2025年高考数学重难点训练：数列（解析版）

高考仿真重难点训练08数列

一、单选题

1.记等差数列｛%｝的前见项和为S“，若%+%=20,%=9,贝岫0=（）

A.60B.80C.140D.160

【答案】C

【分析】根据给定条件，求出等差数列｛q｝的公差及首项，再利用前〃项和公式计算即得.

【解析】等差数列｛%｝中，。3+。4=4+4=2。，而〃3=9,则。4=11，

公差d=a4—a3=2,a1=a3—2d=5,

所以Si。=lOflj+10（l；_l）o=no.

故选:c

2.若数列｛%｝的前〃项和S“="（"+l）,则以等于（）

A.10B.11C.12D.13

【答案】C

【分析】根据。”与3关系求解即可.

【解析】«6=S6-S5=6X7-5X6=12.

故选：C.

3.若数列｛4｝是公比为4的等比数列，且log?%+log?%=3,/％。=4,贝恒的值为（

A.2B.4C.±2D.±4

【答案】A

【分析】根据给定条件，可得。“>。，利用对数运算及等比数列性质求出置

【解析】数列｛4｝中，由log?%+log2al3=3,知%>°，％3>°，则4,>。，

又log2aM3=3,于是=2^=8,jfjja4a12==4,

〃463

所以4==2

04。12

故选：A

4.设｛。〃｝是等差数列，下列结论中正确的是（）

A.若的+42>。，则&2+6（3>0B.若6+。3<。，则4+为<0

C.若0<的<。2，则。2>D.若可<。，贝!］（42—的）（£14—。1）<0

【答案】c

【分析】设｛a"的公差为d,根据公差d的正负不确定可判断AB；根据等差中项、基本不等式可判断C；利

用等差数列通项公式可判断D.

【解析】设｛即｝的公差为d,

对于A,•••ar+a2=2al+d>0,ar+a3-2al+d+2d,

因为公差d的正负不确定，所以2的+3d的正负不确定，故A错误；

对于B,1•,ar+a3-2al+2d<0,a±+a2-2al+2d—d,

因为公差d的正负不确定，所以2的+d的正负不确定，故B错误；

无I"丁，C,a1+'2a2，所kA2a2=a1+ct2N2Ja】GL3,t'ta?—Ja1

-a

X--a2>i>故不存在％=a2=（Z3使原式取等情况，a2>故C正确；

对于D,若％<0,则（a2—即）（。4—%）=（a1+d—%）31+3（—%）=3d?20,

所以（。2-%）（。4一%）20,故D错误.

故选：C.

5.数列｛册｝是等差数列，s.是数列5｝的前w项和，九小p应是正整数，甲：S"十S"=Sp+Sg,乙:m+n=p+q,

则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【分析】利用等差数列的性质、充分条件、必要条件求解.

【解析】数列信”｝是等差数列，S,是数列｛%｝的前〃项和，机，n,p,4是正整数，

甲：Sm+S“=Sp+Sq,乙：m+n=p+q,

则甲不能推出乙，

例如等差数列1,2,3,4,5,•••,中，

凡=1,星=3,邑=6,S4=10,$5=15,

S1+S5=S3+S4,但1+5.3+4,即充分性不成立;

乙不能推出甲，

例如等差数列1,2,3,4,5,…，中，

Sj=1,星=3,邑=6,S4=10,S5=15,

1+4=2+3,但I+S&wS2+53，即必要性不成立,

甲是乙的不充分不必要条件.

故选：D.

6.在数列｛4｝中,已知5+2)q廊=”,则它的前30项的和为（）

19282930

A.—B.—C.—D.—

29293031

【答案】D

【分析】由题意可得也=n1士,再由数列的裂项相消求和，计算可

运用数列的恒等式可得&

%n

得所求和.

【解析】解：由（〃+2）氏+1=nat

可得/

a2%an1123n-11J___1_

=

所以当〃22时，an-Cl,-------------...--------—X-X—X-X...X=

qa22345〃+1n(n+1)nn+1'

又％=!=1_£，

22

所以一一二

nn+1

1111।130

所以%=1-5-------------F...H--=---1-------------=—

2330313131

故选：D.

7.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规

律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为60。），再沿直线繁殖，…；

②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象

为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心。开始，沿直线繁殖到Ai，然后分叉向右与

方向继续繁殖，其中乙%442=60°,且与关于。4所在直线对称，41A1=A1A2=1OAI--

若。4n=4cm,为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r（reN*,单位：cm）至少

为（）

分叉

D.9

【答案】C

【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在。泉方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算

公式，即可判断答案.

【解析】由题意可知，0Ai=4cm,只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即

可确定培养皿的半径的范围,

依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在。%方向上前进的距离依次为:

42x右1乜白17

贝l|4+2x立+1+L3=5+地>5+r7,

2224

黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和,

4+1+；+1146216+4有16+8。

x2+—+—+«-+——x-------<-----=O

即(281-1233

41--

44

综合可得培养皿的半径r（reN*,单位：cm）至少为8cm,

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌

的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可.

111nli1

8.数列｛外｝中，q=2,an+l=a^-an+\,记4=—+—++一，B"=——一一,则（）

axa2an

A.^2024+82024〉1B.^2024+为024<1C.4()24~^2024>]D.4()24—^2024^

【答案】C

11114c；即可累乘求解之

【分析】根据一=—［，即可累加求解4024,由一二,024,即可判定AB,利用

aa-1

%T„+iTn氏+1

“〃+1—+1=—I）之。可得。2025>7,即可求解CD.

【解析】由。〃+1=。;一。〃+1可得4+1—1=%（q一1）,

由于。1=2,所以IwO,

1111111

故％n——=----H，故

3T4(a〃T)4Tanan4Tun+l1

111(111111、

=--1--F-4---=+++

①%024^2024—142025-17

11

一二1-------

Q]—1。2025一1。2025T

z、，1Cl—1

又an+l-l=an(«„-1)可得/=丁;

Un4+11

in111_。1-1、,。2一1、，、，％024-1_%T1

因止匕82024=---------------------------------X-------------Xx---------------------------------

故4()24+82024=1，故AB错误,

又%+i-a“=4；-2%+1=(%-I)?>0,又因为q=2,则等号无法取到,

故%025>“2024>“2023>>出>4，

21

由于〃2=3,%=7,故“2025>7,因此------<-

“2025—13

42

“2024―^2024二17>2」，故C正确，D错误,

“2025—132

故选：C

=d-％+1变形为；=111上;，即可累加以及累乘求解

【点睛】关键点点睛：将。用1■和一二

Un为T4+1一1an4+1—i

4024,82024.

二、多选题

-9,"为奇数

2

9.已知数列｛4｝的前〃项和为弘且S“=,则下列判断正确的是（）

为偶数

12

A.aio=-H

B.当〃为奇数时，4=-"-1

C.当〃为偶数时，an=n+l

1n

D.数列——的前〃项和等于一(、

[a„an+1\2(W+2)

【答案】BCD

【分析】根据题意，得到〃为奇数时，。”=-〃-1,可判定B正确；当〃为偶数时，«„=»+1,所以所以A

错误，C正确；由一^=-(一二-一求得数列的前〃项和，可判定D正确.

aa

„n+il"+l[a„an+l]

一丝2,“为奇数

【解析】由3=2，可得4=S]=-2,久=3,

为偶数

12

当〃为奇数且心3时，…s,-=「---其中6符合,

所以当〃为奇数时，a„=-n-\,所以B正确;

当〃为偶数时，g=5“一5._=3-1一胃口]=〃+1，所以A错误，C正确;

,/、/、11.11、

又由4A+i-----=-7八;八二-7-----，

、八anan+l(〃+1)(〃+2)<71+1n+2)

111111111

所以数列的前几项和为北=一-----1------1F•••H

4%233445-----〃+1〃+2

11n

=一]+小=一而②，所以D正确•

故选：BCD.

10.已知数列｛4｝对任意的整数〃W3,都有/**=(*-4际，则下列说法中正确的有()

A.若%=2,2=2,贝IJ%=2

B.若“1=1,%=3,则口2向=2〃+l(〃£N)

C.数列｛4｝可以是等差数列

D.数列｛〃“｝可以是等比数列

【答案】BC

【分析】利用赋值，递推式以及假设法，即可逐一选项进行判断.

【解析】若%=2,%=2,

当〃=4时，lb%%=12”：，

3

解得4=］，故A错;

若4=1,%=3,

当〃=3时，9axa5=5aj,

解得％=5,

当〃=5时，25〃3%=21〃；，

解得%=7,

L,

根据递推关系可知，

当〃为奇数，即勿=2九+1时，

%+i=2〃+l(〃wN),故B正确；

若氏二"，

贝I]n2(n-2)(n+2)=(n2-4)n2成立，

故数列｛%｝可以是等差数列，即C正确;

若数列｛%｝是等比数列，假设公比为9,

则由"2**=(”2-4)年，

得5+1)2-%+3=[(〃+1)2-4]晨],

两式相除得，竺1工也4±1=”0三%，

a

«-n-2«„+2犷-4a；

即5+I))2_(»+iy-42

n2Q~zr-4q

解得〃=-；,不符合题意，

则假设不成立，故D错.

故选：BC

1L记数列｛%,｝的前〃项和为S,,,则下列说法错误的是()

A.若存在MeN*,使得闻4/恒成立，则必存在M4N*,使得㈤恒成立

B.若存在MeN*,使得同VM恒成立，则必存在N*,使得恒成立

C.若对任意MeN*,图</恒成立，则对任意M蝶N*,㈤W”恒成立

D.若对任意MeN*,㈤恒成立，则对任意M百N*,同|<”恒成立

【答案】BCD

【分析】由两个数的差的绝对值小于等于两个数的绝对值之和结合己知可得A正确；举反例令《=1,Sn=n

l,n=l

可判断BD错误；举反例令c可得C错误（注意题目中让选错误的）.

2（-1）,n>2

【解析】对A：若国〈”恒成立,则同=团VM,同=\Sn-5„_1|<|S„|+|S„"1|<2M（n>2）,故A正确;

对B、D：反例为。〃=1,Sn=几,故B、D错误；

1,M=1

对C：反例为1,故C错误.

2（-1）,n>2

故选：BCD.

【点睛】方法点睛：对于抽象数列题，可用排除法快速选择，较为简便快捷.

三、填空题

12.已知数列｛q｝中，an=air-n,且｛%｝是递增数列，则实数a的取值范围为

【答案】

【分析】由。向-4,>0恒成立，可得a>三二，求得不二的最大值即可.

【解析】%+i一〃"=[〃（几+1）+）=2a〃+a—1>0恒成立，

团〃（2〃+1）>1,1

2〃+1

团〃EN+，团------<-,回〃>一.

2〃+133

团实数。的取值范围为（；,+8）.

故答案为：（―,+co）.

13.若数列｛凡｝满足对任意整数〃有=2"2-〃成立，则在该数列中小于100的项一共有项.

i=\

【答案】25

【分析】根据。“与S”的关系求出数列｛4｝的通项，再令凡<100即可得解.

【解析】设数列｛g｝的前〃项和为5“，

贝电=2/-〃，

当〃=1时，％=耳=1,

22

当几之2时，an=S〃一S〃_i=2n-n-2(n-l)+(n-l)=4n-3,

当〃=1时，上式也成立，

所以〃〃=4九一3,

令%=4〃-3<100,则〃<U10£3,

4

所以在该数列中小于100的项一共有25项.

故答案为：25.

14.〃-1,0,1序列〃在通信技术中有着重要应用，该序列中的数取值于T。或1.设A是一个有限〃TO」序列〃，

/(A)表示把A中每个T都变为-1,0,每个0都变为-M,每个1都变为0,1,得到新的有序实数组.例如：

A=(—1,0,1),则〃A)=(-1,0,—L1,0,1).定义A.=〃4),左=1,2,3,…，若A=(T1),4中1的个数记为bn,

则｛5｝的前10项和为.

【答案】682

【分析】设4中有c“项为o,其中1和-1的项数相同都为a，由已知条件可得约一+」产丁一⑺2劣①，

2=2-+Ca522)②，进而可得2+%=2"T(心2)③，再结合2+2M=2"④，可得

522),分别研究〃为奇数和偶数时｛.｝的通项公式，运用累加法及并项求和即可得到结果.

【解析】因为4=(T1),依题意得,4=(-1>0,0,1),4=(-1,0,-1,1,-1,1,0,1),

显然，4中有2项，其中1项为-1,1项为1,4中有4项，其中1项为-I,1项为1,2项为0,4中有

8项，其中3项为-1,3项为1,2项为0,

由此可得4中共有2"项，其中1和-1的项数相同，

设4中有4项为0,1和-1的项数相同都为4，所以22+1=2",用=1,

从而24T+C"T=2"T("22)①，

因为/(A)表示把A中每个-1都变为-1,0,每个0都变为-M,每个1都变为0,1,

得到新的有序实数组，

则或=%+%（心2）②，

①+②得2+%=2"7（，让2）③,

所以2+%1=2"④,

④一③得%「如=*（〃22）,

?〃+1

所以当〃为奇数且心时，—/（0%）++（…+25=丁,

经检验，当〃=1时符合，所以2=■1（〃为奇数），

当〃为偶数，则n-1为奇数，又因为%+2=21（心2）,

二2八2七12n-l

所以2

~33

子〃为奇数

所以"=<

Z1,“为偶数

当〃为奇数时，2+%1=2*+"二1=2",

""+133

13579

所以｛%｝的前10项和为（4+4）+（4+%）+（4+%）+电+a）+（%+狐）=2+2+2+2+2=2"4，）=682.

1—4

故答案为：682

【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有:

（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；

（2）由己知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转化为数学语言;

（3）将已知条件代入新定义的要素中；

（4）结合已学数学知识进行解答.

四、解答题

15.数列｛4｝满足％=1,an+1=ar,+n+l.

⑴求数列｛见｝的通项公式；

（2）若数列也｝满足么=一,求数列也｝的前〃项和.

【答案】⑴%=上出

【分析】（1）利用累加法结合等差数列求和公式即可得解；

（2）直接用裂项相消法即可求解.

【解析】（1）因为。“+1-。〃=〃+1,所以（。"+2-q+1）-（。〃+1-为）=（〃+2）-（〃+1）=1,

又％-%=1+1=2

因此｛4+「凡｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

设｛。用『｝的前n项和为S“，则S,,=必叫，

2

又由Sn=an+l-an+an-an_T---ax=%=an+l-1,

京曰n2+3n+2—l）2+3（n—1）+2H2+n/、

侍4,+i=-2—'4=\———L_=（“22），

4zz

2

当九=1时，经检验也满足%=2^,

2

(2)b=——.因此4+优+…+勿=2-----1------1---1------

nn+n12+122+2r^+n

+(2+1)-2

1(1+1)2(2+1)

2

〃+1

16.已知数列｛q｝满足卬=2,

（1）证明：数列是等差数列;

⑵设2=色±&1,求也｝的前”项和加

an

【答案】⑴证明见解析

【分析】（1）利用等差数列的定义即可证明;

2”

（2）根据（1）问，求出数列的通项公式，从而求得数列｛4｝的通项公式，进而可求得数列｛%｝的通

an

项公式，最后利用裂项相消求和法求得（

2n2n+ia

【解析】（1）证明：令G=一又。用=:#，则有

an

2〃+2〃」“+2〃2〃_]

aa

nnanan

212

又％=2,所以q=[Q=l

所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列

(2)由(1)矢口，=q=1+(〃-1)x1=〃,

2〃

又C,=一，所以a“=一，

a,n

".2"+3

所以2=4±i4±i_一+1几+2

一T(几+1)(〃+2)

n

〃+2

17.己知数列｛%｝是等差数列，4+。2+3/=25,且%+2,%，%-2成等比数列，b„=---,数列也｝

an'an+\

的前"项和为1

⑴求数列｛见｝的通项公式及数列｛〃｝的前n项和T,

（2）是否存在正整数n使得（，Tm,7；成等比数列？若存在，求出所有的如〃的值；若不

存在，请说明理由.

【答案】（1）%=2〃一1,T=~~

n2n+l

(2)存在，m=2,〃=12

【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差，得到通项公式，并利用错位相减法求和；

（2）假设存在正整数如〃（1<小<〃），使得小图，成等比数列，得到方程，得到〃=一*——>0,

-2m+4m+l

求用范围，即得结论.

【解析】（1）由题意在等差数列｛4J中，设公差为力

由q+4+3。4=25,得5%+10d=25,则4+2d=%=5,

又〃3+2,〃4,%-2成等比数列，

团7,5+d,3+2d成等比数列，得(5+d)2=7(3+2d),

即(d-2)2=0,得d=2,

团4=%+(〃—3)d=2〃—1,〃£N*,

团数列｛厮｝的通项公式为：an=2n-\(neN*).

M_1_1_1（11、

aa?

田"n'n+i(2n-l)(2n+l)2(2〃一12n+lJ

T.7Z,1fl11111111

^\T—b,+b2+b3++/?—,1++++

"123n2{335572n-l2n+l)

小-2^1

（2）若存在正整数加，n（1<"2<〃），使得（，Tm,7；成等比数歹lj,

则方=7；/，即(产

\2m+l)32n+l

化简得：n=—之—>0,解得：］一旦“<1+亚

-2m+4m+122

又根>1且AHEN*,所以m=2,几=12,

故存在正整数根=2,〃=12,使得北，Tm,7；成等比数列.

18.已知｛《,｝是等差数列，其前n项和为是等比数列，已知4=1,$3=6,仿=的，%是为和”的等

比中项.

⑴求｛4｝和也｝的通项公式；

⑵求数列的前”项和

「4T4-n11v-n11

⑶记％=力’求证：2一万+西（自弓＜5一^+尸.

【答案】⑴％"也=2"

〃+2

(2)1=2-~r~

⑶证明见解析

【分析】（1）由4=1，$3=6求出。“，利用又a是双和”的等比中项、b=电求出或；

（2）利用错位相减法求出（；

（3）利用放缩法求和可得答案.

3x2

【解析】（1）由题意％=LS3=3ai-\——d=3^+3（1=6f

d=194=1+（〃—1）=〃，

又4=%=2,小是〃4和4的等比中项，得〃；二〃4。4，

又&=4,。8=8,64=42，a=4/=2/=16,解得9=2,

.•.么=2・21=2〃；

设(=lxg+2x/+3x+n->

则:q=lx\+2xg+3xg+

将以上两式相减得=；+?+；++；-小白

2

n+2

『12"-1

%-12"+1-1

2"-12"-111

2

结论得证.

19.进位制是人们为了计数和计算方便而约定的记数方式，通常"满二进一，就是二进制；满八进一，就是

八进制；满十进一，就是十进制......；满几进一，就是几进制

我们研究的正整数通常是十进制的数，因此，将正整数〃的各位上的数字分别记为4，%，则M

表示为关于10的左一1次多项式，即加=为_/101+4_2-101++01.10+%,(如产0),其中@«0,1,29},

aa

i=0,1,2,k-l,记为A/=(4T4_2«I«O)IO>简记为”=%血"2io-

随着计算机的蓬勃发展，表示整数除了运用十进制外，还常常运用二进制、八进制等等.更一般地，我们

可类似给出”进制数定义.

”进制数的定义：给出一个正整数〃(〃22),可将任意一个正整数其各位上的数字分别记为

kk2

。*.”为一2,“吗，%，则/唯一表示为下列形式：M=ak_x-n~'+ak_2-n~++a[-n+a0,其中

a,e(0,l,2=0,1,2-,k-l,%产0,左eN*,并简记为M式处一得皿…6%)”.

进而，给出一个正整数〃(“22),可将小数M表示为下列形式：

A/=+4_2,2++q•力+%+C],72।+C,,"一++)+Cm'n，其中

ate{0,l,2,,«-1},?=0,1,2.-,^-1,^.G10,1,2,=1,2,m,/_产0,LeN*,/neN*,并简记为

M=(&_凡_2,01aoe臼,