2025版高考数学总复习 第八章 平面解析几何

第八章平面解析几何

8.1直线的倾斜角、斜率与方程

课程标准有的放矢

1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素.

2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌

握过两点的直线斜率的计算公式.

3.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、

两点式及一般式）.

必备知识温故知新

【教材梳理】

L直线的倾斜角

（1）定义：当直线2与％轴相交时，我们以％轴为基准，％轴正向与直线，向

上的方向之间所成的角a叫做直线，的倾斜角.

（2）规定：当直线，与％轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.

（3）范围：直线倾斜角的取值范围是［0°,180”

2.直线的斜率

（1）定义：我们把一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率，斜

率常用小写字母k表示，即Ar=tana—.

（2）过两点直线的斜率公式：过两点PiQi，%）,「2（%2，%）（%1H&）的直线

的斜率公式为k=分.

X2~X1

（3）直线的方向向量坐标：若P1O1，%），「2（久2，%），则直线Pl02的方向向

量砧的坐标为（小-久名、2-y。.若直线’的斜率为上它的一个方向向量的坐

标为（居y），则k=》特别地，（1,/c）是，的一个方向向量.

3.直线方程的五种形式

名称方程的形式常数的几何意义适用范围

点斜y—y（）=立光一久0）（%（）,%））是直线上一定点，不垂直于刀轴（上存在）

式左为斜率

斜截y=kx+b左为斜率，5是直线的纵截不垂直于无轴（人存在）

式距，是点斜式的特例

两点21包=工（%1，%），（久2，、2）是直线上不垂直于％轴和y轴（久1丰

式y2-yi.2一久1

两个定点%2，%彳%）

截星巨三+1=1a为横截距，b为纵截距,不垂直于％轴和y轴，且

I、aD

式是两点式的特例不过原点（ab丰0）

一般Ax+By+C—0a,B,c为系数任何位置的直线

式（屋+B20）

常用结论

1.斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角a=0°0°<a<90°a=90°90°<a<180°

（范围）

斜率（范k=0k>0不存在k<0

围）

2.过点%（%i，%）,P2（久2,月）的特殊直线方程

（1）若久i=%2，且%力%，则直线垂直于X轴，方程为％=

（2）若久1彳％2，且以二为，则直线垂直于y轴,方程为y=%.

（3）若久i=%2=。，且为彳为，则直线即为y轴，方程为久=0.

（4）若为1彳％2，且为=、2=0，则直线即为％轴，方程为y=0.

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“x”.

（1）倾斜角越小，斜率越小.（X）

（2）不是所有的直线都有斜率.（V）

（3）过点POo，%）的直线都可用方程y-y。=/c（%-殉）表示.（X）

（4）能用斜截式方程表示的直线都能用点斜式方程表示.（V）

（5）直线2依+）/+1-2k=0恒过定点（1,一1）.（V）

2.直线6％+y-1=0的倾斜角为（C）

A.30°B.60°C.120°D.150°

解：由题意，得k=tan0=-V3,0G[0°,90°）U（90°,180°）,所以6=120°.故

选C.

3.倾斜角为135。，在y轴上的截距为-1的直线方程是（D）

A.X—y+1—0B.x—y—1=0C.%+y-1=0D.%+y+l=0

解：直线的斜率为/c=tanl35。=—1,所以直线方程为y=—%—1,即％+y+

1=0.故选D.

4.（教材题改编）如果AC<0,且BC<0,那么直线2%+By+C=0不经过

（C）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

解：由已知，得直线+By+C=0在％轴上的截距—T>0,在y轴上的截距

一工>0,故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.故选C.

B

核心考点精准突破

考点一直线的倾斜角和斜率

例1

1，

（1）【多选题】如图，直线，%，L的斜率分别为备，k2,k3,倾斜角分别

A.kr<k3<k2B.k3<k2<krC.<a3<a2D.a3<a2<%.

解：由题图，知左2>左3>0，卜1<0,则/q<eV攵2•故］>仇2>/3>0，且

的为钝角，则的Va2V的.故选AD.

(2)直线，过点P(1,O),且与以2(2,1),B(0,目)为端点的线段有公共点，则直

线2的斜率上的取值范围为(—8「何u[L+8).

解：

如图，因为/p二1^=1,

^BP—

直线，与线段有交点，所以kG(-oo,-V3]U[l,+oo).

故填(一8,-8]U[l,+oo).

【点拨】①任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在，直线倾斜角的范围是

[0,11),斜率的取值范围是R,同时要知道正切函数在[0,71)上不单调.②求直线

的倾斜角主要根据定义来求，求直线的斜率常用的有三种方法：定义法

(k-tana),公式法(/c=和导数法.

变式12

(1)(教材题改编)若过点M(—2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的

值为(A)

A.1B.4C.1或3D.1或4

解：由题意，得：4—1,解得7?1—1.故选A.

—2—771

(2)已知直线2的一个方向向量为p=(sintcos》则直线，的倾斜角为

33

(A)

A/BYC.空D,空

6333

解：由题意，可得直线，的斜率左=督=里=tanE.所以直线2的倾斜角为上故选

sin-366

3

A.

(3)点P(%,y)在以点2(2,1),点B(0,月)为端点的线段上，则土的取值范围

为良应

解：上表示过点Q(-l,0)和点P(%,y)的直线的斜率.

X

*

如图，因为/Q=/BQ=当左=点所以直线PQ的斜率keE，何.故

*[|,V3].

考点二求直线方程

例2

(1)求适合下列条件的直线方程.

①过点P(4,—2),倾斜角为150。.

解：因为倾斜角a=150。，所以斜率k=tanl50。=-，，所以直线的点斜式方

程为y+2=-?(%—4),即+

②过两点4(1,3),5(2,5).

［答案］因为斜率左=合=2,所以直线的点斜式方程为y—3=2(久—1),即

Z—1

y=2x+1.

③在％轴、y轴上的截距分别为-3,-1.

［答案］由题意，得直线的截距式方程为2+5=1,即％+3y+3=0.

④直线，经过点P(0,l),且一个方向向量为(2,1).

［答案］由题意，得直线2的斜率为5所以直线1的方程为y-1=^(%-0),即

V=-1%+,Y1.

J2

(2)设直线1的方程为(TH?—2m—3)%—(2m2+m—l)y+6—2m=0.若直

线，在％轴上的截距为-3,则m=-|.

解：由题意，知根？—2m—3W0,即TH。3且m。—1.

令y=0,则第=产.6.

,m2-2m-3

所以¥-6二—3,解得?71=—三或7?2=3(舍去)・

m2-2m-33

所以m=—|.故填—|.

【点拨】①髭用直照方程时，注意其适用条件.②注意截距相等包含截距为。的

情形，截距不是距离.③若已知直线的一个方向向量的坐标为(租,几),nmW0,则

直线的斜率为'若已知直线的一个方向向量的坐标为(租,0),租W0,则直线的斜

率为0；若已如直线的一个方向向量的坐标为(0,几),几W0,则直线的斜率不存在.

变式2

(1)求适合下列条件的直线方程.

①过点2(1,3),倾斜角是直线y=—8%的倾斜角的去

解：因为y=-百力的斜率为左=-g，其倾斜角为120。，所以所求直线的倾斜

角为60。，其斜率为百.所以直线方程为)/一3=遮(％-1),即次%—y+3—

V3=0.

②直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距相等.

［答案］

若截距不为0,设直线的方程为三+丫=1.因为直线过点(—3,4),所以三+3=L

aaaa

解得a=1.

此时直线方程为％+y-1=0.

若截距为0,设直线方程为y=kx,代入点(—3,4),

有4=—3k,解得k=—g.此时直线方程为4久+3y=0.

综上，所求直线方程为％+y—1=0或4%+3y-0.

③经过点B(3,4),且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.

［答案］由题意，可知所求直线的斜率为±1.又过点(3,4),得y-4=±(%-3).所

求直线的方程为％-y+1=0或％+y—7=0.

④直线过点(1,1),且一个方向向量为b=(-3,0).

［答案］由题意，得直线的斜率为0,所以直线的方程为y=1.

⑤直线过点(1,1),且一个方向向量为b=(0,3).

［答案］由题意，得直线的斜率不存在,所以直线的方程为％=1.

(2)设直线2的方程为(a+1)%+y+2-a=0(aCR).

①若，在两坐标轴上的截距相等，则直线2的方程为3%+y=0或久+y+2=0.

解：当直线，过原点时满足条件，此时2—a=0.解得a=2.可得直线，的方程为

3%+y=0.

当直线/不过原点时，1的斜率为-1,故a+1=1.解得a=0.可得直线/的方程为

x+y+2=0.

综上，直线/的方程为3%+y=0或％+y+2=0.

②若［不经过第二象限，则实数a的取值范围为(-8,-1］.

［解析］直线］的方程变形为y=—(a+l)x+a—2.

因为2不经过第二象限，所以｛—0

解得Q<—1.

所以实数a的取值范围是(一8,-1］.

考点三直线方程的应用

例3直线2过点P(l,4),分别交%轴的正半轴和y轴的正半轴于4B两点.

解：依题意，2的斜率存在，且斜率为负.

设&y-4=fc(x—l)(/c<0).

令y=0,可得4(1-*0)；

令％=0,可得B(0,4-k).

(1)当|P*•|PB|最小时,求2的方程；

［答案］________

\PA\'\PB\=+16-Vl+/c2

=-(1+k2)=-4+fc)>8(注意ArV0).

K\rC/

所以当且仅当Rk且k<0,即k=—1时，|P*-|PB|取最小值.此时，的方程为

x+y—5=0.

(2)当|。川+|。3|最小时,求/的方程.

［答案］|0川+|OB|=(1-/+(4-k)=5-k+/29.所以当且仅当左=(且

k<0,即k=一2时，\OA\+|。身取最小值.

止匕时，的方程为2%+y-6=0.

【点拨】①求解与直线方程有关的最值问题，先设出直线方程，建立目标函

数，再利用基本不等式求解最值.②求参数值或范围，注意点在直线上，则点的

坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.

变式3若直线ax+by-ab(a>0,b>0)过点(1,1),则该直线在％轴、y轴上的

截距之和的最小值为(B)

A.1B.4C.2D.8

解：因为直线a%+by=ab过点(1,1),所以a+b=ab,即\+，=1.因为直线

在久轴的截距为b,在y轴上的截距为a,所以直线在无轴、y轴上的截距之和为

a+6.a+h=(a+b)-f-+-)=2+-+->2+2/---=4,所以当Q=b=

\abJabyab

2时取最小值，最小值为4.故选B.

课时作业知能提升

【巩固强化】

1.已知直线2向上的方向与％轴负半轴的夹角为120。，则直线2的斜率是(C)

A./B.-噂C.V3D.-V3

解：由题意，知直线，向上的方向与“轴正半轴的夹角为60。，则斜率为k=

tan60°=g.故选C.

2.已知直线方程为%cos300。+ysin300。=3,则直线的倾斜角为(C)

A.60°B.60°或300°C.30°D.30°或330°

解：由题意，得直线的斜率左=一黑黑=1^*=^=tan30。,所以直线的倾斜

角为30。.故选C.

3.若4(—2,3),B(3,—2),Cgm)三点共线，则zn=(A)

11

A.1B.--C.-2D.2

22

解：因为力(一2,3),8(3,—2),所以腹8=—1.因为43。三点共线，所以膜B=

nl

kAC=13=—1.解得TH=工.故选A.

5-(-2)2

4.已知直线―-y+l-3/c=0,当k变化时，直线恒过定点(C)

A.(0,0)B.(0,1)C.(3,1)D.(2,1)

解：/c%—y+1—3/c=0可化为y—1=/c(%—3),所以直线恒过定点(3,1).故选

C.

5.已知直线1：ax+y-2-a=0在％轴和y轴上的截距相等，则a的值是(D)

A.1B.-1C.-2或—1D.-2或1

解：由题意，知aA0,得a+2=艺上，所以a=—2或a=1.故选D.

a

6.直线a%+by+c=0同时经过第一、二、四象限，则a,b,c应满足(A)

A.ab>0,be<0B.ab>0,be>0C.ab<0,be>0D.ab<0,be<

0

解：由于直线a%+by+c=0经过第一、二、四象限，

所以直线存在斜率.将方程变形为y=—

易知—<0且—>0,故ab>0,be<0.

bb

故选A.

7.如果直线久-4y+b=0的纵截距为正，且与两坐标轴围成的三角形的面积为

8,则b=8.

解：由题意，知直线的方程为y=［久+：3>0),它与两坐标轴的交点为(0,3

和(一瓦0).

所以它与两坐标轴围成的三角形的面积为工x&xb=8,解得匕=8.故填8.

24

8.已知直线2：(2+m)x+(m—l)y—3m—0(mER).

(1)直线，经过定点吗？若经过定点，求出定点P的坐标；若不经过定点，说

明理由.

解：由题意，知直线2：+y-3)+2%-y=0(meR).令。-n。'解

—y_u,

得二；'故直线，过定点P(l,2).

(2)若直线2分别与％轴正半轴，y轴的正半轴交于4B两点.当AZOB面积最

小时，求对应的直线2的方程.

［答案］

设点4B的坐标分别为4(a,0),B(0,b).因为4B分别在％轴，y轴的正半轴，所以

a>0,b>0.则可设直线好+衿l(a>0,b>0).因为直线2过定点P(l,2),代入

得—F—=l(a>0,b>0).

S^AOB=：ab,由1=工+：22I--得ab>8,所以SAA°B=^ctb>4,当且

乙CLD>\iCLDN

仅当工=：="即。=2,b=4时取等号.

ab2

故AZOB面积最小时，直线，:2x+y-4=0.

【综合运用】

9.点M(%,y)在函数y=-2x+8的图象上，当％G［2,5］时，筌的取值范围是

(C)一’

A」/2]B.[0,|]C.[-i,|]D,[2,4]

解：当％C[2,5]时，函数y=—2%+8的图象是线段，端点分别为(2,4),

(5,-2),如图所示.

yk

(2,4)

(-1,-1)~

(5,-2)

因为祟的几何意义是动点M(x,y)和定点(―1,一1)连线的斜率，

且丝鱼=々三色=_士所以四的取值范围是上二友故选C.

2-(-1)35-(-1)6x+1L63」

10.已知两条直线小G的斜率分别为七，k2，倾斜角分别为a，。.若a<6,

则下列关系不可能成立的是(C)

A.0<k1<k2B.kr<k2<0C.k2<kr<0D.k2<0<kr

解：对于A,若0<a<B<］，则0<tana<tan?,即OV/qV/c2，所以A可

能成立.

对于B,若］<a<?<TT,贝Utana<tan?<0,即/q<矽<0，所以B可能成

立.

对于C,由优<七<0,可知戊,夕Cgm，且tan?<tana,即n<a,与题意矛

盾，所以C不可能成立.

对于D,若0<a<］<?<IT,则tana>0,tan?<0,即上2<0<右，所以D

可能成立.故选C.

11.［2021年八省联考］若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的

两条邻边所在直线的斜率分别为！二X

解：正方形04BC中，对角线OB所在直线的斜率为2,建立如图直角坐标系.

设对角线08所在直线的倾斜角为9,则tan。=2,直线0月的倾斜角为6—

45°,直线0C的倾斜角为。+45。.

tan0-tan45°2-1

故k0A=tan(9—45°)==mk°c-tan(6+45°)=

l+tan0tan4501+2

tan0+tan4502+1

l-tan0tan45°1-2

故填—3.

12.已知在△ABC中，点2的坐标为(1,3),AB,AC边上的中线所在直线的方程

分别为％—2y+1=0和y—1=0,求44BC各边所在直线的方程.

解：由题意，设C(2匕一1,匕),则的中点(等,2)在中线%—2y+l=0

上.

所以等一4+1=0,得a=5,所以点B的坐标为(5,1).

2C的中点(。,等)在中线y=1上.所以彳=1,得b=-1,所以点C的坐标为

(-3,-1).

故可得AZBC三边ZB,BC,AC所在直线的方程分别为％+2y-7=0,%-

4y—1=0和久—y+2=0.

【拓广探索】

13.已知过定点(2,1)作直线2,与两坐标轴围成三角形的面积为4,这样的直线有

(C)

A.1条B.2条C.3条D.4条

解：根据题意,知直线不过坐标原点，且与坐标轴不平行，可设截距式方程为土+

2a

沪L

直线屋过点(2,1),则有:+：=1①.

直线，与两坐标轴围成三角形的面积为4,则S=|x|a|x\b\—||ab|=4,即ab=

±8②.

联立①②，可得a2-8a+16=0或a?+8a-16=0.

方程“2—8a+16=0的解为a=4；

方程M+8a—16=0的解为a=-4+4V^或a——4—4V2.

可知有三组不同的实数解Q和b满足题意.故选C.

8.2直线的交点坐标与距离公式

课程标准有的放矢

1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.

2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.

3.探索并掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平

行直线间的距离.

必备知识温故知新

【教材梳理】

L两条直线的位置关系

(1)平行：对于两条不重合的直线，1，12,其斜率分别为心，k2,有

W端mQ特别地，当直线，1，G的斜率都不存在时，匕与，2的关系为

WZk-

(2)垂直：如果两条直线％的斜率都存在，且分别为心，k2,则有

L16==—1,特别地，若直线匕：x—a,直线，2：y—b,则，i与。的

关系为(%.

2.两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组件，‘若方程组

(Zi2%十b2y十匕2—U,

有唯一解，则两条直线相交,此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直

线无公共点，此时两条直线平行.

3.距离公式

(1)两点间的距离公式:两点心(%1，%)『2(久2，乃)间的距离为上止21=

J(%2-％1)2+(为一力》.特别地,原点。(0,0)与任一点PQ,V)间的距离为

\OP\—y/x2+y2.

(2)点到直线的距离公式：点Po(%o,%)到直线1：Ax+By+C^0的距离

d_I2久o+By()+C|

-y/A2+B2・

(3)两条平行直线间的距离：两条平行直线小2%+By+Ci=0与

，2:2%+By+C2-0(Ci丰。2)间的距离d-^2+gz,

常用结论

1.两条直线平行、垂直的充要条件

设直线4与，2的方程分别为&无++G,=0(&,当不同时为0),

A2X+B2y+C2^0(A2,B2不同时为0),则

M1B2—^251—0,

(1)4//Go[B©-B2”0或-H0.

(2)匕J,%=4142+B]B?=0.

2.常见直线系方程

(1)过定点(久1，为)的直线系方程：y-乃=k(K一%i)和久=石.

(2)平行于直线2%+By+C-0的直线系方程：Ax+By+A-0(2。C).

(3)垂直于直线4r+By+C-0的直线系方程：Bx—Ay+4=0.

(4)过两条已知直线+B/+Ci=0与+B2y+C2-0的交点的直

线系方程：AyX+B[y+C]+A(A2X+B2y+C2)-0(不包括直线+B2y+

C2-0)和+B2y+C2=0.

一3.对称常用结论,

(1)点(右y)关于直线y=%的对称点为(y,%),关于直线>=-%的对称点

为(―y,一%).

(2)点(久,y)关于直线％=a的对称点为(2a-x,y),关于直线y=5的对称

点为(%,2b-y).

(3)点(%,y)关于点(a,b)的对称点为(2a-x,2b-y).

自主评价牛刀小试

1.判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“，错误的画“X”.

(1)当直线21和，2斜率都存在时，/Ci=/c2=>Zi///2.(x)

(2)已知两条直线4：4%+/y+a=0与%：+々y+。2=0不重合，

则力遇2+B1B2=0是直线L1%的充要条件.(J)

(3)点P(%o，yo)到直线y=/c%+b的距离为第翳.(X)

(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小向是点到直线的距离.

(V)

(5)若点4B关于直线1：y=k％+5(k/0)对称，则直线的斜率等于

-3且线段的中点在直线，上.(V)

k

2.过点(2,2)且平行、垂直于直线％-2y+3=0的直线方程分别为(A)

A.%—2y+2=0,2%+y—6=0B.%—2y+7=0,2x+y-6=0

C.%—2y+2=0,2%+y—1=0D.%—2y+7=0,2%+y—1=0

解：设平行于直线％—2y+3=0的直线方程为％—2y+c=0.把点(2,2)代入，可

得2—2x2+c=0,所以c——2.

设垂直于直线久一2y+3=0的直线方程为2%+y+TH=0.把点(2,2)代入，可得

2x2+2+zn=0,所以zn=-6.故所求直线的方程分别为％—2y+2=0,

2x+y—6—0.故选A.

3.圆(久+I)2+y2-2的圆心到直线y-x+3的距离为(C)

A.1B.2C.V2D.2V2

解：圆(％+1)2+y2=2的圆心坐标为(―1,0),由y=%+3得%—y+3=0,贝U

圆心到直线的距离d=厅,3|=故选c.

Vi2+(-i)2

4.(教材题改编)若三条直线y=2x,x+y-3,mx+2y+5=0相交于一点，

则m的值为土.

解：由3得)所以点(1,2)满足方程小久+2y+5=0,即mx1+

2x2+5=0,所以TH=-9.故填-9.

核心考点精准突破

考点一两条直线的平行与垂直

例1

(1)“tn=4”是“直线Tn%+(3m—4)y+3=0与直线2%+my+3=0平

行”的(C)

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

解：当血=4时，两直线方程分别为4%+8y+3=0,2x+4y+3=0,满足

两直线平行.

由直线7nx+(3m—4)y+3=0与直线2%+my+3=0平行，得m2—

2(3m—4)=0,解得m=2或m=4.

当m=2时，两直线重合，故"TH=4"是"直线+(3m—4)y+3=0与直

线2%+771丫+3=0平行”的充要条件.故选心

(2)已知直线ar—3y—7=0与直线(2。—l)x+ay+a=0互相垂直，贝！J

a=(D)

A.0B.1C.2D.0或2

解：①当Q=。时，两直线的方程分别为3y+7=0和％=0,故两直线垂直.

②当aH0时，两直线的斜率分别为士和上呸，由题意，得上四心二—1,解得a=

3aa3

2.

综上,a=0或a=2.故选D.

【点拨】①当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不

仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还

要注意％,y的系数不能同时为零这一隐含条件.②在判断两直线平行时，若两直

线的斜率存在，则两直线平行=两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等.③

判定两直线垂直的方法.一是判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜

截式，若女出2=-1,则两直线垂直；若一条直线的斜率不存在，另一条直线的

斜率为0,则两直线也垂直.二是直接用以下方法，可避免对斜率是否存在进行

讨论.设直线4：&%+Bi、+=0,l2：A2x+B2y+C2=0,1l2^A2+

B1B2-0.

变式1

(1)【多选题】直线21“2的斜率七止2是关于k的方程2k2—4/c+m=0的两个

根，则下列说法正确的是(AD)

A.若，11Z2,则TH=-2B,若41Z2,则m=2

C.若ZJ/G，则m=-2D.若，J/G，则m=2

解：由题意，若"I。，则左/2=£=—1，解得瓶=-2；若ZJ/G，则心=

七，所以A—16—8m——0,解得m——2.故选AD.

(2)设a,b,c分别是△2BC中内角4B,C所对边的边长，则直线xsinZ+

ay+c-0与5%—ysinB+sinC=0的位置关系是(C)

A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直

解：由正弦定理'-=-七-，得bsinA—asinB=0,所以两直线垂直.故选C.

sin/sinB

考点二两条直线的相交、距离问题

例2

(1)若三条直线％+y—3=0,x—y+1—0,+ny—5=0相交于同一

点，则点(犯71)到原点的距离的最小值为(A)

A.V5B.V6C.2V3D.2V5

x+y—3=0,解咪：2.

解：联立x—y+1=0,

因为三条直线％+y—3=0,%—y+1=0,mx+ny-5=0相交于同一点,

所以m+2n=5.

则点(m,n)到原点的距离的最小值为原点到直线%+2y=5的距离d=-^==

花.故选A.

(2)已知点2(—3,-4),B(6,3)到直线Z:a%+y+1=0的距离相等,则。=

(D)

7

A.—工或—2B.--D.-

379c9

|-3a-4+l|_|6a+3+l|--i

解：由题意，得!,化简得|3a+3|=|6a+4|.解得a=*或

Va2+1Va2+1

a-—2.故选D.

9

(3)若两平行直线3%—2y—1=0,6久+ay+c=0之间的距离为驾，贝Ue

的值是2或-6.13

解：依题意，知勺=&H£•,解得a=—4,cH—2,即直线6%+ay+c=0可

3—2—1

化为3久一2y+£=0.

)2

又两平行线之间的距离为等所以二恚十1鹭=2答V13解得。=2或-6.故填2或

-6.

【点拨】①点到直线的距离，可直接利用点到直线的距离公式来求，但要

注意此时直线方程必须为一般式.②两平行直线间的距离，可直接用公式求，也可

利用“化归”法将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直

线的距离.

变式2

(1)经过两条直线％+y-3=0和％-2y+3=0的交点，且与直线2%+y-

7=0平行的直线方程为2%+y-4=0.

解：联立一得交点为(1,2).又由题意，知所求直线斜率为—2,则其

xzy十3—5

方程为y—2——2(%—1),即为2%+y—4—0.故填2%+y—4—0.

(2)已知直线2久一y—4=0,G：久+V—5=0相交于点P，则点P到直线

2:%+2y+3=0的距离为(A)

B.迪D.W

2C.V5

2x-y-4=0,jx=2

解：由题意，联立故(则点到直线的距离为

_x+y—5=0,寸(y=2'P3,2).P2

d=粤粤=2逐.故选A.

Vl2+22

(3)已知直线人:2%+3y—1=0和%：4%+6y—9=0,若直线/到直线人的距

离与到直线，2的距离之比为1：2,则直线，的方程为4久+6y+5=0或12%+

18y—13=0..

解：由题意，得，//G.设直线2：4%+6y+m=0,mA—2且mH—9,直线2到直

线和％的距离分别为由应.则心=黑(么|m+9|

716+36*

因为幺=工,所以婆坦=普望.

d2246+3646+36

即217n+2|=\m+9],解得m—5或m—

所以直线2的方程为4久+6y+5=0或12%+18y-13=0.故填4%+6y+5=0

或12%+18y-13=0.

考点三对称问题

例3

(1)点P(2,5)关于直线%+y+1=0对称的点的坐标为(-6.-3).

解：设点P(2,5)关于直线%+y+1=0的对称点为Q(a,b),

—.(-1)=-1__,

则黑2b+5'解得｛，二二;'即p(2,5)关于直线%+y+l=。对称的点的

2+2+1­°，

坐标为(-6,-3).

故填(—6,—3).

(2)已知直线，：2x—3y+l=0,点4(—1,—2),则直线，关于点Z对称的直线

2'的方程为2久—3y—9=0.

解：(方法一)在2：2x—3y+1=0上任取两点，如P(l,l),N(4,3),则P,N

关于点2的对称点P',M均在直线2'上.

易知P'(—3,—5)>N'(—6,—7),由两点式可得，'的方程为2%—3y—9-0.

(方法二)设Q(%y)为厂上任意一点,则Q(%,y)关于点4(一1,一2)的对称点为

Q'(—2—x,—4—y).

因为Q'在直线/上，所以2(—2—%)—3(—4—y)+1=0,即2%—3y—9=0.故

填2%—3y—9=0.

【点拨】对称问题主要有中心对称(关于点)及轴对称(关于线)两大

类.①点关于点对称.若点及N(%,y)关于点PQb)对称，则由中点坐标公

式得二;②线关于点对称.在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求

出它们关于已知之对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个

对称点，再利用两直线平行，由点斜式得到所求直线方程，当然，斜率必须存

在.③点关于线对称.若两点Pi(%i，yi)与「2(%2。2)关于直线2：Ax+By+C-0对

称，则线段P1P2的中点在2上，且连接区「2的直线垂直于2，由方程组

可得到点P1关于2对称的点P2的坐标(“2，%)(其

%2-％1IB

中BA0,%1A犯).④线关于线对称.此类问题一般转化为点关于直线的对称问

题来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴

平行.

变式3

(1)已知4(3,1),B(—1,2),若乙4cB的平分线所在的直线方程为y=%+l,则

4C所在直线的方程为(C)

A.2%—y+4=0B.2%—y—6=0C.x—2y—1—0D.3%+y+l=0

解：设点4关于直线y=%+1的对称点为4(%(),%)),则

%0?即4(0,4).

丁0

可得直线4B的方程为2%-y+4=0.

解得I：;二/所以C(—3,—2).

所以直线ac的方程为金=—,

-2-1-3-3

即％—2y—1=0.

另解：求出点B关于直线y=%+1的对称点玄，所求即为力次的方程.

故选C.

(2)直线2%+y—4=0关于直线1：%—y+2=0对称的直线。的方程为

%+2y—6=0.

解：联立仁；3丫0°'得直线’1与直线，的交点吗》

在直线"上取一点B(2,0),设点B关于直线，的对称点为C(%,y),贝可

(x+2y.9_n

三:一'解得［：/，即C(_2,4).

又直线。过2(2；)和C(—2,4)两点，故由两点式得直线，2的方程为¥=妥，即

33——4—+2

x+2y-6=0.

故填久+2y-6=0.

考点四直线系及其应用

例4求证：动直线(tn2+2m+3)x+(1+m—m2)y+3m2+1=0(其中THE

R)恒过定点，并求出定点坐标.

证明：(方法一)令m=0,则直线方程为3%+y+1=0①.

再令m=1时，直线方程为6%+y+4=0②.

联立①②，得方程组朦:共:二:懈得:「

将点”(—L2)代入动直线(TH2+2m+3)x+(1+m—m2)y+3m2+1=0中，

(m2+2m+3)x(—1)+(1+m—m2)x2+3m2+1

=(3-1-2)m2+(-2+2)m+2+1-3=0,

故点/(-L2)的坐标恒满足动直线方程，所以动直线(巾2+2m+3)%+

(1+m—m2)y+3m2+1=0恒过定点4

(方法二)将动直线方程按TH降哥排列，得

m2(x—y+3)+m(2%+y)+3x+y+l=0(*).

不论m为何实数，(*)式恒为零，

所以2x+y=0,解得［I2

3x+y+1=0,U-'

故动直线恒过点(-1,2).

【点拨】证明直线系过定点问题,常用方法有恒等式法和特殊直线法.恒等式

法就是将直线方程化为关于参数的恒等式形式，利用参数为R,则恒等式的系数为

0,列出关于％,y的方程组，通过解方程组,求出定点坐标.特殊直线法就是取两个特

殊参数值，得到两条特殊直线，通过求出这两条直线的交点坐标并代入原直线系方

程检验，即得定点.

变式4直线2：(1+3A)x+(1+2A)y=2+5a所过定点坐标为QXL;。是坐标原

点，则。到，距离的最大值为五

解：把直线，的方程化为(尤+y—2)+2(3%+2y—5)=0.由方程组

^x+2y^5=0解得=:'所以直线2恒过定点”(1,1).当1［时，。至"的距离

最大，为，F+12=VI故填(1,1)；V2.

课时作业知能提升

【巩固强化】

1.已知两直线方程分别为x+y=1,l2：ax+2y=0,若匕1%，则。=

(B)

11

A.2B,-2C,-D.--

解：因为"IG，所以£=-1,解得a=—2.故选B.

2.点4(2,5)到直线，：%—2y+3=0的距离为(B)

A.2V5B.V5C.—D.—

55

解：点4(2,5)到直线2：%—2)/+3=0的距离为4=与篝^=逐.故选8.

3.已知点2(1,2),5(3,1),则线段2B的垂直平分线方程.(B)

A.4%+2y—5=0B.4%—2y—5=0C.%+2y-5=0D.%—2y—5=0

解：由题设，知题B=U二—±故线段2B的垂直平分线的斜率为2.因为线段

的中点坐标为(2$,所以线段的垂直平分线方程为y—|=2(%—2),整

理得4%―2y-5=0.故选B.

4.已知直线，与直线3%-2y=6平行，且直线，在％轴上的截距比在y轴上的截距

大1,则直线，的方程为(A)

A.15%—10y—6=0B.15%—10y+6=0C.6x—4y—

3=0D.6%—4y+3=0

解：(方法一)由题意，设2:3%-2y=zn,则直线2在久轴上的截距为三，在y轴上的

截距为一1.则蓝=一£+1,解得m=《.所以直线，的方程为3%—2y=*即15%-

10y—6=0.

(方法二)若直线/过原点，则直线/在两坐标轴上的截距相等，不符合题意.设

直线，的方程为上+上=1,其中ar0且aH—1,则直线，的斜率为k=一上=

a+1aa+1

|.解得a二—|.所以直线，的方程为5一方=L即15%—10y—6=0.故选A.

55

5.点尸(1,2)关于直线x+y+1=0对称的点的坐标为(A)

A.(-3,-2)B.(-3,-1)C.(2,4)D.(-5,-3)

解：设对称点的坐标为(&,%)),则也二=1,2+*+1=0,所以％0=

XQ—122

-3,y0--2.故选A.

6.若两平行直线％-2y+m=0(TH>0)与%：2%+ny—6=0之间的距离

是后,则nt+n-(C)

A.0B.1C.-2D.-1

解：因为，J4，所以解得｛)：一之所以直线占%-2y-

LIX72—ZXI-ZJ.1771丰一D.

3=0.

又乙，%之间的距离是遮，所以^^=遮，解得瓶=2或瓶=一8(舍去).所

以租+n=—2.故选C.

7.已知点2(3,2)和B(—1,4)到直线ax+y+1=0的距离相等，则a=-4或

解：(方法一)利用点到直线的距离公式，可得粤誓=匕箸型，解得a=-4或

Va2+1Va2+1

(方法二)直线a%+y+1=0与直线力8平行，或过线段力B的中点，即上=—a

或ax+1=0,解得a=—4或1.故填—4或|.

8.已知直线/经过直线2%+y-5=0与％-2y-0的交点.

(1)点4(5,0)到2的距离为3,求2的方程；

解：经过两已知直线交点的直线系方程为(2%+y—5)+2(%—2y)=0,即

(2++(1—2A)y—5=0,

所以|1°+54-5]

.解得或入=

V(2+A)2+(1-2A)2=34=2

所以/的方程为久=2或4%—3y—5=0.

(2)求点4(5,0)到2的距离的最大直

［答案］

由忆It二:。'解得交点P(2,l).

I4乙y—u.

如图，过P作任一直线2,设d为点4到2的距离,

则d<\PA\（当，±P2时等号成立）.

所以dmax=IP*=V10.

【综合运用】

：

9.已知直线%+(a—l)y+2=0,Z2V3bx+y=0,且，11则(^+炉的

最小值为(A)

A.-B.-C

42T喘

解：因为，il。，

所以旧匕+(a-1)=0,即a=l-gb.

所以小+b2=(1-V3b)2+b2=4b2-2同+1=4(b-曰)+[.

可知当b=@，。=工时，小+入2取得最小值士故选A.

444

10.已知角aE点(1,1)到直线八xcosa-ysina-1=0的距离为也+1,

则a=(A)

解：由题意，得心sa-；naTl=a+1,贝ijcosa—sina-1=V2+1或cosa—

sina—1=—V2—1,可得cosa—sina=V2+2(舍)或cosa—sina=—V2,

即cos（a+§=—1.又aE所以a=乎.故选A.

11.【多选题】若三条直线X+3y+7=0,汽一y—1=0,%+2ny+?i=0能围

成一个三角形，则几的值不可能是（ACD）“

3