y)为C上任意一点，

则有a?=J(x-a)2+y2,+a)2+整理得(/+y2)2=2a2(/—y2).

若|尸则C的方程为(/+y2)2=72(7一、2),故A正确；

若|。911•|。&1=16,则a=4,代入方程得(/+y2)2=32(/—y2),显然点(-4,0)不在此曲线上，故B

错误；

若a=3,点(3,y°)在C上，有J(3-3/+岔•J(3+3/+戴=9,

整理得(羽+18)2=405,所以羽=9花-18=2.124,故C正确；

因为SAPF/2^^\PF1\\PF2\smAF1PF2^l，IPFJIP^I=9,可得=90°,

所以点P是曲线C：(/+y2)2=18(/-y2)和以鼻出为直径的圆/+y2=9在第一象限内的交点，

联立方程，解得％=9，y=|,即P(手,|)，所以|P%『一吠2『=18后故D正确.

故选：ACD.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(5分)(2024•浙江•一模)已知椭圆C：9+，=l(a>b>0),过左焦点F作直线1与圆M：x2+y2=

相切于点E,与椭圆C在第一象限的交点为P,且|PE|=3|EF|,则椭圆离心率为—年

【解题思路】由题意利用直线与圆相切可得出月=^c,|PE|=苧的再由余弦定理计算得出〔PF/=2c,利

用椭圆定义即可得出离心率.

【解答过程】设椭圆右焦点为Fi，连接PFi，ME,如下图所示：

由圆M：/+y2=?可知圆心”(0,0),半径f=；；

42

显然EM=],“尸=c,且EM_LEF,

因此可得sin/EFM=g,所以NEFM=30。，可得|EF|=fc,|PE|=3|阴=手。；

即可得|PF|=2V3c,又易知IFF/=2c；

222

由余弦定理可得|PFI|2=|PF|2+|FF/2_2\PF\\FF1\COS300=12c+4c-2x2旧cx2cx-=4c,

解得|PFi|=2c,

再由椭圆定义可得|P2|+\PF\=2c+2V3c=2a,即a=(V3+l)c,

因此离心率e=：=嵩=铝.

故答案为：号.

13.(5分)(2024・甘肃白银•一模)《九章算术》是我国古代数学名著，其中记载了关于牲畜买卖的问题.

假设一只鸡与一只狗、一只狗与一只羊、一只羊与一头驴的价格之差均相等，一只羊与两只鸡的价格总数为

200钱，一头驴的价格为一只狗的2倍.按照这个价格，甲买了一只鸡与一只狗，则甲花费的钱数为120.

【解题思路】根据题意一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为由,。2，。3，。4,列出关于的和d的方程组,

解出即可求出甲花费的钱数.

【解答过程】由题意得购买一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的钱数依次成等差数列，

设该数列为｛册｝，公差为d,

则一只鸡、一只狗、一只羊、一头驴的价格依次为的,&2,123,。4，

由题意得产+2)；200,=(3ai+2d=200解得詈=黑

故甲花费的钱数为+做=2al+d=120.

故答案为：120.

14.(5分)(2024•四川•模拟预测)若直线y=忆%是曲线/(%)=In%的切线，也是曲线g(%)=ae%的切线，

则a=卜•

【解题思路】根据函数f(%)在切点的横坐标打处的导数即为斜率和切点在直线上即可先求出公切线

的方程，然后根据函数以乃在切点(通,ae%。)的横坐标%0处的导数即为斜率和切点在直线上即可求解.

【解答过程】因为/(久)=In%,%G(0,+s),

所以=：，

设设直线y=kx与f(x)=In%的切点为

则切线方程为y-In%!=—(%-%i),

即y——x+Inxi—1,

xi

又因为y=kx

所以1~l=k,

Un%i-1=0

解得%i=e,k=-,

e

所以切线方程为：y=-x,

因为9(久)=ae”,

xx

所以g3)=(ae)'=aef

设直线y=}%与9（%）=ae%的切点为（%o，ae%o）,

所以g'（%o）=aex0=如，

又因为切点（%。,ae%。）在直线y=，式上，

所以ae%。=：%0②，

由①和②可得%0=1,

所以ae=—J

e

解得a=4

e

故答案为：^2.

ez

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

2

15.（13分）（2024・广东河源•模拟预测）已知△的内角45,C所对的边分别是a,b,c,且次+b-Wab=

（bcosA+acosB）2.

（1）求角C;

（2）若b=4B，c=4,求△Z8C的面积.

【解题思路】（1）利用余弦边角关系可得。2+按—bab=c2,再由余弦定理可得cosC=苧，即可求角的

大小；

（2）根据已知条件及（1）结论，应用余弦定理列方程求得a=4或a=8,再分别求出对应三角形面积即

可.

【解答过程】（1）在△力BC中，6cos力+acosB=>•"+'一"-+a一”=c,

2bc2ac

又/+Z）2—Wab=（bcosA+acos^）2,所以/+h2—y[3ab=c2,

由余弦定理得cosC==察=与又o<c<n,

2'abIlab2

则c=W

o

（2）在△4BC中C=E,c=4,b=4V3,

6

由余弦定理，得c?=a2+fa2—2abeosC,即次—12a+32=0,解得a=4或。=8.

当a=4,b=4V3,c=4时，可构成三角形，此时△4BC的面积为:absinC=gx4x4百x1=4百；

当a=8,b=4V3,c=4时，可构成三角形，此时△4BC的面积为:absinC=X8XX[=8次.

22

16.（15分）（2024•贵州黔南一模）已知椭圆C:%+云=l（a>b>0）的左、右焦点分别为%（—百,0）,

F2（V3,0）,且椭圆C经过点。（百，）.过点T（t,0）（t>2）且斜率不为0的直线交椭圆C于4B两点，过点力和

M（l,0）的直线AM与椭圆C的另一个交点为N.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线BN的倾斜角为90°,求t的值.

【解题思路】（1）利用椭圆的定义求出a,进而求出b得C的标准方程.

（2）根据已知可得直线4M不垂直于坐标轴，设其方程并与椭圆方程联立，结合韦达定理求出直线力B与工

轴交点的横坐标即可.

【解答过程】⑴椭圆C「+，=1的二焦点为2（—百,0）,F2（V3,0）,点。（b，）在椭圆C上，

则2a=|。%|+@41=-2V3）2+（1）2+|=4,解得a=2,则b=12?—（曰）2=1,

所以椭圆C的标准方程为<+y2=1.

（2）依题意，点48不在%轴上，即直线不垂直于y轴，且直线ZM不垂直于无轴，否则48重合，

设直线4M方程为汽=ky+1,々W0,

由｛/+4y^=4消去x得，（/+4）y2+2ky—3=0，

显然A>0,设4（%i，yi）,N（X2，y2），由直线BN的倾斜角为90。，得点8。2，-、2），

则+72=一成丁丫，2=-p74，所以3（、1+丫2）=2左为丫2，

直线ZN的方程为y-为=*（%-/）,

当y=°时，t"一■=切+1一^^=1+等=%

17.（15分）（2024・福建•三模）如图所示，C,D分别为半圆锥P4B的底面半圆弧上的两个三等分点，。

为力B中点，E为母线PB的中点.

P

(1)证明：DE〃平面PAC；

(2)若△P4B为等边三角形，求平面P4B与平面PAD的夹角的余弦值.

【解题思路】(1)若尸是24中点，根据题设证C尸〃。£再由线面平行的判定证结论；

(2)作连接HG,利用线面垂直的判定及性质定理，结合面面角的定义确定所求角为

NDHG或其补角，进而求其余弦值.

【解答过程】(1)由C,。分别为底面半圆弧上的两个三等分点，易知且CD=14B,

若尸是24中点，而E为母线P8的中点，则且=

所以EF〃CD且EF=CD,贝UEFC。为平行四边形，故CF"DE,

由CFu面PAC,DEC面PAC,故DE〃平面P4C.

P

(2)作DG_L4B,DH_LP4连接HG,如上图所示，

由题意，面1面48DC,P01AB,P。u面PAB,面PABn面48DC=AB,

所以P01面4BDC,DGu面4BDC,贝!|P。1DG,

由P。C4B=。者B在面PAB内，则。6_1_面P48,而PAu面PAB,

所以DG_LP4又DGnDH=D都在面DUG内，故PA1面DHG,

由GHu面DHG,则P41GH,结合DH1P4且GHu面/MB,DHu面PAD,

所以平面PAB与平面PAD的夹角为乙DHG或其补角，

令等边三角形aPAB的边长为2,贝IJP4=2,由题设易知NBAD=30。，则AD=百，DG=/,

在△PAD中4。上的高八==则。“=誓=若9=享，

742PA24

彳匚[、1•nmDG2A/13f.iic3\/13

所以smZ-DHG=—=——,故7lcosZ-nDHG=——,

DH1313

所以平面P4B与平面PAD的夹角余弦值为鬻.

18.(17分)(2024・浙江•一模)已知函数/(>)=InM二+a久(aeR).

X—1

(1)当a=1时，求曲线y=/O)在点(2)(2))处的切线方程；

1

明

a<-证

-3

(3)若%>1,恒有/(%)221n2+泉求实数a的取值范围.

【解题思路】(1)直接求出导函数/(%),计算/(2)和f(2),由点斜式得直线方程并整理为一般式；

(2)在题设条件下证明f'(%)<0,/(%)是减函数，/(%)<f(|)<21n2+|,再证明21n2<抑得证;

⑶aWO时，由/'(%)V0说明/(%)递减，不等式不可能恒成立，a>0时，由(2)得出a=1时，/(g)=

21n2+1,/(x)=0的大于1的根记为%o(a=1是地，劭=|),证明a>1时，lV%o<：|,OVaVl时,

由f'(%)确定f(%)的单调性，/i(x)=In在？+%,时，由/(项))=In9[+>In4号+%。=

八(久0)>伙|)完成证明，a>l时，由f(&)</(|)<21n2+箍定.综合后得出结论.

【解答过程】(1)a=l时，/(x)=lnq+x=ln(2+2)+x,

f，(、x_1r1I_i〔1I2%—3x

J⑶-2%_].1-(%T)2)~~(x-l)(2x-l)+-(%-1)(2%-1)'

尸(2)=，又/(2)=ln3+2,

所以切线方程为y—(ln3+2)=|(%—2),即—丫+：+】n3=0；

(2)/(x)=a-—―—―,

xe[|,2]时，y=(2久—1)(乂-1)=2/-3%+1=2(x—[)2—春是递增函数，因此ye[1,3],>j,

X0<a<i,所以〃x)WO,/(x)在碎,2]上递减,

/(%)</(1)=21n2+|a<21n2+|x1=21n2+

3oq

因为超=e-Ve>2.7x；=4.05>4,所以21n2=ln4<j,

从而10)421n2+：VI+：=2；

(3)/(%)=a-—―,%>1,

当Q<。时，f'(X)V0,/(%)在(1,+8)上是减函数，

当汽7+8时，In^y-=ln(271n2,因此/(%)=ax>21n2+g不可能恒成立，

a>0时，由/'(%)=0得2久2—3x+l—^=0,

记9(%)—2%2—3x+1-g(l)=—<0,

则9(%)=0有两个实根，一根小于1,一根大于1,

大于1的根为&=/，，易知它是关于a的减函数，

4

注意到y=(2%-1)(%-1)=2x2-3%+1在(L+8)上是增函数，且y>0,

11

即1<X<曲时，0<(2%—1)(%—1)<-,x>%。时，(2%—1)(%—1)>-,

所以1<%<久0时，/'(%)<0,/(%)递减，%>%()时，/(%)>0,/(%)递增，

所以f(%)min=f(%0)，

a=l时，XQ=I，此时/(%)=In三+%,

记h(X)=1口^^+%,%(%)在。|)上递减，在(|,+8)上递增，且=21n2+|,

因此

2x0-12x0-1

当a>1时，XQ</(x0)=In+ax0>In+x0=九(%o)>九(：)=21n2+

2XQ—1XQ—122

OODO

当0<a<1时，XQ>/(x0)</(-)=21n2+-a<21n2+

综上，a21时，/(x)>21n2+3亘成立

所以a的取值范围是［1,+oo).

19.(17分)(2024•全国•模拟预测)已知数列｛%｝的前几项积为7\.定义：若存在keZ,使得对任意的neN*,

an+1-Tn=k恒成立，则称数列｛册｝为“数列”.

(1)若的=1,且｛册｝为“2数列”，求as.

(2)若国=2,且｛%｝为“数列"，｛册｝的前n项的平方和为Gn，数列｛"｝是各项均为正数的等比数列，满足"=

G-r

2"",求k的值和｛6n｝的通项公式.

(3)若囱>1,k>0,且｛册｝为“数列”,｛须｝的前n项和为Sn,证明：Sn>\nTn+n.

【解题思路】