2025初中数学竞赛专项复习：有理数的相关的概念 讲义（学生版+解析版）

专题03有理数的相关概念（学生版）

点!真题重现

（2024七年级•全国・竞赛）已知在数轴上与实数a、b、c对应的点如图所示，则日-驴+产+芸会的

\a-b\\b-c\\c-a\\ab-ac\

值为.

I1111,

ab01c

考点突破

一、正数与负数

【学霸笔记】

4

正数：像3.5,2020,6.7,卷等这样的数都是正数，它们都是大于0的；

5

负数：像一154,-3.4,—3.5%等这样的数都是负数，它们都是小于。的；

0既不是正数，也不是负数.

1.一个数前面的“十”号或“一”号叫做它的符号，其中“+”号可以省略不写，“一”号不能省略；

2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如是一个确定的温度，不能说0℃没

有温度；

3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“+”号就是正数，带“一”

号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数.

【典例】（七年级上•江西•竞赛）下列各有理数中，属于正数的有（）

①0.01；②一点③15的绝对值；④0；⑤一子；⑥2333的相反数

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】先把需要化简的数进行化简，再根据正数定义进行判断，即可得到结果.

【详解】解：•••|15|=15,-2.333的相反数是2.333,

・•・正数有：①③⑥，

故选：C.

【点睛】本题考查正数、绝对值、相反数，正确理解相关定义是解题的关键.

【巩固】(2024七年级•全国・竞赛)某人从4地去B地，以每分钟2米的速度行进，他先前进1米，再后退2米,

又前进3米，再后退4米......

(1)1小时后他离4地多远？

⑵若尔B两地相距50米，他可能到达B地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由.

二、有理数的分类

【学霸笔记】

根据有理数的特征，一般会有以下两种分法.

1.按定义分

［正整数

整数4o

有理数＜负整数

正分数

分数《

负分数

2.按正负分

正整数

正有理数＜

正分数

有理数＜

负整数

负有理数《

负分数

【典例】(2。24七年级.全国.竞赛)若高岛为整数，则整数m可取的值有().

A.。个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键.

分别用列举法确定小，三为整数的m的值，然后取公共部分即可解答.

m+1m-1

【详解】解：为整数时，

771+1

.,.772可取0,-2,L—3,3,-5；

・•・白为整数时，

m-1

••.TH可取2,0,4,-2,

二当士,工为整数时，m可取值为0,-2共两个.

771+1771-1

故选C.

【巩固】把下列各数填入相应的大括号里.-看-3.14,260,-2009,-0.010010001---7,3.1415,

37

TT,

1314

0,—,0.03,-3--10,-0.23,一5

1722

正分数集合{…};

正数集合{-};

整数集合{-};

非正数集合{-};

有理数集合{-};

自然数集合{-}.

三、数轴与绝对值

【学霸笔记】

1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

(1)数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；

(2)数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；

(3)数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实

际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；

(4)在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.

2.数轴的画法

(1)画一条直线(通常画成水平位置)；

(2)在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；

(3)确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；

(4)选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1,2,3,…从原点向左，每隔一

个单位长度取一点，依次标上-1,-2,-3,…

3.利用数轴比较有理数的大小

(1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

(2)正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.

4.绝对值的几何意义

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.数a的绝对值记作|a|,读作“a的绝对值”.

1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；

2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近,

这个数的绝对值就越小；

3.数轴上表示0的点到原点的距离为0,所以|0|=0.

绝对值图示：

-3.52.5

―I________IO_I________1_________I________i________I_________IQ।_________I_________L_

-5-4-3-2-1012345

距离为3.5距离为2.5

yw

|-3.5|=3.5\2.5\=2.5

【典例】如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、氏C、。是这些点中的四个，且对应的位置

如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d.

(1)若c与d互为相反数，则。=—;

(2)若d-26=8,那么点C对应的数是；

(3)若abcd<0,a+b>0,求|a-26|+|6+c|-3+|c-7|+|d-a|的取值范围.

----1----1----1----1I----1----1----1----1----1----1----L>.

ABCD

【分析】(1)由c与d互为相反数，CO之间的距离为4,所以CD的中点为原点，点A到原点的距离为

8,位于原点的左侧，即。=-8；

(2)由BO=7,d-26=8得点B到原点的距离为1,且位于原点的左侧，点C位于原点的右侧，距离

2个单位长度，即点C对应的数为2；

(3)由0+6>0得a>0>b,且|°|>网，-1.5<a<0,再由"cd<0求得d>c>%>0>a,再根据数轴上

点的位置得6=。+3,c=a+6,d=a+10,最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得.

【解答】解：(1)如图所不：

••Z与”互为相反数，

：.CD=4,。为原点，

；.|OA|=8,

•・〃=-8；

(2)如图2所示：

1।-----1।1I।----1----11

ABOCD

图2

・：BD=7,d-20=8,

:・b=-1,

...点B向右移动一个单位长度是原点，

又：OC=2,点C在原点的右侧，

c=2

(3)如图3所示：

—4----1----1JI----1BI----1----111a

ABCD

图3

*.*〃+。>0,

：.b>O>a,且|。|>嗣，-1.5<6/<0,

•\a-2。VO,

又,:abcd<0,

•\d>c>b>O>a,

Z?+c>0,c-7<0,d-a>0.

由图可知：

b=a+3fc=a+6,d=〃+10,

\a-2b\+\b+c\-3+|c-7\+\d-a\

=2b-a+b+c-3+7-c+d-a

—3b-2i+d+4

—3(〃+3)-2〃+(a+10)+4

=2a+23,

V-1.5<«<0,

.\20<2a+23<23.

【点评】本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意

两点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范围.

【巩固】点A、B、C为数轴上三点，如果点C在A、B之间且点C到A的距离是点C到8的距离3倍，那

么我们就称点C是｛42｝的奇点.

例如：如图①，点4表示的数为-3,点3表示的数为1.表示0的点C到点A的距离是3,到点2的

距离是1,那么点C是｛A,团的奇点；又如，表示-2的点。到点A的距离是1,到点8的距离是3,

那么点D就不是｛A,团的奇点，但点。是｛34｝的奇点.

(1)点A表示的数是1,点2表示的数是2,点C表示的数为5,点3是否为｛C,A｝的奇点？请说明理

由；

(2)如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-3,点N所表示的数为5.表示数的点是

[M,N｝的奇点；表示数的点是｛N,M｝的奇点；

(3)如图③，A、3为数轴上两点，点A所表示的数为-50,点2所表示的数为30.现有一动点尸从点

B出发向左运动.P点运动到数轴上的什么位置时，P、A和8中恰有一个点为其余两点的奇点？

ADCBMN

-I_।_।_I_I।-1_k_।_।_L,1111111,11A

-6-5-4-3-2-101234-3-2-10123456lx

①②

A।J且

-50030

③

四、相反数与倒数

【学霸笔记】

1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.

（1）0的相反数是0；

（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）.

2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.

（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；

（2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反

数.

3相反数的性质

任何数都有相反数，且仅有一个.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.

4.相反数的特征

若a与6互为相反数，则a=-6,反之，若a=f则a与6互为相反数.

（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“一”号即可；

（2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“一”，如a-b的相反数为一（a—b）,括号不要

忘记了！

5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.

PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0,不可能等于1,所以。没有倒数.

6.求一个数的倒数的方法：

（1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数；

（2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；

（3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；

（4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.

7.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，。没有倒数.

【典例】（2024七年级•全国.竞赛）已知a、b互为倒数，m、n互为相反数，k的绝对值为2014,则代数式k-

的值为

k

【答案】2013或-2015

【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，根据题意，ab=Lm+n=0,|k|=2（H4,计算即可，熟练

掌握定义是解题的关键.

【详解】解：由题可得：ab=+n=0,|k|=2014,

ab=l,m+n=0,k=2014或ab=l,m+n=0,k=-2014

①ab=l,m+n=0,k=2014原式=2014-0-1=2013；

②ab=l,m+n=0,k=-2014原式=-2014-0-1=-2015,

故k-ab+竿的值是2013或—2015,

故答案为：2013或-2015.

【巩固】已知a、b互为相反数，x、y互为倒数，贝42013（。++2014（盯）2。13=.

,模拟演练

1.（2024七年级•全国・竞赛）把-翔箸,-居四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（）

181979362010189361972010

A.--->---->---->-----D.------>---->---->-----

191989372011199371982011

C2010>197〉93618口2010〉936>197>18

*201119893719*2011937/19819

2.（2024七年级•全国•竞赛）已知有理数a与b互为相反数，\b\=c,若a=%+2,c=8-2%,贝咏的取值为

（）

A.2B.2或10C.6或10D.6

3.（2024七年级.全国•竞赛）方程|2|X|-2014|=2015的解有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

4.（2024九年级.全国.竞赛）在数轴上，区域-68关于原点对称的区域是

5.（2024七年级•全国・竞赛）若—11<%<11则满足条件||x|—5|=zn的整数m的值共有个.

6.（2024七年级•全国•竞赛）数轴上P点表示的数是2009/—2008%+2007,Q点表示的数是-2010/+

2012%-2009,则线段PQ的中点表示的数是.

7.（2024七年级•全国•竞赛）将1,2,3,2011这2011个数随意排成一列,在相邻的两个数之间添上“+”

或”号，所得结果记为s,那么|s|的最小值是.

8.（2024七年级.全国.竞赛）已知9<aW10,3<b<4,代数式|久一a|+-b|的最小值为

9.（2024七年级•全国.竞赛）对于任意的有理数打和％2，称%-为和犯的“绝对差”•小枫同学对

1,2,3,4,…,2016这2016个整数进行如下操作：划掉两个整数，并在这列数的后面写上这两个整数的“绝对

差”.重复操作，直到剩下一个数，这个数最大是.

10.（七年级上•广东惠州・竞赛）用符号"㊉''定义一种新运算：对于有理数a、b（a力0,a^l）,有a㊉b=

2°°3°；2。。4网,已知2004㊉x=2,求久的值.

az-a

专题03有理数的相关概念（解析版）

会'、真题重现

（2024七年级•全国・竞赛）已知在数轴上与实数a、b、c对应的点如图所示，则曰-肥+产+芸会的

\a-b\\b-c\\c-a\\ab-ac\

值为.

I1111,

ab0Ic

【答案】2

【分析】本题考查数轴和有理数的混合运算，熟练掌握绝对值的性质是解题的关键，先根据数轴，求出

a、b、c的取值范围，依此确定a-b、b-c、c-a、ab-ac的取值范围，再去绝对值符号计算即可.

【详解】解：根据数轴得：a<b<0<c

•••a—b<0,&—c<0,c—a>0,ah—ac>0,

笆一鉴+产+―=一1+1+1+1=2，

\a-b\\b-c\\c-a\\ab~ac\

故答案为：2.

J'S考点突破

一、正数与负数

【学霸笔记】

正数：像3.5,2020.6.7,《等这样的数都是正数，它们都是大于0的；

5

负数：像一154,—3.4,—3.5%等这样的数都是负数，它们都是小于。的；

0既不是正数，也不是负数.

1.一个数前面的“十”号或“一”号叫做它的符号，其中“十”号可以省略不写，“一”号不能省略；

2.0的意义不但可以表示“没有”，还可以表示一些特定的意义，如0℃是一个确定的温度，不能说0℃没

有温度；

3.判断一个数是正数还是负数，不能仅由数字前面的符号判断，不能理解为带“+”号就是正数，带“一”

号就是负数，如后面要讲的-（-1）就是一个正数.

【典例】（七年级上•江西•竞赛）下列各有理数中，属于正数的有（）

①0.01；②g;③15的绝对值；④0；⑤一日；⑥-2.333的相反数

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】先把需要化简的数进行化简，再根据正数定义进行判断，即可得到结果.

【详解】解：•••|15|=15,-2.333的相反数是2.333,

・•・正数有：①③⑥，

故选：C.

【点睛】本题考查正数、绝对值、相反数，正确理解相关定义是解题的关键.

【巩固】（2024七年级•全国•竞赛）某人从4地去B地，以每分钟2米的速度行进，他先前进1米，再后退2米，

又前进3米，再后退4米……

（1）1小时后他离4地多远？

⑵若4、B两地相距50米，他可能到达B地吗？如果能，需要多长时间？如不能，请说明理由.

【答案】（1）1小时后，这个人离4地8米.

⑵能到达B地，需要2745分钟.

【分析】本题考查了有理数加法的应用，读懂题意，找出规律，准确进行计算是解答本题的关键.

（1）根据题意，1小时共行2X60=120（米），1+2+3+・“+左=丝衿，当k=15时，"罗=120,

由此得到答案.

（2）由1一2+3-4+5-6…+99=50,得到他走的总路程是1+2+3+…+99,再由路程、速度、时

间的关系，求出答案.

【详解】（1）解：根据题意得：

1小时共行2X60=120（米）,

又1+2+3+…+k=”上反

1—2+3—4+…―14+15=8(米),

答：1小时后，这个人离/地8米.

(2),•*1—2+3—4+5—6...+99

=1+(—2+3)+(—4+5)+…+(—98+99)

=1+1+1+…+1

=50,

，他走的总路程是：

1+2+3+・・・+99,

=(1+99)+(2+98)+…+(49+51)+50,

=100x49+50,

=4950（米）

・•・4950+2=2475（分钟），

答：能到达B地，需要2745分钟

二、有理数的分类

【学霸笔记】

根据有理数的特征，一般会有以下两种分法.

1.按定义分

正整数

整数《0

有理数＜负整数

正分数

分数＜

负分数

2.按正负分

正整数

正有理数＜

正分数

有理数＜0

负整数

负有理数

负分数

【典例】（2024七年级•全国・竞赛）若高信为整数，则整数小可取的值有（）.

A.0个B.1个C.2个D.3个

【答案】C

【分析】本题主要考查了整数的定义，理解整数的定义是解题的关键.

分别用列举法确定白，白为整数的小的值，然后取公共部分即可解答.

m+1m-1

【详解】解：为整数时,

m+1

•••nr可取0,—2,1,—33—5；

•••白为整数时，

m-1

M可取2,0,4,-2,

・••当’7，二7为整数时，m可取值为0,-2共两个.

m+1m-1

故选C.

1

-6

【巩固】把下列各数填入相应的大括号里.3-3.14,260,-2009,-0.010010001-,-7,3.1415,

7

TI,

1314

0,一0.03,-3-,10,-0.23,一］

17

正分数集合｛•••｝:

正数集合｛•••）;

整数集合｛___________________________________

非正数集合｛"•｝;

有理数集合｛-｝；

自然数集合｛-｝.

【分析】根据各自的定义判断即可得到结果.

613

【解答】解：正分数集合｛3.1415,—,0.03,•••)；

613

正数集合｛260,3.1415,TC,—,0.03,10,•••)；

整数集合｛260,-2009,-7,0,10,--••)；

11,,4

非正数集合｛一芯-3.14,-2009,-0.010010001-7,0,-3-,-0.23,-2-

161314

有理数集合｛.于_3.14,260,-2009)?-7,3.1415,0---0.03,-3-，10,-0.23,

自然数集合｛260,0,10,•••｝.

41

,,613613313

故答案为:3.1415---0.03；260)3.1415,m-10.03,10；260,-2009,7,--3-

??2;

6

1413426O7

-3.14,-2009,-0.010010001-,-7,0,-3-，-0.23,一亮一看,09-

2232007

131A

3.1415,0,—,0.03,-3-,10,-0.23,一亍；260,0,10.

1722

【点评】此题考查了有理数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键.

三、数轴与绝对值

【学霸笔记】

1.数轴定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴.

(1)数轴是一条可以向两端无限延伸的直线；

(2)数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，缺一不可；

(3)数轴三要素是“规定”的，通常，我们习惯性向右为正方向，原点的位置和单位长度的大小要依据实

际情况灵活选取，但是，一旦选定后就不能随意改变；

(4)在同一条数轴上，单位长度的大小必须统一，要根据实际问题灵活选取单位长度的大小.

2.数轴的画法

(1)画一条直线(通常画成水平位置)；

(2)在这条直线上取一点作为原点，这点表示0；

(3)确定正方向：规定直线上向右为正方向，画上箭头；

(4)选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上1,2,3,…从原点向左，每隔一

个单位长度取一点，依次标上-1,-2,-3,…

3.利用数轴比较有理数的大小

(1)在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大；

(2)正数都大于0,负数都小于0,正数大于负数.

4.绝对值的几何意义

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值.数a的绝对值记作|a],读作“a的绝对值”.

1.因为距离不可能为负，所以一个数的绝对值都是非负数；

2.数轴上表示一个数的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，反之，数轴上表示一个数的点离原点越近,

这个数的绝对值就越小；

3.数轴上表示0的点到原点的距离为0,所以|0|=0.

绝对值图示：

-3.52.5

-------1------1_O-I-------1-------1-----1-------1------1-O■—1--------1-------1----->>

-5-4-3-2-1012345

KkV’

距离为3.5距离为2一5

yv

|-3.5|=3.5\2.5\=2.5

【典例】如图，数轴上每相邻两点相距一个单位长度，点A、3、C、。是这些点中的四个，且对应的位置

如图所示，它们对应的数分别是a、b、c、d.

(1)若c与d互为相反数，则“=—；

(2)若d-2b=8,那么点C对应的数是；

(3)若而cdVO,a+b>Q,求|a-2切+|b+c|-3+|c-7|+>-a|的取值范围.

-----1-----1------1-----11------1-----1-----1-----1------1-----1-----1■>>

ABCD

【分析】(1)由c与d互为相反数，C。之间的距离为4,所以C£>的中点为原点，点A到原点的距离为

8,位于原点的左侧，即a=-8；

(2)由2/)=7,d-26=8得点3到原点的距离为1,且位于原点的左侧，点C位于原点的右侧，距离

2个单位长度，即点。对应的数为2；

(3)由a+6>0得a>0>6,且|a|>|例，-1.5<a<0,再由abcd<0求得d>c>6>0>a,再根据数轴上

点的位置得b=a+3,c=a+6,d=a+lO,最后去绝对值，合并同类项，求解不等式得.

【解答】解：(1)如图所示：

Ye与d互为相反数,

••.CD=4,。为原点,

/.|OA|=8,

・・4=-8；

(2)如图2所示:

1I----------1JI------1-----------11----------1---------111a

AROCD

图2

•：BD=7,d-2b=8,

：.b=-1,

・••点B向右移动一个单位长度是原点，

又・・・OC=2,点。在原点的右侧，

c—2

(3)如图3所示：

—4---------1---------1JI---------1：I---------1---------111a

ABCD

图3

*.*a+b>0,

：.b>Q>a,且以>|。|,-1.5<a<0,

•.a-2Z?<0,

又cdVO,

：・d>c>b>O>a,

b+c>0,c-7<0,d-a>0.

由图可知：

b=a+3,c=〃+6,d=〃+10,

\a-2b\+\b+c\-3+\c-7|+|J-a\

=2b-a+b+c-3+7-c+d-a

=3b~2q+d+4

—3(〃+3)-2a+(〃+10)+4

=2〃+23,

V-1.5<tz<0,

・・・20V2〃+23V23.

【点评】本题综合考查了数轴的三要素，数轴上的点与实数的对应关系，去绝对值的方法，数轴上何意

两点对应两个数的和差值的正负性，求代数式的取值范围等相关知识点，难点是求代数式的取值范围.

【巩固】点A、B、。为数轴上三点，如果点。在A、3之间且点。到A的距离是点C到3的距离3倍，那

么我们就称点C是｛A,团的奇点.

例如：如图①，点A表示的数为-3,点8表示的数为1.表示。的点C到点A的距离是3,到点B的

距离是1,那么点C是｛A,团的奇点；又如，表示-2的点D到点A的距离是1,到点2的距离是3,

那么点。就不是｛A,8｝的奇点，但点。是｛2,4｝的奇点.

(1)点A表示的数是1,点B表示的数是2,点C表示的数为5,点B是否为｛C,A｝的奇点？请说明理

由；

(2)如图②，M、N为数轴上两点，点M所表示的数为-3,点N所表示的数为5.表示数—的点是

[M,N｝的奇点；表示数的点是｛N,M｝的奇点；

(3)如图③，A、8为数轴上两点，点A所表示的数为-50,点3所表示的数为30.现有一动点P从点

B出发向左运动.尸点运动到数轴上的什么位置时，P、A和8中恰有一个点为其余两点的奇点？

MN

Jlllllll.il,

-6-5-4-3-2-101234-3-2-101234567x

①②

AJB

------•-----------1-------•-----►

-50030

③

【分析】(1)求出氏4和BC的长度，再根据奇点定义进行判断即可；

(2)设所求数为x,根据奇点的定义列出方程尤-(-3)=3(5-x)或3[尤-(-3)]=5-尤，解方程

即可；

(3)根据奇点的定义可知分4种情况：①尸为｛A,团的关联点；②P为｛B,4｝的关联点，③A为｛B,

P｝的奇点，④A为｛尸，团的奇点，设点尸表示的数为y,根据奇点的定义列出方程，进而得出P点运动

多少个单位.

【解答】解：(1)点8是｛C,A｝的奇点，理由如下，

由题可知54=1,BC=3,

所以BC=32A,

所以点B是｛C,4｝的奇点；

(2)设所求数为x,

当数x是｛M,N｝的奇点时，

则x-(-3)=3(5-x),

解得x=3；

当数x是｛N,M｝的奇点时，

则3[x-(-3)]=5-x,

解得x=-1.

...数3所表示的点是｛M,N｝的奇点；数-1所表示的点是｛N,M｝的奇点；

故答案为：3；-1；

(3)设点尸表示的数为y,分两种情况：

①P为｛4,8｝的奇点，

由题意，得y-(-50)=3(30-y),

解得y=10；

②尸为｛B,A｝的奇点，

由题意，得30-y=3[y-（-50）],

解得y=-30；

③A为｛B,P｝的奇点，

由题意，得30-（-50）=3（-50-y）,

解得y=—竽，

④A为｛P,8｝的奇点，

由题意，得-50-y=3X80,

解得y--290,

综上可知，P点为数-30或10或-竽或-290时，点P、点、A和点B中恰有一个点为其余两点的奇点.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用及数轴，解题关键是要读懂题目的意思，理解奇点的定义，找

出合适的等量关系列出方程，再求解.

四、相反数与倒数

【学霸笔记】

1.相反数的定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个数叫做另一个数的相反数.

（1）0的相反数是0；

（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数（类似倒数）.

2.相反数的几何意义：在数轴上位于原点两侧且到原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.

（1）数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等；

（2）数轴上与原点距离是a（a是一个正数）的点有两个，分别在原点的左右两边，它们表示的数互为相反

数.

3相反数的性质

任何数都有相反数，且仅有一个.正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0.

4.相反数的特征

若a与匕互为相反数，则a=-6,反之，若。=一b,则。与。互为相反数.

（1）求一个数或一个字母的相反数，只要在它的前面添上“一”号即可；

（2）求一个式子的相反数，要在这个式子整体前面添上“一”，如a-b的相反数为一（a—b）,括号不要

忘记了！

5.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数.

PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0,不可能等于1,所以0没有倒数.

6.求一个数的倒数的方法：

（1）一个不为。的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数；

(2)求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置；

(3)求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置；

(4)求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数.

7.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，。没有倒数.

【典例】(2024七年级.全国.竞赛)已知a、b互为倒数，m、九互为相反数，k的绝对值为2014,则代数式k-

帅+竺詈的值为

【答案】2013或—2015

【分析】本题考查了相反数，倒数，绝对值，根据题意，ab=l,m+n=0,|k|=2014,计算即可，熟练

掌握定义是解题的关键.

【详解】解：由题可得：ab=+ri=0,因=2014,

ab=l,m+n=0,k=2014或ab=l,m+n=0,k=-2014

①ab=l,m+n=0,k=2014原式=2014-0-1=2013；

②ab=l,m+n=0,/c=-2014原式=-2014-0-1=-2015,

故k-ab+吧的值是2013或—2015,

k

故答案为：2013或-2015.

【巩固】已知a、b互为相反数，x、y互为倒数，则2013(a+by。】，+2014(盯)2。13=.

【答案】2014

【分析】本题主要考查相反数的定义和性质，倒数的性质的运用，有理数的乘方运算的综合，掌握含有乘

方的有理数的混合运算是解题的关键.

根据题意可得a+b=0,xy=l,再根据含有乘方的有理数的混合运算即可求解.

【详解】解：根据题意得，a+b=0,xy=1,

.•.原式=2013X()2014+2014x193

=0+2014

=2014

•模拟演练

1.（2024七年级•全国•竞赛）把一蕊,-|^,-翳,-居四个数按由大到小的顺序排列，正确的是（）

181979362010189361972010

A.--->---->---->-----D.---->----->----->------

191989372011199371982011

201019793618201093619718

C.---->---->---->—L).------>----->----->----

201119893719201193719819

【答案】A

【分析】本题主要考查有理数大小比较，先比较各数绝对值的大小，再比较各数即可.

【详解】解:19719720102010

19819820112011

又出=1+工，竺11=1+工篝=1+短，葛=1+。

19719720102010

■:1--<,---1V,---1<,-19

201093619718

：•-2-0-1-1<,-937V,—198<—,1,9

201093619718

181979362010

*,191989372011'

._登〉197>936>2010

••191989372011,

故选：A.

2.（2024七年级•全国•竞赛）已知有理数a与b互为相反数，闻=c,若a=x+2,c=8-2久，贝咏的取值为

（）

A.2B.2或10C.6或10D.6

【答案】A

【分析】先求出b=—x—2,再根据|b|=c得到x—2|=8—2x,解方程后把尤的值代入c=8—2x验证

即可.此题考查了去括号法则、相反数、绝对值方程等知识，得到方程|-x-2|=8-2%是解题的关键.

【详解】解：•.•有理数a与b互为相反数，a=x+2,

■■b---a=—（x+2）——x—2,

,■'\b\—c,c=8—2x,

|一x-21-8-2%>

解得x=10或％=2.

当x=10时，c=8-2x=8-20=-12<0,不符合题意，

当x=2时，c=8-2x=8—4=4>0,符合题意，

•'•X=2.

故选：A

3.（2024七年级•全国・竞赛）方程|2|x|-2014|=2015的解有（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】C

【分析】本题主要考查绝对值的性质，依据绝对值的性质分类讨论是解题的关键.

根据绝对值的性质分类讨论，再解方程即可.

【详解】解：V|2|x|-20141=2015,

•••2|x|-2014=2015或2|x|-2014=-2015（舍）,

•••2|%|=4029,

故答案为：C.

4.（2024九年级.全国・竞赛）在数轴上，区域-68关于原点对称的区域是.

【答案】-86

【分析】本题考查数轴上关于原点对称的点的特征，根据数轴上关于原点对称的点表示的两个数互为相反

数求解即可.

【详解】解：•.」6关于原点对称的点表示的数为6,8关于原点对称的点表示的数为-8,

二在数轴上，区域一6<%<8关于原点对称的区域是一8<%<6,

故答案为：—8<久<6

5.（2024七年级•全国・竞赛）若—11<%<11则满足条件||0—5|=m的整数m的值共有^个.

【答案】6

【分析】本题主要考查了绝对值的意义，解题的关键是根据熟练掌握绝对值的意义，先根据-11<x<11,

求出0W|x|<ll,从而得出—5W|划一5<6,求出0式|田一5|<6,即可求出整数机的值，从而得出答

案.

【详解】解：

•■-0<|x|<11,

—5<\x\—5<6,

•■-0<||x|-5|<6

整数馆只能等于0,1,2,3,4,5,共6个数.

故答案为：6.

6.（2024七年级•全国•竞赛）数轴上P点表示的数是2009/—2008x+2007,Q