2025年高考数学复习专项训练：解三角形（原卷版）

2025二轮复习专项训练14

解三角形

［考情分析］解三角形是高考考查的热点，三角恒等变换单独考查的题目较少，多以解三角

形为背景，在用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用三角恒等变换进行化简，综合性较强，

难度中等.

【练前疑难讲解】

一、正弦定理、余弦定理

1.正弦定理及其变形

cihC

在△ABC中，而^=而西=而^=2氏（氏为△A8C的外接圆半径）.变形：〃=2RsinA,sinA

__a

=2Rfa'•b：c=sinA：sinB：sinC等.

2.余弦定理及其变形

在△ABC中，/=〃+/—2bccosA.

/十，一次

变形：b2+c2—a1=2bccosA,cosA=--------------.

二、解三角形在实际生活中的应用

求实际问题的注意事项

（1）选定或确定要创建的三角形，首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知，则直接解；

若有未知量，则把未知量放在另一确定的三角形中求解.

（2）确定用正弦定理还是余弦定理，如都可用，就选便于计算的定理.

三、正弦定理、余弦定理的综合应用

以三角恒等变换、正弦定理、余弦定理为解题工具，常与三角函数、向量、基本不等式、平

面几何等交汇命题.

一、单选题

冗

1.（2024•全国•图考真题）在VABC中，内角A,3,C所对的边分别为。,b,c,若B=g,

b1=—ac,贝!|sinA+sinC=（）

4

A2aRA/39_V73屈

1313213

2.（2024・贵州遵义•三模）在VABC中，角A氏C的对边分别为〃也c,2为AC的中点,

已知c=2,BD=^~,acosB+bcosA=-2ccosB,则VABC的面积为（）

2

A.2A/3B.立C.73D.巫

22

二、多选题

3.（2024・福建厦门•二模）如图1,扇形ABC的弧长为12兀，半径为6顶，线段上有一

动点弧BC上一点N是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A为顶点的圆锥，使得AB

和AC重合，则在图2的圆锥中（）

A.圆锥的体积为216兀

B.当〃为中点时，线段在底面的投影长为3e

C.存在M,使得

3回

D.MN*

2

4.（2024・浙江•三模）已知ABC的内角A,8,C的对边分别为a,b,c,且

2,sin2A+C=/）.sinA）下列结论正确的是（）

A.B=-

3

B.若a=4,b=5,贝|ABC有两解

C.当=时，ABC为直角三角形

3

D.若ABC为锐角三角形，则cosA+cosC的取值范围是（当,1]

三、填空题

5.（2024高三•江苏•专题练习）在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,

已知c=2asinC-2ccosA,则sin2A=；若。=2,则VABC面积的最大值为

6.（2023•山东青岛•一模）湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分，某市计划在如图

所示的四边形ABCD区域建一处湿地公园.已知/D4B=90。，ZDBA=45°,

ZBAC=30°,ZD3C=60。，AB=2a千米，则8=千米.

四、解答题

7.(2023・全国•高考真题)已知在VABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB.

(1)求sinA；

(2)设AB=5,求AB边上的高.

8.(23-24高三上•山东枣庄•期末)在VA3C中，角ARC所对的边分别为a,b,c.若

2a+bcosA-c—Z?tanBsinA.

(1)求B；

⑵若VABC为锐角三角形，求但誓史的取值范围.

sinC

【基础保分训练】

一、单选题

1.(2024・湖北黄石•三模)若VABC的三个内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,

「「一cm.isinA+sinB-sinC/、

，-----------------------二()

a+b-c

A.2百B.—C.-D.6

66

2.（2024•江西赣州•一模）在VABC中，AB=/l,AC=2,C=nO,贝UsinA=()

A/21_5A/7n3A/21

A.—B.-----c.------u.-------

14141414

IT

3.（2024•湖北黄冈•一模）已知VA5c的内角AB,C所对的边分别为。，4c,A=1/=3,

下面可使得VABC有两组解的。的值为()

A.—B.3C.4D.e

2

4.(2024•辽宁葫芦岛•一模)VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若土=B,

a3

B=gVABC的面积为G，则6=()

o

A.2港B.4C.2D.娓

5.(2024・全国•模拟预测)如图，已知四边形ABC。是菱形，AB=BD^4,点E为A8的

中点，把VADE沿。E折起，使点A到达点尸的位置，且平面PDE,平面BCDE,则异面

直线PD与BC所成角的余弦值为()

p

A.B.-C.y/2D.—

6.（23-24高一下•安徽宿州•期中）在VABC中，内角A,民C的对边分别为a,6,c,若满足

2acosB=c,则该三角形为（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等边三角形D.不能确定

7.（2022・全国•模拟预测）圭表（如图甲）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节

气的天文仪器，它包括一根直立的标竿（称为"表"）和一把呈南北方向水平固定摆放的与

标竿垂直的长尺（称为"圭"），当太阳在正午时刻照射在表上时，日影便会投影在圭面上，

圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至.图乙是一个根

据某地的地理位置设计的主表的示意图，已知某地冬至正午时太阳高度角（即EABC）大约

为15。，夏至正午时太阳高度角（即0ADC）大约为60。，圭面上冬至线与夏至线之间的距

离（即。8的长）为a,则表高（即AC的长）为（注：sinl5°=历史）（）

A.(2一回B.^-aC.与

8.（2024•山东聊城•二模）如图，在平面四边形A5CD中,

AB=AD=2,ZB=2ZD=120°,记VABC与ACD的面积分别为岳,邑，则S?-，的值为

D

//

C

A.2B.6C.1D.—

2

二、多选题

9.（2023•河北秦皇岛•二模）平面直角坐标系中，VABC的三个顶点的坐标分别是

4（0,2）,B（l,0）,C（4,l）,则（）

A.sinX<sinCB.VABC锐角三角形

7

C.VABC的面积为彳D.VA3C的外接圆半径大于2

2

10.（2024•重庆・三模）在VABC中，角A5C的对边为。力，。,若6=2右,c=2,C=工，则

6

VA5c的面积可以是（）

A.73B.3C.2后D.3A/3

11.（2024•广西南宁•三模）锐角三角形ABC中，角A,B,C所对应的边分别是。，b,

c,下列结论一定成立的有（）.

A.sin2A+sin2B<sin2CB.sin（A+B）=sinC

C.若A>_B,贝!JsinA>sin3D.若A=2,则工<8（工

442

三、填空题

12.（2024•山东泰安•一模）在VABC中，内角A,3,C的对边分别为a,6,c,已知

2ccosB=2a-b,贝!IC=.

13.（2021・全国•高考真题）记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为百，

B=60°,a2+c2=3ac,贝l|6=.

14.（2024•江苏扬州•模拟预测）《海岛算经》是魏晋时期数学家刘徽所著的测量学著作，书

中有一道测量山上松树高度的题目，受此题启发，小李同学打算用学到的解三角形知识测

量某建筑物上面一座信号塔的高度.把塔底与塔顶分别看作点C,D,CD与地面垂直，小

李先在地面上选取点A,B,测得43=20晶，在点A处测得点C,。的仰角分别为30°,

60°,在点8处测得点。的仰角为30°,则塔高。为m.

四、解答题

15.(2024•黑龙江哈尔滨■一模)在VABC中，角A,B,C所对的边分别为。，瓦c,已知

asinB=-JGbcosA,角A的平分线交边2C于点£),且AD=1.

(1)求角A的大小;

(2)若BC=2逐，求VABC的面积.

16.(2024•贵州黔东南•二模)在VA3C中，角A,民C的对边分别为a,6,c,且

A+C

6sin（A+B）—csin=0.

2

⑴求B;

(2)若匕=5,a+c=8,求VABC的面积.

17.(2023・湖南•模拟预测)VABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知

acosB-2bcosA=b-\-c.

⑴求cosA；

(2)若〃=g，VABC的面积为20，求VABC的周长.

18.(2022•江苏南京•模拟预测)记VABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知

.5兀口斗I弘1口sinABADsinZCAD3

A=—,。是边3C上的一点，且——-——+--------=—.

6bc2a

(1)证明：AD=^a；

(2)^CD=2BD,求cos/ADC.

19.(2022高一下•四川成都•竞赛)如图，在0ABe中，AC13BC.延长54到。，使得AO=

IT

2,>ZCDA=-.

(1)若AC=&，求ODBC的面积；

(2)当AC<AD时，求0AC。面积的取值范围.

20.(21-22高二下•山西•期中)在VABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且

bcosB=—acosC+—ccosA.

22

⑴求角5

（2）若6=6，c>b,求2c—a的取值范围.

【能力提升训练】

一、单选题

13

1.（2024•广东韶关•二模）在VABC中,tanA=—,tanB=-.若VABC的最长边的长为

45

后.则最短边的长为（)

A.&B.后C.2

2.（2024・湖北•模拟预测）在VABC中,已知=BC=2近,eg若存在两个这

样的三角形ABC,则x的取值范围是（)

A.12也+8C.(2,272)D.(72,2)

3.（2024・安徽・二模）已知VABC的内角A,B,C对边分别为b,c,满足

tzsinA+c(sinA+sinC)=2sinB,若b=2,则VABC面积的最大值为()

AA/3R6「石g

4632

4.（2024•湖北•一模）如图，在.ABC中，/BAC=120,AB=2,AC=1,。是BC边上靠近B

点的三等分点，E是8C边上的动点，则AE.CZ）的取值范围为（）

10币741047

B.C.D.

353

5.（22-23高一下•福建厦门•期末）一个人骑自行车由A地出发向正东方向骑行了4km到达

8地，然后由8地向南偏东30。方向骑行了6km到达C地，再从C地向北偏东30。方向骑行

了16km到达。地，则A,。两地的距离为（）

A.4MkmB.10V3kmC.2屈kmD.26km

6.（24-25高二上•安徽马鞍山•阶段练习）如图所示的钟楼是马鞍山二中的标志性建筑之一.

某同学为测量钟楼的高度"N,在钟楼的正西方向找到一座建筑物A8,高为。米，在地面

上点C处（3,CN三点共线）测得建筑物顶部A,钟楼顶部"的仰角分别为a和夕，在

A处测得钟楼顶部”的仰角为/,则钟楼的高度为（）米.

asin(a+')sin尸asin(a+夕)sin尸

•sinasin('—y)*sincrsin(y0-7)

asin(a+7)sin/asin(a+/)sin/

•sincrsin(/?-/)*sin,sin(/7一/)

二、多选题

7.(23-24高一下•山东泰安•阶段练习)在VABC中，角A,B,。所对的边分别为a,b,

c,下列命题正确的是（）

A.若A=30。，b=4,a=3,则VA5C有两解

B.若A=60。，〃=2,则VA5C的面积最大值为2百

C.若a=4,b=5,c=6,贝IJVABC外接圆半径为辿

7

D.若acosA=6cos3,则VABC一定是等腰三角形

8.（2022・山东济南•模拟预测）如图所示，设单位圆与无轴的正半轴相交于点41,0）,以尤

轴非负半轴为始边作锐角a,B,a-P,它们的终边分别与单位圆相交于点片，4,

A.用p的长度为

B.扇形。&P］的面积为

C.当4与尸重合时，\AP±\-2sin/?

JT1

D.当时，四边形oa&Pi面积的最大值为万

9.（2024・广东•一模）喋吟是一种杂环有机化合物，它在能量的供应、代谢的调节等方面都

有十分重要的作用，它的化学结构式主要由一个正五边形与一个正六边形构成（设它们的

边长均为1）,其平面图形如图所示，则（）

B.。到AC的距离是8s36。

C.。是VABC的内切圆的圆心D.tanNABC<tantan/C4B

三、填空题

10.（2024•全国,模拟预测）在ABC中，",b,c分别是角A,B,C的对边，若

,2tanA-tanB

cr+b1=2024c2,贝I」----------------的值为

tanC(tanA+tanB)

JT

IL（2024・广东东莞•模拟预测）在VABC中，A,B,。的对边分别为〃，b,c,若B=

b+c

c=2，=g，则的值为.

°ABCsinB+sinC

12.（23-24高三上•江苏盐城•阶段练习）如图，在平面凸四边形A5CD中，ZADB=90°,

CD=\,BC=2,AD=BD,/BCD为钝角，则对角线AC的最大值为一

13.（2024•辽宁•一模）已知在VABC中，内角A,B,。所对的边分别为。，b,c,其中

a=4,46cosC=y/3b-csinA.

⑴求A;

⑵已知直线AM为,BAC的平分线，且与BC交于点若4知=述，求VABC的周长.

3

14.（2024•贵州贵阳•一模）记VABC的内角A3,C的对边分别为a,6,c,已知

asinC=yficcosA.

⑴求角A；

⑵若a=2,求VABC面积的最大值.

15.(2024・广东梅州•二模)在VABC中，角A,B,C所对应的边分别为a,b,c

y/3acosB-bsinA=,c=2,

⑴求A的大小：

(2)点。在BC上，

(0)当ADJ.AB,且AD=1时，求AC的长;

(0)当BD=2DC,且AD=1时，求VABC的面积SABC

16.(2024・江苏盐城•模拟预测)在VABC中，已知角A,B,C所对的边分别为。，b,

3ab

asin2-+tein2-

222(a+/?+c)

⑴求角。的大小;

(2)若VABC为锐角三角形，求厘的取值范围.

C

17.(2024・云南•二模)VABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c,