2025高考数学重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题（含答案）

重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题

430)8淖小二+二=l(a>b>0)

71

1.(2024•浙江金华一模)已知和I一)为椭圆。：a-b-'上两点.

⑴求椭圆。的离心率；

⑵过点(T，°)的直线7与椭圆。交于。，左两点(D,E不在工轴上).

(i)若一Q)E的面积为3,求直线7的方程；

(ii)直线4。和月E分别与J'轴交于A4，N两点,求证：以AO,为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.

左叱六。)过点(4),其长轴长为％下

2.(24-25高三上•天津南开•阶段练习)已知椭圆

顶点为B,若作与J轴不重合且不平行的直线7交椭圆E于RQ两点，直线即，电分别与工轴交于M，N

两点.

①求椭圆月的方程；

4

(2)当点M，N横坐标的乘积为1■时，试探究直线，是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定

点，请说明理由.

3.（2024•广西柳州•一模）在平面直角坐标系X。'中，尸为直线2上一动点，椭圆E：

+了=1＜。＞0）的左右顶点分别为M（M,o）,N（"o）,上、下顶点分别为°」）,

S9-1I.若直线打交E于另一点A,直线PS交E于另一点反

⑴求证：直线过定点，并求出定点坐标；

⑵求四边形月SBT面积的最大值.

、P.____=।

4.（2024•浙江台州•一模）已知抛物线「厂=打的焦点为歹，准线为兀双曲线~~~6~的左焦点

为T.

⑴求；的方程和双曲线「的渐近线方程；

（2）设°为抛物线「和双曲线匚的一个公共点，求证：直线8与抛物线「相切；

⑶设「为『上的动点，且直线与双曲线匚的左、右两支分别交于48两点，直线所与抛物线「交于

1y/3

不同的两点a。，判断warq是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

C：—+■l（0>h>0）rpk

5.（24-25高三上・重庆•阶段练习）已知椭圆70-的左右焦点分别为用，门，上顶点

为P，长轴长为4力，直线肛的倾斜角为135。

⑴求直线尸泥的方程及椭圆。的方程.

1+1

⑵若椭圆。上的两动点A,B均在'轴上方，且“取配,求证：阀I网的值为定值.

⑶在（2）的条件下求四边形的.印口的面积S的取值范围.

6.（24-25高二上•河南南阳・期中）已知0为坐标原点，动点P到,•轴的距离为乙且|。尸|~+〃才，其

中人“均为常数，动点P的轨迹称为（入闺曲线.

⑴判断仁-31曲线为何种圆锥曲线.

⑵若（儿川曲线为双曲线，试问4〃应满足什么条件？

-1、

⑶设曲线。为目4）曲线，斜率为上«#°且"7的直线’过。的右焦点，且与C交于4B两个不同的点.

（i）若片=1,求口回；

（ii）若点B关于工轴的对称点为点D,试证明直线4D过定点.

7.（2024.云南大理.一模）已知椭圆。的两个焦点为"卜"MW6⑼，且椭圆C的离心率为丁

⑴求椭圆。的标准方程；

（2）已知0为坐标原点，斜率为"灰W”的直线7与椭圆。有两个不同的交点AB,且弦48的中点为E,

直线OE的斜率为比，求上汽；

⑶直线Z与椭圆。有两个不同的交点2°,椭圆。在点只。处的切线分别为1与4交于点I•，点T

在直线x=4上.请你判断直线2是否经过定点，并说明理由.

8.（2024・广东深圳•模拟预测）已知椭圆C：7+庐="">">"的离心率为I,右顶点。与。的上，

下顶点所围成的三角形面积为2石.

⑴求0的方程；

1

⑵不过点Q的动直线/与。交于A,5两点，直线3与3的斜率之积恒为证明直线,过定点，并求

出这个定点.

9.（2024・贵州遵义•模拟预测）如图，现用一个与圆柱底面成d角的平面a截圆柱，所得截面是一个椭圆

C,在平面a上建立如图所示的平面直角坐标系.若圆柱的底面圆的半径为2,3

⑴求椭圆。的标准方程；

（2）设2（小,九）为椭圆C上任意一点，；为椭圆。在点P处的切线.设椭圆C的两个焦点分别为尸，耳，它

们到切线i的距离分别为d：,G,试判断dd：是否为定值？若是，求其定值；若不是，说明理由.

10.（2024・四川成都•模拟预测）已知点⑹二”，点P在以AB为直径的圆C上运动，PD1X

轴，垂足为。，点M满足2，点M的轨迹为W,过点13J的直线/交W于点E、F.

（1）求W的方程；

⑵若直线/的倾斜角为60°,求直线/被圆C截得的弦长；

⑶设直线AE,的斜率分别为4,3，证明左为定值，并求出该定值.

11.（2024•浙江嘉兴•模拟预测）已知抛物线°：厂=?*（户>°i的焦点为尸，点“亿」是。上的一点，

且陷卜2

⑴求抛物线。的方程；

⑵设点出JFh'lLJ"（其中H<4）是C上异于M的两点，乙4A面的角平分线与x轴垂直，N为线

段的中点.

（i）求证：点"在定直线上；

（ii）若一心归的面积为6,求点A的坐标.

、.C，—r+-^-=1（G>b>0）

12.（2024高二上•江苏•专题练习）在平面直角坐标系XQ中，已知椭圆aO-'的左顶

点为A,上顶点为8,右焦点为F,连接B尸并延长交椭圆C于点椭圆尸.

⑴若5,求椭圆C的方程，

2.玖”

⑵若直线与直线AP的斜率之比是-2,证明：S_“为定值，并求出定值.

■■真题实战演练

c.y*।.>方>、

1.（2023•全国•高考真题）已知椭圆7/=’，的离心率是亍，点“（T°）在。上.

⑴求。的方程；

⑵过点的直线交。于RQ两点，直线力R幺。与J轴的交点分别为M，N,证明：线段的中点

为定点.

2.（2023•全国•高考真题）已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为（一26刀1离心率为3.

⑴求C的方程；

⑵记C的左、右顶点分别为A,a,过点I的直线与C的左支交于M,N两点，M在第二象限，直

线的与初】交于点P.证明:点尸在定直线上.

3.(2024•全国•高考真题)已知双曲线C：r-r:=n(jn>0)点耳(5,4)在上，

}14为常数，

0<^<1.按照如下方式依次构造点月(”=,3,…)：过P作斜率为M的直线与。的左支交于点Q,令

E为2T关于J轴的对称点，记E的坐标为工JJ

(1)若-,求L-L；

1+k

(2)证明：数列卜「工)是公比为1:7■的等比数列；

⑶设£为：的面积，证明：对任意正整数“，s・s

E\l(a>b>0)—

4.(2023・北京・高考真题)已知椭圆a-b-/的离心率为3,A、C分别是E的上、下顶

点，B,。分别是E的左、右顶点，1=4.

⑴求E的方程；

(2)设P为第一象限内E上的动点，直线PD与直线反'交于点直线P4与直线J=-2交于点N.求

证：MNIICD.

重难点突破之圆锥曲线中的定点问题、定值问题

・最新模拟精练

430）石淖小二+二=l（a>b>0）

71

1.（2024•浙江金华一模）已知—Ui和I一）为椭圆。：a-b-'上两点.

⑴求椭圆。的离心率；

⑵过点（T，°）的直线7与椭圆。交于。，左两点（D,E不在工轴上）.

（i）若一的面积为3,求直线1的方程；

（ii）直线4。和月E分别与J'轴交于M,N两点，求证：以AW为直径的圆被x轴截得的弦长为定值.

【答案】⑴亏

⑵（i）x士冉+1=0；国）证明见解析

【难度】0.4

【知识点】求椭圆的离心率或离心率的取值范围、椭圆中的定值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积

【分析】（1）根据给定的点A和8在椭圆上，以及椭圆的离心率公式求出椭圆的离心率；

（2）（i）借助韦达定理和面积公式计算即可；（ii）可借助韦达定理和圆的弦长公式计算即可.

【详解】（1）由山,°）可知"=4,求出

由用L三=1

代入【-得44b2,加=1,

则c，=4-1=3,C=,

可知椭圆。的离心率为a2.

—+r-=1

（2）（i）由（1）可知椭圆。的方程为4',

设。（A，jJ,第三心），过点一°的直线；为K=啊-1,

与联立得：.+钟尸-2叼-3=0人4疝+口标+4）>0恒成立

2）n-3

r+r.=———rr.=———

所以一"一评-+4,一,一评一4

“L；3帆-川-；3-6-^^--6

JJ）71+4

得）对=2,所以加-土卢，直线的方程7为：x±Wj+l=O.

-8

'+勺=)》(n+□)-

（ii）由（i）可知,nr+4

上—4加一+4

r.r,=/丁】-nnr.+r.1+14=——；-----

)71+4

y=J；।x-2)y=一":

直线”的方程为"％-2」令1-0,得"“为-2

r,Q-2r,

)'-——(zx-2)J]■——

直线4E的方程为,令\=0,得&-2,

记以MV为直径的圆与x轴交于P，0两点，

由圆的弦长公式可知,

4J.Ji

2x2-2x2-2(xI+r,)+4

-12

M♦4

-4nr1+4

—;-----+—

nr+4)n

所以।73,为定值.

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法:

（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关;

（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转

化，转化成易于计算的方向.

£—+^-=l（a>d>0）卜理］

2.（24-25高三上,天津南开•阶段练习）已知椭圆a'b'过点I-九其长轴长为4,下

顶点为B,若作与F轴不重合且不平行的直线7交椭圆E于只。两点，直线即，理分别与x轴交于

两点.

⑴求椭圆目的方程；

4_

⑵当点“，N横坐标的乘积为‘时，试探究直线；是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定

点，请说明理由.

【答案】（1）4

⑵直线，过定点，坐标为（°2L

【难度】0.4

【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、椭圆中的直线过定点问题

【分析】（1）先求出〃，再代入点I解出匕，进而得到椭圆方程;

__8为71_W-4

（2）设直线也的方程为J・h+m,直曲联立解出<+"-1+4/'朴'=1+4二，再由

“'%%0+3中+”（工+4）+（用+1广，解出加值即可.

（rj\3

1J31不

%1~1+4=1,d=l

【详解】（1）由椭圆长轴长为4,可知/=』&=-,将I代入椭圆方程：4b-

--+r;=1

所以椭圆片的方程为：4'.

⑵设直线也的方程为."h+叫由

广巴.IX（j=2^

则直线BP的方程为苟，令了=°,得”一+1,

X,

X、-——

同理可得‘工+1,

x,.r-3______________"

斫以'5+1）,仇+1）体+加+1）（%+）”+1）

XMXv=--------------------------：--------------------r

所以k-x.x.+<|/n+l)-(x.+r,)+(w+l)'

把直线J-b+*代入椭圆方程了+'-1中,得出(1+4/9+8方加+4位

一8M71W-4

X.+X.=--------X,X.-----------

所以*1+41*1+4K,

r.X,4

rw八--------------!~：-------------r--

代入々X工+々(m+1)(为+工)+(加+1r3

4(吁1)4

-----------=—,)71=一

化简得加+13,

所以直线过定点（02）.

【点睛】关键点点睛：由题意得出'4'3+网办+1）・崎+人）+（切+1「再代入

8x«n4疗-4

,*1+4笛”'21+4/化简是本题的关键点.

3.（2024•广西柳州•一模）在平面直角坐标系XQ，中，p为直线j=?上一动点，椭圆E：

/+*="">">"的左右顶点分别为⑼，M"。），上、下顶点分别为7（。］）,

y,0--11.若直线打交E于另一点A,直线PS交E于另一点B.

（1）求证：直线过定点，并求出定点坐标;

（2）求四边形HSET面积的最大值.

（0.1）

【答案】⑴证明见解析，2

⑵而

【难度】0.4

【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的直线过定点问题、根据a、b、c求椭圆标准方程、

求椭圆中的最值问题

【分析】（1）依题求出椭圆方程,设「亿；），由直线以，用方程分别与椭圆方程联立，求出点48的

坐标，由对称性知，定点在J轴上，设为G（°”），由储「■句”‘求出加的值即得；

（2）根据图形，可得四边形4s5r的面积I,代入'「KT和+18,经

过换元，运用基本不等式和函数的单调性即可求得面积最大值.

【详解】（1）

设「亿2）,

如图,

r=-x+12、

当“0时，直线H4的方程为」t,代入'

F+2，4nT

——x-+-x=0r.=-——J,=—人士㈡

得卜t贝Ut-+2,从而,广+2,点r+2r+2

V■一K-12n

又直线小的方程为：.t，代入X+4=一,

f+1821212，/-18口12/_18

—；—t---x=0n,v,八=—：----5（----,—；---1

得产t则r+1S,从而,"广+18,点7-+1Sr+18,

由对称性知，定点在J'轴上，设为GI0,加）

产+2产+18

由匕「心，即F+3一产+18,化简得加（4广+24）=2产+12

1

因％,+12>0故得加=1,解得2.

即直线43过定点（叼），而当t=o时，直线4B也过定点

（0,1）

综上，直线4B恒过定点2.

（2）

;72=1+—>2^6（-

令1H,当且仅当，■士J6时等号成立，

I6）n16

-3=.=Q

"+8加+当

）n

因）=•'+；在（2,2'+8）上单调递增，而）"N2而>2。，

S•臀J

故当切・？而时，四边形ASST面积有最大值+8.

【点睛】方法点睛：本题主要考查直线过定点和四边形面积的最值问题，数据计算较大.

求解直线过定点问题，一般是通过消参后将直线方程化成含一个参数的方程，再求定点；对于四边形面积

问题，常运用合理的拆分或拼接，使其表达式易于得到，再利用基本不等式，或函数的单调性求其范围即

可.

r■—2---1

4.（2024•浙江台州•一模）已知抛物线°4、的焦点为歹，准线为，，双曲线：36的左焦点

为T.

⑴求i的方程和双曲线「的渐近线方程；

⑵设。为抛物线「和双曲线「的一个公共点，求证：直线0r与抛物线「相切；

⑶设尸为/上的动点，且直线可与双曲线「，的左、右两支分别交于48两点，直线即与抛物线「交于

1栏

不同的两点CD,判断.却K’q是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

【答案】⑴准线，的方程为x--i,双曲线的渐近线方程为

(2)证明见解析

石

⑶是，6.

【难度】0.4

【知识点】已知方程求双曲线的渐近线、抛物线中的定值问题、根据抛物线方程求焦点或准线、判断直线

与抛物线的位置关系

【分析】(1)根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解；

=6fx-73r+3=0

(2)结合题意联立方程组L『=4X和，化简即可求解；

rj'=-^(r-l)

⑶由题意得%,设%:7・松+卯”：/・・2・1),联立方程组b'=4x和

>=k(x+3)

二厂一厂=6,利用韦达定理表示|8|和|八用，化简即可证明.

【详解】(1)准线7的方程为、=-1,双曲线的渐近线方程为『=±伍.

尸_/=6

(2)联立方程组b'=4x,

消去丁得f-2.1-3=0,解得1=3(舍负)，由对称性，不妨取0(3,?3)，

又由口-3,0),求得直线。的方程为"祗'+3=0,

K一病+3=0

(

联立方程组1/=公，消去工得b-4向+11=0,

因为△=(-4.-48=0,所以直线0T与抛物线「相切.

（3）因为3,0）,b（1,0）,得准线7为线段7F的中垂线,

则直线PT与直线期的倾斜角互补，即1

设，“：j・％（x+3）,41・■尚-1）,由条件知。（卜卜",

j=-k(x-l)

联立方程组,r=4x,消去F得AM・(*+4"+F・o,

贝产i+华

j=1T+3）

联立方程组匕丁一厂=6,消去得（2-月）犬-2心-方-6=0,

4&月+1)

则网卜

2-k:~

J____42孑-kz辰.2-〉+3/旧

所以画+画-4疯工+1）*a+1）・4限工+1）.彳

-L+兑j

故M他为定值1

【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消

元得到关于t或J的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系

式，该关系中含有'、，JJ」或'+/最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函

数），从而可求定点、定值、最值问题.

C：L+L=1（。>。>0）wr

5.（24-25高三上•重庆•阶段练习）已知椭圆①O'的左右焦点分别为'，巧，上顶点

为P,长轴长为40,直线黑的倾斜角为135。

⑴求直线尸居的方程及椭圆C的方程.

11

I--

（2）若椭圆C上的两动点A,3均在X轴上方，且‘尸’盟，求证：I⑷1怛的值为定值.

⑶在（2）的条件下求四边形的月网口的面积S的取值范围.

、+--■1

【答案】⑴J=T+-,S4

⑵证明见解析

（3）0<^<4j2

【难度】0.4

【知识点】椭圆中三角形（四边形）的面积、椭圆中的定值问题、求椭圆的长轴、短轴、根据韦达定理求

参数

【分析】（1）由长轴长的长度可求a的值，又利用点尸和直线黑的倾斜角可得。=。，进而用

a-/+c：可求九c,从而可得直线方程和椭圆的方程；

X=-r2

(2)设4z，j\),取，几)，则B关于原点的对称点凤二J),即鼠=-心，由居盟的斜率可得

W三点共线,进而得倒HMI,设RB'r-即'-?代入椭圆方程，由韦达定理可得

,,_4加_41.1

-疝+2,J'"—疝+2,从而计算I团因I可得结果；

(3)由题意可知四边形4BE尸为梯形，由点后到直线月区的距离可得高入，进而结合梯形的面积公式利

用基本不等式可得结果.

【详解】(1)由长轴长为4可得2a=4「，a=2，

因为点尸上顶点，直线盟的倾斜角为135°,

所以R3冏中，N0KP=4S,则曾卜明卜》=，，

又加+c'=a：=8,贝

因为％=31351-1,尸(0,2),

所以直线产定的方程为『■-1+?.

2J

.V11

---+----=I

椭圆C的方程为84.

⑵设义耳储)，不血)，耳(-2,0),理(2,0)

工=-4

则B关于原点的对称点"Q.J，),即b-.=-y：,

J._=A_-A

由AFHBFL,X.+2r.-2+2

-4耳产'三点共线,又△庆阳二△E'。%|网|=|皆不.

III_III_I例

西西-阿西TH耳ii4不

设:K=w-?代入椭圆方程得

4)n…4

(加+2犷-4*4・03・32(疝+1),儿+八・庐石，川'广一帮73

\AB'\=再小疝就巫"工的丁

nr+2)7i'+2,

________4

I短IIB'F卜N^TTTIJ.I昕伉「(/十0^772,

40(加+1)

1।1_⑷_)+25

即|\BF,||M||B耳广4(M+1)

m:+2

h=d=-

(3)四边形月即耳为梯形，‘f"J"+l

即|+1即1=1题|+1H孙

nr+2

S=；(|)耳l+l明岫-8V

令，=加+1,贝犷+1・川+2,(电1)

0<S=8W---8V2-J__^4>/2

V+1A1

=-r2

【点睛】关键点点睛：设B关于原点的对称点“(EJ),即匕-一二，进而由平行关系判断4凡F三点

共

4加_41.]

线，设月F:X=)®-2,由韦达定理可得L+JL齐巨，,'J,"")?!-+2,从而计算1网1囱I可得

结果；

.8。加+1

在求PI+2的范围的时候，通过变形利用基本不等式可求最大值即可.

6.(24-25高二上•河南南阳・期中)已知Q为坐标原点，动点尸到、：轴的距离为乙且|°尸|"+〃才，其

中九〃均为常数，动点P的轨迹称为区川曲线.

(1)判断匚T)曲线为何种圆锥曲线.

(2)若曲线为双曲线，试问4”应满足什么条件？

⑶设曲线。为(3<)曲线，斜率为乂左"°且”的直线7过C的右焦点，且与。交于48两个不同的点.

(i)若欠=1,求4可；

<ii)若点B关于工轴的对称点为点。，试证明直线40过定点.

【答案】⑴椭圆

⑵…且

⑶(i)2有；(H)证明见解析

【难度】0.4

【知识点】求双曲线中的弦长、根据方程表示双曲线求参数的范围、求平面轨迹方程、直线过定点问题

【分析】(1)设R|J),根据曲线的定义，可得F的坐标满足的方程，分析可得结果.

x2(1-")尸

(2)将厂+厂=T+4「整理为44，根据双曲线方程的特点分析可得结果.

(3)(i)先根据C为(3，箱曲线可得曲线。的方程，利用双曲线的性质及弦长公式易得结果；

(ii)先设出直线力。的点斜式方程，由对称性得直线经过的定点必在X轴上，令J・0,结合韦达定理

化简可得定点坐标.

【详解】(1)设尸(KJ),由P可…肝,得/+尸一"炉，

，

当;l=L〃=-3时，x;+.r-2-3r',即牙+",所以。-3)曲线为椭圆.

(2)由+广得/+(1-4炉=4

若(入川曲线为双曲线，则4・0,

X1(I-4)」?

所以/+J：-，+川''可化为万'+1―

上^<0

所以矛，贝伊>L

故人〃应满足4*0且">L(九川曲线为双曲线.

(3)由彳=3,"=4,得曲线。的方程为三

则。的右焦点坐标为(二°所以直线i的方程为『二k,r-2|.

联立■-尸=L^(l-3r)r-+12k\-12<;-3=0

12k2

…=-b

12^+3

设4kjJ,用JJJ,则1-3月

%+(=6,

15

X|Z=弁，

(i)若上=1,则

|>4B|=Vl+1：+v.)'-4,v,x,=2V3

(ii)因为点B关于x轴的对称点为点D,所以

根据对称性可知，直线月。经过的定点必在x轴上,

X.―1'1•4-X■I'

令『=。，得1储+几

^(Xj-Zlx.+xkix.-2|总:一次(:V[+].।

k(rI-2)+k(x:-2)k\xl^x2)-4k

当kwO且时,

_12k~+3-12^_3

-6犬-2(3犬

故直线40过定点

【点睛】本题难点在于理解并应用曲线的定义进行分析，考查对新定义的理解和应用.

7.（2024・云南大理•-模）已知椭圆。的两个焦点为刈一五°"（且椭圆C的离心率为丁

⑴求椭圆。的标准方程；

⑵已知0为坐标原点，斜率为用依I的直线7与椭圆。有两个不同的交点AB,且弦4B的中点为后，

直线ON的斜率为总，求k匕；

⑶直线工与椭圆。有两个不同的交点RQ,椭圆。在点R2处的切线分别为与4交于点7,点7

在直线x=4上.请你判断直线Z是否经过定点，并说明理由.

X2,1

—+1'~=1

【答案】（1）4■；

k-k,=-—

（2）'-4；

⑶直线乙恒过定点理由见解析

【难度】0.15

【知识点】椭圆中的直线过定点问题、椭圆中的定值问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据

a、b、c求椭圆标准方程

【分析】（1）根据离心率和焦点坐标，列出方程组，求出口力，得到椭圆方程；

（2）方法一：利用点差法进行求解；方法二：设&%川，一占，入1，£'，7。）,直线i：J=O+'表达出

一卜呼

咕=告支结合卜=】《，从而得至产=4；

方法三：设4（为，「L8工JJEMJ"直线1）="尸+<联立直线与椭圆方程，由韦达定理得到两根

；Q=_Lkk__L

之和，从而4/r+l,故X。-4用，求出“4；

__4r

（3）方法一：设+联立椭圆方程，由△=（）得到5：=4/+1,由韦达定理得到‘=7一，

r,--5=—,r=Z,：-^-+rj'-1r.

s,故y>4几，得到4,1,同理可得，-4,4,联立心，4,求出

4（月-打）

xy=

3「“二，结合亏=4,求出3,-卬4+工（一心・0,设£了=切+凡则

即+对心-（0+”）几+几一九=0,整理得（"1）（J「J4）=0,又「产果，贝陋=1,从而求出直线上

恒过定点（10）.

-5-

p（rrjy=Jl--r-TA-+rj*-1

方法二：点r"J"在V4时，求导，得到切线斜率，4「，求出4,同理可得

x4xx_4（jj-几）

二彳+JjT,联立二乙，求出」一结合3・4,求出+设

Lx■可+”，则（劭',+〃认+J「J\=0,整理得=又J「几，则".1,

从而求出直线工恒过定点（L（）L

1+匚=l（a>b>0）

【详解】（1）设椭圆C的标准方程为：a:rb:'

--+厂=1

.椭圆C的标准方程为：4”.

（2）方法一：点差法：

X+与=2x0

设4（X|J|）,3（"aM），"优Jo）,则J1+『二=2Jo①,

4

/+r:=1

又AB在椭圆。上，贝U,(4八

产+《-『；=0

两式相减得:

(Xj+xJJXj-rJ

+*y.+j)(y,-j)-0

即:411②，

2r(r,-X.)

—o——+2r(r,-r,=0

由①②得，40

而X「X|'X。-4

方法二：椭圆方程代换：

设4(卬JJ15(V,JJI(.%,以)，直线7:r=ktx+1,

%+4

储+心

Jo

2①,

y2+J：

0Ji-J.-2

9②，

才+『”1

姆2.

.针AL即J"弓③,

又

7(X12-X：)1

欠其-----;----;-■一■?

由①②③得，v:-x>4

方法三：联立方程：

设4(r”j]),8(),以/,九)，直线，J—%#+，,

八+心

Jo

2①，

联立方程得，(优'+1)人则+附・4)・0,

8k/

钦：+1②，

4V

由①②得，-叼\

则4Z+14k}+1

几_4片+1_1

ynrF

又叫+1,

用1,■一；

（3）设P（0JJ2（U）,先求椭圆c在点HQ处的切线34的方程.

方法一：根据判别式A-0求解

椭圆C在点处的切线4,设kJ・rx+s,

联立方程［r=m+s得，（4八1心83件：・4）・°,

△-64（4r2-52+l）-0=>32-4r2+l

L,:卫+JJ-1

同理可得，♦4'”.

.—4+JAV4Ai（»-儿）\

处+JJ=1.3F”4（f）

4-，可得T点的横坐标，即XJ3-XJ,,

又>・4,可得，xjj-q\+枭-心=0,

由题意可知直线2的斜率不为o,设=、=可+，

（用几+%认-（呻:+〃了,+几-J,=0,整理得，

（"凡=。,gp（«-D（jj-%）=0.

又入‘打，则只=L

」：“州+1,即直线Z恒过定点（LO）.

即『予.T,当点p心"在—Ff时,

L:一+rj'-1

同理可得,4

同理可得，-苧+加1

4优-儿)

4(心一儿)

，可得T点的横坐标，即,

又看.4,可得，=

由题意可知直线2的斜率不为o,设甯+2

()矶+必'「卜矶+力仇+J,-J\=0,整理得，

(力-1仇・何・I)几■0gp(M-1)(/)-r4)-0

又J-L,则〃=1.

；"口=即,+1,即直线Z恒过定点(1,0).

【点睛】知识点点睛：过圆(x-°「+(1-"「=厂上一点(或J"的切线方程为：

2

(r0-a)(x-a)+(r-z>)(j'0-d)=r

过圆(x-"+(J'-"=r'外一点阮㈤的切点弦方程为：

工+匚・1M+JV=1

过椭圆a，b:上一点？出八」；的切线方程为a；b:,

S_2L=1V-JV.i

过双曲线a：b-上一点P（MC，：的切线方程为a；b:

X2J，21

r・l（a>匕>0）—c-

8.（2024・广东深圳•模拟预测）已知椭圆C：a-b'的离心率为2,右顶点Q与。的上，

下顶点所围成的三角形面积为2近.

（1）求。的方程；

1

⑵不过点。的动直线7与。交于八，s两点，直线与的斜率之积恒为1，证明直线，过定点，并求

出这个定点.

三+匚=1

【答案】（1）43；

⑵证明见解析；㈠⑼

【难度】0.4

【知识点】根据韦达定理求参数、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中的直线过定点问题、根据a、

b、c求椭圆标准方程

【分析】（1）根据椭圆的离心率及三角形面积，列出方程组求解即得；

（2）对直线i的斜率分等于0和不等于0讨论，设出直线’的方程，与椭圆方程联立，利用斜率坐标公

式，结合韦达定理推理即得.

c.X?/11C1

C*.—+.=1

【详解】（1）令椭圆a-b-的半焦距为c,由离心率为2,得a2,

解得a=2c,b=Ja:-cz=&,

由三角形面积为L,得曲=2有，贝a=1,b=出,

x2V1.

--+--二］

所以C的方程是43.

（2）由（1）知，点端。），当直线7的斜率为0时,设直线‘：『="一"<’<招），

/54

则仆初卬，且了+^=1,即一寸，

"'kvl-2+xK~~4-r"4,不合题意；

当直线，的斜率不为0时，设直线：的方程为x=g+”,设4』/），口\：/），

X,他'十月

由13（+4尸・12消去尤得：（3"+4）/+前叩+3点-12・0,

6mn3w2-12

则"1-菽6".而，

直线Q4与3的斜率分别为"X-2,4-2,

,,JJ'J,

kni-knlt----------匕乙-----------------------坦:-------------

于是心(町+n-2X)m\+n-2)?rrkr;+"〃-2)0',+.!,,)+(«-2)-

犷-12

._______________如1'+4_____________

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