2025年高考数学二轮复习突破练：直线与圆（提升篇）

专题突破练(分值104分)

♦学生用书P199

主干知识达标练

1.(2024辽宁大连一模)过点(-1,1)和(1,3),且圆心在无轴上的圆的方程为()

A.f+y2=4B.O2)2+V=8

C.(X-1)2+/=5D.(X-2)2+/=10

答案D

解析设该圆圆心为(。,0),半径为r,则该圆方程为(彳-(1)2+丁=户,把点(-1,1)和(1,3)代入，则有

"二:解得｛二3故该圆方程为。-2)2+V=10.故选D.

2.(2024河北保定模拟)已知直线/i：or+2y+b=0与直线/2：bx-y+a=0垂直，则cr+b1的最小值为()

A.2B.4C,6D.8

答案B

角星析因为直线/i：〃x+2y+b=0与直线/2：bx-y+〃=0垂直，

所以"-2x1=0,即ab=2,所以a2+b2>2ab=4,

当且仅当〃=。=&或4=/?=-企时等号成立.

即次+从的最小值为4.故选B.

3.(2024辽宁抚顺三模)已知直线产x+1与圆。:元2+尸=5相交于MN两点,O为坐标原点，则△MON的

面积为()

A.|3B.2C.|5D.4

答案A

解析设点O到直线MN的距离为4则1=吐祟=’，又|MN|=215-G)2=4=3&,所以以

V227V2V2

MON=^X3V2X亨=|.故选A.

4.(2024江苏海安模拟)已知直线3x+4y-4=0与圆C相切于点7(0,1),圆心C在直线无-y=0上，则圆C

的方程为()

A.(x-3)2+(y-3)2=13

B.(x-3)2+(y+3)2=25

C.(X+3)2+S-3)2=13

D.(X+3)2+Q+3)2=25

答案D

解析由题意，设C(a,a)(a/)),圆C的半径为r,所以kcr~~=*解得a--3,

所以圆心C(-3,-3),半径r=[C7]=](-3-0)2+(-3-1)2=5,所以圆C的方程为(x+3)2+(y+3)2=25.故选D.

5.(2024山东聊城二模)若圆G：/+y2=l与圆。2：(*〃)2+白力)2=4恰有一条公切线，则下列直线一定不

经过点(。力)的是()

A.2x+y-V2=0B.2x-y+2=0

C.x+y-V2=0D.x-y+2=0

答案D

解析由题可得，圆Ci^+y2=1的圆心G(0,0),半径片二1,圆C2：(x-〃)2+(y-b)2=4的圆心。2(。力)，半径

升2=2,且两圆内切，所以|。1。2|二|「1-r2|,即〃2+/=1,表示以(0,0)为圆心,1为半径的圆.

圆心(0,0)到直线2x+y-或=0的距离为跌专泪=则该直线一定过点(〃力),故A错误；

圆心(0,0)到直线2x-y+2=0的距离为上浮=等<1,则该直线一定过点3力),故B错误；

圆心(0,0)到直线x+y-V2=0的距离为崎0=1,则该直线过点(。力)，故C错误；

圆心(0,0)到直线x-y+2=0的距离为上浮=&>1,则该直线不过点(°力)，故D正确.故选D.

6.(多选题)(2024河北沧州模拟)已知圆Ci：f+y2-2x-2y-2=0,圆Czl+p&x-lOy+BZuO,则下列选项正确

的是()

A.直线C1C2的方程为4x-3y-l=0

B.圆G和圆C2共有4条公切线

C.若分别是圆G和圆C2上的动点，则『。|的最大值为10

D.经过点Ci,C2的所有圆中面积最小的圆的面积为々兀

答案ACD

解析由题意得，圆G：(x-l)2+(y1)2=4,圆心C1(1,1),半径厂1=2,圆C2：a-4)2+(y-5)2=9,圆心C2(4,5),半径

心=3,由直线方程的两点式可得直线GC2的方程为善=即4x-3y-l=0,所以A正确；

5-14-1

因为。。2|=小4-1)2+(5-1)2=5且厂1+/2=2+3=5,所以|GC2l=ri+72,所以圆G与圆C2外切，所以两圆

的公切线共有3条，所以B错误；

因为|CC|=5,所以|PQ|的最大值为9心|+厂1+-2=10,所以C正确；

当ICCI为圆的直径时，该圆在经过点Ci。的所有圆中面积最小，此时圆的面积为兀(|户=多，所以D

正确.故选ACD.

7.数学家欧拉在其所著的《三角形的几何学》一书中提出:任意三角形的外心、重心、垂心在同一

条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知AABC的顶点分别为A(l,3),8(2,4),C(3,2)a4A8C的欧拉

线方程是()

A.x-y+1=0B.x-y+3=0

C.x+y-5=0D.3x+y-9=0

答案c

解析由已知得,/XABC的重心为G(2,3),直线的斜率为咨=1,则AB边上高所在的直线斜率为-1,则

1-Z

方程为y=-x+5,直线AC的斜率为则AC边上高所在的直线斜率为2,则方程为y=2x.

1-3L

联立E=2+5,可得的垂心为H(鼠学).则直线GH的斜率为型=-1,则可得直线GH的方程

(y=2x,332-|

为y-3=-(尤-2),故△ABC的欧拉线方程为x+y-5=0.故选C.

8.(多选题)(2024湖北荆州模拟)已知圆C:(x-l)2+(y-2)2=25,直线/:(2根+l)x+(m+l)y-7m-4=0,则下列说

法正确的是()

A.直线/恒过定点(3,1)

B.直线/被圆。截得的弦最长时〃=微

C.直线/被圆。截得的弦最短时，m

D.直线/被圆C截得的弦最短弦长为2西

答案ABC

解析由题得，圆心C(l,2),半径r=5.

A正确；

因为(3-1)2+(1-2)2=5<25,即点尸(3,1)在圆C内,当直线/过圆心C时，直线被圆截得的弦长最长，将圆心

当直线LCP时，直线被圆截得的弦长最短，直线/的斜率为七-注(能片1),如>=署=1,由-

m+13-12m+12

o

二-l,解得机=-了,此时直线/的方程是2x-y-5=0,故C正确;如图，设/与圆C交于A,B两点，圆心C(l,2)到

4

直线2x-y-5=0的距离为介与萨=直,可得|45|=|8%|=S2一d2=石=2曲,所以最短弦长

|A8|=2|AP|=4代，故D错误.故选ABC.

9.(5分)(2024湖南怀化模拟)如图，已知两点A(22,0),8(0,11),从点P(2,0)射出的光线经直线A8上的点

〃反射后再射到直线08上，最后经直线上的点N反射后又回到点P,则直线的一般式方程

为.

答案4x-3y+8=0

解析由题意知A8所在的直线方程为点+三=1,化简可得x+2y-22=0.

设点P(2,0)关于直线AB:x+2y-22=0的对称点Pi(a,6),

fb-0,1、4

-7X(-3)=-1,

则〈0n解得4=10力=16,所以点P关于直线AB对称的点为P1(1O,16),点P关于y

学+2X号-22=0,

122

轴对称的点为P2(-2,0).

直线MN即直线尸出2,则直线MN的方程为y=3(x+2),化成一般式:4x-3y+8=0.

10.(5分X2024浙江杭州二模)写出与圆^+y2=l相切且方向向量为v=(l,W)的一条直线的方

程:.

答案y=V3.r+2或产片-2(写出一个即可)

解析因为切线的方向向量为v=(l,遮)，所以切线的斜率为旧，故可设切线方程为丫=后+仇因为直线

y=V^x+6与圆f+y2=l相切，又圆x2+y2=l的圆心坐标为(0,0),半径为1,圆心(0,0)到直线y=遮无+%的

距离等于圆的半径，即产°一°+”="=1,解得b=2或b=-2,所以符合条件的直线为y=V3x+2或

j(V3)2+(-D22

y=^3x-2.

11.(5分X2024山东烟台一模)若圆(尤-祖)2+&_1)2=］关于直线y=x对称的圆恰好过点(0,4),则实数m的

值为.

答案4

解析点(0,4)关于直线>=无的对称点为(4,0),由题可知点(4,0)在圆(x-m)2+U-l)2=l上，则(4加>+(0-

1>=1,解得m=4,所以实数机的值为4.

12.(5分X2024陕西安康模拟)已知直线/i：2x+y-6=0与/2：2x+y+4=0均与圆M■相切，点(2,2)在圆Ml.,

则圆/的方程为

答案/+"1)2=5

解析由于直线/i：2x+y-6=0与/2：2x+y+4=0平行，且均与圆M相切，所以两平行直线之间的距离为圆

M的直径，即2厂=1-nr=心,又圆M上一点(2,2)也在直线/1&+广6=0上,所以(2,2)为人与圆Mr的

Jl2+22

切点,故过点(2,2)且与/i：2r+y-6=0垂直的直线方程为y=*r-2)+2,联立卜=蕾二)+2,今仔二所

2l2x+y+4=0W=5

以/2：2犬+>+4=0与圆加相切于点(-2,0),故圆心为(2,2)与(-2,0)的中点抑圆心为(0,1),故圆M的方程为

f+(y-l)2=5.

关键能力提升练

13.(2024江苏苏锡常镇一模)莱莫恩(Lemoine)定理指出:过AABC的三个顶点A,B,C作它的外接圆的

切线,分别和BC,CA1AB所在直线交于点P,°,R,则尸,三点共线，这条直线被称为三角形的Lemoine

线.在平面直角坐标系xOy中，若三角形的三个顶点坐标分别为A(0,l),B(2,0),C(0,-4),则该三角形的

Lemoine线的方程为()

A.2x-3y-2=0B.2x+3y-8=0

C.3x+2y-22=0D.2x-3y-32=0

答案B

1+E+F=0,(D=0,

解析设△ABC的外接圆方程为工2+,2+瓜+份+/=。,：.卜+2。+P=0,解得E=3,

.16-4E+F=0,{F=-4,

AABC外接圆方程为N+y2+3y-4=0,即12+(,+|)2二今易知外接圆在点人处的切线方程为尸1,

又直线2噩+斗=1,令y=l,得X=W，P(|,1),外接圆在CQ-4)处切线方程为y=-4,又直线A8:"y=l,

Z-4Z2Z

令y=-4得x=10,...Rao,-4),则△ABC的Lemoine线的方程为洛=翌，即2x+3y-8=0.故选B.

-1+4j-10-

14.(2024山西太原模拟)已知。是坐标原点，若圆。*+丫2+2%-4丫+°=0上有且仅有2个点到直线1:2.x-

/1=0的距离为2,则实数a的取值范围为()

A.(-4-4V5,4V5-4)B.[-4-4V5,4V5-4]

C.(-2-2V5,2V5-2)D.[-2-2V5,2V5-2]

答案A

解析由题知，圆心C(-l,2),半径r=\S-a.

圆心C到直线/的距离竽包=V5.

联立圆C与直线/的方程，消去y整理得5/-10；1+5+4=0,若/与圆C有交点，则A=-2aK),解得好0.

此时直线/应满足石-近<2,解得a>-4-4V5.

所以一4-45年<好0，当/与圆C外离时，有卜尾哼/<2,即o<a<4V5-4.

la>0,

综上，实数a的取值范围为(-4-45底44-4).故选A.

15.(2024湖北省八市联考)设直线/:x+y-l=0,一束光线从原点。出发沿射线>=区(近0)向直线/射出，

经/反射后与x轴交于点M再次经尤轴反射后与y轴交于点N.若|而|=卓，则上的值为()

A.13B.|2C.i1D.2

答案B

解析如图，设点O关于直线/的对称点为A(xiji),

号+却=0,

则・

§X(-1)=-1,

VI

得葭：：；即41,1).

由题意知尸戊(无知)与直线/不平行，故块1,联立门："_得一"1'即？(士，占)，故直线

(%十y-i—u,.._K化+1K+L

v-fc+T?

ki

AP的斜率为如＞=铝二="直线AP的方程为y-l=/x-l),令y=o得尤=1-左故M(l«0),令x=0得y=l-

-------ikk-

fc+1L

[故由对称性可得N(0,；l),由|而匚半，得(1行+Ql)2=2即(左+D2_2"+D=及解得k+Y=学,

kK6K36k/c36ko

得左二|或%=|，若％=|,则第二次反射后光线不会与y轴相交，故不符合条件.

77

经验证上=目符合条件.故左=].故选B.

16.(多选题)(2024湖南邵阳一模)设点尸(x,y)为圆6:^+/=1上一点，已知点4(4,0),8(5,0),则下列结论

正确的有()

\.x+y的最大值为加

B.f+尸4;*的最小值为8

C.存在点尸使|尸8|=鱼『小

D.过A点作圆C的切线，则切线长为住

答案AD

解析设x+y=tjeR,即尤+y-f=0,由1得-或至”＞反所以/的最大值是鱼,所以A正确；

x2+y2_4x-4y=(x-2)2+(j-2)2+8,当x=2且y=2时l+VdxWy取得最小值8,但/+9=1时,-1人1且-

1球1,因此上述最小值取不到，所以B错误；

由|PB|=&|E4|得J(x-5)2+y2=V2-灌理得。-3)2+丁=2,因此满足|「2|=迎|巴4|的点P

在圆(x-3)2+y2=2上，此圆圆心为(3,0),半径为鱼，而鱼+1＜3,因此它与圆C外离,所以圆C上不存在点

P使|尸8|=鱼|尸川,所以C错误；

圆C的圆心为C(0,0),半径为r=l,则过A点作圆C的切线的切线长为J|XC|2-r2=V42-l2=V15,D

正确.故选AD.

17.(2023新高考I,6)过(0广2)与圆x2+产4%-1=0相切的两条直线的夹角为火贝ljsin。=)

A.lB逗C.乎D.史

444

答案B

解析由炉+产/尤-1=0,得(尤-2)2+V=5,故圆心C(2,0),半径尺=有.

如图，过点。(0,-2)作圆的切线，与圆的两个切点为48,连接AC,8C,C£),4B,则48_LCZ),/CAD=/

CBD=^,ZADC=ZBDC=^,

由几何知识得,|8C|=|AC|=有,|a)|=(0-2)2+(-2-0)2=2鱼.

由勾股定理得,|4。=山。|=』£。|

(方法一)在Rt/XCDB中,cos擀=翳=磊=*si吗=用=需=邛,sina=2si或cos>2x邛x手=

逗

丁

1

(方法二)由CA_LZM,NCD4=/CDB,可知AB_LDC,四边形AC8D的面积为5><AB><Cr>=8OxCB,得

4nV30

AB--.

在△AO3中，由余弦定理可得cosQ二-"所以sina二芈.故选B.

44

18.(5分)(2024广东汕头模拟)已知直线l:(m+2)x-(m+l)y-l=0与圆0:^+^=4交于A,B两点，则|A8|的

最小值为.

答案20

o,解得后二::所以直线/过定点(1,D,又

[2+]2<4,所以该定点在圆0：/+,2=4内，由圆O：f+y2=4可得圆心。(0,0),半径厂=2,当圆心O与定点

(1,1)的连线垂直于A5时,|A3|取得最小值，圆心0(0,0)与定点(1,1)的距离为d=“2+12=V2,»J\AB\

的最小值为2Vr2-d2=2V4-2=2a.

19.(5分)(2024广东湛江一模)已知点尸为直线/y-3=0上的动点，过点尸作圆。*+产=3的两条切线,

切点分别为A,民若点M为圆E:(x+2)2+G-3)2=4上的动点，则点M到直线A3的距离的最大值

为.

答案7

解析设尸(沏,加鼻(孙河),3(冗2J2),则满足％o-yo-3=O,好+资=3,域+yl=3;易知圆。:/+产=3的圆心为

0(0,0),半径片遍;圆E:(x+2)2+(y-3)2=4的圆心为线-2,3),半径R=2,如图.

易知0A_LPA,0B_LP5,所以04-24=0,即xi(xi-xo)+yi(yi-yo)=O,整理可得xixo+yiyo-3=O;

同理可得12必+〉2丁0-3=0,

即A(xi,yi),8(%2j2)是方程为ox+yoy-3=O的两组解，可得直线AB的方程为％ox+y()y-3=O,与孙必-3=0联

立，即％o(x+y)-3y-3=0.

令二::可得[；二工所以直线A8恒过定点。(1,-1),可得|。,=](-2-1)2+(3+1)2=5.

又。在圆。内，当43_10瓦且点加为QE的延长线与圆E的交点时，点M到直线43的距离最大，最

大值为|QE|+R=5+2=7.

核心素养创新练

20.(多选题X2024广东汕头一模)如图,。4是连接河岸A