2024-2025学年高中数学第1讲不等式和绝对值不等式二绝对值不等式第一课时绝对值三角不等式练习新人教A版选修4-5

PAGEPAGE1第一课时肯定值三角不等式[基础达标]1.若实数a，b，c满意|a－c|＜|b|，则下列不等式中成立的是A.|a|＞|b|－|c| B.|a|＜|b|＋|c|C.a＞c－b D.a＜b＋a解析由|a|－|c|≤|a－c|＜|b|知|a|－|c|＜|b|，即|a|＜|b|＋|c|.答案B2.已知|a|≠|b|，m＝eq\f(|a|－|b|,|a－b|)，n＝eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|)，则m，n之间的大小关系是A.m>n B.m<nC.m＝n D.m≤n解析由肯定值不等式的性质，知|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.∴eq\f(|a|－|b|,|a－b|)≤1≤eq\f(|a|＋|b|,|a＋b|).∴m≤n.答案D3.已知a和b是随意非零实数，则eq\f(|2a＋b|＋|2a－b|,|a|)的最小值为________.解析eq\f(|2a＋b|＋|2a－b|,|a|)≥eq\f(|2a＋b＋2a－b|,|a|)＝4.答案44.若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________.解析利用肯定值不等式的性质求解.∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.答案－2≤a≤45.已知|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|＝eq\f(s,3)，求证|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.证明∵|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|<eq\f(s,3)，∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|＝|(A－a)＋(B－b)＋(C－c)|≤|A－a|＋|B－b|＋|C－c|<eq\f(s,3)＋eq\f(s,3)＋eq\f(s,3)＝s.∴|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s.[实力提升]1.对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是A.当a、b异号时，左边等号成立B.当a、b同号时，右边等号成立C.当a＋b＝0时，两边等号均成立D.当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立答案B2.若对随意实数x，不等式|x＋1|－|x－2|>a恒成立，则a的取值范围是A.(－∞，3) B.(－∞，3]C.(－∞，－3) D.(－∞，－3]解析恒成立问题，往往转化为求最值问题，本题中a<|x＋1|－|x－2|对随意实数恒成立，即a<[|x＋1|－|x－2|]min，也就转化为求函数y＝|x＋1|－|x－2|的最小值问题.∵||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤|x＋1|－|x－2|≤3.∴[|x＋1|－|x－2|]min＝－3，∴a<－3.答案C3.函数y＝|x＋1|＋|2－x|的最小值是A.3 B.2 C.1 D解析∵y＝|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，∴ymin＝3.答案A4.若1＜eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，则下列结论中不正确的是A.logab＞logba B.|logab＋logba|＞2C.(logba)2＜1 D.|logab|＋|logba|＞|logab＋logba|答案D5.正数a、b、c、d满意a＋d＝b＋c，|a－d|<|b－c|，则A.ad＝bc B.ad<bcC.ad>bc D.ad与bc大小不定答案C6.若关于x的不等式|x|＋|x－1|<a(a∈R)的解集为∅，则a的取值范围是A.[－1，1] B.(－1，1)C.(－∞，1] D.(－∞，1)解析∵|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，∴若关于x的不等式|x|＋|x－1|的解集为∅，则a的取值范围是a≤1.答案C7.设x1、x2是函数f(x)＝2011x定义域内的两个变量，且x1＜x2，若α＝eq\f(1,2)(x1＋x2)，那么下列不等式恒成立的是A.|f(α)－f(x1)|＞|f(x2)－f(α)|B.|f(α)－f(x1)|＜|f(x2)－f(α)|C.|f(α)－f(x1)|＝|f(x2)－f(α)|D.f(x1)f(x2)＞f2(α)答案B8.对于实数x，y，若|x－1|≤1，|y－2|≤1，则|x－2y＋1|的最大值为________.解析解法一|x－1|≤1⇒0≤x≤2，|y－2|≤1⇒1≤y≤3，可得可行域如图(阴影部分).∵|x－2y＋1|＝eq\r(5)·eq\f(|x－2y＋1|,\r(5)).其中z＝eq\f(|x－2y＋1|,\r(5))为点(x，y)到直线x－2y＋1＝0的距离.当(x，y)为(0，3)时z取得最大值eq\f(|0－2×3＋1|,\r(5))＝eq\f(5,\r(5)).故|x－2y＋1|max＝5.解法二|x－2y＋1|＝|(x－1)－2(y－2)－2|≤|x－1|＋2|y－2|＋2≤1＋2＋2＝5，当且仅当x＝0，y＝3时，|x－2y＋1|取最大值为5.答案59.已知|a＋b|＜－c(a、b、c∈R)，给出下列不等式：①a＜－b－c；②a＞－b＋c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中肯定成立的不等式是________(注：把成立的不等式的序号都填上).答案①②④10.对于随意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围.解析由题知，|x－1|＋|x－2|≤eq\f(|a＋b|＋|a－b|,|a|)恒成立，则|x－1|＋|x－2|小于或等于eq\f(|a＋b|＋|a－b|,|a|)的最小值，∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号，∴eq\f(|a＋b|＋|a－b|,|a|)的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解.∵|x－1|＋|x－2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，又数轴上的eq\f(1,2)，eq\f(5,2)对应点到1和2对应点的距离之和等于2，∴不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2))).11.已知f(x)＝x2－x＋c定义在区间[0，1]上，x1，x2∈[0，1]，且x1≠x2，求证：(1)f(0)＝f(1)；(2)|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.证明(1)f(0)＝c，f(1)＝c，故f(0)＝f(1).(2)|f(x2)－f(x1)|＝|xeq\o\al(2,2)－x2＋c－xeq\o\al(2,1)＋x1－c|＝|x2－x1||x2＋x1－1|，∵0≤x1≤1，0≤x2≤1，0＜x1＋x2＜2(x1≠x2)，∴－1＜x1＋x2－1＜1，∴|x2＋x1－1|＜1，∴|f(x2)－f(x1)|＜|x1－x2|.12.设x、y∈R，求证：|2x－x|＋|2y－y|＋|x＋y|≥2eq\f(x＋y,2)＋1.证明由肯