2025高考数学二轮复习：不等式（专项训练）解析版

2025二轮复习专项精练2

不等式

【真题精练】

一、单选题

1.（2024•北京•高考真题）已知（再,M）,（赴，为）是函数＞=2,的图象上两个不同的点，则

)

A.log»+%<玉+%2B.log»+%>斗+尤2

222222

C.log2%；%v%+%D.log2%；%>%+/

2.（2024,上海•IWJ考真题）a,b,ceR,b＞c,下列不等式恒成立的是（)

A.a+b2>a+c2B.a1+b>a2+c

C.ab1>ac2D.a2b>a2c

3.（2022•全国•高考真题）已知9'”=10,"=10"'—118=8"—9,则()

A.a>Q>bB.a>b>0C.b>a>0D.b>0>a

4.（2021•全国考真题）下列函数中最小值为4的是（）

A.y=x2+2x+4B.产卜也目+二

sinx\

C.y=2x+22~XD.y=lnx+—

\nx

5.（2021•浙江局考真题）已知。,民7是互不相同的锐角，则在

sinacos尸,sin£cos/,sin/cosa三个值中，大于工的个数的最大值是（

)

2

A.0B.1C.2D.3

参考答案:

题号12345

答案BBACC

1.B

【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即

可.

【详解】由题意不妨设％＜々，因为函数丁=2苫是增函数，所以0＜2』＜2它，即

0<%<%,

7X>-L9%2/---------------------国+巧y.I再+巧

对于选项AB：可得/〉，2为？々2=2,即X±&>22>0,

22

再+为

根据函数y=bg2X是增函数，所以Iog2"^>log22==受产，故B正确，A错误；

对于选项D：例如玉=0,%2=1，则M=L%=2,

可得log?%=log?Te（0,1）,即log?［<］=%+/，故D错误；

对于选项c：例如玉=-1,々=-2,则芳=5，%=1，

可得1082铝卫=1082|=1。823-3€（-2,-1）,即log2»：%>-3=%+/，故C错误，

故选：B.

2.B

【分析】根据不等式的性质可判断AB的正误，根据特例可判断CD的正误.

【详解】对于A,若c<b<0,则〃<02,选项不成立，故A错误；

对于B,因为6>c,故］+人〉.、。，故B成立，

对于C、D,若。=0,则选项不成立，故C、D错误；

故选：B.

3.A

【分析】法一：根据指对互化以及对数函数的单调性即可知m=bg910>l，再利用基本不

等式，换底公式可得相>lgU,log89>/n,然后由指数函数的单调性即可解出.

【详解】［方法一］:（指对数函数性质）

由9"=10可得根=1%1°=^>1，而lg91gli<‘g9；gll［=］詈）<l=（lgl0）2.所

以怨>怨，即心>坨11，所以。=10"'-ll>l（）3U-ll=0.

1g9IglO

又lg81glO<［g8；gl。［=［等）<（39）2，所以BPlog89>m,

所以6=8'"-9<81°跟9一9=0.综上，a>0>b.

［方法二］:【最优解】（构造函数）

由9"'=10,可得7"=log910e（l,L5）.

根据〃，。的形式构造函数/（x）=x"—x—l（x>l），则r（x）=侬'-1,

令尸(x)=0,解得无。=机匚„,由zn=logg10e(l,1.5)知龙0。(0,1).

f(x)在(1,+8)上单调递增，所以/(10)>/(8),即a>b,

又因为『(9)=9蚓°-10=0,所以a〉0>b.

故选：A.

【点评】法一：通过基本不等式和换底公式以及对数函数的单调性比较，方法直接常用，

属于通性通法；

法二：利用。切的形式构造函数/。)=廿-尤-根据函数的单调性得出大小关系，

简单明了，是该题的最优解.

4.C

【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相

等"，即可得出瓦。不符合题意，C符合题意.

【详解】对于A,y=x2+2x+4=(x+l)2+3>3,当且仅当x=—l时取等号，所以其最小

值为3,A不符合题意；

对于B,因为0<kinx|Wl,y=|sinx|+-^-1>2^=4,当且仅当卜缶尤|=2时取等号，等

sin

号取不到，所以其最小值不为4,B不符合题意；

对于C,因为函数定义域为R,而2工>0,y=2*+22r=2*+2N2a=4,当且仅当

2*=2,即x=l时取等号，所以其最小值为4,C符合题意；

对于D,y=]nx+-^—,函数定义域为(0,1)(1,+oo),而InxsH且InxwO,如当

Inx

lnx=-l,>=一5,D不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确''一正二定三相等"的意义，再

结合有关函数的性质即可解出.

5.C

3

【分析】利用基本不等式或排序不等式得sinacos尸+sin/?cos/+sin/cosaMg,从而可判

断三个代数式不可能均大于1,再结合特例可得三式中大于5的个数的最大值.

22

.22n

【详解】法L由基本不等式有sinacos/《如，；cos",

.2c2•22

日工用•c/smp+cosysinr+cosa

I可埋sinpcosy<-----------,sinycosa<------------,

3

故sinacos/+sin夕cosy+sin/cosa(5,

故sinacosB,sinBcosy,sinycos。不可能均大于

2

71n7171

取a=7，B=F，7=1，

贝Usinacos,=；<；,sin尸cosy=->^,sin/cosa=,

故三式中大于5的个数的最大值为2,

2

故选：C.

法2：不妨设a<0<y,贝(Jcosa>cos/>cos/,sina<sin/?<sin7,

由排列不等式可得：

sinacos/3+sin/3cos/+sin/cosa<sinacos/+sin/?cos/+sin7cosa,

[3

而sinacos/+sin/?cos/?+sin/cosa=sin(y+a)+—sin2/3<—,

故sinacosB,sinBcosy,sinycos。不可能均大于

2

冗C兀兀

取a=7，B=F，y=-

贝Usinacos,=；<；,sin尸cosy=->^,sin/cosa=,

故三式中大于;的个数的最大值为2,

故选：C.

【点睛】思路分析：代数式的大小问题，可根据代数式的积的特征选择用基本不等式或拍

雪进行放缩，注意根据三角变换的公式特征选择放缩的方向.

【模拟精练】

一、单选题

1.(2024•北京丰台,二模)若a,6eR,S.a>b,贝I]()

A.--zB.a2b>ab2

a+1b+1

a+b

C.a2>ab>b1D.a>---->bT

2.(2024,北京西城•一t模)设。=，—,b=t+—,c=t(2+t^,其中—贝！J(

A.b<a<cB.c<a<b

C.b<c<aD.c<b<a

3.（2。24・云南昆明•模拟预测）设书「9,贝）

A.c<b<aB.c<a<b

C.b<c<aD.b<a<c

4.（2024•福建宁德•模拟预测）若两个正实数x,y满足4%+y=2盯，且不等式

工+=<加2-能有解，则实数机的取值范围是（）

4

A.{m|-l<m<2}B.{血相<一1或机>2}

C.{m|-2<m<1}D.{ml机v—2或机〉1}

5.（23-24高一上•安徽淮北•阶段练习）下列条件中，为〃关于x的不等式如2_如+1>。对

VxwR恒成立〃的充分不必要条件的有（）

A.0<m<4B.Q<m<2C.l<m<6D.—l<m<6

6.（23-24高三上•江苏南通•阶段练习）已知A={x|---<—1

B=^x\x2-4x-m>0},

若AqB,则实数机的取值范围（）

A.[0,+oo)B.(-<x),-3]

C.[-3,0]D.（-oo,-3][0,+oo）

7.（23-24高一上•江苏徐州•期末）若命题〃炉+4%+/<0〃是假命题，则实数/的最

小值为（）

A.1B.2C.4D.8

8.（23-24高三上•江苏苏州•开学考试）若函数/（x）=Qlnx+q-立（〃。0）既有极大值

也有极小值，则〃£（）

A.]。，3B.（0,3）C.„（9,+⑹D.（0,3）（9,+与

二、多选题

9.（2024・甘肃陇南•一模）已知。，反ce（O,—）,关于x的不等式优>0的解集为

°°,2），则（）

A.b>lB.a+c>b

1111

C.----+-<-------D.(a-b+c}\5-3^/2

abca-b+c\abc)

10.（2023・山西・模拟预测）已知正实数a,b满足a+4b=2,则（）

,1,119r-r-

A.ab<-B.2a+16ft>4C.-+D.&+2扬24

4ab2

11.（2024・湖南衡阳•模拟预测）已知正数无，V满足x+2y=l,则下列说法正确的是

（）

A.孙的最大值为:B.f+4/的最小值为工

o2

__13

C.的最大值为26D.1+］的最小值为7+2指

14

12.（2024•全国•模拟预测）已知a>0,b>0且一+丁=2,则下列说法正确的是（）

ab

9

A.仍有最小值4B.a+〃有最小值大

2

C.2次?有最小值2百D.46a2+/的最小值为40

13.（2023・广东汕头•三模）若〃>0,6>0,〃+匕=4,则下列不等式对一切满足条件〃/恒成

立的是（）

A.sfab<2B.s/a+y[b<2

C.—+b2>4D.-+->1

3ab

14.（2024・浙江•二模）已知正实数a,瓦c,且。>人>G尤,y,z为自然数，则满足

——r+~r~—1--->。恒成立的羽丁*可以是（）

a-bb-cc-a

A.x=l,y=l,z=4B.x=l,y=2,z=5

C.尤=2,y=2,z=7D.x=l,y=3,z=9

15.（23-24高三上•广东惠州，阶段练习）下列说法正确的是（）

A.函数y=a--2x（a>0,aw1）的图像恒过定点A（-2,5）

B."-l<xW5"的必要不充分条件是"-lVx<6"

C.函数/（X—l）=—/（x+l）的最小正周期为2

D.函数y=,2尤+2+~j=^=的最小值为2

V2%+2

参考答案:

题号12345678910

答案DCABBBCABCDABC

题号1112131415

答案ABDABDACDBCAB

1.D

【分析】举反例即可求解ABC,根据不等式的性质即可求解D.

【详解】由于取1,……无法得到

11

—;——<—:——a2b>ab2,故AB错误,

a+1b+1

取1=。，。=一2,则〃2=0,“〃=(),/=4,无法得到C错误,

由于a>6,贝！J2a>/?+〃>2Z?,所以〃>'+->/?,

2

故选：D

2.C

【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.

【详解】由一故1）,故。=，一？＞。，

由对勾函数性质可得6=7+；＜_（1+1）=_2,

c=%（2+%）＜0,且。=广（2+，）=，2+2，=（，+1）2—12—1,

综上所述，有b＜c〈a.

故选：C.

3.A

【分析】构造函数〃x）=g，利用函数单调性确定上C大小，通过作差a-6,判断正负

即可确定6大小即可.

【详解】设/"）=号，则令r（x）=Y"=3得*=&，

则f（x）在（0,⑹上单调递增，在（点+可上单调递减，

右）,c=/（"）,贝!|6＞c,

▼,1ln55-31n5lne5-lnl25八,

又a-b=---------=----------=----------------＞0,得Z0。＞＞，

6103030

所以〃＞/?＞（:,

故选：A

4.B

【分析】根据题意，利用基本不等式求得v的最小值，把不等式有解,

转化为不等式疗-用〉2,即可求解.

14

【详解】由两个正实数MV满足4x+y=2冲，得一+—=2,

xy

y1■+2日m

则n=2,

21V4^1

4xy

当且仅当一=＞，即y=4x=4时取等号，

y4.x

又由不等式x+；＜”?2有解，可得1-〃z＞2,解得7”＜-1或相＞2,

4

所以实数的取值范围为{加根＜-1或根＞2}.

故选：B.

5.B

【分析】先求出关于x的不等式如2一如+1＞0对-VxeR恒成立的充要条件，然后根据充

分不必要条件的定义即可求解.

【详解】若关于x的不等式nv3—〃式+1＞0对VxeR恒成立，

当机=0时，不等式等价于1＞0恒成立，故加=0满足要求，

m＞0

当根wO时，原不等式恒成立当且仅当《/、2/八，解得。＜机＜4,

△=(—m)-4m＜0

综上所述，若关于x的不等式如2_如+1＞()对VXER恒成立，则当且仅当。(根＜4,

而选项中只有。＜机＜2是04根＜4的充分不必要条件.

故选：B.

6.B

【分析】解不等式可得集合A,根据可得根©在(0,1)上恒成立，结合二次函

数的单调性即可求得答案.

1Y

【详解】解不等式——＜-1,即——＜0,；.0＜无＜1,

x-1x-1

即A=(O,D,

又A=B,＞8={尤|*2—4工一;九20},

故尤2_4%_机20在(0,1)上恒成立，

即m4f-4x在(0,1)上恒成立，而y=V-4x在(0,1)上单调递减,

故y>/-4=-3,故V-3,

即实数m的取值范围为（f,-3],

故选：B

7.C

【分析】根据特称命题与全称命题的真假性质，结合一元二次不等式的解集的性质进行求

解即可.

【详解】因为命题"玉eR,f+©+rvO”是假命题，

所以命题"VxeR,X?+4x+f20"是真命题，

因此有A=4?-4fW0n/24,所以实数f的最小值为4,

故选:C

8.A

【分析】将函数既有极大值也有极小值转化为导函数对应的方程有两个不等正根即可解决

问题.

【详解】因为=+所以函数定义域为（。,+“），

由题意，方程广（力=0,即"2_3》+1=0有两个不相等的正根，设为玉,斗，

△二9一4〃>0

3

则<玉+/=—>0解得0＜a＜；,即〃的取值范围为

a

Xy-X2=—>0

故选：A.

9.BCD

【分析】举特殊值可判断A；令：=m,f=n,结合题意得加+”2=1,利用三角代换判断

bb

B；将（a-6+c）仕转化为（加+〃-1）（竺叱T），令t=m+n,继而转化为

\abc）mn

,再结合换元，利用函数的单调性，可求得+的范围，即可判

断C,D.

【详解】对于A,由题意知a,b,ce（O,4w）,关于x的不等式优+c工＞0的解集为

(-℃,2),

不妨取a=c=等,6=1,则/一//+。*>0,即2(日厂>1,.

其解集为(-8,2),即a=c=等,6=1满足题意，故A错误；

(1r

对于B,ax-bx+cx>0^(-r+(-r>l,

bb

令f=相,；=",由于不等式。'-6'+/>0的解集为(-℃,2),

bb

故需满足0<相<1,。<〃<1,且疗+”2=1,

令m=cos0,n=sin0,0G(0,—),则m+n=cos0+sin0=0sin(。+—),3e(0,—),

242

由于6+工e(工,包)，则应sin(e+q)e(l,0],即得加+〃>1,

4444

又a+c=6(机+〃)，故〃+B正确；

…1111/11八1/11八C7C

对于C,D,--------F—=一(—I-----1)=—(-+——--1)>0,a-b+c>Q,

abcbmnbcos。sin。

I1111rn+n

故(〃―/7+c)(------+—)=(m+n-l)(——l------1)=(m+n-l)(----------1),

abcmnmn

71Lt2-\

令，=根+〃=cos6+sin46£(0,—)tG(1,v2],则mn=------

2-2+1

则(a-6+c)(：J+f=(I)(M2r-?+l

—1)=(D-

t2-\z+1

2

e(2,0+1],则竺士1=也-+1=-八*-2

令,+1=

t+1rr

=4-(r+-),

r

由于函数y=r+—在(2,&+l］上单调递增,

r

,W3=2+-<r+-<V2+l+^J—=3A/2-1

2rA/2+1

贝|]5—3&44—(r+2)<l,gp5-3V2<(fl-ZJ+c)(--i+i)<l,

rabc

即工_工+!<-------,(<2-Z?+C)|--y+—j>5-3^,C,D正确,

abca-b+cbcJ

故选：BCD

【点睛】难点点睛：本题考查了由指数型不等式的解集求解参数范围问题，综合性较强,

难度较大，解答的难点在于C,D项的判断，解答时要利用三角代换以及换元法，将

(0-6+。)［,-；+'］等价转化，再结合函数的单调性进行判断.

\abc)

10.ABC

【分析】利用基本不等式可得A,B,D正误，利用1的妙用可得C的正误.

【详解】对于A,因为2J4abVa+4Z?=2,所以abV；,当且仅当a=48=l,即

a=l,b=：时，取到等号，故A正确；

4

对于B,2"+16"22,2"•16"=2A/2"助=4，当且仅当a=4Z?=l,即。=11=；时，取到等

号，故B正确；

9

对于C,叱+讣生+")>—5+2=-,当且仅当

ab2'2

21

a=2b,即〃=§时，取到等号，故C正确；

对于D,(6+2砺)=(2+4Z?+^4ab<4,所以&+2扬(2,当且仅当a=4b=l,即

八1年。时，取到等号，故D错误.

故选：ABC.

11.ABD

【分析】利用已知条件、基本不等式逐项判断可得答案.

【详角星】对于A：1ax>0,y>0,x+2y=\.

£1

回x-2yVxy<-.

Hl48

\x=2y11

当且仅当/,,即X=；,>=：,取回A正确；

[x+2y=\24

对于B：尤？+4y?=(x+2y)2-4孙=l-4.p,由(1)知孙W!，^\-4xy>-—.

82

回f+4/=l-4xy=正确；

对于C：+yjly^=x+2y+2“・2y=l+2，x・2y«l+x+2y=1+1=2.

⑦G+必工O,回c错误；

对于D：f-+->|(x+2y)=l+^+—+6=7+^+—>7+2>/6,

y)%y%y

2y3x|2y2=3x2

当且仅当一=一，BP',,取"=回D正确.

尤y[x+2y=l

故选：ABD.

12.ABD

【分析】利用基本不等式可判断各选项.

14H~414

【详解】A选项：由2=上+322」匕兰，得必24,当且仅当一=7，即。=1,人=4时取

ab\abab

等号，故A选项正确；

9

B选项:a+b=当且仅当

2

b4a3

g=¥，即°==,%=3时取等号，故B选项正确;

ab2

14

C选项：由一+7=2,得2〃/?一4。一〃二0,

ab

所以2仍+°=5»=；卜力（5»）0半"b20^_9+4

ab2

当且仅当，*即0=\|巨~+百时取等号，故C选项错误:

D选项：由A的分析知必24且a=l,〃=4时取等号,

所以，16。2+廿2J2-4a6=茄之反=40，当且仅当4。=沙，即。=1,8=4时取等

号，故D选项正确；

故选：ABD.

13.ACD

【分析】对于A,B,D,利用基本不等式即可求得答案；对于C,利用6=4-即求出

幺7+〃==425_3）2+4,结合〃的范围，利用二次函数的性质即可求得.

33

【详解】对于A,a>0,b>0,a+b>2y/ab,BPy/ab<=2?当且仅当〃=b=2时等号

成立，所以A正确；

对于B,a>0,b>0,(,^+4b)2=a+b+2^=4+2,y/ab<4+2x2=8,

又&+斯>0,则&+也V20,当且仅当。=6=2时等号成立，所以B错误;

对于C,a+b-4,6=4-。>0,所以0<a<4,

则《+/=《+（4—〃）2=M—8〃+16=q（。—3>+424,并且i=3时等号成立.，所以C

3333

正确；

对于D,a>0,b>0,a+b=4,所以包心=1,

4

11,1la+b=IX（2+b+a.）1X（—2+八2ba、