2024-2025学年高考数学考点第十二章坐标系与参数方程不等式选讲参数方程与普通方程的互化与应用理

PAGEPAGE18参数方程与一般方程的互化与应用1.必记的曲线参数方程已知条件一般方程参数方程经过点P(x0，y0)，倾斜角为αeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋tcosα，,y＝y0＋tsinα))(α为参数)圆心在点M0(x0，y0)，半径为req\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x0＋rcosθ，,y＝y0＋rsinθ))(θ为参数)长半轴a和短半轴b椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝acosθ，,y＝bsinθ))(θ为参数)实轴a和虚轴b双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(a,cosθ)，,y＝btanθ))(θ为参数)已知p抛物线y2＝2px(p＞0)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2pt2，,y＝2pt))参数方程与一般方程的转化参数方程转化成一般方程类型一：含t的消参思路：含有t的参数方程消参时，想方法把参数t消掉就可以啦，有两个思路：思路一：代入消元法，把两条式子中比较简洁的一条式子转化成t=f(x)或t=f(y)，思路二：加减消元：让含有t前面的系数相同或成相反数后相加减。例如：曲线C：解：思路一：代入消元：∵x＝2＋eq\f(\r(2),2)t，∴eq\f(\r(2),2)t＝x－2，代入y＝1＋eq\f(\r(2),2)t，得y＝x－1，即x－y－1＝0.思路二：加减消元：两式相减，x－y－1＝0.类型二：含三角函数的消参思路：三角函数类型的消参一般的步骤就是：移项-化同-平方-相加移项：把除了三角函数的其他相加减数字移动左边化同：把三角函数前面的系数化成相同平方：两道式子左右同时平方相加：平方后的式子进行相加（注：有时候并不须要全部步骤）例如：圆eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1＋cosθ，,y＝－2＋sinθ))消参数θ，化为一般方程是(x－1)2＋(y＋2)2＝1.解：移项：（三角函数前面系数已经相同，省去化同，干脆平方）平方：相加：参数方程涉及题型直线参数方程的几何意义距离最值（点到点、曲线点到线、）距离的最值：用“参数法”1.曲线上的点到直线距离的最值问题2.点与点的最值问题“参数法”：设点套公式--三角协助角①设点：设点的坐标，点的坐标用该点在所在曲线的的参数方程来设②套公式：利用点到线的距离公式③协助角：利用三角函数协助角公式进行化一直线参数方程的几何意义.经过点P(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为若A，B为直线l上两点，其对应的参数分别为t1，t2，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，则以下结论在解题中常常用到：(1)t0=eq\f(t1＋t2,2)；(2)|PM|=|t0|=eq\f(t1＋t2,2)；(3)|AB|=|t2－t1|；(4)|PA|·|PB|=|t1·t2|（5）（注：记住常见的形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上）【特殊提示】1.直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且其几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|=|t|.直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为，则弦长；解题思路第一步：曲线化成一般方程，直线化成参数方程其次步：将直线的参数方程代入曲线的一般方程，整理成关于t的一元二次方程：第三步：韦达定理：第四步：选择公式代入计算。3.直线与两曲线分别相交，求交点间的距离：思路：一般采纳直线极坐标与曲线极坐标联系方程求出2个交点的极坐标，利用极径相减即可。4.面积的最值问题：面积最值问题一般转化成弦长问题+点到线的最值问题真题演练真题演练1．（2024•上海）已知直线方程的一个参数方程可以是A．为参数） B．为参数） C．为参数） D．为参数）【答案】B【解析】为参数）的一般方程为：，即，不正确；为参数）的一般方程为：，即，正确；为参数）的一般方程为：，即，不正确；为参数）的一般方程为：，即，不正确；故选．2．（2024•北京）已知直线的参数方程为为参数），则点到直线的距离是A． B． C． D．【答案】D【解析】由为参数），消去，可得．则点到直线的距离是．故选．3．（2024•天津）设，直线和圆为参数）相切，则的值为__________．【答案】【解析】，直线和圆为参数）相切，圆心到直线的距离：，解得．故答案为：．4．（2024•新课标Ⅲ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数且，与坐标轴交于，两点．（1）求；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程．【解析】（1）当时，可得舍去），代入，可得，当时，可得舍去），代入，可得，所以曲线与坐标轴的交点为，，则；（2）由（1）可得直线过点，，可得的方程为，即为，由，，可得直线的极坐标方程为．5．（2024•新课标Ⅱ）已知曲线，的参数方程分别为为参数），为参数）．（1）将，的参数方程化为一般方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．设，的交点为，求圆心在极轴上，且经过极点和的圆的极坐标方程．【解析】（1）曲线，参数方程为：为参数），转换为直角坐标方程为：，所以的一般方程为．曲线的参数方程：为参数）．所以①②整理得直角坐标方程为，所以的一般方程为．（2）法一：由，得，即的直角坐标为．设所求圆的圆心的直角坐标为，，由题意得，解得，因此，所求圆的极坐标方程为．法二：由，整理得，解得：，即．设圆的方程，由于圆经过点和原点，所以，解得，故圆的方程为：，即，转换为极坐标方程为．6．（2024•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）当时，是什么曲线？（2）当时，求与的公共点的直角坐标．【解析】（1）当时，曲线的参数方程为，为参数），消去参数，可得，故是以原点为圆心，以1为半径的圆；（2）法一：当时，，消去得到的直角坐标方程为，的极坐标方程为可得的直角坐标方程为，，解得．与的公共点的直角坐标为．法二：当时，曲线的参数方程为，为参数），两式作差可得，，得，整理得：，．由，又，，．联立，解得（舍，或．与的公共点的直角坐标为．7．（2024•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）求和的直角坐标方程；（2）求上的点到距离的最小值．【解析】（1）由为参数），得，两式平方相加，得，的直角坐标方程为，由，得．即直线的直角坐标方程为得；（2）法一、设上的点，，则到直线得的距离为：．当时，有最小值为．法二、设与直线平行的直线方程为，联立，得．由△，得．当时，直线与曲线的切点到直线的距离最小，为．8．（2024•新课标Ⅲ）在平面直角坐标系中，的参数方程为为参数），过点且倾斜角为的直线与交于，两点．（1）求的取值范围；（2）求，中点的轨迹的参数方程．【解析】（1）的参数方程为为参数），的一般方程为，圆心为，半径，当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，成立；当时，过点且倾斜角为的直线的方程为，倾斜角为的直线与交于，两点，圆心到直线的距离，，或，或，综上的取值范围是，．（2）的参数方程为，为参数，，设，，对应的参数分别为，，，则，且，满意，，满意，中点的轨迹的参数方程为：，为参数，．9．（2024•新课标Ⅱ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为：．直线的参数方程为为参数）．转换为直角坐标方程为：或．（2）把直线的参数方程为参数），代入椭圆的方程得到：整理得：，则：，（由于和为、对应的参数）由于为中点坐标，所以利用中点坐标公式，则：，解得：，即：直线的斜率为．10．（2024•江苏）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数）．设为曲线上的动点，求点到直线的距离的最小值．【解析】直线的直角坐标方程为，到直线的距离，当时，取得最小值．11．（2024•新课标Ⅰ）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．（1）若，求与的交点坐标；（2）若上的点到距离的最大值为，求．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），化为标准方程是：；时，直线的参数方程化为一般方程是；联立方程，解得或，所以椭圆和直线的交点为和，．（2）的参数方程为参数）化为一般方程是：，椭圆上的任一点可以表示成，，，所以点到直线的距离为：，满意，且的的最大值为．①当时，即时，解得和，符合题意．②当时，即时，解得和18，符合题意．综上，或．12．（2024•新课标Ⅲ）在直角坐标系中，直线的参数方程为，为参数），直线的参数方程为，为参数）．设与的交点为，当改变时，的轨迹为曲线．（1）写出的一般方程；（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．【解析】（1）直线的参数方程为，为参数），消掉参数得：直线的一般方程为：①；又直线的参数方程为，为参数），同理可得，直线的一般方程为：②；联立①②，消去得：，即的一般方程为；（2）的极坐标方程为，其一般方程为：，联立得：，．与的交点的极径为．强化训练强化训练1．（2024•杨浦区校级模拟）已知曲线的参数方程为，其中参数，则曲线A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．没有对称性【答案】C【解析】由于为奇函数，为奇函数，故曲线关于原点对称．故选．2．（2024•杨浦区二模）已知曲线的参数方程为是参数），曲线的参数方程为是参数），则和的两个交点之间的距离为__________．【答案】【解析】由曲线的参数方程是参数），得其一般方程为，由曲线的参数方程是参数），得其一般方程为，则曲线是以为圆心，半径的圆，圆心到直线的距离，和的两个交点之间的距离为．故答案为：．3．（2024•奉贤区二模）已知圆的参数方程为为参数），则此圆的半径是__________．【答案】2【解析】圆的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，所以该圆为以为圆心，2为半径的圆．故答案为：2．4．（2024•长宁区二模）直线是参数）的斜率为__________．【答案】2【解析】直线是参数），消去参数为：，可得斜率．故答案为：2．5．（2024•浦东新区模拟）若点在曲线为参数，上，则的取值范围是__________．【答案】【解析】由为参数，可得：因此可以看作与圆：上的点的连线的直线的斜率的取值范围．设过点的直线方程为：，化为，，解得．解得．的取值范围是．故答案为：．6．（2024•武汉模拟）已知曲线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为为参数），以直角坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线和曲线的的极坐标方程；（2）射线与曲线和曲线分别交于，，已知点，求的面积．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），由于①，，②，①②得：．依据整理得．曲线的参数方程为为参数），转换为一般方程为．转换为极坐标方程为．（2）射线与曲线和曲线分别交于，，所以，，所以，则的面积为．7．（2024•韩城市模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），曲线的参数方程为，，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（Ⅰ）求，的值；（Ⅱ）已知点的直角坐标为，直线与曲线交于，两点，求．【解析】（Ⅰ）由，得，又，，曲线的直角坐标方程为，即．又曲线的参数方程为，化为一般方程，即，，，；（Ⅱ）将直线的参数方程为参数）代入即，得．设，对应的参数分别为，，则，．．8．（2024•沙坪坝区校级模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以为极点，正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线交于，两点，点是的中点，点，求的取值范围．【解析】（1）由题意可得，，所以曲线的直角坐标方程为．（2）联立方程，得到，设，对应的参数分别为，，则因为是，的中点，所以当时，当时，，因为，，所以，．综上所述，，．9．（2024•汉阳区校级模拟）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为：，．（1）求曲线的极坐标方程并指出曲线类型；（2）若曲线与直线交于不同的两点、，，求的值．【解析】（1）由，消去参数，得，令，，则有，即，曲线为等轴双曲线；（2）将直线的极坐标方程代入，得，曲线与曲线交于不同的两点、，则，又，可得或，设，，，，则，解得：，或，得或．10．（2024•运城模拟）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的一般方程及直线的直角坐标方程；（2）求曲线上的点到直线的距离的最大值．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数得到一般方程为．直线的极坐标方程为．依据转换为一般方程为．（2）设点，则点到直线的距离，当时，点到直线的距离的最大值为．11．（2024•金凤区校级四模）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线的极坐标方程为．（1）求曲线的一般方程和直线的直角坐标方程；（2）设直线与轴，轴分别交于，两点，点是曲线上随意一点，求面积的最大值．【解析】（1）曲线的参数方程为为参数），消去参数得：．直线的极坐标方程为．依据转换为直角坐标方程为．（2）直线与轴的交点坐标为与轴的交点坐标为，设点到直线的距离，由于，所以．12．（2024•湖北模拟）在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的一般方程和曲线的直角坐标方程；（2）设，直线与曲线的交点为，，线段的中点为，求．【解析】（1）直线的参数方程为为参数），转换为一般方程为；曲线的极坐标方程为，依据，转换为直角坐标方程为．（2）将代入到中得到设，所对应的参数分别为，，则线段的中点所对应的参数为13．（2024•香坊区校级一模）已知曲线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（Ⅰ）写出曲线的极坐标方程和直线的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线与曲线交于，两点，与直线交于点，射线与曲线交于，两点