2025高考数学二轮复习-平面向量-专项训练【含答案】

2025高考数学二轮专题复习.平面向量.专项训练

分考点.精准练工

考点01平面向量平行(共线)求参数

1.已知上eR,a=(2,5),6=(6,^),且。//人则上的值为.

2.已知向量4=(2,5),。=(4,4),若allb，则4=.

3.已知向量。=(〃z,4),b=(3,-2),且°〃6，贝！I机=.

4.设向量a,b不平行，向量而+6与o+2b平行，则实数2=

考点02平面向量垂直求参数

1.已知向量。=(0,1)涉=(2,x),若U4),则％=()

A.-2B.-1C.1D.2

2,设向量4=(x+l,x)/=(x,2),则(

A."x=-3"是的必要条件B."x=-3"是的必要条件

C."x=0"是的充分条件D.晨=-1+百"是".//〃'的充分条件

3.已知向量4=(1,1)力=(1,—1),若(a+26)_L(a+,则()

A.X+〃=lB.%+〃=—1

C.%"=1D.加=-1

4.已知向量a=(3,l),Z?=(l,0),c=a+H?.若〃_L",贝！1k=.

5.设向量a=(1,-1)/=(加+1,2加一4),若a_LZ?,则加=.

考点03平面向量的基本定理及其应用

1.在一ABC中，点。在边A8上，BD=2DA.记C4=/%CZ)=〃，则CB=()

A.3m—2nB.—2m+3zzC.3m+2nD.2m+3n

2.已知平行四边形A5CD,点E,歹分别是A3,BC的中点(如图所示)，设AB="，AD=b,则E尸等

于()

1/71/7

A.—Ia+bB.一\U—bC.-\b-aD.—a+b

2、2、2、2

3.在△ABC中，为BC边上的中线，E为的中点，则防=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

4.在△ABC中，点、M,N满足AM=2MC,BN=NC,^MN=xAB+yACf则x=,y=

考点04平面向量的模长

1.已知向量满足忖=L卜+2-2,且R—2Q)_L。，则”=()

A1R3D1

222

2.已知向量〃，人满足Q+。=(2,3),Q—5=(—2,1),则⑷2一向［2=()

A.-2B.-1C.0D.1

3.已知向量Q,人满足,一司=g,卜=|2〃一可，则忖=.

4.已知向量a=(2/),》=(—2,4),贝|曰-J］()

A.2B.3C.4D.5

5.若向量满足卜|=3,卜一N=5,Q-Z?=1,则卜卜.

6.设。，匕为单位向量，且|〃+。|=1,贝1/〃一切=.

7.已知向量Q=(2,3)乃=(3,2),贝!!|］一如=

A.y/2B.2

C.5D.50

8.已知向量4与〃的夹角为60。，I〃|=2,小|=1,则|Q+2b|=.

9.已知向量满足口=1，M=2,则卜+0+卜-0的最小值是,最大值是

考点05求平面向量数量积

1.正方形ABC。的边长是2,E是A3的中点，则EC-E£>=()

A.右B.3C.2A/5D.5

2.已知向量a涉满足|。|=1,|切=石,|。一2加=3,则a/=()

A.-2B.-1C.1D.2

3.在，ABC中，AC=3,BC=4,ZC=9O°.P为，ABC所在平面内的动点，且PC=1,则尸4尸8的取值范

围是()

A.[-5,3]B.[—3,5]C.[-6,4]D.[-4,6]

4.己知P是边长为2的正六边形A8CDEF内的一点，则APAB的取值范围是()

A.(—2,6)B.(—6,2)

C.(-2,4)D.(-4,6)

二、多选题

5.已知。为坐标原点，点片(cosa,sine),g(cos/?,-sin/7),6(cos(a+0,sin(a+£)),A(l,0),则()

A.|M=|网B.|训=|叫

C.OAOP3=OPiOP1D.OAOP\=OP20P3

三、填空题

6.设向量a，b的夹角的余弦值为g,且M=l,M=3,贝i](2a+6”=.

7.在边长为1的等边三角形ABC中，。为线段BC上的动点，DEJ.AB且交AB于点、E.叱〃48且交AC

于点月则I2BE+DFI的值为；(£>E+£>/〉ZM的最小值为.

8.已知向量a+6+c=0，|«|=1,|^|=|c|=2,a-b+b-c+c-a=.

9.已知向量。,6,C在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

{a+b)'C=；a-b=-

3

10.如图，在四边形ABCD中，ZB=60°,AB=3,BC=6,且A。=X3C,AB=——,则实数2的值

2

为,若M,N是线段8C上的动点，S.\MN\=1,则的最小值为.

AD

BMNC

11.已知正方形ABCD的边长为2,点P满足AP=g(A2+AC),则|尸。|=；PBPD=.

考点06求平面向量的夹角

一、单选题

1.已知向量a=(3,1)力=(2,2),贝lJcos(a+6,<?-6)=()

A±R如「石口2百

C.---U.-----

171755

2.已知向量a,b,c洞足同=忖=1,卜|=,且d+〃+4=0，则cos〈a—c/—c)=()

4224

A.----B.----C.-D.一

5555

3.已知向量a=(3,4),)=(l,0),c=a+仍，若<a,c>=<6,c>,贝！R=()

A.-6B.-5C.5D.6

4.已知向量a,Z?满足1〃1=5,\b\=6,a.b=—6，则cosva,a+/?>=()

31-191719

AA.一一-B.一一-C.—D.—

35353535

5.已知非零向量a,b满足H=2M，且则a与6的夹角为

71712兀5兀

A.—B.一C.—D.—

6336

,,,。UUV1GUUDF冬则/ABC二

6.已知向量5A=(—,J),BC=(

A.30°B.45°C.60°D.120°

二、填空题

7.在，ABC中，CA=a,CB=b,。是AC中点，CB=2BE,试用。,6表示DE为,若AB_L£>£,

则ZACB的最大值为

8.设G，e2为单位向量，满足|2q-e2区夜，a=ex+e'2,/?=3^+e2,设q,6的夹角为6,则cos?。的最

小值为•

9.已知向量4=(2,2),6=(-8,6),则cos(a,6)=.

10.已知a/为单位向量，且a-b=0，若C=2a-瓜,贝!Jcos<a,d>=.

参考答案与试题解析

分考点二精准练工

考点01平面向量平行（共线）求参数

1.已知上eR,a=（2,5）,6=（6,^）,且。//人则上的值为.

【答案】15

【分析】根据向量平行的坐标表示得到方程，解出即可.

【详解】allb，：2k=5x6,解得左=15.

故答案为：15.

2.已知向量。=（2,5）,。=（4,4）,若a//b，则2=.

Q

【答案】I

【分析】利用向量平行的充分必要条件得到关于4的方程，解方程即可求得实数2的值.

【详解】由题意结合向量平行的充分必要条件可得：2x4-4x5=0,

Q

解方程可得：A=|.

Q

故答案为：

3.已知向量。=（租,4）力=（3,-2）,且4〃b，贝U机=.

【答案】-6

【分析】由向量平行的坐标表示得出-2机-4x3=0,求解即可得出答案.

【详解】因为d〃6，所以-2〃z-4x3=0,解得旭=一6.

故答案为：-6

【点睛】本题主要考查了由向量共线或平行求参数，属于基础题.

4.设向量°,6不平行，向量九/+6与a+2b平行，则实数彳=.

【答案】|

,一,A=kf1

【详解】因为向量与〃+2。平行，所以+b=H2+2Z?）,则｛107所以丸=彳.

1=2左，2

考点：向量共线.

考点02平面向量垂直求参数

1.己知向量。=(0,1)/=(2,x),若b_L3-4a),则％=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】D

【分析】根据向量垂直的坐标运算可求％的值.

【详解】因为6Mb-甸，所以6.仅一甸=。，

所以7_4。力=0即4+*2—4尤=0,故x=2,

故选：D.

2.设向量2=(x+Lx)/=",2),则()

A."x=-3"是的必要条件B."x=-3"是的必要条件

C."x=0"是的充分条件D."X=-1+A/T'是""//〃'的充分条件

【答案】C

【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.

【详解】对A,当a_L6时，贝!Ja/=0，

所以x-(x+l)+2x=0,解得x=0或-3,即必要性不成立，故A错误；

对C,当x=0时，a=(l,0),Z>=(0,2),故a/=0，

所以即充分性成立，故C正确；

对B,当。//6时，则2(x+l)=Y,解得x=l±6，即必要性不成立，故B错误;

对D,当x=-l+退时，不满足2(x+l)=V,所以“///,不成立，即充分性不立，故D错误.

故选：C.

3.已知向量a==1),若(a+2b)_L(a+〃b),则()

A.4+〃=lB.X+〃=—1

C.加=1D.加=-1

【答案】D

【分析】根据向量的坐标运算求出Q+助，”曲，再根据向量垂直的坐标表示即可求出.

【详角军】因为a==—1),所以a+/U?=(l+4,l—>l),a+=+,

由(a+4b)_L(a+4b)可得，(Q+劝),(a+=0,

即+++=0,整理得：%从=—1.

故选：D.

4.已知向量a=（3,l）,Z?=（l,0）,c=a+kZ?.若〃_1。，贝必=.

【答案】-1.

【分析】利用向量的坐标运算法则求得向量右的坐标，利用向量的数量积为零求得兀的值

【详角星】a=（3,l）,b=（l,O）,/.c=a+物=（3+匕1）,

a±c,.\a-c=3（3+k）+lxl=0,解得％=-g,

故答案为：-g.

【点睛】本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

p=（玉,％）,q=（工2,%）垂直的充分必要条件是其数量积玉七+乂为=°.

5.设向量a=（1,-1）/=（机+1,2根一4）,若々_1人，则加=.

【答案】5

【分析】根据向量垂直，结合题中所给的向量的坐标，利用向量垂直的坐标表示，求得结果.

【详解】由a_LZ?可得〃./?=（）,

又因为a=（1,-1）,Z?二（m+l,2m-4）,

所以〃力=1・（m+1）+（—1）・（2根—4）=0,

即机=5,

故答案为：5.

【点睛】本题考查有关向量运算问题，涉及到的知识点有向量垂直的坐标表示，属于基础题目.

考点03平面向量的基本定理及其应用

1.在一ABC中，点。在边A8上，BD=2DA.iBCA=m,CD=n,则C8=（）

A.3m—2nB.-2m+3nC.3m+2nD.2加+3〃

【答案】B

【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出.

【详解】因为点。在边AB上，BD=2DA,所以8D=2ZM，即=2（C4-CDb

所以C3=3CD-2CA=3/1-2m=-2m+3n.

故选：B.

2.已知平行四边形ABC。，点E,尸分别是AB,3C的中点（如图所示），设=AD=b,则EF等

于（）

A

1/71/7

A.一（u+bB.一\u—bC.一（b—ciD.—G+b

2、2、2

【答案】A

【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案;

【详解】连结AC,则AC为-ABC的中位线,

/.EF=-AC=-a+-b,

222

A

故选：A

3.在△ABC中，AD为3c边上的中线，£为AD的中点，则破=

3113

A.-AB——ACB.-AB——AC

4444

3113

C.-AB+-ACD.-AB+-AC

4444

【答案】A

【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得BE二BA+《BD,之后应用向

22

31

量的加法运算法则——三角形法则，得到3C=A4+AC，之后将其合并，得到郎=：R4+TAC,下一步

44

31

应用相反向量，^EB=^-AB--AC,从而求得结果.

44

【详解】根据向量的运算法则，可得

BE=-BA+-BD=-BA+-BC=-BA+-(BA+AC

222424、

=-BA+-BA+-AC=-BA+-AC,

24444

31

所以防=二43-7AC,故选A.

44

【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加

法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.

4.在△ABC中，点、M,N满足AM=2MC,BN=NC,^MN=xAB+yAC,则x=,y=.

【答案】|4

【详解】特殊化，不妨设NCLAB,AB=^,AC=3,利用坐标法，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴,

建立直角坐标系，屋0,0),〃(0,2),以0,3),6(4,0),N⑵令，MN=(2,-1),AB=(4,0),AC=(0,3),则

⑵-3=x(4,0)+y(0,3),4x=2,3y=x=-,y=

2226

考点：本题考点为平面向量有关知识与计算，利用向量相等解题.

考点04平面向量的模长

1.已知向量满足忖=1,卜+20=2,且仅一2a)_Lb,则忖=()

A.|B.—C.—D.1

222

【答案】B

【分析】由R-2a)J_。得片=2。/,结合卜|=1,卜+2耳=2,得l+4a.6+4z/=1+67=4，由此即可得解.

【详解】因为所以仅一2°)力=0,即『=20小，

又因为忖=1,卜+2*2,

所以1+4Q./?+4Z?=1+6/?=4，

从而w=q.

故选：B.

2.已知向量a,6满足a+b=(2,3),a-6=(-2,l),则一屹『=()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】B

【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.

【详解】向量原万满足a+6=(2,3),a-b=(-2,1),

所以-|/?|2=(£/+&)­(«-/?)=2x(-2)+3xl=-l.

故选：B

3.已知向量a,*满足卜一同=8，,+1=忸_司,则忖=.

【答案】V3

【分析】法一：根据题意结合向量数量积的运算律运算求解；法二：换元令｝=三-力，结合数量积的运算

律运算求解.

【详解】法一：因为,+同=忸一司,即(a+b『=(2a-b)2,

贝必〜+2。力+6-=^a-^a-b+b,整理得tf-2a-b-Q>

又因为卜-*6,即(a_q=3,

^a-2a-b+b=b=3^所以

ii.rirrrrrrrr

法二：设c=「_6，贝qq=j3,a+Z?=c+2"2Q_/?=2C+Z?,

由题意可得：(c+2。)=(2c+4,则;2+4；.%+412=4；2+4；.力+:2,

整理得：；2』2,即M=1=6.

故答案为：73.

4.已知向量a=(2,1)0=(-2,4),贝一力|()

A.2B.3C.4D.5

【答案】D

【分析】先求得"一。，然后求得

【详解】因为。-少=(2,1)-(一2,4)=(4,-3),所以卜一6卜旧而7=5.

故选：D

5.若向量£/满足忖=3,卜-0=5,0.6=1,则恸=.

【答案】3亚

【分析】根据题目条件，利用a-b模的平方可以得出答案

【详解】•；卜一4=5

卜_0=a+b'-2a-b-9+^-2=25

|i|=3V2.

故答案为：3亚.

6.设。力为单位向量，且贝！)|。一/?|=.

【答案】百

【分析】整理已知可得：1+*/(〃+,,再利用〃力为单位向量即可求得2〃2=-1，对变形可得:

卜—q=_2々./?+恸，问题得解.

【详解】因为为单位向量，所以口=M=I

所以卜+==+2〃2+恸=^2+2a-b=1

解得：2ab=-l

所以卜-W=1(a-b)=^|a|-2a-Z7+|z7|=G

故答案为：百

【点睛】本题主要考查了向量模的计算公式及转化能力，属于中档题.

7.已知向量a=(2,3)0=(3,2),贝一日|=

A.72B.2

C.5正D.50

【答案】A

【分析】本题先计算再根据模的概念求出

【详解】由己知，力=(2,3)-(3,2)=(-1,1),

所以|a—61=-^(―I)2+12=*«/2，

故选A

【点睛】本题主要考查平面向量模长的计算，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查.由于对平

面向量的坐标运算存在理解错误，从而导致计算有误；也有可能在计算模的过程中出错.

8.已知向量。与人的夹角为60。，|a|=2,|6|=1,则|a+2b|=.

【答案】2月

【详解】•••平面向量a与b的夹角为60°,同=2,忖=1

:a-b=2xlxcos60°=1-

\a+2b\=J(a+26)2=a2+4a-b+(2b)2=-4+4+4=2上

故答案为2道.

点睛：(1)求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式.

(2)阿常用来求向量的模.

9.已知向量满足口=1,旧=2,则|a+4+|a-0的最小值是,最大值是.

【答案】426

【详解】设向量a,6的夹角为6,由余弦定理有：|a-^|=A/12+22-2xlx2xcos6>=V5-4cos6>,

卜+0=JF+22—2xlx2xcos(乃一，)=j5+4cosT,贝！]：

|<7+Z?|+|a-&|=J5+4cos6+,5-4cos6,

令y=j5+4cos。+j5-4cos。,贝U)/=10+2,25-16cos?6e[16,20],

据此可得：(,+力+卜-4)=755=2后(k+々+卜-⑷=716=4,

即卜+0+卜-0的最小值是4,最大值是2宕.

【名师点睛】本题通过设向量a力的夹角为6,结合模长公式，可得

|a+q+|j|=j5+4cosO+J5-4cos6,再利用三角函数的有界性求出最大、最小值，属中档题，对学生

的转化能力和最值处理能力有一定的要求.

考点05求平面向量数量积

1.正方形A5c。的边长是2,E是AB的中点，则EC-EZ)=()

A.75B.3C.275D.5

【答案】B

【分析】方法一：以｛人民A。｝为基底向量表示EC,即，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系,

利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求cos/DEC,进而根据数量积的定义运算求解.

【详解】方法一：以｛A民A。｝为基底向量，可知世|=|A4=2,A3.AO=0,

uumuuruumiuunuumuunuruumiuunuum

贝1」石。二防+5。=—43+4。,石。=胡+旬=一一AB+AD,

22

uunuun(iuunuumA(iuunuuuAiuunuun

所以石。瓦>=仁人8+4。.-/AB+AD2+AD2=-1+4=3；

方法二：如图，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，

/、/、/、UUUUL1U

则E(l,0),C(2,2),0(0,2),可得EC=(1,2),即=(-1,2),

ULULuum

所以EC的=-1+4=3;

方法三：由题意可得：ED=EC=y[5,CD=2,

rip2+CF2-DC25+5-43

在，CDE中，由余弦定理可得cosNDEC=—「='北7f,

2DE-CE2xV5x<55

uunuum|Uiin||Uuia|3

所以EC-EO=|Eq|EqcosNOEC=j5x«xg=3.

故选：B.

2.已知向量满足|。|=1,|切=石,|。-2切=3,则°力=()

A.-2B.-1C.1D.2

【答案】c

【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.

【详解】解：|a—26°力+4忖,

又|现=1,防|=百，5-2万|=3,

9=l-4a-6+4x3=13-4a•办，

d-b

故选：C.

3.在..ABC中，AC=3,BC=4,NC=90。.P为-ABC所在平面内的动点,且PC=1,则/%.网的取值范

围是()

A.[-5,3]B.[-3,5]C.[-6,4]D.[--4,6]

【答案】D

【分析】依题意建立平面直角坐标系，设尸(cose,sin。)，表示出PA，PB,根据数量积的坐标表示、辅助

角公式及正弦函数的性质计算可得；

【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则。(。,0),4(3,0),5((),4),

AX

5-

4t

-2C12345

-2-

因为PC=1,所以尸在以C为圆心，1为半径的圆上运动,

设尸(cos。,sin。)，0e[0,2^],

所以R4=(3—cos^,—sin,PB=(—cosOA—sin0),

所以PA-PB=(-cos^)x(3-cos+(4-sin0)x(-sin

=cos20—3cos0—4sin0+sin26

=l-3cos6—4sin，

./x34

=1-5sin(6+0),其中sinp=w，cos^z»=—

因为一lWsin(J+0)41,所以TWl-5sin(e+0)46,即B4-PBe[-4,6]；

故选：D

4.已知P是边长为2的正六边形48COEF内的一点，则APAB的取值范围是（）

A.(-2,6)B.(-6,2)

C.(-2,4)D.(T6)

【答案】A

【分析】首先根据题中所给的条件,结合正六边形的特征，得到4尸在AB方向上的投影的取值范围是（T，3）,

利用向量数量积的定义式，求得结果.

可以得到AP在AB方向上的投影的取值范围是（T，3）,

结合向量数量积的定义式，

可知AP•加等于AB的模与A户在AB方向上的投影的乘积，

所以APAB的取值范围是（-2,6）,

故选：A.

【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的

定义式，属于简单题目.

二、多选题

5.已知。为坐标原点，点《(cosa,sina),g(cos氏—sin0,Q(cos(a+0,sin(a+/7)),A(1,O),则()

A.口小口耳B.|叫=|四

C.0Aop3=OP[OP2D.OAOP[=OP20n

【答案】AC

UUWUUli

【分析】A、B写出。耳,。巴、APt,A2的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的

坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】A：OR=(cosa,sina),OP2=(cos/?,-sin//),所以|OR|=Jcos2<7+sin2a=1,

|OP?|=J(cos?)+(—sin£)2=1，故|0<|=|"|,正确；

B：AF[=(cosa-1,sina),AP^=(cos/7—1,—sinp),所以

22222

\APX|=7(cosa-I)+sina-Vcos«-2cos6z+l+sina-J2(l-cosa)=^4sin1=21sin£|,同理

||=J(cos夕—1)2+Sil?4=21sin，I,故IM|,|I不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOR=lxcos(a+P)+Oxsin(a+/7)=cos(a+/7),

OROR=cosa-cos/y+sincr•(-sin/?)=cos(cr+/?),正确；

D：由题意得：OAOF{=lxcosa+Oxsina=cosa,OP?OP3=cosPxcos(ct++(-sinP)xsin(cr+/?)

=cos(p+(a+p))=cos(a+2p),故一般来说ONOR丰gOP.故错误；

故选：AC

三、填空题

6.设向量九b的夹角的余弦值为:，且忖=1,旧=3,贝.2a+46=.

【答案】11

【分析】设a与B的夹角为凡依题意可得cosO=g,再根据数量积的定义求出.力,最后根据数量积的运

算律计算可得.

【详解】解：设a与b的夹角为。，因为a与6的夹角的余弦值为:，即cosO=；,

又W=l,1|=3,所以a-6=W-Wcos6=lx3xg=l,

所以(2"+46=2°.6+6-=2a/+卜|=2x1+3。=11.

故答案为：11.

7.在边长为1的等边三角形A8C中，。为线段8c上的动点，DE上AB且交48于点E.且交AC

于点七则I2BE+DFI的值为；(DE+DF>DA的最小值为.

【答案】1点

【分析】设BE=x,由(23£'+。尸)2=48£2+45£1-。尸+。尸;可求出；将(DE+DF)./M化为关于x的关系式

即可求出最值.

【详解】设3E=x，_MC为边长为1的等边三角形，DE±AB,

ZBDE=30,BD=2x,DE=恳,DC=1-2x,

DFIIAB.DFC为边长为1-2x的等边三角形，DE1DF，

22

/.(2BE+DF)2=4BE+4BEDF+DF=4x2+4x(1-2x)xcos0+(l-2x)2=b

2BE+DF|=1,

-2

(DE+DF)•DA=(DE+DF>(DE+EA)=DE^-DFEA

=(V3x)2+(1-2x)x(1-x)=5x2-3x+l=5^x-^j,

311

所以当冗=历时，(DE+。/)的最小值为三.

故答案为：1;七.

8.已知向量Q+6+C=0，,卜1,I"卜H=2，a-b+b-c+C-a=

【答案】

【分析】由已知可得(。+人+@2=0,展开化简后可得结果.

【详解】由已知可得(a+b+c)=a+b+c+2(a・Z?+b・c+c・Q)=9+2(a・Z?+b・c+c・a)=0,

,..9

因止匕，a-b+b'C+C'a=——.

2

o

故答案为:--.

9.已知向量在正方形网格中的位置如图所示.若网格纸上小正方形的边长为1,则

(〃+b)N=；a-b=■

【答案】03

【分析】根据坐标求出4+〃，再根据数量积的坐标运算直接计算即可.

【详解】以〃交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：

则Q=(2,1)/=(2,-1),C=(0,1),

:.a+b=(4,0),「.(〃+/?).(?=4x0+0xl=0,

二.a•心=2x2+lx(—l)=3.

故答案为：0；3.

3

10.如图，在四边形ABC。中，N3=60°,AB=3,BC=6,^AD=ABC,ADAB=--,则实数力的值

为,若MN是线段3。上的动点，且则。A/3N的最小值为.

AD

【分析】可得NA4O=120,利用平面向量数量积的定义求得4的值，然后以点B为坐标原点，所在直

线为x轴建立平面直角坐标系，设点M（x,O）,则点N（x+l,O）（其中04x（5）,得出O0.0N关于了的函

数表达式，利用二次函数的基本性质求得。河.ON的最小值.

【详解】AD=ABC,AD//BC,/BAD=180-ZB=120,

ABAD=ABC-AB=A\BC\-\AB\cos120

=2x6x3x(-=-92=,

解得彳=」，

6

以点8为坐标原点，BC所在直线为x轴建立如下图所示的平面直角坐标系工班,

BC=6,:.C(6,0),

|AB|=3,ZA5C=60°,A的坐标为A

文:AD=-BC,^]D,设M（x,0）,则N（%+1,。）（其中0WxW5）,

6

53⑻33后

DM=x—,DN=x——

2222J

=x2-4x+—=(x-2)2+—,

2l72

所以，当x=2时，OAf.rW取得最小值彳.

113

故答案为：~-

62

【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于

中等题.

11.已知正方形A3CD的边长为2,点P满足AP=:(A8+AC),贝1]|尸。|=；PB-PD=.

【答案】A/5-1

【分析】以点A为坐标原点，AB.AD所在直线分别为无、＞轴建立平面直角坐标系，求得点尸的坐标,

利用平面向量数量积的坐标运算可求得以及PBPD的值.

【详解】以点A为坐标原点，AB.AD所在直线分别为了、＞轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点4(0,0)、3(2,0)、C(2,2)、£＞(0,2),

AP=1(AB+AC)=1(2,0)+1(2,2)=(2,1),

则点尸(2,1),力=(—2,1),PB=(O,-l),

因止匕，|叫="可+俨=价,PB-PD=0x(-2)+lx(-l)=-l.

故答案为：A/5;-1.

【点睛】本题考查平面向量的模和数量积的计算，建立平面直角坐标系，求出点尸的坐标是解答的关键，

考查计算能力，属于基础题.

考点06求平面向量的夹角

一、单选题

1.已知向量a=(3,1)力=(2,2),贝I]cos(a+6,a-b)=()

A±R厉c小D2百

A.D.--------C.U.--------

171755

【答案】B

【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得卜+4，卜-4(“+今(。-6),从而利用平面向量余

弦的运算公式即可得解.

【详解】因为1(3,1)力=(2,2),所以〃+b=(5,3)M-b=

贝l]卜+。|=J52+3?=A/34,|«—Z?|=Vl+1=A/2,(〃+/?).(〃_/?)=5xl+3x(—l)=2,

/、\a+b]'\a-b\9、所

所以COS(Q+"Q—=LL，J

\/卜+“…734x7217

故选：B.

2.已知向量a,。,c满足同=M=1,同=,且Q+Z?+e=O，贝！Jcos〈a—c,Z?—c)=()

4224

A.--B.--C.-D.一

5555

【答案】D

【分析】作出图形,根据几何意义求解.

【详解】因为a+6+c=0,所以』+6=」，

即42+62+20.6=中,即1+1+25)=2,所以。.6=0.

如图，设。4=a,O8=6,OC=c,

C

由题知,。4=OB=1,OC=应,」0AB是等腰直角三角形，

边上的高。。=1,4£)=交，

22

所以CD=C0+0D=国叵=巫,

22

tanZACD=—=-,cosZACD=3

CD39，

cos(a-c,b-c)=cosZACB=cos2ZACD=2cos2ZACD-1

故选:D.

3.已知向量〃=(3,4),〃=(l,O),c=Q+历，若<a,2>=〈b,c>,则/=(

A.—6B.-5C.5D.6

【答案】C

【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得

,、,、9+3,+163+/

【详解】解:W=(3+r,4)cos(a,d)=cos,即一=H，解得‘=5,

故选：C

4.已知向量a,b满足1。1=5,|Z?|=6,ab=-6则cos<a,a+6>=()

31c19方17、19

A.--B.——C.——D.——

35353535

【答案】D

【分析】计算出。•(。+0)、卜+4的值，利用平面向量数量积可计算出cos<〃M+b〉的值.

【详角军］忖=5,|“=6,a•b=—6，+=W+42=52—6=19.

,+目=,(a+b)=+2〃.6+>=,25-2x6+36=7,

a\a+b)1919

因止匕，cos<a,a+b>=-；­；—；---r=——=——.

Q.Q+05x735

故选：D.

【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，

考查计算能力，属于中等题.

5.已知非零向量a,b满足H=2M，且