2025年高考数学专项复习：概率（4大考向解读）原卷版

专题10概率

考情概览

命题解读考向考查统计

1.高考对概率的考查，重点是2022・新高考I卷，5

古典概型

(1)理解古典概型及其概率计算公式；2024•新高考I卷，14

(2)会计算一些随机事件所包含的样2024•新高考I卷，9

正态分布

本点及事件发生的概率；2022•新高考n卷，13

(3)理解随机事件的独立性和条件概2023•新高考I卷,7

率的关系，会利用全概率公式计算概独立事件的乘法公式2023•新高考n卷，12

率；2024•新高考n卷，18

(4)理解两点分布、二项分布、超几

何分布的概念，能解决一些简单的实际

2022•新高考I卷,20

问题；条件概率、全概率公式

2022•新高考n卷，19

(5)借助正态分布曲线了解正态分布

的概念，并进行简单应用。

2024年真题研析

命题分析

2024年高考新高考I卷考查了与排列组合综合的古典概型问题，这也是高考常考点之一。同时在多选题

中考查了正态分布及其应用。n卷考查了独立事件的乘法公式，体现在大题中。从今年的考题来看，概率大

题已经不是必考了，而且可以用来作填空的压轴题。这需要大家引起重视，对于概率难题要适当的练习，

说不定在19题中也会出现它的影子。预计2025年高考还是主要考查古典概型和求随机变量的分布列与数

学期望。建议大家要留意一下全概率公式，它将会是一个新的出题点，思维难度会略大。

试题精讲

一、多选题

1.(2024新高考I卷-9)为了解推动出口后的亩收入(单位：万元)情况，从该种植区抽取样本，得到推动

出口后亩收入的样本均值元=2.1,样本方差$2=o,oi,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布

^v(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入y服从正态分布N(除$2),则()(若随机变量Z服从正态分布

N(a,cf2),尸(Z<〃+b)Q0.8413)

A.P（X>2）>0.2B.P（X>2）<0.5

C.P（Y>2）>0.5D.P（r>2）<0.8

二、填空题

2.（2024新高考I卷•14）甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字

1,3,5,7,乙的卡片上分别标有数字2,4,6,8,两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己

持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得1分，数字小的人得0分，然后

各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于2的

概率为.

三、解答题

3.（2024新高考n卷-18）某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成，比赛具体规则如下：第

一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成员为0分；若至少投中一

次，则该队进入第二阶段，由该队的另一名队员投篮3次，每次投中得5分，未投中得0分.该队的比赛成

绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为0,乙每次投中的概率

为4,各次投中与否相互独立.

（1）若p=0.4,4=0.5,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.

（2）假设o<p<g,

（i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

（ii）为使得甲、乙，所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？

近年真题精选

一、单选题

1.（2022新高考I卷-5）从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（）

1112

A.-B.-C.-D.—

6323

二、多选题

2.2023新高考n卷•12）在信道内传输0,1信号,信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为以0<«<1）,

收到0的概率为1-a；发送1时，收到0的概率为4（0<夕<1）,收到1的概率为1-6.考虑两种传输方案:

单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的

信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数

多的即为译码（例如，若依次收到1,0,1,则译码为1）.

A.采用单次传输方案，若依次发送1,0,1,则依次收到1,0,1的概率为（1-0（1-£）2

B.采用三次传输方案，若发送1,则依次收到1,0,1的概率为4（1-4了

C.采用三次传输方案，若发送1,则译码为1的概率为以1-4）2+（1-尸）3

D.当0<a<0.5时，若发送0,则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0

的概率

三、填空题

3.（2022新高考II卷•13）已知随机变量X服从正态分布N（2,b2）,且尸（2<XV2.5）=0.36,则

P（X>2,5）=.

四、解答题

4.（2022新高考I卷-20）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为

良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该

疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：

不够良好良好

病例组4060

对照组1090

（1）能否有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异？

（2）从该地的人群中任选一人，A表示事件“选到的人卫生习惯不够良好”，8表示事件“选到的人患有该疾

P(B\A)P(B\A)

病----I.J------的比值是卫生习惯不够良好对患该疾病风险程度的一项度量指标，记该指标为

P(B|A)P(B|A)

R.

尸(4|3)P(A\B)

⑴证明：R=P(A|5)'P(A|B)

（ii）利用该调查数据，给出P（43）,尸（4月）的估计值，并利用（i）的结果给出R的估计值.

附片=n(ad-bc)~

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

5.（2023新高考I卷21）甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若

末命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为

0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.

（1）求第2次投篮的人是乙的概率；

（2）求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)已知：若随机变量X服从两点分布，且尸(X,=l)=l-尸(X,=0)=q"=l,2,…“则K=蒋,.记

\Z=1JZ=1

前”次(即从第I次到第〃次投篮)中甲投篮的次数为y,求E(y).

6.(2022新高考n卷-19)在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下

的样本数据的频率分布直方图：

(1)估计该地区这种疾病患者的平均年龄(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；

(2)估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间［20,70)的概率；

(3)已知该地区这种疾病的患病率为0.1%,该地区年龄位于区间［40,50)的人口占该地区总人口的16%.从该

地区中任选一人，若此人的年龄位于区间［40,50),求此人患这种疾病的概率.(以样本数据中患者的年龄

位于各区间的频率作为患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001).

必备知识速记

一、古典概型

(1)定义

一般地，若试验E具有以下特征：

①有限性：样本空间的样本点只有有限个；

②等可能性：每个样本点发生的可能性相等.

称试验£为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型.

(2)古典概型的概率公式

一般地，设试验E是古典概型，样本空间。包含"个样本点，事件/包含其中的左个样本点，则定义事件/

的概率//)=&=噌.

''nn(Q)

二、概率的基本性质

(1)对于任意事件/都有：04P(N)41.

(2)必然事件的概率为1,即P(Q)=1；不可能事概率为0,即尸(0)=0.

(3)概率的加法公式：若事件/与事件8互斥，则尸(/U2)=尸(4)+尸(团.

推广：一般地，若事件4，4，…,4,彼此互斥，则事件发生(即4，4，…，4,中有一个发生)的概

率等于这〃个事件分别发生的概率之和，即：尸(4+应+...+4)=尸(4)+尸(4)+…+尸(4)•

(4)对立事件的概率：若事件/与事件8互为对立事件，则次/)=1-尸(2),P(B)=1-P(A),且

P(AU3)=P(A)+P(S)=1.

(5)概率的单调性：若则尸Q)VP(2).

(6)若N,8是一次随机实验中的两个事件，则尸(/U3)=P(/)+P(8)-P(/n8).

三、条件概率

(一)定义

一般地，设/,3为两个事件，且P(/)>0,称尸(5|4)=今等为在事件/发生的条件下，事件8发生的

条件概率.

注意：(1)条件概率P(8|N)中后面就是条件；(2)若尸(N)=0,表示条件/不可能发生，此时用条件

概率公式计算P(BM)就没有意义了，所以条件概率计算必须在P(A)>0的情况下进行.

(二)性质

(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即04尸(8M)V1.

(2)必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0.

(3)如果8与C互斥，则P(8UC|/)=P(3|，)+P(C|4).

注意：(1)如果知道事件/发生会影响事件B发生的概率，那么尸(3)wP(2|Z)；

(2)已知/发生，在此条件下B发生，相当于N2发生，要求尸(切⑷，相当于把/看作新的基本事件空间

计算发生的概率，即P(8M)=半空=二黑=£

„(Q)

四、相互独立与条件概率的关系

(-)相互独立事件的概念及性质

(1)相互独立事件的概念

对于两个事件/,B,如果P(8]/)=P(8),则意味着事件/的发生不影响事件3发生的概率.设

P(A)>0,根据条件概率的计算公式，尸(2)=尸(0/)=名也，从而尸(AB)=尸(⑷尸(3).

尸(⑷

由此我们可得：设N,8为两个事件，若P(AB)=P(A)P(B),则称事件/与事件3相互独立.

(2)概率的乘法公式

由条件概率的定义，对于任意两个事件4与B,若尸(/)>0,则尸(/8)=尸(/)尸(切)).我们称上式为概率

的乘法公式.

(3)相互独立事件的性质

如果事件4,8互相独立，那么/与N与B,彳与月也都相互独立.

(4)两个事件的相互独立性的推广

两个事件的相互独立性可以推广到eN*)个事件的相互独立性，即若事件4,4，…，耳相互独

立，则这，个事件同时发生的概率尸(44…4)=尸(4X4)…尸(4).

(二)事件的独立性

(1)事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)=P(A)-P(B).

(2)当P(2)>0时，/与B独立的充要条件是尸Q|2)=尸(4).

(3)如果尸Q)>0,4与B独立，则尸(引⑷=今篙=T(C=P®成立.

五、全概率公式

(一)全概率公式

(1)P(B)=P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)；

(2)定理1若样本空间。中的事件4，4，…，4满足：

①任意两个事件均互斥，即4H=0,z，，/=i,2,…，”，汴八

②4+4+…+4,=。；

③尸(4)>0,7=1,2,…，力.

则对。中的任意事件B,都有8=84+配+…+A4“，且

P(B)=力(BAjfp⑷P(B|4).

Z-lZ-1

注意：(1)全概率公式是用来计算一个复杂事件的概率，它需要将复杂事件分解成若干简单事件的概率计

算，即运用了“化整为零”的思想处理问题.

(2)什么样的问题适用于这个公式？所研究的事件试验前提或前一步骤试验有多种可能，在这多种可能中

均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式.

(二)贝叶斯公式

(1)一般地，当O<P(/)<1且尸⑻>0时，有PQ⑻=4及富。P(A)P(B|4)

P(A)P(B\A)+P(A)P(B|A)

(2)定理2若样本空间。中的事件4,4,…，4满足：

①任意两个事件均互斥，即44=0,i,j=l,2,…，几，i芋j；

(D4+4—卜4二Q；

③0cp(4)<1,i=L2,…，几.

贝IJ对Q中的任意概率非零的事件B,都有8=54+叫+…+84，

且P(4忸)=生史⑻4)二等)尸⑷4).

尸⑻£尸⑷p(刃4)

Z=1

注意：(1)在理论研究和实际中还会遇到一类问题，这就是需要根据试验发生的结果寻找原因，看看导致

这一试验结果的各种可能的原因中哪个起主要作用，解决这类问题的方法就是使用贝叶斯公式.贝叶斯公

式的意义是导致事件8发生的各种原因可能性的大小，称之为后验概率.

(2)贝叶斯公式充分体现了P(4|8),P(A),P(B),P(B|A),P{B\A),尸(48)之间的转关系，即

P(41B)=,P(AB)=P{A\B)P(B)=P(B\A)P(A)P(B)=P(A)P(B|A)+P(A)P(B|A)之间的内在联

系.

六、离散型随机变量的分布列

1、随机变量

在随机试验中，我们确定了一个对应关系，使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关

系下，数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.随机变量

常用字母X,Y,J,〃，…表示.

注意：(1)一般地，如果一个试验满足下列条件：①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可

能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之

前不能确定这次试验会出现哪个结果.这种试验就是随机试验.

(2)有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数来表示.如掷一枚硬币，X=0表示反面向上,

X=1表示正面向上.

(3)随机变量的线性关系：若X是随机变量，Y=aX+b,a,6是常数，则F也是随机变量.

2、离散型随机变量

对于所有取值可以一一列出来的随机变量，称为离散型随机变量.

注意：(1)本章研究的离散型随机变量只取有限个值.

(2)离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：①如果随机变量的可能取值是某一区间内的一切值，

这样的变量就叫做连续型随机变量；②离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果,

但离散型随机变量的结果可以按一定的次序一一列出，而连续型随机变量的结果不能一一列出.

3、离散型随机变量的分布列的表示

一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为再，马，…，七，…，，X取每一个值％(i=1,2,…，〃)的概

率P(X=x,.)=q,以表格的形式表示如下:

X玉x2%

PPlPlPiPn

我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列.有时为了简单起见，也用等式

P(X=X)=Pj,i=1,2,…，”表示X的分布列.

4、离散型随机变量的分布列的性质

根据概率的性质，离散型随机变量的分布列具有如下性质：

(1)PjNO，z=1,2,­••,«;(2)P]+p,H-----1■=1,

注意：

①性质(2)可以用来检查所写出的分布列是否有误，也可以用来求分布列中的某些参数.

②随机变量/所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率.

七、离散型随机变量的均值与方差

1、均值

若离散型随机变量X的分布列为

X玉X2Xi居

PPlPlAPn

称E(X)=xlPl+x2p2+---+x血+…+xnpn=1为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取

值的平均水平.

注意：(1)均值E(X)刻画的是X取值的“中心位置”，这是随机变量X的一个重要特征；

(2)根据均值的定义，可知随机变量的分布完全确定了它的均值.但反过来，两个不同的分布可以有相同

的均值.这表明分布描述了随机现象的规律，从而也决定了随机变量的均值.而均值只是刻画了随机变量

取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质.

2、均值的性质

(1)E©=C(C为常数).

(2)若y=°X+b,其中a,b为常数，则V也是随机变量，且E(aX+b)=aE(X)+6.

(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).

(4)如果毛，昭2相互独立，则以入「占)=颐乂)/(口)・

3、方差

若离散型随机变量X的分布列为

X玉X2XiXn

PPlPlPiPn

则称。(X)=£(±-E(X))2p1为随机变量x的方差，并称其算术平方根Jz)(X)为随机变量X的标准差.

Z=1

注意：⑴(x,_£(X))2描述了%0=1,2,…，")相对于均值E(X)的偏离程度，而£>(X)是上述偏离程度的

加权平均，刻画了随机变量x与其均值E(X)的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差均反映了随机变量

取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；

(2)标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.

4、方差的性质

(1)若¥=。万+6,其中。乃为常数，则y也是随机变量，且。(aX+6)=/o(x).

(2)方差公式的变形：O(X)=£(X2)-[E(X)]2.

八、两点分布

1、若随机变量X服从两点分布，即其分布列为

X01

P1-PP

其中0<0<1,则称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布.其中P(X=1)称为成功概率.

注意：

(1)两点分布的试验结果只有两个可能性，且其概率之和为1;

(2)两点分布又称0-1分布、伯努利分布，其应用十分广泛.

2、两点分布的均值与方差：若随机变量X服从参数为0的两点分布，贝i]E(X)=lxp+0x(l-p)=0,

z)(x)=p(i3

九、"次独立重复试验

1、定义

一般地，在相同条件下重复做的n次试验称为"次独立重复试验.

注意：独立重复试验的条件：①每次试验在同样条件下进行；②各次试验是相互独立的；③每次试验都只

有两种结果，即事件要么发生，要么不发生.

2,特点

(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的；

(2)每次试验中的事件是相互独立的，其实质是相互独立事件的特例.

十、二项分布

1、定义

一般地，在〃次独立重复试验中，用X表示事件/发生的次数，设每次试验中事件/发生的概率为°,不

发生的概率q=l-p,那么事件⑷恰好发生人次的概率是P(X=A)=C：plT(左=0,1,2,…，〃)

于是得到X的分布列

X01kn

ck4〜n—k

Pc>VC〃PqC：P”q。

由于表中第二行恰好是二项式展开式

(q+p)"=C°poq"+C：piqi+…尸+---+C：p-q°各对应项的值，称这样的离散型随机变量X服从

参数为〃，0的二项分布，记作X〜2(",p),并称p为成功概率.

注意：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即〃=1时的二项分布，所以二项分

布可以看成是两点分布的一般形式.

2、二项分布的适用范围及本质

(1)适用范围：

①各次试验中的事件是相互独立的；

②每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生；

③随机变量是这九次独立重复试验中事件发生的次数.

(2)本质：二项分布是放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

3、二项分布的期望、方差

若X〜B(n,p),则E(X)="0,D(X)=np(l-p).

4^一、超几何分布

1、定义

在含有"件次品的N件产品中，任取”件，其中恰有X件次品，则事件｛X=左｝发生的概率为

「n-k

P(X=k)=M:-M,k=0,],2,m，其中"z=min｛M,n],且M<Nt〃，M,

NeN*,称分布列为超几何分布列.如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几

何分布.

X01m

z-»00Z-*1z-rn—1

P

QQ玛

2、超几何分布的适用范围件及本质

(1)适用范围：

①考察对象分两类；

②已知各类对象的个数；

③从中抽取若干个个体，考察某类个体个数y的概率分布.

(2)本质：超几何分布是不放回抽样问题，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的.

十二、正态曲线

1

1、定义：我们把函数夕”(x)=7-exe(-oo,+oo)(其中〃是样本均值，。是样本标准差)的图

>/2ncr

象称为正态分布密度曲线，简称正态曲线.正态曲线呈钟形，即中间高，两边低.

2、正态曲线的性质

⑴曲线位于X轴上方，与X轴不相交;

(2)曲线是单峰的，它关于直线X=〃对称;

曲线在x=〃处达到峰值(最大值)了二；

(3)

(4)曲线与x轴之间的面积为1；

(5)当。一定时，曲线的位置由〃确定，曲线随着〃的变化而沿x轴平移，如图甲所示:

(6)当〃一定时，曲线的形状由b确定.。越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；。越大，曲线

越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示：：

十三、正态分布

1、定义

随机变量X落在区间(“，可的概率为P(a<X46)=J：%,(x)dx,即由正态曲线，过点(a,0)和点(6,0)的

两条X轴的垂线，及x轴所围成的平面图形的面积，如下图中阴影部分所示，就是X落在区间(0,可的概率

的近似值.

一般地，如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量X满足尸(a<X4b)=J：%b(x)dx,则称随机变量X服

从正态分布.正态分布完全由参数〃，b确定，因此正态分布常记作"(〃，4).如果随机变量X服从正态

分布，则记为X~NQ/,4).

其中，参数〃是反映随机变量取值的平均水平的特征数，可以用样本的均值去估计；b是衡量随机变量总

体波动大小的特征数，可以用样本的标准差去估计.

2、3cr原则

若X~N(/i,o、,则对于任意的实数。>0,尸(〃-a<X4〃+a)=『夕必其幻心为下图中阴影部分的面积,

对于固定的〃和。而言，该面积随着。的减小而变大.这说明。越小，X落在区间(〃-a,〃+切的概率越大,

即X集中在〃周围的概率越大

特别地，有P（〃一b<XV〃+b）=0.6826；P（〃一2b<XV〃+2（r）=0.9544；尸（〃一3。<XW〃+3。）

=0.9974.

由P(〃-3b<XW〃+3b)=0.9974,知正态总体几乎总取值于区间(〃-3cr,〃+3(r)之内.而在此区间以外

取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生，即为小概率事件.在实际应用

中，通常认为服从于正态分布N(〃，〃)的随机变量x只取(〃-3b,〃+3b)之间的值，并简称之为3b原

则.

【概率常用结论】

一、古典概型

1、解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数〃与事件/中所包含的基本事件数.

因此要注意清楚以下三个方面：

(1)本试验是否具有等可能性；

(2)本试验的基本事件有多少个；

(3)事件/是什么.

2、解题实现步骤：

(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；

(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件/；

(3)分别求出基本事件的个数〃与所求事件/中所包含的基本事件个数机；

工"中八小/包含的基本事件的个数上山击巾加为

(4)利用公式尸(/)=——甘*一处%*将——求出事件N的概率.

基本事件的总数

3、解题方法技巧：

(1)利用对立事件、加法公式求古典概型的概率

(2)利用分析法求解古典概型.

①任一随机事件的概率都等于构成它的每一个基本事件概率的和.

②求试验的基本事件数及事件/包含的基本事件数的方法有列举法、列表法和树状图法.

二、随机变量的分布列和数学期望

1、超几何分布和二项分布的区别

(1)超几何分布需要知道总体的容量，而二项分布不需要；

(2)超几何分布是“不放回”抽取，在每次试验中某一事件发生的概率是不相同的；

而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)，在每次试验中某一事件发生的概率是相同的.

2、在解决有关问题时，通常认为服从正态分布的随机变量x只取(〃-3°,〃+3G之间的值.如果

服从正态分布的随机变量的某些取值超出了这个范围就说明出现了意外情况.

3、求正态变量x在某区间内取值的概率的基本方法：

（1）根据题目中给出的条件确定〃与b的值.

（2）将待求问题向（〃-b,〃+司，（〃-2cr,〃+2b］,（〃-3（7,〃+3cr］这三个区间进行转化；

（3）利用x在上述区间的概率、正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1求出最后结果.

4、假设检验的思想

（1）统计中假设检验的基本思想：根据小概率事件在一次试验中几乎不可能发生的原则和从总体中抽测的

个体的数值，对事先所作的统计假设作出判断：是拒绝假设，还是接受假设.

（2）若随机变量。服从正态分布N（〃,4）,则^落在区间（〃-3b,〃+3b］内的概率为0.9974,亦即落在区

间（〃-3。，〃+3b］之外的概率为0.0026,此为小概率事件.如果此事件发生了，就说明J不服从正态分

布.

（3）对于小概率事件要有一个正确的理解：

小概率事件是指发生的概率小于3%的事件.对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每试验大约33

次，才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的.不过应注意两点：一是这里的“几乎

不可能发生”是针对‘一次试验”来说的，如果试验次数多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用，小

概率事件几乎不可能发生的原理”进行推断时，也有3%犯错的可能性.

名校模拟探源

一、单选题

1.（2024•内蒙古•三模）三人被邀请参加一个晚会，若晚会必须有人去，去几人自行决定，则恰有一人参

加晚会的概率为（）

A.。B.-C.-D.

2738

2.（2024・河北保定•三模）某火锅店在每周的周一、周三、周五、周日会安排员工跳舞蹈“科目三”，已知

某人在一周的七天中，随机选择两天到该店吃火锅，则该人能欣赏到舞蹈“科目三”的概率为（）

5643

A.—B.—C.—D.—

7777

3.（2024・湖南长沙•三模）已知随机变量X服从正态分布且

尸（X<2-左）=P（X>2+左）=0.3,左>0,贝！］尸（2<X42+后）=（）

A.0.2B.0.3C.0.7D.0.8

4.（2024・安徽•三模）已知正方体的棱长为1,若从该正方体的8个顶点中任取4个，则这4个点可以构成

体积为g的四面体的概率为（）

5.（2024•山东日照•三模）从标有1,2,3,4,5的5张卡片中有放回地抽取三次，每次抽取一张，则出

现重复编号卡片的概率是（）

,1213八2223

A.—B.—C.—D.-—

25252525

6.（2024•河南•三模）已知

P（//-cr<X<//+cr）=0.6827,<X<〃+2cr）=0.9545,P（〃-3crWX<〃+3cr）=0.9973.某体育器材

厂生产一批篮球，单个篮球的质量y（单位：克）服从正态分布N（600,4）,从这一批篮球中随机抽检300

个，则被抽检的篮球的质量不小于596克的个数约为（）

A.286B.293C.252D.246

7.（2024•江西鹰潭・三模）抛掷一枚骰子两次，将得到的点数分别记为6,贝心，46能构成三角形的概率

是（）

7521

A.—B.—C.-D.—■

121233

8.（2024・四川内江•三模）文明是一座城市最靓丽的底色，也是一座城市最暖的名片.自内江市开展“让文

明出行成为甜城靓丽风景”文明实践日活动以来，全市广大学子以实际行动提升城市文明形象，助力全国文

明城市创建工作.在活动中，甲、乙两名同学利用周末时间到交通路口开展文明劝导志愿服务工作，他们

可以从四个路口中随机选择一个路口，设事件M为“甲和乙至少有一人选择了A路口”，事件N为

“甲和乙选择的路口不相同”，则尸（N|M）=（）

5675

A.-B.—C.-D.—

6789

9.（2024・贵州毕节•三模）某学生的。。密码是由前两位是大写字母，第三位是小写字母，后六位是数字

共九个符号组成.该生在登录。。时，忘记了密码的最后一位数字，如果该生记住密码的最后一位是奇数,

则不超过两次就输对密码的概率为（）

,1121

A.—B.-C.-D.-

10552

10.（2024・四川眉山•三模）四名同学参加社会实践，他们中的每个人都可以从4瓦c三个项目中随机选择

一个参加，且每人的选择相互独立.这三个项目中恰有一个项目没有被任何人选择的概率为（）

1521八1420

A.—B.~~C.—D.—

16322727

11.（2024•江西景德镇•三模）六位爸爸站在幼儿园门口等待接六位小朋友放学，小朋友们随机排成一列队

伍依次走出幼儿园，爸爸们也随机分两列队伍依次排队站在幼儿园门口的两侧，每列3人.则爸爸们不需要

通过插队就能接到自己家的小朋友的概率为（）

11八11

A.-B.—C.—D.----

63672108

12.（2024•河南南阳•三模）甲袋中有3个红球，3个白球和2个黑球；乙袋中有2个红球，2个白球和4

个黑球.先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A,B,C表示事件“取出的是红球”、“取出的是白球”、

“取出的是黑球“；再从乙袋中随机取出一球，以。表示事件“取出的是白球“，则下列结论中不正确的是

（）

A.事件A,B,C是两两互斥的事件B.事件A与事件。为相互独立事件

21Q

C.P[D\A）=-D.P（D）=五

13.（2024・四川凉山•三模）凉山地区学生中有50%的同学爱好羽毛球，60%的同学爱好乒乓球，70%的同

学爱好羽毛球或乒乓球.在凉山地区的学生中随机调查一位同学，若该同学爱好羽毛球，则该同学也爱好

乒乓球的概率为（）

A.0.4B.0.5C.0.8D.0.9

14.（2024•安徽马鞍山•三模）甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分

组”“宣传组”三个岗位中随机选择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的

概率为（）

二、多选题

15.（2024・浙江绍兴•三模）已知随机变量X~N（4,2）,若尸（X>6）=a,P（4<X<6）=b,则（）

A.a+6=gB.P（X<2）=a

C.E（2X+1）=4D.O（2X+1）=8

16.（2024•湖南长沙•三模）某校在运动会期间进行了一场“不服来战”对抗赛，由篮球专业的1名体育生组

成甲组，3名非体育生的篮球爱好者组成乙组，两组进行对抗比赛.具体规则为甲组的同学连续投球3次，

乙组的同学每人各投球1次.若甲组同学和乙组3名同学的命中率依次分别为不不则（）

3256

13

A.乙组同学恰好命中2次的概率为'

B.甲组同学恰好命中2次的概率小于乙组同学恰好命中2次的概率

C.甲组同学命中次数的方差为:

D.乙组同学命中次数的数学期望为II

17.（2024・云南昆明•三模）在一个有限样本空间中，事件48,C发生的概率满足

P（/）=P（8）=尸（C）=g,尸（/U8）=；,/与C互斥，则下列说法正确的是（）

/1

A.尸（NC）=§B./与3相互独“

1Q

C.P（ABC）=—D.P（^U5UC）＜|

18.（2024•山东青岛•三模）某新能源车厂家2015-2023年新能源电车的产量和销量数据如下表所示

年份201520162017201820192020202120222023

产量（万台）3.37.213.114.818.723.736.644.343.0

销量（万台）2.35.713.614.915.015.627.129.731.6

记“产销率”=妥言xl00%,2015-2023年新能源电车产量的中位数为%,则（）

产量

A.m=18.7

B.2015-2023年该厂新能源电车的产销率与年份正相关

2

C.从2015-2023年中随机取1年，新能源电车产销率大于100%的概率为§

D.从2015-2023年中随机取2年，在这2年中新能源电车的年产量都大于加的条件下，这2年中新

能源电车的产销率都大于70%的概率为，

0

19.（2024•福建三明•三模）假设甲袋中有3个红球和2个白球，乙袋中有2个白球和2个红球.现从甲袋

中任取2个球放入乙袋，混匀后再从乙袋中任取2个球.下列选项正确的是（）

A.从甲袋中任取2个球是1个红球1个白球的概率为g

B.从甲、乙两袋中取出的2个球均为红球的概率为《

C.从乙袋中取出的2个球是红球的概率为3孟7

D.已知从乙袋中取出的是2个红球，则从甲袋中取出的也是2个红球的概率为］

20.（2024•河南・二模）现有编号分别为4。=1，2,3）的三个盒子，其中4盒中共20个小球，其中红球6个,

4盒中共20个小球，其中红球5个，4盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记

事件A：“该球为红球”，事件g：“该球出自编号为41=1,2,3）的盒中”，则下列说法正确的是（）

A.尸（如阳=历

B.尸（J

c「（瓦M喘

D.若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自4盒的概率最小

三、填空题

21.（2024・上海・三模）将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1,2,4,5,6,x,则这

6个点数的中位数为4的概率为.

22.（2024•上海闵行•三模）3名男生和2名女生排成一排，则女生互不相邻的排法的概率为.

23.（2024・山东济宁•三模）甲和乙两个箱子中各装有6个球，其中甲箱子中有4个红球、2个白球，乙箱

子中有2个红球、4个白球，现随机选择一个箱子，然后从该箱子中随机取出一个球，则取出的球是白球的

概率为.

24.（2024・北京•三模）在统计调查中，对一些敏感性问题，要精心设计问卷，设法消除被调查者的顾虑,

使他们能够如实回答问题.否则，被调查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某中学为了调查本校中

学生某不良习惯N的发生情况，对随机抽出的200名中学生进行了调查.调查中设置了两个问题：

问题1：你的阳历生日日期是否偶数？问题2：你是否有/习惯？

调查者准备了一个不透明袋子，里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球.每个被调查

者随机从袋中摸出1个球（摸出的球再放回袋中并搅拌均匀），摸到白球的学生如实回答第一个问题，摸

到红球的学生如实回答第二个问题，回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子，回答“否”的人什么都不

做.已知调查结束后，盒子里共有55个小石子.据此估计此中学学生中有习惯/的人数的百分比

为.

25.（2024・天津滨海新•三模）随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来

天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风

景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为.这两位游客中至

少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率.

26.（2024・广东广州•三模）在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1,2,3,4的四个外观相同的空箱子中随机选

择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个

箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以

便增加中奖概率.现在已知甲选择了1号箱，用4表示i号箱有奖品（，=1,2,3,4）,用口表示主持人打开i

号箱子（”2,3,4）,则尸（闻4）=,若抽奖人更改了选择，则其中奖概率为.

27.（2024•河北张家口•三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛11分制，若比分打到10:10时，需要

3

一人比另一人多得两分，比赛才能结束.已知