2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.3.3导数的实际应用应用案巩固提升新人教B版选修2-2

PAGEPAGE11.3.3导数的实际应用[A基础达标]1．一质点沿直线运动，假如由始点起经过t秒后的距离为s＝eq\f(4,3)t3－2t2，那么速度为0的时刻是()A．1秒末 B．0秒C．2秒末 D．0秒或1秒末解析：选D.由题意可得t≥0，s′＝4t2－4t，令s′＝0，解得t1＝0，t2＝1.2．某城市在发展过程中，交通状况渐渐受到大家更多的关注，据有关的统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－eq\f(1,8)t3－eq\f(3,4)t2＋36t－eq\f(629,4)，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是()A．6时 B．7时C．8时 D．9时解析：选C.y′＝－eq\f(3,8)t2－eq\f(3,2)t＋36＝－eq\f(3,8)(t＋12)(t－8)．令y′＝0，得t＝8或t＝－12(舍去)，则当6≤t＜8时，y′>0，当8<t≤9时，y′<0，所以当t＝8时，通过该路段所用的时间最多．故选C.3．某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用的尺寸()A．左右长12cm，上下长18cmB．左右长12cm，上下长19cmC．左右长11cm，上下长18cmD．左右长13cm，上下长17cm解析：选A.设所印文字区域的左右长为xcm，则上下长为eq\f(150,x)cm，所以纸张的左右长为(x＋2)cm，上下长为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))cm，所以纸张的面积S＝(x＋2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(150,x)＋3))＝3x＋eq\f(300,x)＋156.所以S′＝3－eq\f(300,x2)，令S′＝0，解得x＝10.当x>10时，S单调递增；当0<x<10时，S单调递减．所以当x＝10时，Smin＝216(cm2)，此时纸张的左右长为12cm，上下长为18cm.故当纸张的边长分别为12cm，18cm时最节约．4．在直径为d的圆木中，截取一个具有最大抗弯强度的长方体(抗弯强度与bh2成正比，其中h为矩形的长，b为矩形的宽)，则矩形的宽为()A.eq\f(d,2) B.eq\f(\r(2),2)dC.eq\f(d,3) D.eq\f(\r(3),3)d解析：选D.如图为圆木的横截面．因为b2＋h2＝d2，所以bh2＝b(d2－b2)＝－b3＋d2b.设f(b)＝－b3＋d2b，则f′(b)＝－3b2＋d2，令f′(b)＝0，可得b＝eq\f(\r(3),3)d.由实际意义知，当b＝eq\f(\r(3),3)d时，f(b)有最大值，即抗弯强度最大．故选D.5．某商品的进价为3元/件，依据以往阅历，当售价为8元/件时，可卖出30件，市场调查表明，当售价每下降1元时，销量可增加10件，且售价下降x元时，获得的利润为L(x)元，则L(x)的最大值为()A．220 B．200C．180 D．160解析：选D.当售价下降x元时，每件利润为(5－x)元，此时销量为(30＋10x)件，所以L(x)＝(5－x)(30＋10x)＝10(5－x)(3＋x)＝10(－x2＋2x＋15)(0≤x≤5)，所以L′(x)＝10(－2x＋2)＝20(－x＋1)，令L′(x)＝0，得x＝1；令L′(x)>0，得0≤x＜1，L(x)单调递增；令L′(x)<0，得1<x≤5，L(x)单调递减．所以当x＝1时，L(x)取得最大值，为160，故选D.6．甲、乙两地相距240km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地．已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为eq\f(1,6400)v3元．为使全程运输成本最小，汽车应以________km/h的速度行驶．解析：设全程运输成本为y元，由题意知y＝eq\f(240,v)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(160＋\f(1,6400)v3))(v>0)，y′＝240eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(160,v2)＋\f(2,6400)v))，令y′＝0，得v＝80，当v>80时，y′>0；当0<v<80时，y′<0.所以v＝80时，ymin＝720.答案：807．圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大，它的高h与底面半径R的比应为________．解析：因为S＝2πRh＋2πR2，所以h＝eq\f(S－2πR2,2πR)，所以V(R)＝eq\f(S－2πR2,2πR)πR2，＝eq\f(1,2)(S－2πR2)R＝eq\f(1,2)SR－πR3.由V′(R)＝eq\f(1,2)S－3πR2＝0，得S＝6πR2，结合函数的单调性知当S＝6πR2时，容积最大，此时6πR2＝2πRh＋2πR2.即h∶R＝2∶1.答案：2∶18．某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满意C＝1200＋eq\f(2,75)x3，P＝eq\f(500,\r(x))，则当x＝________时，总利润最高．解析：设总利润为L(x)万元，则由题意得L(x)＝x·eq\f(500,\r(x))－1200－eq\f(2,75)x3＝－eq\f(2,75)x3＋500eq\r(x)－1200(x>0)．由L′(x)＝－eq\f(2,25)x2＋eq\f(250,\r(x))＝0，得x＝25.令L′(x)>0，得0<x<25；令L′(x)<0，得x>25，得L(x)在区间(0，25)上单调递增，在区间(25，＋∞)上单调递减，所以当x＝25时，总利润最高．答案：259．一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比．已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小？解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p＝k·v3，其中k为比例系数，它可以由v＝10，p＝6求得，即k＝eq\f(6,103)＝0.006，则p＝0.006v3.又设当船的速度为每小时v海里时，行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3＋96(元)，而行1海里所需时间为eq\f(1,v)小时，所以行1海里的总费用为q＝eq\f(1,v)(0.006v3＋96)＝0.006v2＋eq\f(96,v).q′＝0.012v－eq\f(96,v2)＝eq\f(0.012,v2)(v3－8000)，令q′＝0，解得v＝20.因为当v＜20时，q′＜0；当v＞20时，q′＞0，所以当v＝20时q取得最小值，即速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小．10．如图是某市在城市改造中的沿市内主干道城站路修建的圆形休闲广场，圆心为O，半径为100m，其与城站路一边所在直线l相切于点M，MO的延长线交圆O于点N，A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局安排在△ABM内进行绿化，设△ABM的面积为S(单位：m2)．(1)以∠AON＝θ(rad)为自变量，将S表示成θ的函数；(2)求使绿化面积最大时点A的位置及最大绿化面积．解：(1)由题意知，BM＝100sinθ，AB＝100＋100cosθ，故S＝5000sinθ(1＋cosθ)(0<θ<π)．(2)因为S＝5000sinθ(1＋cosθ)(0<θ<π)，所以S′＝5000(cosθ＋cos2θ－sin2θ)＝5000(2cos2θ＋cosθ－1)＝5000(cosθ＋1)(2cosθ－1)．令S′＝0，得cosθ＝eq\f(1,2)或cosθ＝－1(舍去)，又θ∈(0，π)，故θ＝eq\f(π,3).当0<θ<eq\f(π,3)时，eq\f(1,2)<cosθ<1，S′>0；当eq\f(π,3)<θ<π时，－1<cosθ<eq\f(1,2)，S′<0.故当θ＝eq\f(π,3)时，S取得极大值，也是最大值，最大值为3750eq\r(3)，此时AB＝150.即当点A距路边的距离为150m时，绿化面积最大，最大面积为3750eq\r(3)m2.[B实力提升]11．若球的半径为R，作内接于球的圆柱，则其侧面积的最大值为()A．2πR2 B．πR2C．4πR2 D．eq\f(1,2)πR2解析：选A.设内接圆柱的高为h，底面半径为x，则x＝eq\r(R2－\f(h2,4))，所以S侧＝2πxh＝2πheq\r(R2－\f(h2,4))＝2πeq\r(R2h2－\f(h4,4))，令t＝R2h2－eq\f(h4,4)，则t′＝2R2h－h3，令t′＝0，得h＝eq\r(2)R(舍负)或h＝0(舍去)，当0<h<eq\r(2)R时，t′>0，当eq\r(2)R<h<2R时，t′<0，所以当h＝eq\r(2)R时，圆柱的侧面积最大．所以侧面积的最大值为2πeq\r(2R4－R4)＝2πR2，故应选A.12．某银行打算设一种新的定期存款业务，经预料，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0)，贷款的利率为4.8%，假设银行汲取的存款能全部放贷出去．若存款利率为x(x∈(0，4.8%))，则使银行获得最大收益的存款利率为________．解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3，银行应获得的贷款利息是0.048kx2，所以银行的收益是y＝0.048kx2－kx3(0<x<0.048)，故y′＝0.096kx－3kx2.令y′＝0，解得x＝0.032或x＝0(舍去)．当0<x<0.032时，y′>0；当0.032<x<0.048时，y′<0.因此，当x＝0.032时，y取得极大值，也是最大值，即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益．答案：3.2%13．水库的蓄水量随时间而改变，现用t表示时间，以月为单位，年初为起点，依据历年数据，某水库的蓄水量(单位：亿立方米)关于t的近似函数关系式为V(t)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－t2＋14t－40）e\f(1,4)t＋50，0<t≤10.,4（t－10）（3t－41）＋50，10<t≤12.))(1)该水库的蓄水量小于50的时期称为枯水期，以i－1<t<i表示第i月份(i＝1，2，…，12)，问一年内哪几个月份是枯水期？(2)求一年内该水库的最大蓄水量(取e＝2.7计算)．解：(1)依据t的范围分段求解：①当0<t≤10时，V(t)＝(－t2＋14t－40)eeq\f(1,4)t＋50<50，化简得t2－14t＋40>0，解得t<4或t>10.又0<t≤10，故0<t<4.②当10<t≤12时，V(t)＝4(t－10)(3t－41)＋50<50，化简得(t－10)(3t－41)<0，解得10<t<eq\f(41,3).又10<t≤12，故10<t≤12.综上得0<t<4或10<t≤12.故知枯水期为1月，2月，3月，4月，11月，12月共6个月．(2)由第一问知：V(t)的最大值只能在(4，10)内达到，由V′(t)＝eeq\s\up8(\f(1,4))teq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)t2＋\f(3,2)t＋4))＝－eq\f(1,4)eeq\s\up8(\f(1,4))t(t＋2)(t－8)．令V′(t)＝0，解得t＝8(t＝－2舍去)，当t改变时，V′(t)与V(t)的改变状况如下表：t(4，8)8(8，10)V′(t)＋0－V(t)极大值由上表，V(t)在t＝8时取得最大值V(8)＝8e2＋50＝108.32(亿立方米)．故一年内该水库的最大蓄水量是108.32亿立方米．14．(选做题)某工厂拟建一座平面图为矩形且面积为200m2的三级污水处理池(平面图如图所示)．假如池四四周墙建立单价为400元/m，中间两道隔墙建立单价为248元/m，池底建立单价为80元/m2，水池全部墙的厚度忽视不计．(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16m．试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．解：(1)设污水处理池的长为xm，则宽为eq\f(200,x)m，再设总造价为y元，则有y＝2x×400＋eq\f(200,x)×2×400＋248×2×eq\f(200,x)＋80×200＝800x＋eq\f(259200,x)＋16000≥2eq\r(800x·\f(259200,x))＋16000＝2×800×18＋16000＝44800，当且仅当800x＝eq\f(259200,x)，即x