2025届四川省高三数学上学期12月新高考模拟考试卷及答案解析

2025届高三模拟考试

数学试题

考试时间120分钟，满分150分

注意事项：

1.答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字

笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条形码粘贴处”.

2.选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净

后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区

域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效.

3.考试结束后由监考老师将答题卡收回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知复数Z满足IJ一，则复数Z在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

【解析】

【分析】根据复数的乘方与除法运算，整理可得标准形式，结合复数的几何意义，可得答案.

/7、/\4-3i（4-3i）（2+i）112.

【详解】由z2+i7=-3i+4,得z2—i=4-3i,所以z=^—,/=_i,

'）''2-1（2-i）（2+i）55

所以z在复平面内对应的点为位于第四象限.

故选：D.

2.已知：夕：^—»l,q:log2（x-a）»l.若。是4的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）

x—2

A.（0,1）B,（0,1]C.（-oo,0]D.（-℃,1]

【答案】C

【解析】

【分析】a

解分式不等式、对数不等式求对应x范围，结合充分不必要条件有。+2<2,即可得范围.

11x-3…—3）叽2K3；

【详解】由p:—>1^1------=——<0,可得《

x—2x—2x—2x-2^0

由q:log2（%一。）21nx-2nx2。+2,

因为。是1的充分不必要条件，则。+2<2na<0.

故选：C

3.已知等比数列｛%｝的前〃项和为5“，若爹=：，则户1=（）

>645+36

4

A.-B.8C.9D.16

3

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列｛%｝的前〃项和S“的性质，将5,59,512分别用S3表示，代入即可求解.

+»6

5,1

【详解】因为肃=彳，所以5=453,则$3=353，

4

由等比数列｛4｝的前〃项和S"的性质可知，

数列S3，§6-S3，Sg-S6，S|2-S9是以S3为首项，3为公比的等比数列，

所以及—$6=32昆=95，即S9=953+56=13S3,

品-S9=33邑=27s3,即几=27s3+S9=40s3,

S405。

所以—l—2=------3=8

星+久S3+4S..

故选：B.

4

4.已知sin（a+4）=2cos（a-尸）,tana+tan/贝ijtana•tan£=（）

11

A.3B.-3C.-D.——

33

【答案】D

【解析】

【分析】由两角和差的正余弦公式化简后两边同除以cosacos4可得解.

【详解】由sin（a+尸）=2cos（a-6）可得sinacos尸+cosasin/3=2cos«cosy?+2sinasin,

两边同除以cosacos/可得，tana+tan/?=2+2tan6ztan/?,

4i

代入tani+tan，=—,可得tanatany0=一一,

33

故选：D

5.已知点。在V45C确定的平面内，。是平面48C外任意一点，满足函=20心—x厉—y砺，且

cc21

x>0,y>0,则一H"—的最小值为（）

xy

A.』+也B,-+V2C.-+—D.3+2正

42242

【答案】B

【解析】

【分析】由四点共面可知x+y=2,结合基本不等式的乘“1”法即可求解.

【详解】CD=Cd+OD=2dC-xdA-yOB^OD=3OC-xdA-yOB,

因为45,C,。四点共面，所以3-x-y=l=x+y=2,

nn“=21（2l、x+y3yx、3IT3信

注思至!jx>0,y>0,从而--i—=—H—---=-+—-!>—+2.—=—+V2.

xyyxy）22x2y2V22

当且仅当x=4—2J5,y=2立-2时等号成立，

所以2+4的最小值为

xy2

故选：B.

6.记A48C的内角的对边分别为见”已知a=G，/=］，则〃+2c?的最大值为（）

A.9B.6+273C.9+V3D.12

【答案】B

【解析】

【分析】由已知可得〃+202=式匕产2,利用正弦定理边化角，利用三角恒等变换，根据正弦函数的

a

性质，可得答案.

【详解】由a=JLZ=W，则〃+2,2=迎二产2,

3a

22

3(sin5+2sinC).„。.2万、

根据正弦定理，可得〃+2C2—---------------=4(sin22B+2sin2C)

sinA

1-cos25-l-cos2C,ci

—44(Z--------F2.-------)x—6-2cos2B-4cos2c,

在VZ5C中，C=n—A—B,则。二女一5,

3

b2+2c2=6-2cos25-4cos(手-2B)=6-2cos25+2cos2B+2A/3sin2B

=2A/3sin2J3+6，

在V48c中，易知0<5<@,当8=工时,(/+202)=6+26.

3'/max

故选：B.

22

7.已知椭圆£：=+3=1伍〉6〉0)的左、右焦点分别为与石，点P,48都在椭圆£上，若

ab

两=4即，电=〃取，且2+〃24,则椭圆E的离心率的取值范围为()

A.B.声,[C,fo,—]D.fo,-

[3J[3J13」I3」

【答案】B

【解析】

【分析】设直线尸幺：x=C,直线「8:》=加2卜+。代入椭圆方程，消元后得一元二次方程，计算出

两根和与积，再由题设条件，求出4=-匹，和〃=一&，代入％+中，利用韦达定理代入，化简

Ji%

即得‘土由"，°的齐次不等式,即可求得离心率的取值范围.

如图，由两=%月7,朋=〃顺可知尸,4月三点共线，尸，民用三点共线.

设尸(/Jo),/(XQJ,双%,%)，直线0Z:x=M]y—c,PB:x=m2y+c,

x=m{y-c

2222

由<22消去x,可得+bm^y一2b2cmiy-a2b2+bc=0,

二+匕=1

L2b2

b2c2—a2b2b2c2—a2b2

则为其）=同理可得％%）=显然切二0，J7。。°，3;2W0，

a2+b2m^a2+Z)2m；

由两=%即代入坐标可得：（-c-x0,-y0）=A（xl+c,j1）,即得彳=一比,

—.—.Kx+c

同理由尸耳可得，〃=由/=叫比-c,可得掰i=---0--,

%%

x-cc2(1112a2+b2mf+b2m^

m=o

同理，2，故X+〃=—%)---+-------ylb2c2—a2b2-

%5%y2y0j

2

=2,g+/—)2+/(%3]=2M222仅冗+aY+//)(*),

ab-bc%y0ClD—DC

又点尸在椭圆上，则有〃x；+a2y：则（*）式可化成:

222222

2（ab+Z）c）2（a+c）B22,Z0cG

」___________K______1>4,解得/<3。2,故得e=—2-，

a2b2-b2c2a2-c2-a3

又0<e<l,故E的离心率的取值范围为$1.

_3）

故选：B.

【点睛】方法点睛：求椭圆离心率（或范围）的方法有三：

（1）根据已知条件列方程组，解出。的值，直接利用离心率公式求解即可;

（2）根据已知条件得到一个关于。（或a,6）的齐次方程（或不等式），然后转化为关于离心率e的方

程（或不等式）求解;

（3）因为离心率是比值，故有时也可以利用特殊值法，例如令a=l,求出相应c的值，进而求出离心率.

8.如图，在一个有盖的圆锥容器内放入两个球体，已知该圆锥容器的底面圆直径和母线长都是6,则

()

A.这两个球体的半径之和的最大值为三把

2

4

B.这两个球体的半径之和的最大值为一

3

C.这两个球体的表面积之和的最大值为（6+36）兀

D.这两个球体的表面积之和的最大值为如

9

【答案】D

【解析】

【分析】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，有一个球体和圆锥的底面相切，过底面圆的直

径作截面，设两圆的半径，则Re二11r2I---------

re,其中R=1----------\3r—2/'2,表达出

626233

/（r）=l+^--jV3r-2r2,re££

,求导得到函数单调性，得到最值，并求出

6,2

-1［（7?+r）2-6（7?+r）+32函数V=-2兀e-6x+3）在|o,|"上单调

7?2+r2令x=R+rV—

递增，求出%ax=?，得到答案・

【详解】当这两个球体的半径或者表面积之和取最大值时，上面的球与圆锥的底面相切,

过底面圆的直径作截面,

如图所示，过点。作0F1AB,垂足为F,过点O'作。'E1AB,垂足为E,

过点。作O'D^OF,垂足为D.

设圆。的半径为R,圆O'的半径为r,当下面的球与上底面相切时，R取得最大值,

此时R为该圆的内切球半径，等边三角形的边长为指，内切球半径为走tan30°=工，

22

故08=1,故R的最大值为且取最大值时,

0,0',8三点共线，设。£=「，则。B=2F,

则2r+r+工=1,解得r=—,

26

所以Re„,re，二,\OD\=R-r,\OO'\=R+r,

6262

\O'D\=\EF\=\AB\-\AF\-\BE\=S[?>-岳-V3r.

因为|OD『+|O'D「=QO[2,所以(R—4+(百—也R—百=(R+F)2①,

整理得3A2+(2―6)R+3卜2—2外+1)=0,解得火=1—：—,

令函数f(r)=R+r「冷加一2r»=l+O3T,re

243r-2r2-3+4r

/'（「）=

343-2r2

3-4r

令函数g(/)=2j3/—2/—3+4r,g'G)+4＞0,所以g（r）是增函数.

J3r-2/

g(1〉o,所以％eI，1,g(r)=o,

又因为g<0,o

所以reg⑺＜0,re^,-,g（r）＞0,

即re，力，/'（厂）＜0，rebg，/'（厂）＞0，

所以/（r）在上单调递减，在“o，；上单调递增.

因为/[I]"/Hl,所以，（「）max=j即这两个球体的半径之和的最大值为j

由①可得斤+/=一g[（R+r）2—6（R+「）+3,

这两个球体的表面积之和为4兀（氏2+厂2）=-2兀[伊+4一6伊+厂）+3.

2（2-

令x=R+rW],函数y=-2兀（必一6x+3）在上单调递增，

所以＞max=—2兀*[g]-6x|+3=—，即这两个球体的表面积之和的最大值为

故选：D.

【点睛】方法点睛：

立体几何中最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立目标函数，转化为函数的最值问

题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量

关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得

最值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合

题目要求；全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.

9.随机事件A,8满足尸（2）=5,尸（万）=],尸（彳忸）="则下列说法正确的是（）

A.P（AB）=P（A）P⑻B.PCAB）=-

C.P（A+B）=~D.0（明（幺+5））尸（血）=尸⑷尸2（8）

【答案】CD

【解析】

【分析】根据条件概率公式，以及和事件概率公式，即可判断选项.

_3111

【详解】A.P（幺忸）=1—尸（彳⑻=1一：=屋所以尸（48）=尸（幺忸）尸（5）=不

12

尸（N）P（8）=；xg=g,

所以尸（48）。尸（N）尸（8）,故A错误；

BP（^）=P（2）-P（25）=P（^）-P（2|5）P（5）=1-|X|=1,故B错误;

1113

C.P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB）=-+---=~,故C正确；

1

D•尸（初以+5）=^^=/=:尸（加）=尸（彳⑻尸（5）=%;=。,

4

所以尸(明(N+划尸(叫=/：=(，P?⑷Q⑻=H=5，故D正确.

故选：CD

10.[x]表示不超过x的最大整数，例如：[-0.5]=-已知函数/(x)=[x],下列结论正确的

有()

A.若xe(0』)，贝【J/(—x)+^〈一/(力+^

B.Vx,yeR,f(x+y)<f(x)+f(y)

C.函数y=[x],xeR的图象不关于原点对称

D.设方程[|1]]=3的解集为A,集合5=同2/一11日+15公训，若/U2=R,贝I

4-1、「X5-

^T，_《U{0}U

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用定义的函数，来取特殊值分析，即可判断ABC,对于D需要转化到一元二次方程根的分布,

再由端点值的取值符号来确定参数范围即可.

【详解】对于A,当xe(O,l),则/(力=国=0,所以有

/(-)l=_ll=-2ry()ll_f+-^=--,

Vx7+4+44[Jx+4」=I04)4

显然/(—x)+^〈—f(x)+成立，故A正确；

对于B,存在/(O.6)+/(O.6)=2x[0.6]=2x0=0,/(0.6+0.6)=/(1.2)=[1.2]=1,

此时VxjeRJ(x+y)</(x)+/(y)不成立，故B错误；

对于C,因为/(—0.5)=[-0.5]=-1,/(0.5)=[0.5]=0,

所以/(—0.5)H-/(0.5),即/(x)=[x]不是奇函数，

所以函数^=[可,%€区的图象不关于原点对称，故C正确；

对于D,方程[卜―1]]=3,可得,一1归[3,4),解得：4Wx<5或—3<x〈—2,

所以幺={x|-3cx〈一2或44x<5},

又因为Nu3=R,3=卜疝2-1而+15产NO},

所以当5=R时，满足题意，此时八=121左2_120左2=/<o，解得左=()；

当5wR时，由上可知方程2x?—11日+15左2=0有两根，解得％=—左,%2=3左，

2

-k>48,5

当人>0时，若Nu8=R,则需要满足{2^-<k<-,

3k<553

[3k>-3,

4

当左<0时，若Nu8=R,则需要满足<5,-1W左4一二，

-k<-25

2

485

综上可得：ke—1,—yu{0}。—,J,故D正确;

故选：ACD.

11.已知eC:(x—2)2+J?=4,直线/：x=2,。为原点，点尸在。。上，直线。尸与/交于点。,A在直线

。尸上，且闻=砺，点尺的轨迹为史留斯蚌线，记为曲线£,其中/是E的渐近线，如图所示.设

/(/Jo)是E上一点,贝U()

A.—2<%0<2

B.存在异于原点。的点使得M关于点。的对称点仍在£上

C.若〃在第二象限，则％的最大值为巨

3

D.若M在第一象限，则直线。”的斜率大于。字

C

【答案】AD

【解析】

X

王。

【分析】设R（x,y）,尸（再,％）,Q（x2,y2）,设砺=政而（4wO）得到<,即可得到

乂=5

A

14x—►—►/八、12—►—►111

—=-------5,设OR=〃OP（"。）,则一=一,再由尸。=。r，则----7=1，从而求出曲线E的

2x-+y厂\xn2

2—x

方程，即可判断A、B；利用特殊值判断C,设/（x）=——ex（O<x<2）,利用导数说明函数的单调

NI人

2+x

性，即可得到——>e\从而判断D.

2-x

【详解】设火（xj）,0（x"J，Q（x2,y2）,由。P与/相交，则P不与。重合，即工产0,

X

X、

设砺=4而（60），则（x,田=4（x2J,所以，代入(x—2)2+j?=4,可得

%=9

X

14x

即不=22

Ax-+y

X

设砺=〃而（〃/0）,则（刀刃=〃（％2，%），即々=一,代入x=2,即土=2,

_kkk1—►1—►—►

由月。=。&,即O。一。尸=07?,所以一OK—：OK=OK,

//2

__.一lli24x492+x9

当。底片0时----7=1，从而-----2—r=1>整理得y=--x；

〃Xxx+y2-x

__k2+x

当无=0时而=而，即尸和。重合，氏（0,0）,此时方程/=----••一成立;

2-x

所以曲线£的方程为2+Y

由需=手”只20,所以^^之。，解得—2Wx0<2,故A正确；

2—%2-x0

E在第一象限的部分对应的方程为j=2+"-x(0<x<2)①,

2x

2+x/八八、

E在第三象限的部分对应的方程为y=-----x(-2<x<0),

2x

品.(—x)(—2<—x<0),

它关于原点成中心对称的部分对应的方程为-y=

2)②,

联立①②解得x=0,这样0<x<2矛盾，所以不存在异于原点。的点使得M关于点。的对称点仍

在E上，

由对称性可知，二、四象限也不存在关于点。的对称点仍在£上，故B错误；

11

当x=—1时9当x=—1.2时9=0.36>§,故C错误；

设/(x)="e，(O<x<2),则/'(x)=7^~^e*<0,

2+x2+x

所以/(x)在(0,2)上单调递减，

从而/(x)</(O)=l，所以=e*<l,即圣〉e)

2+x2-x

所以/=2±£.》2〉6、2,即］〉e"即上〉£,

2-xx-x

所以若M在第一象限，则直线0M的斜率大于.冷，故D正确.

故选：AD

【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出曲线E的方程，D选项关键是构造函数

x

/(x)=1^e(O<x<2),利用导数证明=〉e1

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.1——(x+y)6的展开式中//的系数为______.

Vy)

【答案】-25

【解析】

(2-

【分析】分1----取1，(工+^丫取//和1----取,(%+歹丫取x3^3两种情况讨论即可.

【详解】当1——取1,(x+y)6^x4y2,//的系数为c；=15；

Vy)

(2x

当1----取------,(x+y)6取dj?时，得//的系数为：一2C：=—40.

y)y

所以//的系数为：15—40=—25.

故答案为：-25

13.已知0<a<6<c<1,且3b24a,则max｛b—a,c—九l—c｝的最小值是.

【答案】y

【解析】

b=l-n-p

【分析】利用换元法可得11，进而根据不等式的性质，讨论求解即可.

a=l-m-n-p

【详解】令加,。一6二〃,1一。二p,其中加,〃，夕>0,

b=l-n-p

所以《

a=l-m-n-p

若3/724Q,则3b=3—3〃一3224(1一加一〃一夕)，故4加+〃+221,

令Af=max{Z?_a,c_b,l_c}=max{加，凡2},

4M>4m

因此<M>n，故6M>4m+〃+P21,则M2工，

6

M>p

当且仅当4机+〃+2=1等号成立，取机=〃=?=工时可满足等号成立,

6

可知max抄一凡。一仇1一。｝的最小值为一，

6

故答案为：—

6

14.设A是非空数集，若对任意都有x+yeZ,唠£4,则称A具有性质P.给出以下命题:

①若A具有性质P,则A可以是有限集;

②若4,4具有性质P，且4c则4c4具有性质P；

③若4,4具有性质p,则4u4具有性质P；

④若A具有性质P,且/HR,则不具有性质P.

其中所有真命题的序号是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】举特例判断①；利用性质P的定义证明②即可；举反例说明③错误；利用反证法判断④，元素

0是关键.

【详解】对于①，取集合幺={0,1}具有性质P,故A可以是有限集，故①正确；

对于②，取4c4，则xeA2,yeA1,y&A2,又4,4具有性质P,

x+y&Ax,xyeAx,x+yexy&x+ye4c4,9e4c4,所以4cH具有性质

P,故②正确；

对于③，取4={x|x=2左，左eZ},4={xIx=3左，左eZ},Ax,3e,但2+3仁4。4，故

③错误；

对于④，若A具有性质P,且NwR,假设亳/也具有性质P，

设OeZ,在鸟幺中任取一个x,x/0,此时可证得-xeN,否则若-xea”，由于也具有性质P,则

x+(-x)=()€«/,与OeZ矛盾，故-x5,

由于A具有性质P,鸟幺也具有性质P,

所以eA,x2e,

而(—x)2=x2,这与/门a2=0矛盾，

故当OeZ且A具有性质P时，则。Z不具有性质P,

同理当时，也可以类似推出矛盾，故④正确.

故答案为：①②④

【点睛】集合新定义题目，关键是对集合新定义的理解，及举反例，特例证明，考查学生的逻辑推理与特

殊一般思想，属于难题.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=25由(0》+0)12〉0,0〉0,0<°<]],由下列四个条件中选出三个：

①最大值为2；②最小正周期为2兀；

③/(0)=—2；④/\"=0.

(1)求函数/(X)的解析式及单调递减区间;

(2)设g(x)=/(x)/.当xe[O,机]时，g(x)的值域为[0,2+6]，求加的取值范围.

71c,4兀c,

【答案】(1)/(x)=2sin,单调递减区间为—F2kn,---F2kji

33

12'6

【解析】

【分析】(1)不管选择哪三个条件，均需利用三角函数的性质，并结合条件一一分析可求出解析式，再根

据三角函数的单调性求递减区间即可；

(2)根据(1)的结论，结合三角恒等变换化简g(x),利用三角函数的性质计算参数范围即可.

【小问1详解】

对于条件③，有/(0)=2$m0=一2,

兀

因为/〉0,0</<5，则sin°〉O,Zsin0>O,

显然/(o)=Zsin。=一2不成立，因此只能选择条件①②④，

则2=2,0=1,/1_看]=2sin[o_t]=0n=E(左eZ),

所以夕=今，此时/(x)=2sin[x+t]；

jrjrjTT7T47r

令x+—£—+2左兀,卜2kli(左£Z),解之得一+2左兀,----I-2H(左EZ)；

6[22」[33」，

【小问2详解】

由上可知g(x)=/(%)/(%-^-)=2sin[x+已]•2sinx=2sinx(Gsinx+cosx)

=sin2x-V3COS2x+V3=2sin2x--+V3,

旦sin

因为此时g(x)的值域为[0,2+6],则-<1,

2

JTJT4JT

则2x—e-------+2br（左eZ）,

333

714兀5n5TI

故2机一卫€nme

25T12，-6-

16.如图，在四棱锥P—483中，底面Z5C。为直角梯形，AD//BC,ADLDC,

PA=PD=PB=275-BC=DC=；AD=2,£为AD的中点.

A

(1)求证：PEL平面N5CD；

(2)求平面尸48与平面尸5C的夹角的正弦值;

(3)记5c的中点为若N在线段尸£上，且直线"N与平面尸48所成的角的正弦值为上，求线

18

段EN的长.

【答案】(1)证明见解析

2

(2)-

3

.19

(3)1或—

5

【解析】

【分析】(1)连接证出尸£工2。和尸ELBE,即可利用线面垂直判定定理得证；

(2)以£为原点，区4为x轴，£8为了轴，EP为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向

量法直接求解面面角的余弦值，即可得到结果；

(3)设EN=/(/e(O,4)),利用向量法直接表示出线面角的正弦值，即可得到参数，进而得到结果.

【小问1详解】

连接则

2

因为NZ）//8C,所以四边形8CQE为平行四边形；

所以BE=CD=2,

因为尸2=40=2指，40=4,且E为40的中点，

所以工40，所以尸£=」。。2一。后2=J2。—4=4,

所以PE?+BE?=PB?，即尸£_L8E，

又因为/。口8£=£,所以PE，平面48CD.

【小问2详解】

以E为原点，口为x轴，£8为V轴，EP为z轴，

建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（2,0,0）,5（0,2,0）,C（-2,2,0）,尸（0,0,4）,

所以方=（—2,2,0）,P5=（O,2,-4）,5C=（-2,0,0）,

设平面尸45的法向量为应=（苞,％,马）,

in-AB=0f-2x+2yl=0

则｛_,即\\,

m-PB=012%—4Z[=0

取比=（2,2,1）,

设平面尸3C的法向量为为=（》2，%，22），

n-BC=0f-2x2=0

则——，即c，z

n-PB=012%一4Z2=0

取为=（0,2,1）,

~__m-n2x0+2x2+lxl5W

所以cosm,n=-j-j-p-p=/—>==—尸=—

H,同A/22+22+12XVO2+22+123753

2

所以二面角A-PB-C的正弦值为

3

【小问3详解】

设EN=4/e(O,4)),则N(0,01),

而”(—1,2,0),所以加=(—1,2#,

由（II）知平面尸4g的法向量为应=（2,2,1）,

设直线MN与平面尸48所成的角为处则

-1X2+2X2+(-1)xlV6

sin。=|cosNM.m

22222

^_1)+2+(^)^72+2+1~18

化简得5/—24/+19=0，解得：/=1或/=《,

19

故线段EN的长度为1或一.

5

17.已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长与短轴长的比为2:1,焦距为2G.p为椭圆上任意一点，过点尸

作圆。：/+/=i的两条切线P/、PB,48分别为切点，直线48分别与x、7轴交于M、N两点.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）求△MON面积的最小值；

（3）过点。（0,1）的两条直线小4分别与椭圆C相交于不同于点。的。，E两点，若4与4的斜率之和

为一2,直线是否经过定点？若过定点，求出定点坐标，若不过定点请说明理由.

V2

【答案】(1)C:—+y2=l

4

（3）直线经过定点（1,-D,理由见解析

【解析】

【分析】（1）依题列出。，仇。的方程组，求解即得椭圆方程;

（2）先判断点48在以。尸为直径的圆上，求出该圆的方程，减去已知圆的方程，得出直线A8的方程,

求出的坐标，利用基本不等式，即可求得△儿/ON面积的最小值;

（3）设直线的方程为：x=my+t,与椭圆方程联立，得出韦达定理，计算化简勺+勺2=,得到

加=-或加=7-1,回代入直线£）£的方程，检验后即得直线£＞£经过的定点.

【小问1详解】

a=2b

依题意，＜2c=2\/3,解得a=2,b=l,

cr=b~+c2

则椭圆C的标准方程为C：L+y2=1；

4

【小问2详解】

如图，设尸（见〃），连接。4。民。尸，则

mvi1-------

即点48在以。尸为直径的圆上，取。尸的中点为》（万，5）,\OP\=yJm2+n2-

22

22

则圆“：（％―§2+3—92=尹x+y-mx-ny=0f

将其与/+「=1作差整理，可得直线的方程为：加、+⑵—1=0,

令x=0,则^=工；令＞=0,则％=工，则得M（」,0）,N（0,1）,

nmmn

故京，因点P（i）在椭圆上，故/+4/=4,

由4=加？+4/2212加〃I可得I加〃区1,当且仅当加=2〃时，等号成立，

11

此时S&MON

2|mn|-r

即当点尸为（正,*）,（-6广与,（—五,辛）这四个点时，AMON面积取得最小值y;

【小问3详解】

如图，当直线的斜率为0时，直线与。E关于了轴对称，此时勺+左4=0不符合题意;

故可设直线的方程为：x=my+t,代入X2+4J?=4中,

整理得：（加2+4）/+2加卬+〃一4=0,

由A=4m一无机2+4）（/-4）＞0,可得m2一〃+4＞。

2mt

%=――，

m+4

设。（项,凹）,£（》2，必），则（2，（*）

r-4

〔m+4

»呻K,K必—凹—

依题，K+k,----1-1+^--2-T--------1--+,-%---T---

石x2myl+1my2+1

（%-1）（叼2+。,（必T）（叼1+。

（约1+t）（my2+0（mvj+t\my2+1）

二2加必必+«—已）（%+8）—21=2

2

m-yiy2+mt（yi+y2）+t

2

化简整理得：2（m+m）yxy1+（/+2机/一机）（％+%）+2/-2/=0,

,24Dmt

将（*）代入，可得2（加2+加）,二—+«+2加，—加）（—-孚L）+2〃—2，=0,