2025届高考数学大题6大考点跟踪训练（含答案）

2025s有欲考火必骑制,6人者JLm总易跟炼利藤

-----------------------------------------------------OLHJO-----------------------------------------------------

才点一数列.............................................................................1

考点二函数与导数......................................................................6

考点三三角语数........................................................................11

考点日空间向量与立体几何.............................................................21

专赢五稣计与概率.....................................................................29

考点六BI钵曲线的方程.................................................................36

L“绿水青山就是金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地1万平方千米，其中

70%是沙漠,从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲I,同时原有绿洲的

4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米.

⑴求册与“_1(口＞2)的关系；

(2)判断｛M一看｝是不是等比数列,并说明理由；

(3)至少经过几年，绿洲面积可超过60%?(lg2«0.301)

•M

2.已知数列｛a｝的通项公式为a=——---(riCN*).

nnn(n+2)

(1)计算(13+(14的值;

(2)熹是不是该数列中的项？若是,应为第几项？若不是，说明理由.

3.已知等差数列｛%｝满足(23>电,的+£13=10,电,(12—1,£13成等比数歹|.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若0=&,求数列｛bn｝的前八项和Tn.

3n

4.若存在非零常数t,使得数列｛%｝满足an+1-aia2a3…册=力伽>1,nCN),则称数列｛册｝为“以⑴数

歹U”.

(1)判断数列：1,3,5,11,152是否为“曲(2)数列”，并说明理由；

(2)若数列｛册｝是首项为1的“H⑴数列”，数列｛0｝是等比数歹U,且｛狐｝与｛0｝满足汇成=aia2a3

i=l

■■-an+log20，求t的值和数列｛bj的通项公式；

Sn-n

(3)若数列｛%｝是“H(t)数列“，S”为数列｛册｝的前几项和，S>11>0,证明：土>Sn+1-Sn-e'

5.已知数列｛an｝的首项是1,其前几项和是S“，且册+1=册+2n+1,HCN*.

(1)求a2,CI3的值及数列｛a„｝的通项公式；

(2)若存在实数九使得关于n的不等式4+S”W25期HCN*有解,求实数才取到最大值时n的值.

6.已知函数卬(①)的定义域为。，对于任意的nEN*,数列｛a”｝,｛%｝满足a”0C。，a”¥口,且@(册)=

?(图),则称｛%｝,｛.｝为"(x)下的一对学生数列”.

(1)若函数/(1)=㈤,请写出“/(c)下的一对学生数列”，并说明理由；

(2)设函数gQ)=①+曰Q(O,k〉O)，若｛册｝,｛口｝为“。(为下的一对挛生数列”，证明：④+

(3)设函数％0)=d)~e;若｛?｝,｛*｝为“％(比)下的一对挛生数列”，证明：数列｛金+或｝的前

X

2025项和大于4050.

考点二函数与导数

7.已知幕函数/(乃=(m2+3巾+3)炉时1为偶函数.

(1)求/(c)的解析式；

(2)若/(a—1)>/(l+2a),求实数a的取值范围.

8.已知定义在R上的函数/(乃=2士且满足5/(2)=9/(1),且/(0)=0.

2x+b

(1)求/(①)的解析式,并判断了(①)的奇偶性；

(2)证明：/(乃在R上为增函数.

9.已知定义在R上的函数/(①)满足/Q)—2/(-2；)=3x2-5x+2.

(1)求/(c)的解析式；

⑵若g(rc)=—/(c)—2/+1力在区间［a,a+l］内有最小值2,求实数a的值.

O

•••

1。.已知函数/（，）=a一不

（1）若/（2）=0,方程/（力）=。+/有唯一解,求/（2）的解析式；

（2）若6=0,判断函数g（C）=（/—+~-的奇偶性并说明理由.

\f{x）-a\

11.函数/（①）=lna3_a（：J）.

X-]-l

（1）Q=3时，讨论/（/）的单调性；

（2）若函数/（力）有两个极值点g、g，曲线g=/（力）上两点（如/（0））、（gj（g））连线斜率记为k，求

证:R＞上了.

（3）盒子中有编号为1-100的100个小球（除编号外无区别），有放回的随机抽取20个小球，记抽取的

20个小球编号各不相同的概率为p,求证：pV占.

e2

12.若将对于任意立、yGR总有f(x+n)+f(x-y)=2Hx)f(y)的函数称为“类余弦型”函数•

(1)已知/Q)为“类余弦型”函数，且徐⑼>0，/(2)=?，求。1)的值；

O

⑵在⑴的条件下，若数列：册=2/(九+1)-/⑺(nCN*),求log?等+log2岑H---Flog2-^-的值；

OOO

⑶若g(c)为“类余弦型”函数，且g(0)>0,对任意非零实数力，总有g⑴>1.设有理数21、/2满足⑹

>I力J,判断g(g)与g(0)的大小关系,并给出证明.

考点三三角图数

13.在△ABC中，角A、B、C的对边是a、b、c,已知M+c=2b"为常数.

⑴若久=0,a=2,求△ABC面积的最大值；

（2）若/!=1,cosA+cosC=，求sinB的值.

O

14.设AABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a—c),sin(B+C)=(fe—c)•(sinB+sinC),b=

V3.

⑴求8

⑵若|互1+於|=3,求△ABC的周长；

⑶如图，点。是ZVIB。外一点,设ZBAC=ZDAC=0,且乙4。。=4兀，记ABCD的面积S,求S关

O

于。的关系式，并求S的取值范围.

•••

15.如图所示，在平面直角坐标系rcOy中，点尸0，9）绕坐标原点。逆时针旋转角。至点

（1）试证明点的旋转坐标公式：=xcos^^吗,.

［y=resmc/+ycosc/

（2）设6G（0,2兀）,点^（0,-1）绕坐标原点O逆时针旋转角e至点A，点A再绕坐标原点。逆时针旋

转角6至点B,且直线P£的斜率A；=—1，求角。的值；

（3）试证明方程为d+四功=6的曲线。是双曲线，并求其焦点坐标.

16.如图所示，已知函数/（2）=Asin（o①+⑴V个）的图象与直线J/=b（0<b〈A）相交.

⑴求函数/（①）的解析式；

（2）求函数g（rr）=/（必）+2cos（0c+?）在区间［—^-,1］内的值域.

17.已知函数/⑺=24靖等+sin。-1,将函数/⑺的所有正的零点从小到大排列组成数列｛飙｝.记

[利表示不超过力的最大整数,数列｛bJ满足bn=[%+1].

⑴求数列｛0｝的通项公式;

（2）从数列｛bn｝的前九项中（%>2）,随机选出两个不同的项相乘，所得结果为偶数的概率为Pn.是否

存在一个正整数N,当时，恒有月〈言，若存在，求出N的最小值，若不存在,请说明理由.

5

匕r，且数列｛cj的前几项和为S”,求证：S2“<ln2.

⑶数列｛4｝满足品

18.用一个矩形铁皮制作成一个直角圆形弯管（如图1）：将该矩形铁皮围成一个圆柱体（如图2）,再用一个

与圆柱底面所成45°的平面截圆柱，将圆柱截成两段,再将这两段重新拼接就可以得到直角圆形弯管.

现使用长为2兀,宽为兀的矩形铁皮制作一个直角圆形弯管，当得到的直角圆形弯管的体积最大时（不

计拼接损耗部分），解答下列问题.

图1

（1）求该直角圆形弯管的体积；

（2）已知在制造直角圆形弯管时截得的截口是一个椭圆,求该椭圆的离心率；

（3）如图3,若将圆柱被截开的一段的侧面沿着圆柱的一条母线剪开，并展成平面图形（如图4）,证明：

该截口展开形成的图形恰好是某正弦型函数的部分图象，并指出该正弦型函数的最小正周期与振幅.

考点四空间向量与立体几何

19.如图，四面体P-ABC中，上4=48=BC=1,PC=V3,PA-L平面ABC.

（1）求证：BC_L平面HLB；

（2）求二面角A-PC-B的大小.

20.如图所示，在三棱柱ABC—中，H是正方形4415B的中心，AA、=2*1,CrH±平面

441&B，且例=无

⑴求异面直线AC与4瓦夹角的余弦值；

（2）求平面441G与平面4GBi夹角的正弦值.

•••

21.如图所示,在直二面角。—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB,尸为CE上的

点，且口尸，平面ACE.

（1）求证：平面BCE；

（2）求证：平面BDF±平面ABCD.

22.如图,在三棱柱ABC—中，CA=CB=CG,AACB=ZACG=冬，ZBCG=看，设酢=

O/

a,CB=b,CCr=c,N是4B的中点.

⑴用4、发2表示向量力方；

（2）在线段OB上是否存在点河，使得入河，4N?若存在，求出河的位置，若不存在,请说明理由.

•M

23.古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命

题:平面内与两定点距离的比为常数R（R>0且k¥1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼

斯圆.如图，在棱长为3的正方体ABCD—4KC77中，点“是8C的中点，点P是正方体表面

0a7。上一动点（包括边界），且两直线尸与平面。CC77所成的角相等.

（1）证明：点尸的轨迹是阿波罗尼斯圆的一段弧，并求出这段弧的长度；

（2）求百•用的取值范围；

（3）当线段D'P最短时,在线段4。上是否存在点N,使得D'P〃平面AMN，若有,请求出平面

4MV截正方体ABCD-A'B'C'D'的截面周长,若无，说明理由.

24.在平面直角坐标系xOy中有两个定点4—3,0),B(3,0)，已知动点“在平面xOy中且河到4B两

点的斜率乘积为一，点。为定点(—1,0)

O

(1)求动点双的轨迹方程

⑵如图，在空间中有一点。在平面土。9上方，满足CA，平面①Oy,且|GD|=4,探究直线GD与

CM的夹角是否为定值？若是定值,求出夹角角度，若不是定值，说明理由.

(3)在平面xOy上过点T(0,2西)做直线Z,交点M的轨迹于P,Q两点，设Q点关于"轴对称的点为

连接HP,求当点。到直线HP距离最大时，直线HP与平面4BC夹角的正切值.

考点五统计与机率

25.某学校为丰富学生活动，积极开展乒乓球选修课，甲乙两同学进行乒乓球训练，已知甲第一局赢的概

率为J,前一局赢后下一局继续赢的概率为1,前一局输后下一局赢的概率为J，如此重复进行.

(1)求乙同学第2局赢的概率;

(2)记甲同学第i局赢的概率为R；

(i)求总

(ii)若存在i,使1—ln(R+1)+k>0成立,求整数k的最小值.

26.为提高我国公民整体健康水平，2022年1月，由国家卫生健康委疾控局指导、中国疾病预防控制中心

和国家体育总局体育科学研究所牵头组织编制的《中国人群身体活动指南(2021)》(以下简称《指

南》)正式发布，《指南》建议18-64岁的成年人每周进行150-300分钟中等强度或75-150分钟高强

度的有氧运动(以下简称为“达标成年人”)，经过两年的宣传,某体育健康机构为制作一期《达标成年

人》的纪录片，采取街头采访的方式进行拍摄，当采访到第二位“达标成年人”时,停止当天采访，记采

访的18-64岁的市民数为随机变量X(X>2)，且该市随机抽取的18-64岁的市民是达标成年人的概

率为《，抽查结果相互独立.

(1)求某天采访刚好到第五位可停止当天采访的概率；

(2)若抽取的18-64岁的市民数X为离散型随机变量，求X的分布列，并求X不超过n的概率.

27.拿破仑排兵布阵是十分厉害的，有一次他让士兵站成一排，解散以后马上再重新站成一排，并要求这

些士兵不能站在自己原来的位置上.

（1）如果只有3个士兵，那么重新站成一排有多少种站法？4个呢？

（2）假设原来有n个士兵,解散以后不能站在自己原来位置上的站法为。“种，写出Dn+1和Dn,

。一（九）2）之间的递推关系,并证明：数列1TMn>2）是等比数列；

（3）假设让站好的一排几个士兵解散后立即随机站成一排，记这些士兵都没有站到原位的概率为2，

证明：当?2无穷大时，2趋近于—.（参考公式：ex=l+x+,~\-----1—+.......）

e2!3!n!

28.某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试.已知所有学生的测试成绩均位于区

间［50,100］,从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求图中a的值,并估算这40名学生测试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代

替)；

(2)现学校准备利用比例分配的分层随机抽样方法，从［80,90)和［90,100］的学生中抽取7人组成两

会知识宣讲团.

①求应从［80,90)和［90,100］学生中分别抽取的学生人数；

②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲,设事件A=“至少有1人测试成绩位于区间

［90,100］w，求事件A的概率.

29.某购物平台为了吸引更多的顾客在线购物，推出了人和B两个套餐服务，并在购物平台上推出了优惠

券活动，顾客可自由选择人和B两个套餐之一，下图是该购物平台7天销售优惠券的情况（单位:千

张）的折线图：

「销售量

2.80....................................................

（1）由折线图可看出，可用回归模型拟合y与t的关系,请用相关系数加以说明；

（2）假设每位顾客选择A套餐的概率为2，选择8套餐的概率为|■，其中4包含一张优惠券，B套餐

OO

包含两张优惠券,截止某一时刻，该平台恰好销售了几张优惠券，设其概率为2,求2;

⑶记⑵中所得概率2的值构成数列｛2｝（7iGN*）,求数列｛2｝的最值.

77n.

参考数据：22^=16.17,WX•仇=68.35,JZ（仅一歹）2=0.72,V7=2.646

i=li=lVi=l

TL

一（友―:（仇一3）

参考公式：相关系数r=—---------

\*缶—92f（^―y）2

V«=1i=l

30.某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（指新能

源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到

如下的频率分布直方图：

（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值洌同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；

（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这

款汽车的单次最大续航里程X近似地服从正态分布,其中〃近似为样本平均数乱。近似为样

本标准差s.假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z表示这20辆新能源汽车中

单次最大续航里程位于区间（250.25,399.5）的车辆数，求E（Z）；

（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏,送大奖”活动，客户可根据

抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在①轴上从原点O出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都

客户每掷一次硬币,遥控车向右移动一次，若掷出正面，遥控车向右移动一个单位，若掷出反面，遥

控车向右移动两个单位,直到遥控车移动到点（59,0）（胜利大本营）或点（60,0）（失败大本营）时，游戏

结束.若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点⑺,0）的概率为

2（lWnW60）,试证明数列｛2—是等比数列（2WnW59）,求出数列｛2｝（lWnW60）的通项公

式,并解释这种游戏方案对意向客户是否有吸引力.

参考数据:若随机变量£服从正态分布"（〃，犬），则0.6827,

尸（〃一2。<£<〃+2。）=0.9545,9（〃-3。<£<〃+3（7）=0.99731.

考点六n维曲线的方福

31.已知动点P与两定点A(2,0),B(—2,0)连线的斜率之积为号，点F(—1,0),点

(1)求点P的轨迹方程；

(2)求|PQ|+F尸|的最大值.

32.已知抛物线C:y2=2Px(p>0)的焦点F(2,0)，直线l：y—kx+m(fe#：0)与C交于A,B两点，且\FA\

+\FB\=8，线段AB的垂直平分线与x轴交于点。(森,0).

(1)求心的值；

(2)求4ABD面积的最大值.

•M

33.已知椭圆4+77=Ma>b>0)经过点A(2,l),离心率为警，过点8(3,0)的直线I与椭圆交于不

底0-2

同的两点“、N.

(1)求椭圆的方程；

(2)若\MN\=,求直线VN的方程.

34.已知双曲线—卫=l(a>0,6>0)的实轴长为2，离心率为V5.过右焦点尸的直线，与双曲线

a2y

。的左、右两支分别交于点A,8

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)设直线0408(0为坐标原点)的倾斜角分别为a,8,且a+£=兀+arctai4■，求直线I的方程；

(3)点河是线段的中点，过点尸且与直线Z垂直的直线小交直线O河于点尸，求三角形面积

的最小值.

35.已知点斤i（—2,0）,尸2（2,0）分别为椭圆。:5+需=1的左、右焦点，经过点斤1且倾斜角为

a‘2

的直线Z与椭圆。交于48两点（其中点A在必轴上方）.如图，将平面以2/沿比轴向上

折叠，使二面角A——6为直二面角，折叠后在新图形中对应点记为4,

折叠前折叠后

⑴当。■时，

O

①求证：A'O±平面BEE；

②求直线A'F2与平面A'B'F,所成角的正弦值；

（2）是否存在。使得折叠后△48,月的周长为15?若存在，求tan。的值;若不存在，请说

明理由.

21

36.双曲线C：4一£=1的左、右焦点为斤1、斤2,右顶点为4。河的圆心在立轴上，位于A的右

9o

（1）求。M的最大半径为多少，及此时。Af的方程；

（2）如图1,在⑴的条件下，过双曲线。上一点P作OM的切线，切点为Q,过P且垂直于工轴的直

线与双曲线其中一条渐近线交于R,求\PQ\+\PR\的最小值：

（3）双曲线右支上一点N在右焦点尸2的正上方，如图2,将双曲线的左支绕"轴翻折.使左右支所

在的两个半平面所成的二面角大小为仇若V6W0,过N的直线小总与左支相交，以原双曲线所在坐

标平面的O为原点，过。垂直于刀O"平面方向为Z轴建立空间直角坐标系,求直线771的一个方向向

量.

2025s有欲考火必骑制,6人者JLm总易跟炼利藤

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才点一数列.............................................................................1

考点二函数与导数......................................................................6

考点三三角语数........................................................................11

考点日空间向量与立体几何.............................................................21

专赢五稣计与概率.....................................................................29

考点六BI钵曲线的方程.................................................................36

L“绿水青山就是金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理，已知该地区有土地1万平方千米，其中

70%是沙漠,从今年起，该地区进行绿化改造，每年把原有沙漠的16%改造为绿洲I,同时原有绿洲的

4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米.

⑴求册与“_1（口>2）的关系；

（2）判断｛M一看｝是不是等比数列,并说明理由；

⑶至少经过几年，绿洲面积可超过60%?（lg2^0.301）

【答案】⑴册=2（X1+■^■（九>2）

（2）是等比数列，理由见解析

（3）至少经过6年

【分析】（1）根据题意可得出a„=（1—0.04）a„_i+（1—a„_i）X0.16,化简可得册与a„_1（n>2）的关系；

（2）利用待定系数法结合等比数列的定义可得结论；

（3）求出数列｛aj的通项公式，然后解不等式a”>口，即可得出结论.

【详解】（1）由题意n>2时，

an=（1—0.04）an_i+（1—an_i）x0.16=0.8an_i+0.16=-^an-i+,

所以，an—^-an-i+（n^2）.

（2）数列｛Q九一看｝是等比数列.理由如下：

由⑴得斯=”QX+4~（?2>2）,

设“+6=4（an_i+/），可得Q九二5an-i—§,所以，一名—，可得力=―常,

5555255

所以，%_.="（*一.）（心2）,且外一.=磊一.=4,•M

因此，数列是首项为一［,公比为g的等比数列.

是首项为一公比为日的等比数列,

(3)由⑵可知，数列

1

所以j一六-----1-X*--x信r+小

22

尸

(443，得《r

令册=--X4

两边取常用对数，得(n-l)lg4<Ig^-，

55

Ig2-lg5_Ig2-(l-lg2)_21g2-l2x0.301-1

所以，？1—1〉——

21g2—lg521g2—(1—lg2)31g2—13x0.301—1

〜诉］、，、K

=—c0.3e98七4.i1,所以，九>5.1,

一u.uy(

所以，至少经过6年，绿洲面积可超过60%.

2.已知数列｛%｝的通项公式为%=-J(nGN*).

n(n+2)

(1)计算。3+。4的值；

(2)焉是不是该数列中的项？若是,应为第几项？若不是，说明理由.

■LZU

【答案】2.⑴哥

是数列｛册｝的第1。项.

【分析】(1)利用给定的递推公式，代值计算即可.

(2)利用方程的正整数解即可得解.

【详解】⑴数列｛&,｝中,%=标/，痣=/=表,a'=心=击

所以小+包=专+士=瑞.

⑵若卷为数列｛册｝中的项，则而A=击，

即n(n+2)=120,整理得n2+2n—120=0,而灯€N*,解得n=10,

所以焉是数列｛厮｝的第10项.

3.已知等差数列｛a1｝满足&3>%的+(13=10,01«2-1,(13成等比数列.

(1)求数列｛册｝的通项公式；

(2)若幻=上,求数列｛bn｝的前71项和黑.

3n

【答案】3.(l)an=3n—1

⑵北=1(7—竽)

【分析】(1)根据等差、等比中项可得的+。3=10,。1。3=16,结合题意解方程可得的,。3,进而可得公差和通

项；

⑵由⑴可得：鼠=［［墨:-+1］，利用裂项相消法运算求解即可.

【详解】（1）因为数列｛册｝为等差数列，则ai+a3=2a2=10,即a?=5,

又因为Q1Q—1,。3成等比数列，则。1。3=（。2-1）2=16,

联立方程［的+。3110,解得或,

1。1。3=161。3=81。3=2

且。3>出，则11o，可知公差d=a2—a1=39

1。3=8

所以数列｛册｝的通项公式Q九=2+3（n—1）—3n—1.

⑵由⑴可得…卜早/［展一^±1］,

所以北=乎7—号+£—号+…+由一^±1］=?7—于｝

4.若存在非零常数土，使得数列｛册｝满足a“+i—aQa3…厮=471>1,迸刈，则称数列｛%｝为⑴数

歹厂.

（1）判断数列：1,3,5,11,152是否为“H⑵数列”，并说明理由；

71

（2）若数列｛册｝是首项为1的⑴数列”，数列｛bn｝是等比数歹U,且｛aJ与｛bn｝满足汇成=aia2a3

1=1

■■-an+logzK，求t的值和数列｛6„｝的通项公式；

（3）若数列｛an｝是“H（t）数列“，S”为数列｛aj的前几项和，a1>l,t>0,证明：t>S.—S”—e&f

【答案】4.（1）不是，理由见解析

n1

（2）t=-1,bn=2-.

（3）证明见解析

【分析】（1）由⑴数列”定义验证即可；

九十1n

（2）由题可得£成=Q1Q2Q3…Q九斯+1+log2bn+i,与=Q1Q2a3…M+log2bzi相减结合⑴数列”定义可

4=12=1

得关于土的方程，即可得答案；

（3）要证t>Sfi+i—Sn—e'"一"等价于Gia?•••（!„<e'"-",即In©+Ina?~\---Flna”<5+a2H---Fan—九,构造

函数/（2）=Inrr—m+1,利用其单调性可证明结论.

【详解】（1）根据"Hp）数列”的定义，则力=2,故an+1-5a2a3…册=2,

因为a?—的=2成立，a3—a2al=2成立，a4-a3a2al=11—1x3x5=—402不成立，

所以1,3,5,11,152不是“H⑵数列”.

（2）由｛斯｝是首项为1的"H（t）数列"，则a2=1+t,CI3=2t+1,

由｛b“｝是等比数列，设公比为q,

n九+1

由汇二。1电。3…M+log2bn,则£底=2a3…CLnan+1+log26n+i.

i=li=l

两式作差可得a"i=©a2a3…册（斯+1—1）+log2fe„+1-log26„,

即«n+i=©a2a3…a“（％+i=1）+log2g,

由｛a„｝是""ff（t）数列”，则an+i—aia2a3…a”=£,对于n'l,nGN恒成立,

所以成+i=（an+1-t）（an+1-l）+log2g,

即(力+l)Qn+i=力+log2bn+i—log2bn对于九>1,71eN恒成立，

J(力+1)。2一1=log2[即JU+l)2-=log2q

，

'1(力+1)。3-1=log2Q'l(Z+l)(2^+l)-t=log2Q

因为解得，力=-Lq=2,

n-1

又由Qi=1,忧=Qi+log2bl，则bi=1,即bn=2,

故所求的力=一1,数列｛bj的通项公式勾=2-1.

(3)设函数/(力)=111/一力+1,则:(劣)=!—1,

令/'(力)=0,解得力=1,

当力>1时，/(力)V0,则/(a?)=Inx—力+1在区间(1,+8)单调递减，

且/⑴=Ini—1+1=0,又由｛QJ是“H⑴数列”,

即Q九+1—Q1Q2a3…册="对于九>1,九EN恒成立，

因为则。2=。1+1>1,再结合

反复利用an+1=。1电。3…册+力，可得对于任意的nAl,nEN,an>lf

则fMV/(I)=0,即IriM—Q九+1V0,则lnan<an-l,

Inai<ai—Lina2V。2—1,,lnan<an—1,

相加可得In©+lna2-\-----\-lnanV电+a2~\---\~an—n,S']•••an)<.Sn—n,

又因为g=ln®在力G(0,+co)上单调递增，所以QQ…MVeSnf,

Snn

又an+1-QQQ3…册=九所以an+1-t<e~,

即Sn+i-Sn-t<es，、f,故Sn+「S「e&f.

【点睛】关键点点睛：本题第三问解题关键为理解“X⑴数列”的定义，通过构造函数/(/)=In力一力+1利

用单调性来证明lnan—an+1V0,进而得到ln(QQ…册)<5八一口,得证.

5.已知数列｛an｝的首项是1,其前n项和是Sf且&-=+2n+1,九GN*.

(1)求出，Q3的值及数列｛册｝的通项公式；

(2)若存在实数九使得关于n的不等式入+Sn&25n,n£N*有解,求实数A取到最大值时n的值.

【答案】5.⑴。2=4,03=9,Q九="

(2)4或5

【分析】(1)用累加法得到数列通项公式；

⑵求出数列前九项和S”列出不等式，构造函数利用导函数求最大值，并找到最大值点.

【详解】(1)・・•an+1=。九+2n+1,・•・an+1-an=2n+1

当n>2时，一an_i+an_x—an_2H-----\-a2—aY+ax,

即an—2m—1)+1+2(7i—2)+1H-----卜2X1+1+1=n?,

当n=1时，Qi=伊=1也满足%=稼,

：・Qn=*

a2=4,a3=9.

⑵由⑴可知s-皿里*3,

0

.1।n(n+l)(2n+l).i—crn(n+l)(2n+l)_150n—n(n+l)(2n+l)

AH-ocrASZoTL——

6f00

人“150n-n(n+l)(2n+l)_-2n3-3n2+149n_n3n2,149

?八n—6—6

1（n）=—苏一九+42，当？i44时，7（口）>0,当n=5时，f，（n）<0

・・"⑷=70=/（5）

:,于（n）的最大值为70,即当？1=4或九=5时，/1取得最大值70,

・•・/）取得最大值时，口取4或5.

6.已知函数8（/）的定义域为对于任意的71eN*,数列｛册｝,｛bj满足M，第e。，。九¥八且0（。九）

0（吼）,则称｛册｝,也｝为“8（0下的一对挛生数列”.

（1）若函数/（0=|⑹，请写出“/（力）下的一对挛生数列”，并说明理由；

（2）设函数g（力）=/+■|~（名〈o，k〉。），若｛QJ，｛&n｝为“。（力）下的一对挛生数列”，证明：册+勾v

—2y/k；

⑶设函数%3）=，若｛%｝,｛*｝为?3）下的一对挛生数列”，证明：数列｛品+或｝的前

2025项和大于4050.

【答案】6.（1）H，｛-n｝为“/（，）下的一对挛生数列”，理由见解析

（2）证明见解析

（3）证明见解析

【分析】（1）用列举特殊数列法来理解新定义的数列，即可得解；

（2）利用对钩函数的性质，结合均值不等式，即可得证；

（3）通过求导来掌握函数的单调性和取值规律，再把新定义的数列问题转化为一个特殊不等式来进行证明

即可.

【详解】⑴因为函数/（c）=㈤的定义域为R,且为偶函数,

对任意的nGN*,—nW都有f(—n)—\—n\—\n\—f(n),

故数列｛n｝,｛-n｝为“f（x）下的一对挛生数列”.

（2）由题意得g（Q八）=g（bj,所以飙+&=勾+*,

因式分解得（斯一K）（I——a）=0,

\aj>n'

因为册W6九，则Q九一b九W0,所以1------=0,即ab=k.

期&71nn

因为dnV0,6rlV0,所以一an>0,—bn>0,

所以"；鼠>J（—Qn）（—bJ=y/anbn=4,当且仅当an=bn时取等号,

而Q九W⑥，故一->Vk，即册+bn<—2Vfc.

（3）由h｛x）———0°，得人（力）的定义域为｛力|优W0｝,

x

表导得〃（劣）_IJ—De'+eK力—lyk-Oiye，_（力一1）叫"+1）

x2X2

当⑦>1时，ft/（a?）>0,当0V/V1或/V0时，hr（力）<0,

所以函数九（力）在（-oo,0）,（0,1）上单调递减，在（1,+8）上单调递增，

易知当力V0时，h｛x）V0,当0时，h｛x｝>0.

由于无(4)=h(dn),

故要证数列｛q+*｝的前2025项和大于4050，可证金+或>2,

不妨令h(*l)=九(力2)，21〈n2,则0V±1VI,力2>1,

即证/1+/2>2,即证/2>2—力1.

又九(力)在(1,+00)上单调递增，

所以只需证h(x2)>九(2—g),(提示：因为0<41<1,所以2—力1>1)

又以/J=h(x2),

所以只需证h(xi)>无(2—力J.

令F(工)=跟工)一伙2—0(0</<1),则F(工)=(「[*。_(：??”=

(，一1)2[(2-2”一比2-。]n

--------还为--------

只需证F(c)>0.

令？?2(0)=(2—x)ex—xe2~x(0<x<l),

因为当OViVl时，T(2—x)>0,(6一I)?〉0,所以只需证771(力)>0.

易知m/(力)=(l—x)(ex—e2~x),因为。〈力V1,所以m/(力)<0,

所以m(x)单调递减，则m(T)>(2—1)Xe1—1Xe2-1=0,

故F(N)>0,即九(为)>九(2—为)，故为+为2>2,

故品+心>2,

则(。1+4)+(c2+d2)H---F(C2025+^2025)>2X2025=4050

所以数列｛品+dj的前2025项和大于4050.

【点睛】方法点睛：1.用枚举法理解新定义，即通过举例子的方式，将抽象的新定义转化为具体的、简单的应

用，从而加深对信息的理解；

1.会转化，即会用自己的语言转化新定义所表达的内容，如果能清嘶描述，那么说明对此定义理解得较为透

彻；

2.找关系，即发现新定义与所学知识的联系，并从描述中体会新定义的本质特征与规律.

考点二函数与导数

7.已知幕函数/(乃=(*+3巾+3)"”T为偶函数.

⑴求/3)的解析式；

(2)若/(a—1)>/(l+2a),求实数a的取值范围.

【答案】7.(1)/(®)=s-4

⑵(—co,-2]U[0,1)U(1,+℃)

【分析】(1)根据森函数的定义可解得参数小的值，再根据函数/(⑼为偶函数即可求解；

(2)结合氟函数的单调性及奇偶性、定义域求解.

【详解】(1)函数/(2)=(m2+3m+3)a?3m-1为氟■函数，,m2+3m+3=1,即？n?+3m+2=0,解得?n=

—1或m=—2.

当m=-1时，/(c)=ar",满足/(—①)=/(c)，此时f(x)为偶函数，符合题意;

当m=-2时，/(/)=不满足/(—①)=/3),此时f(x)不是偶函数，不符合题意.

综上可得，/(切=k4.

•M

⑵由⑴得/⑺=/-4=±，所以/（,）在（0,+8）上单调递减，在（-00,0）上单调递增且/（⑼为偶函数,

X4

因为＞/（1+2Q）,

（Q—1#0,

所以（1+2QW0,,

1|Q-1|4|1+2al

解得a4-2或OWaVl或Q＞1.

故实数Q的取值范围为（-a）,-2］U［0,l）U（l,+oo）.

8.已知定义在R上的函数/（为=2士里满足5/（2）=9/（1）,且/（0）=0.

2x+b

（1）求/（,）的解析式,并判断了Q）的奇偶性；

⑵证明：/（为在R上为增函数.

【答案】8.（1）/（,）奇函数.

2"+1

（2）证明见解析

【分析】（1）根据题意求出解析式，利用奇偶性定义即可得结论;

（2）利用单调性的定义结合指数函数的性质证明即可.

【详解】（1）由y（o）=0得，=0,所以1+Q=0,即a=—l,

又5/（2）=9/（1）,所以5'察；=9＞＜思，解得6=1,所以/（力）=三；

22+b幺十。2"+1

又函数/（力）的定义域为R,于（-X）==:+1=—/（6），故函数/（力）为奇函数.

⑵证明：设任意实数力I©e凡且力1＜62,

2侬一12^-1_（2的-1）（2由+1）—（2的一1）（2也+1）

/（劣2）—/（61）

2%+12刺+1（2侬+1）（2血+1）

2的+电|之出2±1—]—2*i+*22的|2电+]2（2也一2的）

&+1）⑵+1）