2025年高考数学模拟卷2（浙江专用）含解析

备战2025年高考数学模拟卷（浙江专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求

的.

1.已知集合4={非|y=lg（x2-3x+2）},3={y|产/+LxeR},则AB=（）

A.（2,-K»）B.（-oo,l）,（2,+oo）

C.（0,l）u（2,+oo）D.

2.已知复数z满足z=±L且］是复数z的共轨复数，则z。的值是（）

1

A.75B.3C.5D.9

3.已知。和万的夹角为150P,且W=2，W=G则（益+2可啰=（）

A.-9B.-3C.3D.9

4.设双曲线G，-，=i（a>0）,椭圆C2：J+y2=l的离心率分别为40,若4=26』，贝陷=（）

A.—B.变C.也D.如

8423

5.在VA3C中，角A,3,C的对边分别为a,6,c,已知A=女,sinB=2叵/=5,则VA3C的面积为（）

314

A.B.—C.D.1573

422

6.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合

而成，其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,。是圆柱下底面的圆心.若圆锥的侧面与以。为球心，半径为4m

的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A.8^5Tim2B.16>/57tm2C.207tm?D.4071m之

7.《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天

元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为…，相当于“设％为再根据

问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程/x〃+%x〃7+L+/_/+%=0.设

f(x)=OQX11+++/_/+4(〃wN),若/⑵=5x2"+i-3〃-8,则/⑴=()

2

A3/+4〃「3n+lln

A.-----------B.------------

22

C3n2+5n+4D3n2+7n+4

•2,2

8.已知函数〃x)，g(x)的定义域均为R,/(x+1)是奇函数，且/(l—x)+g(尤)=2,/(x)+g(x—3)=2,

则()

2020

A./(x)为奇函数B.g(x)为奇函数C.£/(左)=40D.Zg㈤=40

左=1k=l

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.已知函数〃力=卜inx|,g(x)=sin(2x+?,则下列结论正确的是()

A.〃尤)与g(x)的图象有相同的对称轴

B.〃力与g(尤)的值域相同

C./(X)与g(x)有相同的零点

D.“X)与g(x)的最小正周期相同

10.已知函数y=/(久)的导函数为y=g(x),且g(x)=三-3x+2,则()

A.点(0,2)是曲线y=g(x)的对称中心B.函数g(x)有三个零点

C.函数“X)只有一个极值点D.当x+l>0时，/(eA)>/(x+l)

ii.如图所示的曲线r被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中(。为

坐标原点)动点尸到点£(-1,。),耳。,0)的距离满足：|尸£归国=；|居闾2,则()

A.|OP|的最大值是0

B.若(无,%)是曲线上一点，且在第一象限，则为

C.1与^=1311%有1个交点

D.。尸片面积的最大值是:

第II卷（非选择题）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.（1+办了的展开式中/项的系数为84,则实数。=.

13.直线y=Q-e与曲线C：y=比lnx相切，则。=.

14.如图，在四棱锥尸―ABCD中，B4_L平面ABCD,PD=CD=BC=2,PA=AB=1,四边形ABCD为直

角梯形，AB//CD,N54D=90。，给出下列结论：①3。1平面PAC；②三棱锥尸-ADC的外接球的表面

积为8%；③异面直线PO与BC所成角的余弦值为之；④直线P8与平面PCD所成角的正弦值为叵.则所有

44

正确结论的序号是.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

3

15.（13分）已知函数"X）=2alnx+a尤2-（。+3）羽（。eR）

⑴若曲线y=f（无）在点处的切线方程为/（x）=-x+6,求°和6的值;

⑵讨论的单调性.

16.(15分)若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列

是一个“二阶等差数列”，已知数列｛4｝是一个二阶等差数列，其中q=1,%=3,%=6.

(1)求。4及｛为｝的通项公式；

8〃—4〃

⑵设2=8“：4〃-1，求数列加“｝的前〃项和S..

17.(15分)

如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面R4£)_L平面A5CD,△R4D为等边三角形,

PD^AB,AD//BC,AD=2,AB=BC=1,M为丛的中点.

⑴证明：DM人PB；

(2)求平面PCD与平面上"所成二面角的正弦值.

22

18.(17分)已知椭圆E:j+4=l(a>6>0)的右焦点为厂(LO),AB分别为椭圆£的左、右顶点，C,。分

ab

别为椭圆E的上、下顶点，四边形A2CZ)的面积为4指.

⑴求椭圆E的方程；

⑵过点歹且斜率不为。的直线/与椭圆E相交于M、N两点，直线AAf与3N的交点为P.

①若直线/的倾斜角为求线段的长度；

0

②试问一AP3是否有最大值？如果有，求出NAP3的最大值；如果没有，说明理由.

19.(17分)记数列｛5｝中前七项的最大值为4,数列｛g｝称为｛an｝的“M数列”，由所有么的值组成的集合

为C.

⑴若4=(“+d|),且C中有3个元素，求。的取值范围;

(2)若数列｛5｝,｛%｝都只有4项,也｝为｛/J的“M数列”,满足应W｛2,4,6,8｝伏=1,2,3,4)且存在Ze｛1,2,3,4),

使得4=8,求符合条件的数列｛.｝的个数；

777r

⑶若q,="sin3，｛册｝的数歹『'｛%｝的前几项和为工，从S-S2,S3,S/w23)中任取3个，记

其中能被2整除且不能被4整除的个数为X,求E(X).

备战2025年高考数学模拟卷（浙江专用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

第I卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。

1.已知集合4=卜1y=lg（无2-3元+2）｝,8=｛引yuf+LxeR｝,贝！］AB=（）

A.（2,+oo）B.（—oo,l）,（2,+co）

C.（0,l）u（2,+oo）D.（l,+oo）

【答案】A

【分析】根据对数型函数的定义域和二次函数值域即可得到A8,再根据交集含义计算即可.

【详解】集合A中尤2一3彳+2>0,所以％<1或无>2,集合B中yNl,

所以AcB=（2,+e）,

故选：A.

2.已知复数z满足z=±L且三是复数z的共辗复数，则的值是（）

1

A.75B.3C.5D.9

【答案】C

【分析】先化简复数z,再求出三，最后得解.

【详解】z=&^=2+i,

1

:.z=2-i,

.-.z-z=（2+i）（2-i）=5.

故选：C

3.已知a和b的夹角为150P,且忖=2加=百，则（a+26）/=（）

A.-9B.-3C.3D.9

【答案】C

【分析】根据向量数量积运算求得正确答案.

|2

【详解】（a+26>Z>=a+21

=|a|•1^1•cosl50°+2p|

=2-V3-一等+2-(A/3)2=3

故选：C

4.设双曲线G，-V=i（a>o）,椭圆C2：?+y2=l的离心率分别为G©,若q=20％,则。=（

A金口A/2c拒p.正

A.--D.--U.U.--

8423

【答案】B

【分析】先求得椭圆的离心率，进而可求得双曲线的离心率，可求。的值.

【详解】由椭圆C2：?+V=1,可得g=2也=1,

所以。2="万=6，所以椭圆的离心率/=咚，

又S，所以双曲线的离心率为6=3,

又双曲线6：¥-必=1（。>0），所以c=J/+i,

a

所以必三1=3,解得"走.

a4

故选：B.

5.在VA5C中，角A氏。的对边分别为〃，瓦。，已知A=如,sin3=%8,b=5,则VABC的面积为（）

314

A.”立B.-C.巨6D.1573

422

【答案】A

【分析】根据题意，利用正弦定理，求得。=7,再由51!1。=511104+5）=5111人855+85人5抽5,求得sinC,

结合三角形的面积公式，即可求解.

【详解】在VABC中，因为A=@,sinB=之叵,。=5,

314

且cos5=U,

可得sinA=,cosA=-

2214

_.2兀

5xsm-

bsinA______3_

由正弦定理得"GF=7

5出'

1A

又因为A+3+C=TT,

可得sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBx--—x

21421414

所以VASC的面积为S=—absinC=L7x5x

22144

故选：A.

6.蒙古包是我国蒙古族牧民居住的房子，适于牧业生产和游牧生活.如图所示的蒙古包由圆柱和圆锥组合

而成，其中圆柱的高为2m,底面半径为4m,0是圆柱下底面的圆心.若圆锥的侧面与以。为球心，半径为4m

的球相切，则圆锥的侧面积为（）

A.8^5ran2B.16>/57rm2C.207nli2D.407rm2

【答案】c

【分析】根据题意结合圆柱、圆锥以及球的结构特征解得圆锥母线长/=5,进而可求圆锥的侧面积.

【详解】设尸。=/?，/%=/①为圆锥高，/为圆锥母线长）

以。为球心，半径为4的球与圆锥侧面相切，贝|。以=4,

在,尸OA中，SPOA=—(//+2)-4=--4/,可得〃+2=/,

且万+16=/,则（/一2>+16=/，解得/=5,

所以圆锥的侧面积为片="/=兀x4x5=207i（m2）.

故选：C.

7.《测圆海镜》是金元之际李冶所著中国古代数学著作，这是中国古代论述容圆的一部专著，也是论述天

元术的代表作.天元术与现代数学中列方程的方法基本一致，先立“天元一”为...，相当于“设x为...”，再根据

问题的已知条件列出两个相等的多项式，最后通过合并同类项得到方程a（X+a/T+L+*x+0“=0.设

Hx

f(x)=OQX+a^~++an_xx+an(nGN),若/⑵=5x2"+】一3〃一8,则/⑴=()

2

A3/+4〃3n+lln

A.-----------B.------------

22

C3n2+5n+4D3n2+7n+4

•2•2

【答案】D

【分析】令(=/(2),结合a“=7；-27；T得到4,=3〃+2,又/(1)=4。+4+%++an,将问题转化为等差

数列求和，从而得解.

【详解】令(二/⑵=^^+4?”，+472+4=5*2向一3“一8,

当时，2q_]=420+q2"7++%_]2=5'2向一6〃一10,

两式相减可得(-27；1=为=3〃+2(〃21)①，

当"=0时，To=a0=2,满足①式，

2

KUI、I八cu-(3/1+4)(/7+1)3n+7/Z+4

以/(1)=a。+。]+〃2+,+〃,=2+5+・+3〃+2=--------------------------------,

故选：D.

8.已知函数〃x)，g(x)的定义域均为R,〃x+l)是奇函数，且"1—x)+g(x)=2,〃x)+g(x—3)=2,

则()

2020

A.为奇函数B.g(x)为奇函数C.£/(%)=40D.Zg(&)=40

氏=1k=l

【答案】D

【分析】A选项，根据已知条件推出是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数,f(r)=

f(x),故A错误；C选项，推出/(1)=0,f(3)=0,/(2)+/(4)=0,从而求出

20

^/(Z:)=5[/(l)+/(2)+/(3)+/(4)]=0:B选项，由/⑴=0得g(0)=2,故B错误；D选项，计算出

k=\

g⑵=2,g⑴+g(3)=4,故g(O)+g⑴+g⑵+g(3)=故结合函数的周期得到答案.

【详解】A选项，因为〃x)+g(x—3)=2,所以〃x+3)+g(x)=2,

又〃l—x)+g(x)=2,则有f(x+3)=/(l-x),

因为〃x+l)是奇函数，所以/(x+l)=-〃1一”，

可得J(x+3)T(x+l),即有f(x+2)=—/(x)与f(x+4)=—/(x+2),

即/(x+4)=〃x),

所以/(X)是周期为4的周期函数，故g(x)也是周期为4的周期函数.

因为一/(一力=/(尤+2)且f0+2)=-/(x).所以/(一乃=f(x),

所以/(x)为偶函数.故A错误，

C选项，由/(x+1)是奇函数，则/(1)=0，

因为/0+2)=-/(X),所以/⑶=0,

又=x),“X)是周期为4的周期函数，

故〃2)+〃4)=〃2)+〃0)=0,

20

所以伍)=5[〃1)+〃2)+〃3)+〃4)]=0,所以C错误；

Z=1

B选项，由〃1)=0得g(O)=2,故g(x)不是奇函数，所以B错误；

D选项，因为/(x+3)+g(x)=2,所以g⑵=2_/(5)=2—/(1)=2,

g⑴+g(3)=[2-〃4)]+[2-/(6)]=4-[〃4)+〃2)]=4.

所以g(O)+g(l)+g⑵+g⑶=8,

20

所以»㈤=5[g(0)+g⑴+g⑵+g⑶]=40,所以D选项正确

k=\

故选：D

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分。

9.已知函数/(x)=|sinx|,g(x)=sin^2x+^,则下列结论正确的是()

A.〃x)与g(x)的图象有相同的对称轴

B.—X)与g(x)的值域相同

C.〃力与g(无)有相同的零点

D.〃x)与g(x)的最小正周期相同

【答案】AD

【分析】根据题意分别画出两函数图象，可求得它们的对称轴、值域、零点、最小正周期等，即可得出结

论.

【详解】画出函数/(x)=Mnx|的图象如下图所示:

易知/(x)的对称轴为x=g,左eZ,值域为[0,1],零点为尤=仇左eZ,最小正周期为兀；

易知g(x)=sin[2x+]]=cos2x,其图象如下图所示：

易知/(x)的对称轴为2x=E«eZ,gpx=y,Z：eZ,值域为卜川，零点为x=；+最小正周期

为无;

因此可得“X)与g(X)的图象有相同的对称轴，它们的最小正周期相同.

故选：AD

10.已知函数丫=/(久)的导函数为y=g(x),且g(x)=-3x+2,则()

A.点(0,2)是曲线y=g(x)的对称中心B.函数g(x)有三个零点

C.函数〃尤)只有一个极值点D.当x+l>0时，/(e^)>/(x+l)

【答案】ACD

【分析】选项A根据y=V-3x是奇函数，图象关于点(0,0)对称可判断；选项B根据导数求得单调性和极

值可判断；选项C根据导数判断函数的单调性进而可得；选项D先构造函数/z(x)=ex-(x+l)利用单调性判

断e-x+1,进而利用/(x)的单调性可得.

【详解】选项A：因为y=V-3x是奇函数，图象关于点(0,0)对称，

所以g⑺=城-3无+2的图象关于点(0,2)对称，A正确；

选项B：因为g，(x)=3f—3,由g'(x)>0解得x<—l或x>l,g'(x)<0解得一1<》<1,

所以g(x)在区间(-叫-1]单调递增，(—1,1)单调递减，[L+8)单调递增，

且g(-l)=4,g(l)=O,g(-2)=0,所以g(尤)有两个零点，B错误;

选项C：因为八X)=g(x),所以/(x)在区间(7,-2］单调递减,(-2,+00)单调递增，

即只有一个极值点，C正确；

设人(%)=3-(x+1),//(x)=ex-1,

由八'(久)>0解得x>0,h'(x)<0解得x<0,

所以h(x)在区间(e,0］单调递减，(0,+8)单调递增，

/z(x)>/z(0)=0,所以e*1+l,

因为/(元)在区间(-2,+助单调递增，所以由『。+1>0>-2,

得了(ex)2/(x+l),D正确，

故选：ACD.

11.如图所示的曲线r被称为双纽线，该种曲线在生活中应用非常广泛，其代数形式可表示为坐标中(。为

坐标原点)动点尸到点耳(TO),月(1,。)的距离满足：|尸£||「马居国:贝I()

B.若是曲线上一点，且在第一象限，则为>应无0

C.1与丫虫加有1个交点

D.。尸耳面积的最大值是:

【答案】ACD

【分析】根据对称性可知P运动到x轴上时，此时|0P|最大，即可求解A,根据特殊位置法即可求解B,利

用>与「的交点，即可结合xe/3，tanx>x求解C,利用判别式可得小区：，即可求解D.

【详解】由双纽线的对称性可知：当P运动到x轴上时，此时|0P|最大，不妨设此时尸在x轴的正半轴上,

设此时|。尸|=心

由|「引产用=；闺6「=1,得(1+/)(/-1)=1,解得”0,故|0P|的最大值是a,A正确，

设PO,y)，则，(1)2+/加+咪+丁=1,令x=l,则卜|也+/=1,解得/=有_2,而此时2-=2,

不满足y>后，故B错误，

联立J(x_l)2+yW(x+iy+y2=1与3=无,则&+以+犬=1,解得x=0,

故直线y=x与曲线「只有一个交点，而tanx>x,由A易知双纽线中xe[-亚,0],

根据对称性，只需研究了e[0,忘]上「与丁负皿的交点情况，显然只有原点这1个交点，C正确，

对于D,由^(^-1)2+/^+1)2+/=1可得/+(2/-2)%2+2/+/=0,

2

令炉="贝日产+(2/-2卜+2/+3?=0,该方程有实数根，^A=(2/-2)-4(2/+/)>0,解得

故

SOPF,=)|。耳回|=:义1|泡=故D正确,

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：根据而丁丁・二斤三=1与>的交点，结合tanx>x,可判

断「与y=t皿的交点，由二次型方程/+(2丫2一2,+2丫2+/=。的根，利用判别式可求解最大的纵坐标.

第II卷(非选择题)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(1+奴了的展开式中/项的系数为84,则实数。=.

【答案】±2

【分析】写出通项，根据题意列方程即可得解.

【详解】(l+ax)7展开式的通项为(+1=C；(ax)’=</CR,

因为V项的系数为84,所以1C；=84,解得。=±2.

故答案为：±2

13.直线丁=依-6与曲线C：y=xlnx相切，贝.

【答案】2

【分析】设切点坐标为&Hnr),由导数的几何意义求解即可.

【详解】设切点坐标为(r,Hnr),由于弁=lnx+l,

所以切线的斜率为：Z=lnf+1,

所以曲线在(f,〃nr)处的切线方程为：y=(lnf+l)(x-r)+tlnr,gpy=(lnr+l)x-r,

所以r=e,a=lnZ+l=lne+l=2,

故答案为：2.

14.如图，在四棱锥尸-ABCD中，PA_L平面ABC。，PD=CD=BC=2,PA^AB^l,四边形ABCD为直

角梯形，AB//CD,ZBAD=9Q°,给出下列结论：①比＞1平面PAC；②三棱锥尸-ADC的外接球的表面

积为8%；③异面直线尸。与BC所成角的余弦值为：；④直线网与平面PCD所成角的正弦值为巫.则所有

44

【答案】②③

【分析】建立空间直角坐标系，用向量法验证8。与AC的垂直关系，可判断①；根据题意，找到球心的位

置，计算球的表面积，可判断②；利用向量法求异面直线尸。与8C所成角的余弦值，可判断③；利用向量

法求直线尸B与平面PCD所成角的正弦值，可判断④.

【详解】对于①：由题意知AB,AD,AP两两垂直，故以A为坐标原点，AB,AD,AP所在直线分别为x,

y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则=一丛2=劣,^(0,0,0),5(1,0,0),£>(0,^,0),P(0,0,l),C(2,60),BD=(-1,^,0),

AC=(2,A/3,0),

若平面PAC,则ACu平面PAC,得BDJ_AC,而BO-AC=-2+3=1w0,

所以8。与AC不垂直，故①错误.

对于②；取PC的中点。，连接OA。。，可得Q4=O尸=OC,

H^JPC2=PA2+AC2=PA2+AT>2+Cr)2=1+3+4=8,

所以PC2=P£)2+CD2,则△PCD为直角三角形，且ZPDC=90。，

所以0D=0尸=0C,则。4=0尸=OC=OD,

所以0为三棱锥尸-ADC的外接球的球心，

于是外接球半径&=；PC=后，

故三棱锥尸-仞C的外接球的表面积为4兀&=8TI，故②正确.

对于③：设异面直线BC与尸。所成的角为。，

则由①的解法一可知BC=(1,"0),M=&+行+0?=2,PD=(0,A/3,-1),|P£>|=心+后+(-1丫=2,

因为异面直线所成角的范围是0°<6490°,

33

,।BCPD=;

所以cos6=|cos3C,Pq=——n——=—T7故③正确；

11BC]\PD2x24

对于④：由①的解法一知尸3=(1,0,-1),PC=(2,73,-1),PD=(0,73,-1),

PC=2x+布y-z=0

设平面PCD的法向量为元=(x,y,z),则

n-PD=y/Sy—z=0

取2=5/^,则〃=(0,l,«)=J()2+F+5/^=2>

设直线PB与平面PC。所成的角为a,

I1I小PBFi后

则sina=cosn,PB\=L-=——『=—,故④错误.

11\n\\PB2XV24

故答案为：②③.

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

3

15.(13分)已知函数"X)=2alnx+z尤,一(<7+3)尤,(。eR)

⑴若曲线y=〃x)在点(I"⑴)处的切线方程为"x)=-x+b,求0和b的值；

⑵讨论“X)的单调性.

17

［答案］(l)a=5，^=--

(2)答案见解析

【分析】(1)先对函数求导，结合导数的几何意义与斜率关系即可求解;

(2)结合导数与单调性关系对。的范围进行分类讨论即可求解.

【详角军】(1)/(x)=2aln尤尤2-(a+3)x,贝！J/'(工)=3+3彳-4-3.

4x2

曲线y=〃尤)在点(L/⑴)处的切线方程为f(x)=-x+b,

3]

则/'(1)=«--=-1,解得〃=5,

97

由/⑴=_Q_Z=T+"解得力=_[,

3

(2)f(x)=2a\nx+-x2~(a+3)x,函数定义域为(0,+“),

2"：3(3x-2a)(x-2)

贝1J/'a)=--------1-----X-U—3---------------------------------,

x22x

令/'(x)=0,解得彳=2或x=g

若aWO,则当xe(0,2)时，­(x)<0,/(x)单调递减，当xe(2,故)时，f'(x)>0,f(x)单调递增,

若0<a<3,贝U当xey,2j时，/(无)<0,/(x)单调递减，当手J和xe(2,r)时，八无)>0,/(x)单

调递增,

若。=3,则r(x)±0在(0,+s)上恒成立，/(x)单调递增，

若。>3,则当时，小)<0,/(x)单调递减，当xe(0,2)和xe序+»|时，-⑴>0,/(x)单调

递增，

综上所述，当aWO时，/(x)的单调递增区间为(2,+8),单调递减区间为。2),

当。<”3时，/(沙的单调递增区间为［0,^)和(2,+8),单调递减区间为［彳,2),

当。=3时，/(x)的单调递增区间为(0,+8),无单调递减区间,

当a>3时，/（x）的单调递增区间为（0,2）和+s）,单调递减区间为gj.

16.（15分）若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列

是一个“二阶等差数列”，已知数列｛%｝是一个二阶等差数列，其中％=1,g=3,4=6.

⑴求。4及｛%｝的通项公式;

⑵设，丁।，求数列也｝的前〃项和S”.

o<7n—4〃—1

2

【答案】（1）〃4=10，

n

(2)〃+

2n+\

【分析】（1）根据给定条件，求出递推公式。用-%=〃+1,求出Q,再利用累加法求出通项公式.

(2)由(1)的结论求出勾，利用分组求和及裂项相消法求和即得.

【详解】(1)由下=1,%=3,田=6,得%—%=2,%-%=3,-=1，

由数列｛斯｝是一个二阶等差数列，得｛。用-。”｝是以2为首项，1为公差的等差数列，

因此。用_%=2+(〃_l)Xl=”+1,”4=4+。3=1°，

2

几十九

当2日寸，=〃]+(%—4)+(%—出)++("〃—1)=1+2+3+,+〃=———,

2

%=1满足上式，则q=与&,

2

所以｛即｝的通项公式是an=当上.

n2+n

⑵由⑴知，【芈=1+_1_=1+乙」一L),

8〃一4〃-1Q〃+〃.4〃—1(2〃-1)(2〃+1)22几一12〃+1

o-------4〃—1

2

所以7,=〃+|[(1—;)+(;-!)+(!-!)+,+(―^—

2335572〃-12〃+1

1八I、几

=n+—(l------)=n-\------.

22n+l2〃+l

17.（15分）如图，在四棱锥尸-ABCD中，平面上4。,平面ABC。，△PAD为等边三角形,

PDLAB,AD//BC,AD=2,AB=BC=l,〃为心的中点.

p

»D

⑴证明：DM人PB；

（2）求平面PCD与平面PAB所成二面角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

⑵半

【分析】（1）取AD的中点。，连接PO,CO,先证明尸平面ABC。，再证AB,平面PAD,最后证明DM，

平面/得证；

（2）建立空间直角坐标系，求出平面R1B和平面PCD的法向量，利用向量法求解.

【详解】（1）取AO的中点0,连接尸。,C0,

因为△PAD为等边三角形，所以「OLAZ）,

又因为平面上平面ABCD,平面RWc平面AFCD=AD,POu平面PAD,

所以POL平面ABC。，因为ABu平面ABC。，所以ABLPO,

又PD_LAB,PDcPO=P,PD,尸Ou平面PAD,所以AB_L平面PAD.

因为DMu平面上4D,所以

又M是必的中点，所以。A/JLPA,

因为AB,PAu平面上钻，且ABPA=A,

所以DM_L平面R4B,又因为PBu平面PAB,

所以DM人PB.

（2）因为AD=2,3C=1,由（1）知四边形ABCO为矩形，则AB〃OC,

又AB_L平面PA£>,所以CO_L平面PAD,

以。为坐标原点，分别以OCOROP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

z.

C

1

则尸LCD=(-1,1,0),

2

3

取平面E钻的法向量为。,一万，2

设平面PCD的法向量为m=(x,y,z),

m-PD=01v—百z=0ll

则，即y，令z=l,贝ljx=百,y=百，

m-CD=01—%+y=0

所以加=("0,1),

m-DM6_V7

―-一^^一

设平面PCD与平面F钻所成二面角为。，

则|cos61=，所以sin6=J1一cos'。=，

77

所以平面PCD与平面B钻所成二面角的正弦值为叵.

7

22

18.(17分)已知椭圆£:=+==1(°>6>0)的右焦点为BQ,。)，AB分别为椭圆E的左、右顶点，CD分

ab

别为椭圆E的上、下顶点，四边形ABCZ)的面积为4道.

⑴求椭圆E的方程；

⑵过点歹且斜率不为0的直线/与椭圆E相交于M、N两点，直线40与3N的交点为P.

①若直线/的倾斜角为求线段"N的长度；

0

②试问1AP3是否有最大值？如果有，求出NAPB的最大值；如果没有，说明理由.

22

【答案】⑴土+匕=1

43

⑵①M②有，5

136

—xx2Z?=4V3口lf—

【分析】（1）根据条件，建立方程组2,即可求解;

a2=Z?2+1

（2）①由题知直线/的方程为了=%-1）,联立直线与椭圆方程，消x得到13y?+6伤-9=0,再利用弦

长公式，即可求解；②设直线/：犬=冲+1,联立椭圆方程，消x得至晨3疗+4）丁+6阳一9=0,设直线

tanZAPB=-----------

的斜率分别为勺,月，进而可得3勺=左2,又±+3|^|，即可求解.

同1

【详解】（1）由题知｛2,解得a=2,b=百,

a1=Z?2+1

22

所以椭圆石的方程为土+匕=1.

43

（2）设加（士,弘）”（九2，%）,

①当直线/的倾斜角为£时，直线/的方程为y=#（x-1）,

消为得至！Ji3y2+6岛-9=0,

er-.u6乖）9

所以%+%=--—,%%=

所以|MN|=J1+*I%-%|=J1+.,4（%+%）2-4%%=J1+3-=Y|■

②由⑴知A（-2,0）,B（2,0）,易知％必30，

设直线/：x=%y+l,由J43,消尤得到（3加+4）»2+6〃9_9=0,

x=my+1

—6777Q

所以乂+%=32­，乂%=一&2一，

3m+43m+4

设直线AP,BP的斜率分别为k,,k2,且々=f，k2=,

—9m—6m

所以刍=%（%-2）=%（叼2-1）=叫％-%=3加2+4+%-3〃产+4=1

质（%+2）%OM+3）%加%%+3%一3

3m2+4

/口k[ri,dtanZAPB=---------=y=—：----------＜—产=——

得到3勺=修，又1+K&1+3%工+3归|2石3

|左|'

当且仅当看=3同，即同=¥时，tan/APB的最大值为孝，

又/AP3c（0,兀），所以/APB的最大值为:

【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问中的②，设直线/:犬=冲+1,联立椭圆方程，消x得到

—6mQ

（3m2+4）/+6加-9=0,由韦达定理知％+%=,%%=，设直线AP'BP的斜率分别为配质，

~3m'+4~3m+4

tanZAPB=--^——

从而得出妁=七，又X+3|^|,即可求解.

同1

19.（17分）记数列｛%J中前七项的最大值为4,数列｛%｝称为｛厮｝的““数列”，由所有2的值组成的集合

为C.

（1）若（=（力+4）]|],且C中有3个元素，求。的取值范围;

⑵若数列｛即｝,｛%｝都只有4项，也｝为｛即｝的“〃数列”，满足应€｛2,4,6,8｝（左=1,2,3,4）且存在达｛1,2,3,4｝